北師大版八年級下冊數(shù)學同步課時練習題(全冊分章節(jié)課時,含答案)

北師大版八年級下冊數(shù)學同步課時練習題第一章三角形的證明基礎(chǔ)題

第二章1．1 等腰三角形第1課時全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)知識點1 全等三角形的性質(zhì)與判定，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，則AD(B)A．4 B．5C．6 D．以上都不對若能用AASA．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．(2016·成都)如圖，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，則∠B＝120°．4．(2017·懷化)如圖，AC＝DC，BC＝EC，請你添加一個適當?shù)臈l件：AB＝DE(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEC.5．B，E，C，F(xiàn)，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，則DF＝6．6．(2016·宜賓)如圖，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求證：BC＝AD.證明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB和△BCA中，第1頁共175頁∠DBA＝∠CAB，AB＝BA，∠DAB＝∠CBA，∴△ADB≌△BCA(ASA)．∴AD＝BC.7．(2017·黃岡)已知：如圖，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求證：∠B＝∠ANM.證明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，∴∠BAD＝∠NAM.AB＝AN，在△BAD和△NAM中，∠BAD＝∠NAM，AD＝AM，∴△BAD≌△NAM(SAS)．∴∠B＝∠ANM.知識點2 等腰三角形的性質(zhì)8．若等腰三角形的頂角為50°，則它的底角度數(shù)為(D)A．40° B．50° C．60° D．65°9．(2017·平頂山市寶豐縣期)等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為5，則此三角形的周長A．13 B．14 C．15 D．13或1410．(2017·江西)如圖1是一把園林剪刀，把它抽象為圖2，其中OA＝OB.若剪刀張開的角為30°，則∠A＝75度．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D.AB＝6，CD＝4，則△ABC20．中檔題如在△ABC，AD⊥BC，垂足為D，AD＝BD＝CD，則下列結(jié)論錯誤的A．AB＝AC B．AD平分∠BACB＝BC D．∠BAC＝90°13．(2017·朝陽市建平縣期末)若等腰三角形的一個內(nèi)角等于15°，則這個三角形為(D)鈍角等腰三角形第2頁共175頁C．D．鈍角等腰三角形或銳角等腰三角形14．(2016·泰安)如圖，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，則∠P的度數(shù)(D)A．44° C．88° D．92°已知點A，F(xiàn)，E，C，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)從圖中任找兩組全等三角形；(2)從(1)中任選一組進行證明．解：(1)答案不唯一，如：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.(2)答案不唯一，如選擇證明△ABE≌△CDF，證明如下：∵AF＝CE，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)．，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求證：(2)AF＝2CD.證明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝∠ADC＝90°.∴∠AFE＋∠EAF＝∠CFD＋∠ECB＝90°.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB.在△AEF和△CEB中，∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，∠EAF＝∠ECB，∴△AEF≌△CEB(ASA)．∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，第3頁共175頁∴CD＝BD，BC＝2CD.∴AF＝2CD.綜合題17．(1)在Rt△ABC，∠ACB＝90°，點D，E在邊AB，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)；2，在△ABC，∠ACB＝40°，點D，E在直線AB上且AD＝AC，BE＝BC，在△ABC中在直線AB上求∠DCE(直接用含n)．解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，∠BCE＝(180°－∠B)÷2.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.(3)①如圖1，∠DCE＝90 1°；°－2n②如圖2，∠DCE＝90 1°；°＋2n③如圖3，∠DCE 1°；＝2n④如圖4，∠DCE 1°.＝2n第2課時等邊三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)題知識點1 等腰三角形相關(guān)線段的性質(zhì)在△ABC，AB＝AC，BD，CE分別為邊AC，AB上的中線．若BD＝5，則CE＝5．證明：等腰三角形兩腰上的高相等．解：已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D.求證：BD＝CE.證明：∵CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.∴△ACE≌△ABD(AAS)．∴CE＝BD.第4頁共175頁知識點2 等邊三角形的性質(zhì)如，△ABC是等邊三角，則A．60° B．90°C．120° D．180°4．(2017·南充如，等邊△OAB的邊長為2，則點B的坐標A．(1，1) B．( 3，1)C．( 3，3) D．(1，3)，△ABC，AC∥BD，則∠CBD＝120°．等邊△ABC，AD，若AB＝6，CD3．等邊△ABCy＝3．，l∥m，等邊△ABC的頂點B在直線m，延長AC，交直線m于點D.若∠1＝20°，求∠2的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°.∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.，△ABC和△ADE，AD是BC第5頁共175頁證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，AD為BC邊上的中線，∴AE＝AD，AD為∠BAC的平分線．∴∠CAD＝∠BAD＝30°.∴∠BAE＝∠BAD＝30°.在△ABE和△ABD中，AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，AB＝AB，∴△ABE≌△ABD(SAS)．∴BE＝BD.中檔題下列說法：①等邊三角形的每一個內(nèi)角都等于60°；②等邊三角形三條邊上的高都相等；③等腰三角形兩底角的平分線相等；④等邊三角形任意一邊上的高與這條邊上的中線互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高與這條腰上(D)A．1個 B．2個C．3個 D．4個如，△ABC是等邊三角，AD⊥BC，垂足為點E是AC上一，且AD＝AE，則∠CDE等于(C)A．30° B．20°C．15° D．10°已知△ABCB，C，D，E，且CG＝CD，DF＝DE，度．在等邊△ABC中點D，E分別是邊AB，AC，CD，BE交于點O，則∠BOC120°．E在ACFAB沿EF使點A落在BC邊上的點D的位置且ED⊥BC，則∠EFD＝45°．第6頁共175頁中BC延長AD至使AE＝AC，∠BAE的高BF于點O.求∠E的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，BF是△ABC的高，∴∠ABO 1 ABC＝30°，＝2∠AB＝AC.∵AE＝AC，∴AB＝AE.∵AO為∠BAE的平分線，∴∠BAO＝∠EAO.在△ABO和△AEO中，AB＝AE，∠BAO＝∠EAO，AO＝AO，∴△ABO≌△AEO(SAS)．∴∠E＝∠ABO＝30°.，△ABC，MBC，NCA，BM＝CN，BNAM相交于點Q.(1)求證：AM＝BN；(2)求∠BQM解：(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，AB＝BC，∠ABM＝∠C，BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.(2)∵△AMB≌△BNC，第7頁共175頁∴∠MAB＝∠NBC.∴∠BQM＝∠MAB＋∠ABQ＝∠NBC＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.綜合題，P為等邊△ABC它到三邊AB，AC，BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，則h與h1，h2，h3有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想并加以證明．1 2 解：猜想：h＋h＋h＝1 2 證明如下：連接PA，PB，PC.＝1＝∵S AB·h，△PAB 2 1＝1＝S AC·h，△PAC 2 2＝1＝S BC·h，△PBC 2 3＝1＝S BC·h，△ABC 2S＋S△PAB

＋SS△PACSS

＝S△PBCS

△ABC，1 1 1 1∴2AB·h1＋2AC·h2＋2BC·h3＝2BC·h.∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC.1 2 ∴h＋h＋h＝1 2 第3課時等腰三角形的判定與反證法基礎(chǔ)題知識點1 等腰三角形的判定在△ABC，已知則(B)A．AB＝BC C＝AC D．∠A＝60°如在△ABC中，AD平分外角且AD∥BC，則△ABC一定A．任意三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 直角三角形相交于點使得△BOC(C)A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB第8頁共175頁4．()A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周長為10已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3CD＝3cm.在△ABC中，AD⊥BC于D，平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成為等腰三角形的有①②．，AB＝BC，DE∥AC，求證：△DBE是等腰三角形．證明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三角形．知識點2 反證法8．(2017·西安期中)是直角．已知：等腰△ABC，AB＝AC.求證：∠B，∠C必定是銳角．，則∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾；②假設(shè)等腰三角形的底角∠B，∠C都是鈍角，即∠B＋∠C＞180°，則∠A＋∠B＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾．綜上所述，假設(shè)①，②錯誤，所以∠B，∠C只能為銳角．第9頁共175頁故等腰三角形的底角必定為銳角．用反證法證明：已知直線a∥c，b∥c，求證：a∥b.證明：假設(shè)a與b相交于點則過M點有兩條直線平行于直線，a∥b.中檔題11．(2017·，，在△ABC中，OBOC和∠ACB，ODE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.若BD＋CE＝5，則線段DE(A)A．5 B．6 C．7 D．8已知△ABC，AB＝AC，，在一張長方形紙條上任意畫一條截線AB，將紙條沿截線AB，所得到△ABC角形．，A處測得小島P70°，7B處測得小島P50°，則此時輪船與小島P的距離BP＝7海里．15．(2017·內(nèi)江)如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為點D，DE∥AC.求證：△BDE是等腰三角形．證明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．第10頁共175頁在等邊△ABC中，BD延長BCE，使CE＝CD，連接DE.(1)她說得對嗎？請你說明理由；(2)小敏同學說：把“BD平分∠ABC”改成其他條件，也能得到同樣的結(jié)論，你認為應(yīng)該如何改呢？解：(1)BD＝DE是正確的．理由：∵△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBC 1 ABC＝30°，∠ACB＝60°.＝2∠∴∠DCE＝180°－∠ACB＝120°.又∵CE＝CD，∴∠E＝30°.∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.(2)或點DAC中點理由：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.∴∠DBC＝30°.由(1)可知∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.綜合題在△ABC，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點D在線段BC(D不與B，C連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E.(1BD11EDC25DE＝11D從B向CBDA；(2)DC，△ABD≌△DCE，請說明理由；(3)在點D的運動過程中，△ADE可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．解：(2)DC＝2理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°.∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA的度數(shù)為110°或80°.理由：當∠BDA＝110°時，∠ADC＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝∠DAE.第11頁共175頁∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三角形．當∠BDA＝80°時，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三角形．第4課時等邊三角形的判定基礎(chǔ)題知識點1 等邊三角形的判定△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，則△ABC是A．等腰三角形 B．等邊三角形C．不等邊三角形 D．不能確定(D)60°的三角形是等邊三角形頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形底角為60°的等腰三角形是等邊三角形有一個角為60°的三角形是等邊三角形如在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，則AC等于(B)A．4 B．6 C．8 30的形狀是等邊三角形．已知OA＝a，P是射線ON，∠AON＝60°，當OP＝a時，△AOP為等邊三角形．點D，E在線段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求證：△ADE為等邊三角形．證明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.又∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE為等邊三角形．第12頁共175頁知識點2 含角的直角三角形的性質(zhì)7．(2017·)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9，則AB＝18．8．(2017·，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°.BC＝3cm，則AD＝6cm.大廳兩層之間的距離h＝6.5米自動扶梯的傾角為行速度為v＝0.5米/，則顧客乘自動扶梯上一層樓的時間為26秒．AC與鐵路AD相交于車站區(qū)在∠CADA20則B區(qū)距鐵路AC的距離為10千米．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于點D，BC＝8求AD的長．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16cm.又∵CD⊥AB于D，∴∠BDC＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DB 1 ＝4cm.＝2BC∴AD＝AB－DB＝12cm.中檔題在下列三角形中：①三邊都相等的三角形；②有一個角是60(點處各取1)(D)A．①②③ B．①②④C．①③ D．①②③④，C落在斜邊AB上的點E已知CD＝1，∠B＝30°，則BD的長是(B)A．1 B．2 C. 3 D．2 3P在∠AOB，P1POB，P2POA三點所第13頁共175頁構(gòu)成的三角形是(D)A．直角三角形 角三角形C．等腰三角形 邊三角形POA上，OP＝12，OB上，PM＝PN.OM＝(C)A．3 B．4 C．5 D．6，△ABC，D，E，F(xiàn)AB，BC，CAAD＝BE＝CF，則△DEF的形狀是等邊三角形．在△ABC中BC分別是連接DE，DF.求證：△AED是等邊三角形；AB＝2，則四邊形AEDF4．證明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC.∴∠BAD＝60°.∴AD 1＝2AB.∵點E為AB，∴AE 1＝2AB.∴AE＝AD.∴△ADE是等邊三角形．綜合題在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，連接AC.1，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD求證：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等邊三角形；第14頁共175頁若點E在BCCD上是否存在點使△AEF(2備用解：(1)證明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等邊三角形，∴∠B＝∠ACF＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等邊三角形．(2)存在．證明：在CD延長線上取點BC延長線上取點E，使CF＝BE，連接AE，EF，AF.與(1)可證△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.∴∠BAC＝∠EAF＝60°.∴△AEF是等邊三角形．(注：若在CD延長線上取點F，使CE＝DF也可)小專題一) 等腰三角形中常見的數(shù)學思想類型1 方程思想在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，的度數(shù)．解：設(shè)∠A＝x°，∵BC＝BD＝ED＝EA，∴∠ADE＝∠A＝x°.∴∠DEA＝∠DBE＝2x°.∴∠BDC＝∠C＝3x°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3x°.在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，即x＋3x＋3x＝180.∴x 180＝7.180°∴∠A為7 .類型2 分類討論思想Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB，則符合條件在點P共有(B)A．7個 B．6個 個 D．4個第15頁共175頁若實數(shù)x，y滿足|x－5|＋y－10＝0，則以x，y25．點A是BO，OA＝10動點P從點A出發(fā)沿AB2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動．如果點P，Q同時出用t(s)表示移動的時，當t 1010s時，△POQ是等腰三角形．

＝3或O為等邊△ABDBD，AB＝4，E，F(xiàn)AB，DA且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的長．解：當F點在線段DA1，作OM∥ABAD∵O為等邊△ABD的邊BD的中點，∴OB＝2，∠D＝∠ABD＝60°.∴△ODM為等邊三角形．∴OM＝MD＝2，∠OMD＝60°.∴FM＝FA＋AM＝3，∠FMO＝∠BOM＝120°.∵∠EOF＝120°，∴∠BOE＝∠FOM.而∠EBO＝180°－∠ABD＝120°，∴△OMF≌△OBE(ASA)．∴BE＝MF＝3.當F點在線段AD上時，如圖2，則類型3 整體思想ABC中A，點，，F(xiàn)分別在B，AAC上．第16頁共175頁11，若BE＝BD，CD＝CF，則∠EDF＝90°－2α；2，若BD＝DE，DC＝DF，則∠EDF＝180°－2α；如圖3，若BD＝CF，CD＝BE，AB＝AC，則∠EDF 1(180°－α)；＝2如圖4，若DE⊥AB，DF⊥BC，AB＝AC，則∠EDF 1(180°－α)．＝2基礎(chǔ)題知識點1 直角三角形的性質(zhì)及其判定

1．2 直角三角形第1課時勾股定理及其逆定理在一個直角三角形有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數(shù)A．120° B．90°C．60° D．30°A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶53．(2017·安徽)直角三角板和直尺如圖放置．若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為(C)A．60° B．50° C．40° D．30°知識點2 勾股定理及其逆定理4．(2017·西安期下列各組數(shù)，以它們?yōu)檫呴L的線段能構(gòu)成直角三角形的A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，2點D在△ABC的邊AC將△ABC沿BD點A恰好與點C重合．若則BD的長為(D)A．1 B．2 C．3 D．46．(2017·阿壩)直角三角形斜邊長是5，一直角邊的長是3，則此直角三角形的面積為6．7．(2017·成都)如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是5－1．在四邊形ABCD，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四邊形ABCD的面積．解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝AD2－CD2＝132－122＝5.第17頁共175頁又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.∴∠B＝90°.SS∴ SS四邊形ABCD

＋S△ABCS

△ACD1 1＝2AB·BC＋2AC·CD1 1＝2×3×4＋2×5×12＝6＋30＝36.知識點3 命題逆命題與定理逆定理)，)①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②如果兩個角是直角，那么它們相等；③如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等；④如果三角形的三邊長a，b，c(c為最長邊)滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．，并判斷它們是真命題還是假命題．，同位角相等；a，b，那么a＋b解：(1)，兩直線平行．真命題．(2)如果a＋b是偶數(shù)，那么a是偶數(shù)，b是偶數(shù)．假命題．中檔題已知下列命題：①若a＋b＝0，則|a|＝|b|；②等邊三角形的三個內(nèi)角都相等；③底角相等的兩個等腰三角形全等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是(A)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個如正方形網(wǎng)格中的若小方格邊長為1，則△ABC的形狀A(yù)．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．以上答案都不對13．(2017·)和△A′B′CA′A點C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長為(A)A．3 3 B．6C．3 2 D. 2114．(2017·)在△ABC，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足為D，CD＝1，則AB(D)第18頁共175頁A．2 B．2 3 C. 3 1 D. 3＋13＋在△ABC中，AB＝10，AC＝2 10，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等(C)A．10 B．8C．6或10 D．8或1018244cm的點B2cm與蜂蜜相對的點A，則螞蟻從外壁A處到達內(nèi)壁B20cm.17．(2016·益陽)如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程．解：在△ABC中BD＝x，則CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.1 1∴SAB＝2BC·A2×1412＝84.綜合題，根據(jù)你，請寫出：a＝19，則b，c的值是多少？a＝2n＋1，的值．你能證明所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？解：(1)a＝19，設(shè)b＝k，c＝k＋1，觀察有如下規(guī)律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.故b＝180，c＝181.(2)a＝2n＋1，b＝k，則c＝k＋1，根據(jù)勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.證明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴a2＋b2＝c2.∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.第2課時直角三角形全等的判定基礎(chǔ)題知識點1 用HL判定直角三角形全等第19頁共175頁P是∠BAC于點于點的理由是(A)A．HL B．ASAAS D．SAS如已知AD是△ABC的邊BC上的，下列能使的條件A．AB＝AC B．∠BAC＝90°D＝AC D．∠B＝45°A．40° B．50°C．60° D．75°D，A，El，AB＝AC，BD⊥lD，CE⊥lE，BD＝AE.BD＝3，CE＝5，則DE＝8．，AD⊥BE于點是BE，AB＝DE，求證：AB∥DE.證明：∵AD⊥BE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∵C是BE，∴BC＝EC.Rt△ABC和Rt△DEC中，AB＝DE，BC＝EC，∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．∴∠A＝∠D.∴AB∥DE.知識點2 用其他方法證明直角三角形全等6．(2017·平頂山市寶豐縣期中)下列條件不能判斷兩個直角三角形全等的是(C)第20頁共175頁A．兩條直角邊分別對應(yīng)相等B．C．兩個銳角對應(yīng)相等D．斜邊和一直角邊分別對應(yīng)相等，如：∠BAC＝∠ABD．(只需)Rt△ABCD在邊AB上D作AC于點E，CB的延長線于點求證：AB＝BF.∴∠F＋∠C＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.知識點3 HL在實際問題中的應(yīng)用CAB，小明和小紅兩人從C，D，E，DA⊥ABA，EB⊥ABB.此時小明到路段AB50米則小紅到路段AB的距離是多少米？解：∵DA⊥AB于A，EB⊥ABB，∴△ADC和△BEC為直角三角形．∵點C是路段AB的中點，∴AC＝BC.∵小明和小紅同時出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小紅到路段AB的距離是50米．中檔題已知在Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，則下列圖中的直角三角形與Rt△ABC(A)第21頁共175頁在△ABC，AB＝AC，BD⊥ACD，CE⊥ABE，BDCEO，AOBC于點F，則圖中全等的直角三角形有(D)A．3對 B．4對 C．5對 D．6對過正方形ABCD的頂點B作直線a，過點A，Ca，垂足分別為點AE＝1，CF＝3，則AB的長度為10．在Rt△ABC線段兩點分別在AC和過點A且垂直AC的射線AO，當AP＝510時，△ABC和△PQA全等．在△ABC，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)ABE在BC上且AE＝CF.(1)求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度數(shù)．解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.Rt△ABE和Rt△CBF中，AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°.第22頁共175頁∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.綜合題分別為線段ACDE⊥AC若交AC于點M.求證：AE＝CF，MB＝MD；當E，F(xiàn)2請說明理由．解：(1)證明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°.∠DEM＝∠BFM，在△DEM和△BFM中，∠DME＝∠BMF，DE＝BF，∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.(2)AE＝CF，MB＝MD仍然成立．證明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.∠DEM＝∠BFM，在△DEM和△BFM中，∠DME＝∠BMF，DE＝BF，∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.一、選擇題(432分)

周周練(1.1～1.2)(時間：45分鐘滿分：100分)在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，則∠A(C)第23頁共175頁A．70° B．55° C．50° D．40°若△ABC，A．∠A＝2∠B＝3∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A＝∠B＋∠CD．∠A＋∠B＝∠CA．a(chǎn)2＝b2，a＝bB．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．等腰三角形的兩個底角相等D．對頂角相等如，△ABC，AB＝AC，D是BC中，下列結(jié)論中不正確的A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．AD平分∠BAC D．AB＝2BD5．(2017·平頂山市寶豐縣期中)若等邊三角形的一條高為3，其邊長為(A)A．2 B．1 C．3 D．46．(2017·中P是BC，AP(D)A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．77．(2017·在△ABC，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊ABBE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有(D)A．2個 B．3個 C．4個 D．5個在Rt△ABE延長BE到使分別過點作兩線相交于點D，連接AD.若AB＝3，DC＝4，則AD(C)B．7 C．5 2 D．無法確定二、填空題(每小題4分，共24分)第24頁共175頁在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，(HL)”直接證明Rt△ABC≌Rt△DFE，則還需補充條件答案不唯一，如：BC＝FE．在證明命題“一個三角形中至少有一個內(nèi)角不大于6060°，180°，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾．在△ABC中已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，則CE＝3．3，坡面線段距離AB5，7米．，△ABC和△DCE4B，C，EBD，BD的長為4 3．，點A，B的坐標分別為A(3，0)，B(8，0)，若點Py軸上，且△PAB，則點P的坐標為(0，4)或(0，－4)．三、解答題(共44分)15．(8分)(2017·，在△ABC和△DCB，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，ACBD相交于點O.求證：△ABC≌△DCB；△OBC是何種三角形？證明你的結(jié)論．解：(1)證明：∵在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DCB都為直角三角形．AC＝DB，Rt△ABC和Rt△DCB中，BC＝CB，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．(2)△OBC是等腰三角形．證明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.∴△OBC是等腰三角形．16．(10分)(2017·)，∠A＝∠B，AE＝BE，點DAC，∠1＝∠2，AE和BD相交于點O.(1)求證：△AEC≌△BED；第25頁共175頁(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度數(shù)．解：(1)和BD相交于點O，∴∠AOD＝∠BOE.∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.∴∠1＝∠BEO.∴∠1＋∠AED＝∠BEO＋∠AED，即∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(ASA)．(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°.∴∠BDE＝∠C＝69°.17．(12分，A，B，C，D(B，C外，公共已知各城鎮(zhèn)間公共汽車票價如下：為了B，C間的交通方便，打算在B，C之間建一條筆直公路，請按上述標準預(yù)算出B，C之間的公共汽車票價．解：AD為16，AB為20，BD為12，∵122＋162＝202，∴∠ADB＝90°.∵AC＝25，AD＝16，CD＝9，即AC＝AD＋DC，∴A，D，C，又∵BD＝12，DC＝9，∴BC＝122＋92＝15.故B，C之間的公共汽車票價為15元．18．(14分)在等邊△ABC，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點OD∥AB，OE∥AC.(1)求證：△ODE是等邊三角形；線段BD，DE，EC三者有什么數(shù)量關(guān)系？寫出你的判斷過程；，)第26頁共175頁解：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等邊三角形．BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠OBD＝∠BOD.∴DB＝DO.同理，EC＝EO.由(1)知，△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.，如：①連接AO，并延長交BC于點求證：△ABF是直角三角形；②若等邊△ABC1，求BC邊上的高．第27頁共175頁基礎(chǔ)題

1.3 線段的垂直平分線第1課時線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理知識點1 線段的垂直平分線的性質(zhì)直線CD是線段AB，P為直線CD，已知線段cm，則線段PB的長為(D)cm B．5cmC．4cm D．3cm，AB是CD若AC＝2.3cm，BD＝1.6cm，則四邊形ACBD(B)A．3.9cm B．7.8cmC．4cm D．4.6cm在四邊形ABCD，AC垂直平分垂足為E，(C)A．AB＝AD B．AC平分∠BCDC．AB＝BD D．△BEC≌△DEC4．(2017·西安期如圖所，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A＝50°，則∠BDC＝(B)A．50° B．100°C．120° D．130°在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，則CE6．Rt△ABC，∠C＝90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點E，垂足為D.求證：∠CAB＝∠AED.證明：∵DE是AB，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.第28頁共175頁又∵∠AED＋∠EAB＝90°，∴∠CAB＝∠AED.知識點2 線段的垂直平分線的判定A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CDD．CD平分∠ACB，D是△ABC的邊BCBD＝BC＋AC，則點C在線段AD的垂直平分線上．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABCACD.DAB上．證明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD 1 ABC＝30°.＝2∠∴∠A＝∠ABD.∴DA＝DB.∴點D在AB的垂直平分線上．中檔題平面直角坐標系已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四個點，在線段AB的垂直平分線上的點A．(0，2) B．(－3，1)C．(1，2) D．(1，0)PEABEA＝EBPE是線段AB的垂直平分線；③若EA＝EB，則直線EP是線段AB的垂直平分線；④若PAB的垂直(C)A．1個 B．2個C．3個 D．4個在Rt△ABC分別以

1為圓心，大于2AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，連與AC，BC分別交于點D，E，連接AE，(1)∠ADE＝90°；(2)AE＝EC；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)當AB＝3，AC＝5時，△ABE的周長＝7．第29頁共175頁于點BC的平分線交AD于點OC.若∠AOC＝125°，則∠ABC＝70°．Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BCD，ABADB點的對應(yīng)點E正好在AC的垂直平分線上，則∠C＝30°．15．(2017·朝陽市建平縣期中)如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE

7的長為6．在△ABCBC是BD垂直平分線與AB交AC于E在AF的垂直平分線上．是BD，∴EB＝ED.∴∠B＝∠D.又∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∵∠B＝∠D，∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴點E在AF的垂直平分線上．綜合題在△ABC的垂直平分線交AB于點BC求∠NMB的大??；如果將(1)70°，，再求∠NMB的大??；你發(fā)現(xiàn)了什么樣的規(guī)律？試證明；將(1)，對這個問題的規(guī)律性認識是否需要修改．第30頁共175頁解：(1)∵∠B 1 °－∠A)＝70°，＝2(180∴∠NMB＝90°－∠B＝20°.(2)同理得∠NMB＝35°.發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是1 A.＝2∠證明：設(shè)則有1 °－α)．＝2(1801 1∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－2(180°－α)＝2α1＝2∠A.∠A改為鈍角，∠NMB 1 A這個規(guī)律仍成立．上述規(guī)律為：等腰三角形一腰上的垂直平分線與底邊或底邊＝2∠的延長線相交，所成的銳角等于頂角的一半．第2課時三角形三邊的垂直平分線基礎(chǔ)題知識點1 三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)1．三角形紙片ABC上有一點P，量得cm，PB＝3cm，則點P一(D)A．是邊AB的中點 B．在邊AB的中線上C．在邊AB的高上 D．在邊AB的垂直平分線上2．(2017·鄭州期末)在三角形的內(nèi)部，有一個點到三角形三個頂點的距離相等，則這個點一定是三角形(C)A．三條中線的交點B．三條角平分線的交點C．三條邊的垂直平分線的交點D．三條高的交點如若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)A．20° B．40° C．50° D．60°△ABC中，AB，AC的垂直平分線相交于點P，那么P點必定在BC且，O為△ABC點O到頂點A5cm，則AO＋BO＋CO＝15_cm．在△ABC，∠B＝32°，∠C＝48°，ABAC的垂直平分線分別交BCD，E，BC＝6cm，請計算出∠DAE的周長．第31頁共175頁解：∵AB和AC的垂直平分線交BC于點D，E，∴BD＝AD，CE＝AE.∴∠DAB＝∠B＝32°，∠EAC＝∠C＝48°.∴∠ADE＝∠B＋∠DAB＝64°，∠AED＝∠C＋∠EAC＝96°.∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝20°，△ADE的周長為AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6cm.知識點2 作圖，能作(A)A．1條 B．2條C．3條 D．無數(shù)條(D)過點P作線段AB的中垂線在線段AB的延長線上取一點C，使AB＝AC過直線a和直線b外一點P作直線MN∥a∥b過點P作直線AB的垂線已知線段使且BC＝a，BC邊上的高AD＝h.張紅的作法是：①作線段BC＝a；②作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC相交于點D；③在直線MN上截取線段h；④連接AB，AC，則△ABC(C)A．① B．② C．③ D．④準備在某鎮(zhèn)新建一個醫(yī)療點P到該鎮(zhèn)A村所屬的村請你用尺規(guī)作圖的方法確定點P，保留作圖痕跡．求作：作一點P，使點P即為所求的點．中檔題到三點A，B，C(D)只有一個 B．有兩個 C．有三個或三個以上 D．有一個或沒有等腰三角形的底角為40°，兩腰的垂直平分線交于點P，則A．點P在三角形內(nèi)點P在三角形外第32頁共175頁點P在三角形底邊上點P的位置與三角形的邊長有關(guān)13．(2017·西安期中)如圖，已知點O為△ABC三邊垂直平分線的交點，∠BAC＝80°，則∠BOC＝160°.在△ABC中分別是在BC則∠EAM＝28°．，B，CA，這就需要A，B，C管道，，AD垂直BC于點D；在，OA＝OB＝OC.，已知△ABC恰好是一個邊長為a，，你認為最好的鋪設(shè)方案是方案③．已知線段a，b，使高為a，腰長為b(a＜b，解：作法：(1)作線段AD＝a；過點D作直線MN⊥AD于點D；以點A，bMN于B，C兩點連接AB，AC，△ABC，如圖所示．在△ABC，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB兩點，DM與EN相交于點F.(1)若△CMN15AB的長；(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．解：(1)∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN.∴△CMN的周長＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周長為15cm，∴AB＝15cm.(2)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.第33頁共175頁∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°.∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.綜合題ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，BC，CD使△AMN周長最小，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為(B)A．130° B．120° D．100°A關(guān)于BC和CDBC于點CD于點A′A″周長的最小值．基礎(chǔ)題知識點1 角平分線的性質(zhì)

1．4 角平分線第1課時角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理1．(2017·臺州)如圖，點P是∠AOB平分線OC上一點，PD⊥OB，垂足為D.若PD＝2，則點P到邊OA的距離是(A)A．2 B．3 C. 3 D．42．，OP是∠MONE，F(xiàn)，G分別在射線OM，ON，OP，則可以解釋定理“角平分線(D)3．(2016·懷化如，OP為∠AOB的平分，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是則下列結(jié)論錯誤的(B)A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD，∠AOC＝∠BOC，POC，PD⊥OAD，PE⊥OBE.OD＝8，OP＝10，PE的長為(B)A．5 B．6 C．7 D．8第34頁共175頁，OP于點A，點Q是射線OM上的一個動點．若PQ(B)A．1 B．2 C．3 D．46．(2017·在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD＝5，AC＝4，則D點到AB3．Rt△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)DE的長；(2)求△ADB的面積．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD.又∵CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.∴S ＝1 1

10×3＝15.△ADB(或S

2AB·DE＝2×＝1 1

(8－3)×6＝15.)△ADB

2BD·AC＝2×知識點2 角平分線的判定，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5cm，DE＝5cm，∠ACD＝30°，則∠DCE為(A)A．30° B．40° C．50° D．60°，P是∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為點求證：(1)PE＝PF；(2)點P在∠BAC的平分線上．第35頁共175頁證明：(1)連接AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°.又∵AE＝AF，AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)．∴PE＝PF.(2)∵PE＝PF，且PE⊥AB，PF⊥AC，∴點P在∠BAC的平分線上．中檔題，∠AOB到∠AOB(A)A．M點 B．N點 點 D．Q點在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于點D.如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于(C)3cm B．2cm C．3cm D．4cm12．(2017·)，△ABC中，AB＝AC，AD，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足，上任一點到上任一點到(D)A．僅①② B．僅③④C．僅①②③ D．①②③④13．(2017·)，P是∠AOB垂足為D，PC∥OBOAC.若∠AOB＝30°，PD＝2cm，則PC＝4cm.四邊形ABCD中為BCAM平分∠ADC.(1)求證：AM⊥DM；(2)BC＝8，求點M到AD的距離．第36頁共175頁解：(1)證明：∵AM平分∠BAD，OM平分∠ADC，∴∠MAD＝1∠BAD，∠ADM 1

ADC.2∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.

＝2∠∴∠MAD＋∠ADM 1∠BAD＋∠ADC)＝90°.＝2(又∵∠AMD＋∠MAD＋∠ADM＝180°，∴∠AMD＝90°.∴AM⊥DM.(2)過M作MN⊥AD于點N.∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝90°.即BM⊥AB，MC⊥DC.又∵AM，DM分別平分∠BAD，∠ADC，∴BM＝MN，MN＝MC.∴MN 1 ＝4.＝2BC∴M到AD4.，銳角△ABC的兩條高BD，CE相交于點(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．解：(1)證明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.又∵∠EOB＝∠DOC，∴∠ABD＝∠ACE.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．(2)點O在∠BAC的平分線上．理由：∵∠BOE＝∠COD，∠BOE＋∠EBO＝90°，∠COD＋∠DCO＝90°，∴∠EBO＝∠DCO.又∵∠BEO＝∠CDO＝90°，OB＝OC，∴△BOE≌△COD(AAS)．∴OE＝OD.第37頁共175頁又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴點O在∠BAC的平分線上．綜合題16．(2017·西安交大二附中期中)如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分線，AC＝6，若點P是AD且作PN⊥AC于點則PN＋PC

3 2．的最小值是2第2課時三角形三個內(nèi)角的平分線基礎(chǔ)題知識點三角形的角平分線的性質(zhì)1．(2017·西安交大二附中期)與三角形三邊距離相等的，是這個三角形A．三條中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高的交點 D．三邊的垂直平分線的交點，△ABC的三邊AB，BC，CA20，30，40，SS S S S △ABO △BCO △CAOA．1∶1∶1 B．1∶2∶3C．2∶3∶4 D．3∶4∶53．(2017·鄭州月考)如圖所示是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，(C)△ABC三條中線的交點△ABC三邊的中垂線的交點△ABC三條角平分線的交點△ABC三條高所在直線的交點點O在△ABC內(nèi)，60°.中檔題在△ABC中分別是∠ABC和∠ACB且相交于點則下列說法錯誤的是(D)A．BF＝CF B．點F到∠BAC兩邊的距離相等C．CE＝BD D．點F到點A，B，C三點的距離相第38頁共175頁6．(2017·平頂山市寶豐縣期中)如圖，直線l，l′，l″表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計劃建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有(D)A．一處 B．二處 C．三處 D．四處如在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求證：∠BPC＝90 1 BAC.°＋2∠證明：∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，∴點P是△ABC三個內(nèi)角平分線的交點．∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC.∴∠PCB＝1∠ACB，∠PBC 1

ABC.2 ＝2∠∴∠BPC＝180°－∠PCB－∠PBC＝180 1 ACB 1 ABC°－2∠ －2∠＝180 1∠ACB＋∠ABC)°－2(＝180 1 °－∠BAC)°－2(180＝90 1 BAC.°＋2∠綜合題Rt△ABC，∠C＝90°，BD是Rt△ABC，點O，E，F(xiàn)BD，BC，AC，且四邊形OECF是正方形．求證：點O在∠BAC的平分線上；AC＝5，BC＝12，OE的長．解：(1)證明：過點O作OM⊥AB于點M.∵四邊形OECF為正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于點E，OF⊥AC于點F.∵BD是∠ABC的平分線，∴OE＝OM.∴OM＝OF.第39頁共175頁∴AO即點O在∠BAC的平分線上．(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13.易證：BE＝BM，AM＝AF.∵BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，且CE＝CF＝OE，∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.∵BM＋AM＝AB，即BE＋AF＝13，∴12－OE＋5－OE＝13.解得OE＝2.章末復(fù)習一) 三角形的證明基礎(chǔ)題知識點1 三角形全等1．，△ABC≌△BAD，A和B，CD是對應(yīng)頂點．如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于(A)A．4 B．6C．5 D．無法確定2．(2017·)B，F(xiàn)，C，EFB＝CE，AC∥DF，∠D(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEF.知識點2 等腰三角形3．(2016·赤峰等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角分別A．30°，60° B．45°，45°C．45°，90° D．20°，70°在△ABC中，AB＝AC，DBC，∠BAD＝35°，則∠C55°．，△ABC，BDE在BCCE＝1，∠E＝30°，DC＝1．知識點3 直角三角形，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D，∠C＝55°，則∠ABC(D)A．35° B．55° C．60° D．70°第40頁共175頁如在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，點D在BC，∠ADC＝2∠B，AD＝5，則BC的長(D)A. 3－1 B. 3＋1C. 5－1 D. 5＋1BCDABC，且BEBCCBEH知識點4 線段的垂直平分線和角平分線Rt△ABC的垂直平分線交BC于點AD，則△ACD(A)A．7 B．8 C．9 D．10在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD是△ABCCD＝2，則△ABD8．在△ABC中，BD是∠ABC，EFBD.求證：∠ABD＝∠BDF.證明：∵EF垂直平分BD，∴FB＝FD.∴∠FBD＝∠BDF.∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD.∴∠ABD＝∠BDF.中檔題在△ABC，∠B＝∠C，與△ABC那么在△ABC100的角是(A)A．∠A B．∠BC．∠C D．∠B或∠C在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有段是(B)第41頁共175頁A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．AB，CD，GH14．(2016·)在△ABC為BC與∠ACE的平分線相交于點D，(A)A．15° B．17.5°C．20° D．22.5°在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，DBCB，C)AD的長為正整數(shù)，則點D(C)A．5個 B．4個C．3個 D．2個如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠CBD＝30°，∠BCD＝45°.若AB＝2 2，則四邊ABCD的面積為6＋2 3．在四邊形ABCD為CD連接延長AE交BC的延長線于求證：FC＝AD；證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵E是CD的中點，∴DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE(ASA)．∴FC＝AD.∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，AD＝FC.又∵BE⊥AE，第42頁共175頁∴BE是線段AF的垂直平分線．∴AB＝BF＝BC＋FC.∵AD＝FC，∴AB＝BC＋AD.綜合題在△ABC，AD且BD＝CD，DE⊥AB于點E，DF⊥ACF.(1)求證：AB＝AC；(2)若DC＝4，∠DAC＝30°，求AD的長．解：(1)證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝8，AD＝AC2－DC2＝82－42＝4 3.第43頁共175頁北師大版八年級下冊數(shù)學第二章一元一次不等式與一元一次不等式組同步課時練習題2．1 不等關(guān)系基礎(chǔ)題知識點1 不等式的意義1．(2017·453045x輛30座y輛，則不等式“45x＋30y≥500(A)500人B．500人C．兩種客車總的載客量不足500人D．5002．有下列數(shù)學表達式：①3<0；②4x＋5>0；③x＝3；④x2＋x；⑤x≠－4；⑥x＋2>x＋1.其中是不等式的有4個．知識點2 列不等式某電梯標明“載客不超過13人”，若載客人數(shù)為x，x為自然則“載客不超過13人”用不等式表示A．x＜13 B．x＞13C．x≤13 D．x≥1313.52表示汽車的寬度滿足的關(guān)系為l≤3．用適當符號表示下列關(guān)系：x解：|x|≥0.

限制高度 限制寬圖1 圖2a3倍與

1的5的和不大于3；解：3a 1≤3.＋5bx175解：x＋17<5x.中檔題小新買了一罐八寶看到外包裝標明：凈含量為330±10g，那么這罐八寶粥的凈含量x的范圍A．320＜x＜340 B．320≤x＜340C．320＜x≤340 D．320≤x≤340102”可表示為10”可表1示為x＞10；④“a，b兩數(shù)的平方和為正數(shù)”可表示為a2＋b2＞0.其中正確的個數(shù)是(C)B．2C．3 D．4點A點B點C在線段AB點C表示的數(shù)為a≤2．20道題10，590分設(shè)她答對了n道題，則根據(jù)題意可列不等式為10n－5(20－n)＞90．第44頁共175頁綜合題請設(shè)計不同的實際背景來表示下列不等式：(1)x>y；(2)2.0≤x≤2.6；(3)3a＋4b≤560.解：答案不唯一，如：八年級(1)其中男生x，女生y人．某班級男生立定跳遠成績x2.02.6米之間．34560元其中長褲單價a元上衣單價b元．不等式的基本性質(zhì)基礎(chǔ)題知識點1 不等式的基本性質(zhì)1．若a<b，(B)A．－3a<－3b B．a(chǎn)－3<b－3C．a(chǎn)＋c>b＋c D．2a>2b2．(2017·成都期末)若x>y，則下列式子中錯誤的是(D)A．x－3>y－3

xyB.3>3C．x＋3>y＋3 D．－3x>－3y3．(2017·株洲已知實數(shù)a，b滿足a＋1＞b＋1，則下列選項錯誤的A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＋2＞b＋2C．－a＜－b D．2a＞3b(C)A．a(chǎn)＋c＞b＋c，ac2＞bc2ac2＞bc2，a＞b由不等式a＞b得到am＜bm的條件是m＜0.6．已知m＜n，下列關(guān)于m，n的命題：①6m＞6n；②－3m＜－3n；③m－5＜n－5；④2m＋5＞2n＋5.其中正確命題的序號是③．7．小燕子竟然推導出了0＞5，兩邊都乘5，得5x＞5y.①兩邊都減去5x，得0＞5y－5x.②即0＞5(y－x)．③兩邊都除以(y－x)，得0＞5.④解：錯在第④步．∵x＞y，∴y－x＜0.不等式兩邊同時除以負數(shù)(y－x)，不等號應(yīng)改變方向才能成立．知識點2 將不等式化“x＞a”或“x＜a”的形式8．(2017·太原期中)下列不等式的變形過程中，正確的是(D)A．不等式－2x＞4的兩邊同時除以－2，得x＞2B．1－x＞31，得x＞2C．不等式4x－2＜3－x移項，得4x＋x＜3－2x xD．不等式3＜1－2去分母，得2x＜6－3x“x>a”或“x<a”的形式．(1)x－5<1； 解：x<6. 解：x>－2.第45頁共175頁1(3)2x>－3; (4)－5x<－2.解：x>－6. 解：2x>5.中檔題若點P(x－2，y－2)在第二象則x與y的關(guān)系正確的A．x≥y B．x＞yC．x≤y D．x＜y(C)A．■●▲ B．▲■●C．■▲● D．●▲■若實數(shù)a，b，c，(B)A．a(chǎn)－c＞b－c B．a(chǎn)＋c＜b＋cb C．a(chǎn)c＞bc D.a＜b 已知y＜1，則x的取值范圍是x＜4．下列變形是怎樣得到的？(1)由x＞y 1－3

1－3；，得2x解：兩邊都除以2

＞2y1 1，得2x＞2y.3

1－3 1－3.2x ＞2y(2)由x＞y 1 －3) 1 －3)；，2(x ＞2(y解：兩邊都減去3，得x－3＞y－3.2

1 －3) 1 －3)．2(x ＞2(y(3)x＞y，得－x＜－y.3，3－x＜3－y.兩邊都乘2，得2(3－x)＜2(3－y)．第46頁共175頁，再解題．已知a＞b，試比較－2018a＋1與－2018b＋1的大?。猓阂驗閍＞b，①所以－2018a＞－2018b.②故－2018a＋1＞－2018b＋1.③問：(1)上述解題過程中，從第②步開始出現(xiàn)錯誤；錯誤的原因是什么？請寫出正確的解題過程．解：(2)錯誤地運用了不等式的基本性質(zhì)3，即不等式兩邊都乘同一個負數(shù)，不等號的方向沒有改變．(3)因為a＞b，所以－2018a＜－2018b.故－2018a＋1＜－2018b＋1.綜合題比較大?。?1)如果a－1>b＋2，那么a>b；(2)試比較2a與3a的大?。孩佼攁>0時，2a<3a；②當a＝0時，2a＝3a；③當a<0時，2a>3a；試比較a＋ba的大?。辉嚺袛鄕2－3x＋1與－3x＋1解：(3)b>0，a＋b>a；當b＝0時，a＋b＝a；當b<0時，a＋b<a.(4)∵x2≥0，∴x2－3x＋1≥－3x＋1.不等式的解集基礎(chǔ)題知識點1 不等式的解和解集5x≥2x＋9(D)A．5 B．4 C．3 D．2，(C)不等式x＜2的正整數(shù)解只有一個－2的一個解不等式－3x＞9的解集是x＞－3不等式x＜10的整數(shù)解有無數(shù)個3．(2016·安徽不等式x－2≥1的解集是知識點2 用數(shù)軸表示不等式的解集，(C)A．x＞－2 B．x＜－2C．x≥－2 D．x≤－2在數(shù)軸上表示不等式x－1＜0，(B)第47頁共175頁將下列不等式的解集分別表示在數(shù)軸上：(1)x≤2；解：如圖所示：(2)x>－2.解：如圖所示：中檔題7．(2017·太原期末)若一個不等式的正整數(shù)解為1，2，則該不等式的解集在數(shù)軸上的表示可能是(D)如果關(guān)于x的不等式，(C)A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＜0C．a(chǎn)＝－2 D．a(chǎn)＝29．(2017·西安期中)若關(guān)于x的不等式(a＋1)x＞a＋1的解集為x＞1，則a的取值范圍是a＞－1．2x≥－9有多少個負整數(shù)解？請全部寫出來．解：由題得x 9≥－2，所以不等式有4個負整數(shù)解：－1，－2，－3，－4.綜合題小華在解不等式x＞2x－1于是他有理有據(jù)地說：“如果那么x>2x，而x>2x－1的解集是x<0.解：小華前面說明負數(shù)是不等式x＞2x－1的解是對，但結(jié)論不對．因為解集包含所有的，如x 1 x2＞2x－1的解，但1＞0，所以x<0不是x>2x－1的解集．2

＝2是不等式第48頁共175頁基礎(chǔ)題知識點1 一元一次不等式的概念

一元一次不等式第1課時一元一次不等式的解法1．(2017·西安月考)下列不等式中是一元一次不等式的是(D)1A.2x－y＜1 B．x2＋5x－1≥0C．x＋y2＞3 D．2x＜4－3x21x2－8＞5是關(guān)于x，則m的值為(B)2A．0 B．1 C．2 D．3寫出一個解集為x＞1x＋2＞3．知識點2 一元一次不等式的解法2x－6＞0(C)A．x＞1 B．x＜－3C．x＞3 D．x＜35．(2017·眉山不等式1

(A)A．x 1

＞2的解集是B．x＜－1C．x

＜－41

D．x＞－1＞－46．不等式3x≤2(x－1)的解集(C)A．x≤－1 C．x≤－2 D．x≥－22＋x2x－17．下列不等式3 > 5 的變形過程：①去分得5(2＋x)>3(2x－1)；②去括得10＋5x>6x－3；③移，得5x－6x>－3－10；④系數(shù)化為1，得x>13.其中錯誤的步驟是(D)A．① B．② C．③ D．④8．(2017·成都月考)不等式3x＋2＜2x＋3的解集在數(shù)軸上表示正確的是(D)x－29．不等式3 ＞1的解集是x＞5．10．(2017·西安期末)不等式3x－1≤2(x＋2)的最大整數(shù)解是5．11．解下列不等式，并將解集在數(shù)軸上表示出來．(1)2(x＋3)－4>0；解：去括號，得2x＋6－4＞0.合并同類項，得2x＋2＞0.移項，得2x＞－2.1，得x＞－1.這個不等式的解集在數(shù)軸上表示為：第49頁共175頁1＋x(2) 3 ＜x－1.解：去分母，得1＋x＜3x－3.移項x－3x＜－3－1.，1，得x＞2.將解集在數(shù)軸上表示為：中檔題12．(2017·遵義)不等式6－4x≥3x－8的非負整數(shù)解為(B)A．2個 B．3個 C．4個 D．5個a a b 1 閱讀理解：我們把 稱作二階行列式，規(guī)定它的運算法則為 ＝ad－bc，例如 ＝1×4－2×3c d＝－2.2 則(A)

c d 2 41 x A．x＞1 B．x＜－1C．x＞3 D．x＜－3k

11 2 5k－1≥9時代數(shù)3(k－1)的值不小于代數(shù)式1－6 的值．并把它們的解集分別表示在數(shù)軸上：3x－1(1)2x－1＞2 ；解：去分母，得4x－2＞3x－1.移項，得4x－3x＞2－1.合并同類項，得x＞1.將不等式的解集在數(shù)軸上表示為：1 2 1(2)2x－1≤3x－2；解：去分母，得3x－6≤4x－3.移項，得－x≤3.1，得x≥－3.這個不等式的解集在數(shù)軸上表示為：2x－1 3x＋2(3) 3 ≤4 －1.解：去分母，得4(2x－1)≤3(3x＋2)－12.得移項8x－9x≤4＋6－12.，得－x≤－2.1，得x≥2.第50頁共175頁16．(1)解不等式：5(x－2)＋8<6(x－1)＋7；(2)若(1)中的不等式的最小整數(shù)解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．解：(1)去括號，得5x－10＋8<6x－6＋7.1，得x>－3.(2)由(1)得，最小整數(shù)解為x＝－2，由題意，得2×(－2)－a×(－2)＝3，解得a 7＝2.綜合題17．請你與小明、小華一起研究：小明在學習時，遇到以下兩題，被難住了，于是就和小華一起研究起來．不等式a(x－1)>x＋1－2a的解集是x<－1，請確定a的值；4x－3a>－12(x－1)＋3>5請確定a解：(1)不等式a(x－1)>x＋1－2a(a－1)x>1－a.∵原不等式的解集為x<－1，∴a－1<0，即a<1.(2)解不等式2(x－1)＋3>5，得x>2.3a－1解不等式4x－3a>－1，得x> 4 .∵兩個不等式的解集相同，3a－1∴4 ＝2.解得a＝3.第2課時一元一次不等式的應(yīng)用基礎(chǔ)題知識點一元一次不等式的應(yīng)用45，30，直到他至少有300元．設(shè)x月后他至少有300元則符合題意的不等式A．30x－45≥300 B．30x＋45≥300C．30x－45≤300