題型二次函數(shù)壓軸題課件

二、解答題重難點(diǎn)突破第二部分題型研究目錄題型七二次函數(shù)壓軸題

類型一線段問題

類型二面積問題

類型三圖形判定問題

拓展類型三角形相似問題二、解答題重難點(diǎn)突破第二部分題型研究目題型七1類型一

線段問題類型一線段問題2典例精講例1如圖，拋物線y=ax2+bx+8(a≠0)與直線y=x+4相交于A（-4,0），C（1,m）兩點(diǎn)，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），直線y=x+4交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是線段AC上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交直線y=x+4于點(diǎn)F，作PE⊥AC于點(diǎn)E.（1）求拋物線的解析式；典例精講例1如圖，拋物線y=ax2+bx+8(a3例1題圖【思路點(diǎn)撥】將C（1,m）代入y=x+4中，求得m的值即可知C點(diǎn)坐標(biāo).二次函數(shù)y=ax2+bx+8(a≠0)含有兩個(gè)未知數(shù)，將點(diǎn)A，C坐標(biāo)代入得到關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組可求得a，b的值，即可知拋物線的解析式.例1題圖【思路點(diǎn)撥】將C（1,m）代入y=x+4中，求得m的4解：（1）把C（1,m）代入y=x+4得，m=1+4=5，則C（1,5）.把A（-4,0），C（1,5）代入y=ax2+bx+8(a≠0)得16a-4b+8=0 a=-1a+b+8=5 b=-2則拋物線的解析式為y=-x2-2x+8.，，解得例1題圖，解：（1）把C（1,m）代入y=x+4得，，，解得5（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；【思路點(diǎn)撥】思路一：將(1)求得的二次函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式，即可寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；思路二：根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；6（2）解：方法一：拋物線的解析式：y=-x2-2x+8 =-(x+1)2+9，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,9），對(duì)稱軸為x=-1.方法二：

＝-1，=9，所以對(duì)稱軸是

x=-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,9）.（2）解：方法一：7（3)求出AC的長(zhǎng)；【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)C作x軸的垂線可構(gòu)造出直角三角形，AC是直角三角形的斜邊，根據(jù)A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別求出兩直角邊即可知AC長(zhǎng).

如解圖①過點(diǎn)C作CC′⊥x軸于C′，∵A（-4,0），C（1,5），∴AC′=4+1=5，CC′=5,∴AC=

=.例1題解圖①解：（3)求出AC的長(zhǎng)；如解圖①過點(diǎn)C作CC′8（4）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,請(qǐng)求出線段PE的長(zhǎng)度關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式； 由AC的解析式可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)OA,OD的長(zhǎng)度可知△OAD是等腰直角三角形，根據(jù)角度的關(guān)系可以判定△PEF也是等腰直角三角形，所以求出PF的長(zhǎng)度即可知PE的長(zhǎng)度.根據(jù)拋物線和直線AC的解析式可分別寫出P點(diǎn)和F點(diǎn)的坐標(biāo).由此可知PF的長(zhǎng)度，題目得解.【思路點(diǎn)撥】（4）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,請(qǐng)求出線段PE的長(zhǎng)度關(guān)于P點(diǎn)橫坐9∴PE=PF；∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（x,-x2-2x+8），點(diǎn)F坐標(biāo)為(x,x+4)，∴PF=-x2-2x+8-(x+4)=-x2-3x+4，即PF=-x2-3x+4（-4<x<1），∴PE=PF=（-4<x<1）.解：（4）直線AC交y軸于點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4），∴OA=OD=4.∴∠DAO=45°，由題意得，∠PGA=90°，∴∠PFE=∠AFG=45°，即△PEF為等腰直角三角形，∴PE=PF；解：（4）直線AC交y軸于點(diǎn)D，則10（5）當(dāng)x為何值時(shí)，線段PE有最大值，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；【思路點(diǎn)撥】思路一：將（4）得到的PE長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系式配方成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值即可；思路二：因?yàn)椤鱌EF是等腰直角三角形，所以當(dāng)PF最長(zhǎng)時(shí)，PE取得最大值.根據(jù)(4)中求得的解析式求PF的最大值，可知PE的最大值.注意：因P是線段AC上方拋物線上的點(diǎn)，所以求得最大值后，要檢驗(yàn)P是否符合要求.（5）當(dāng)x為何值時(shí)，線段PE有最大值，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；11∴當(dāng)

，PF最大

，此時(shí)PE最大∴當(dāng) 時(shí)，PE有最大值

；（5）解：方法一：方法二：∵PF=-x2-3x+4∴當(dāng)，PF最大12(6)當(dāng)x為何值時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)有最大值，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椤鱌EF是等腰直角三角形，所以PE或者PF取得最大值時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最大，根據(jù)（5）的計(jì)算結(jié)果，即可求出最大值.(6)當(dāng)x為何值時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)有最大值，請(qǐng)求出這個(gè)最大值13解：（6）在等腰直角三角形PEF中，PE=EF=PF,∴△PEF的周長(zhǎng)=PE+PF+EF=（+1）PF，由（5）知當(dāng)x=-時(shí)，PF取得最大值

，∴當(dāng)x=-時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最大為

(+1).解：（6）在等腰直角三角形PEF中，14(7)在（6）的條件下，求出P，F(xiàn)，G，E的坐標(biāo)；【思路點(diǎn)撥】由x=，可直接寫出G點(diǎn)坐標(biāo)，將x=分別代入直線AC和拋物線的解析式可求出點(diǎn)F，P的縱坐標(biāo)，則F,P點(diǎn)坐標(biāo)可求.過點(diǎn)E作EM⊥x軸，過點(diǎn)F作FM⊥y軸，兩線交于點(diǎn)M，可得等腰直角三角形EFM，在等腰直角三角形PEF中可求EF長(zhǎng)，從而可知FM，EM，再結(jié)合點(diǎn)F坐標(biāo)即可知E點(diǎn)坐標(biāo).(7)在（6）的條件下，求出P，F(xiàn)，G，E的坐標(biāo)；15（7）解：如解圖②，當(dāng)x=時(shí)，點(diǎn)G坐標(biāo)為（

，0）；點(diǎn)F坐標(biāo)為(,)；點(diǎn)P坐標(biāo)為(,)；過點(diǎn)E作EM⊥x軸，過點(diǎn)F作FM⊥y軸,兩線交于點(diǎn)M，由題意得，△EFM為等腰直角三角形，EF=PE=，則MF=ME=，∴xE= yE=∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(,)；例1題解圖②（7）解：如解圖②，當(dāng)x=時(shí)，點(diǎn)G坐標(biāo)為（16（8）若PF=3FG,求x的值；【思路點(diǎn)撥】由P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，可分別寫出點(diǎn)P,F,G點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可用x表示出PF和FG線段長(zhǎng)，根據(jù)關(guān)系式列方程即可求x值.注意檢驗(yàn)x值是否符合題意.

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則F（x，x+4），所以FG=x+4，由（4）知PF=-x2-3x+4，∵PF=3FG，∴-x=-3x+4=3（x+4），解得x=-2或-4.當(dāng)x=-4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不合題意，故x=-2.解：（8）若PF=3FG,求x的值；解：17(9)若點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，如果∠PAB≤∠DAO，請(qǐng)求出x的取值范圍；【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，結(jié)合圖象，判斷出分兩種情況討論，點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得解；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，求得y=x+4關(guān)于x軸對(duì)稱的解析式，聯(lián)立拋物線解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可得解.(9)若點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，如果∠PAB≤∠DAO，請(qǐng)求18解：（9）點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，如果∠PAB≤∠DAO，如解圖③，分兩種情況：①若點(diǎn)P在x軸上方,則點(diǎn)P在點(diǎn)C下方，B點(diǎn)上方時(shí)，∠PAB≤∠DAO,∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（1,5），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0），則1≤x≤2；②若點(diǎn)P在x軸下方,當(dāng)∠PAB=∠DAO時(shí)，設(shè)AP與拋物線交點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B下方，N點(diǎn)上方時(shí)，滿足∠PAB≤∠DAO,例1題解圖③

解：（9）點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，如果∠PAB≤∠DAO，如19③設(shè)直線AN交y軸于點(diǎn)H,∵∠PAB=∠DAO，則點(diǎn)H與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，點(diǎn)H坐標(biāo)為（0，-4），則直線AN的解析式為y=-x-4，聯(lián)立y=-x2-2x+8y=-x-4，得x1=3，x2=-4（與點(diǎn)A重合，舍去）則2≤x≤3；綜上所述，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，如果∠PAB≤∠DAO，則1≤x≤3；例1題解圖③

③設(shè)直線AN交y軸于點(diǎn)H,∵∠PAB=∠DAO，則點(diǎn)H與點(diǎn)D20（10）在（9）條件下，當(dāng)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為整數(shù)值時(shí)，點(diǎn)P為“好點(diǎn)”，請(qǐng)求出點(diǎn)P“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù).【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)圖象可知，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而減小，分別求出y的最大值和最小值，確定在此范圍內(nèi)y的整數(shù)值的個(gè)數(shù)即可.（10）在（9）條件下，當(dāng)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為整數(shù)值時(shí)，點(diǎn)P為“好21解：（10）由二次函數(shù)圖象可知，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=1時(shí)，y=-x2-2x+8=5；當(dāng)x=3時(shí)，y=-x2-2x+8=-7.即-7≤y≤5，共13個(gè)整數(shù)值，則點(diǎn)P“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為13個(gè).解：（10）由二次函數(shù)圖象可知，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨x的增大22類型二面積問題類型二面積問題23典例精講例2如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與直線AB相交于A（-3，0），B（0,3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線對(duì)稱軸為直線l，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.（1）求直線AB的解析式；例2題圖典例精講例2如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c24解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+d，將A（-3,0），B（0,3）代入得-3k+d=0 d=3∴直線AB的解析式為y=x+3.【思路點(diǎn)撥】利用待定系數(shù)法直接計(jì)算.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+d,分別將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到關(guān)于k，d的二元一次方程組，解方程組求得k，d的值即可知AB的解析式.解得，k=1d=3，解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+d，【思路點(diǎn)撥】利用25（2）求拋物線的解析式；【思路點(diǎn)撥】將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c即可得到b、c的值，從而得到拋物線解析式.

將點(diǎn)A（-3,0），點(diǎn)B（0,3）代入拋物線得：-9-3b+c=0c=3 b=-2c=3∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.解得，，解：（2）求拋物線的解析式；將點(diǎn)A（-3,0），26（3）求△ABC的面積和四邊形AOBD的面積；【思路點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線解析式可求出點(diǎn)C，D坐標(biāo).在△ABC中，可根據(jù)A,C點(diǎn)坐標(biāo)求出底邊AC長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出高OB的長(zhǎng)，即可求面積.對(duì)于四邊形AOBD，可分割成△AOB和△ABD分別進(jìn)行計(jì)算.Rt△AOB的面積可根據(jù)OA,OB長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算.在△ABD中，設(shè)對(duì)稱軸與AB的交點(diǎn)為D′，求出DD′的長(zhǎng)度即可求出△ABD的面積，從而四邊形AOBD的面積可求.（3）求△ABC的面積和四邊形AOBD的面積；27解：（3）由y=-x2-2x+3，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式得y=-(x+1)2+4，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-1,頂點(diǎn)D為（-1,4）；令y=0得-x2-2x+3=0，解得x1=-3,x2=1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）,∵點(diǎn)A（-3,0），點(diǎn)B（0,3），點(diǎn)C（1,0），∴AO=3，OC=1，OB=3，例

2題解圖①解：（3）由y=-x2-2x+3，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式得y=-(x28∵BO⊥AC，∴S△ABC=AC×BO=×（3+1）×3＝6；如解圖①，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與AB的交點(diǎn)為D′，將x=-1帶入y=x+3得y=2，∴D′（-1,2），∴DD′=2，∴S△ABD=×OA×DD′=3，∴S四邊形AOBD

=S△ABO+S△ABD

=×3×3+3=例

2題解圖①∵BO⊥AC，∴S△ABD=×OA×DD′=329（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)G，使得△GAE的面積與△BEC的面積相等，若存在，請(qǐng)寫出相應(yīng)的點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【思路點(diǎn)撥】在△BEC中，OB是EC邊上的高，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可求出EC和OB，從而可知△BEC的面積.在△GAE中，A,E點(diǎn)坐標(biāo)都可求出，當(dāng)以AE為底時(shí)，G點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值是△GAE的高，分G在x軸上方和x軸下方分別列方程求解即可.（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)G，使得△GAE的面積與△BEC的30例

2題解圖

②（4）解：如解圖②，當(dāng)G在x軸上方時(shí)，∵點(diǎn)G在拋物線上，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（g,-g2-2g+3），∵點(diǎn)G在x軸上方，∴-g2-2g+3＞0，過G作GG′⊥x軸于G′，S△AEG=

AE×GG′＝×2×（-g2-2g+3）∵S△BEC

=EC×OB=×2×3=3，∴·2·（-g2-2g+3）=3，解得g1=-2，g2=0,這樣的點(diǎn)G有兩個(gè)，坐標(biāo)為(-2,3)，(0,3).例2題解圖②（4）解：如解圖②，當(dāng)G在x軸上方時(shí)，31如解圖③，當(dāng)點(diǎn)G在x軸下方，-g2-2g+3＜0，則GG′=-（-g2-2g+3）=g2+2g-3，S△AEG=AE·GG′＝×2×（g2+2g-3）=3，解得g3=-1+，g4=-1-，∴這樣的點(diǎn)G也有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為(-1+,-3)，(-1-,-3).例

2題解圖

③如解圖③，當(dāng)點(diǎn)G在x軸下方，-g2-2g+3＜0，例2題32（5）在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得S△ABM

=S△ABC，若存在，請(qǐng)寫出相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；【思路點(diǎn)撥】由(3)已經(jīng)求得△ABC的面積，本題即轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)M使△ABM的面積為定值，解決方法同（4）.（5）在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得S△ABM=S△ABC33（5）解：(i)如解圖④，當(dāng)M在直線AB上方時(shí)，過點(diǎn)M做MM′⊥x軸于點(diǎn)M′，交AB于M″，設(shè)M（m,-m2-2m+3）,則M′(m，0),M″(m,m+3),∴MM″=-m2-3m，S△ABM

=×AO×MM″=m2

m,根據(jù)題意S△ABM

=S△ABC

=6，則

m2

m=6，即m2+3m+4=0，此時(shí)方程無解，則不存在在這樣的M；例

2題解圖

④（5）解：(i)如解圖④，當(dāng)M在直線AB上方時(shí)，過點(diǎn)M做M34解：（ii）當(dāng)點(diǎn)M在直線AB的下方，如解圖⑤，過點(diǎn)C作平行于AB的直線，則這條直線上任意一點(diǎn)與AB構(gòu)成的三角形面積與△ABC的面積相等，從而點(diǎn)M在這條直線上.例

2題解圖

⑤解：（ii）當(dāng)點(diǎn)M在直線AB的下方，如解圖⑤，例2題解圖35∵直線AB的解析式為y=x+3,設(shè)過點(diǎn)C且與AB平行的直線解析式為y=x+b1,將點(diǎn)C（1,0）代入得b1=-1,所得直線解析式為y=x-1, 此時(shí)存在兩個(gè)點(diǎn)M，其坐標(biāo)分別為（1,0），（-4，-5）. x1=1y1=0，解得 x2=-4y2=-5， y=-x2-2x+3y=x-1，與拋物線聯(lián)立得例

2題解圖

⑤∵直線AB的解析式為y=x+3,此時(shí)存在兩個(gè)點(diǎn)M，其坐標(biāo)分別36（6）在拋物線上是否存在一點(diǎn)H，使得S△ABH

=S四邊形AOBD，若存在，請(qǐng)寫出相應(yīng)的點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；【思路點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn)H（h,-h2-2h+3）,利用（5）的方法，使用h表示出S△ABH，而S四邊形AOBD在（3）中已經(jīng)求得，列出方程求解即可.（6）在拋物線上是否存在一點(diǎn)H，使得S△ABH=S四邊形A37解：(6)(i)當(dāng)H在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)H做HH′⊥x軸于點(diǎn)H′，交AB于點(diǎn)H″，設(shè)H（h,-h2-2h+3）,則H′(h，0),H″(h,h+3),∴HH″=-h2-3h，S△ABH

=×AO×HH″=h2

h.根據(jù)題意S△ABH

=S四邊形AOBD

=，則

即h2+3h+5=0，此時(shí)方程無解，則不存在這樣的H；例2

題解圖

⑥解：(6)(i)當(dāng)H在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)H做HH′⊥38（ii）當(dāng)H在x軸下方時(shí)，如解圖⑥，不妨設(shè)H在對(duì)稱軸的右側(cè)，HH′=h2+2h-3，AH′＝h+3,HH″＝（h+3）-(-h2-2h+3)=h2+3h,S△AHH″＝×HH″×AH′＝

（h2+3h）(h+3),S△BHH″＝×OH′×HH″＝

h(h2+3h),∴S△ABH=S△AHH″-S△BHH″

＝

（h2+3h）,當(dāng)S△ABH

=時(shí)，h2+3h-5=0,h=或

（舍去），∴H（ii）當(dāng)H在x軸下方時(shí)，如解圖⑥，不妨設(shè)H在39過點(diǎn)H作AB的平行線，則其與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)也滿足要求，設(shè)其解析式為y=x+b,將H代入

＝+b,得b=-2,∴y=x-2,∴，y=x-2y=-x2-2x+3∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（

，

）或（

，

）解得：x1=y1=，x2=y2=，過點(diǎn)H作AB的平行線，則其與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)也滿∴y=x-40（7）已知點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p，△ABP的面積為S；①求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式；②求當(dāng)p為何值時(shí),S有最大值，最大值是多少；③過P作PQ⊥AB于Q，當(dāng)PQ平分S△ABP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)PQ將△ABP的面積分為1∶2的兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（7）已知點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p41【思路點(diǎn)撥】①利用（5）的方法寫出S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式即可；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求S的最大值，并求出p的取值；③PQ平分S△ABP，即Q是AB的中點(diǎn)，據(jù)此可求PQ的解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可知P點(diǎn)坐標(biāo).當(dāng)PQ將△ABP的面積分為1∶2的兩部分時(shí)要S△APQ∶S△BPQ

=1∶2和S△APQ∶S△BPQ

=2∶1兩種情況討論求解，要注意驗(yàn)證結(jié)果是否合理.【思路點(diǎn)撥】①利用（5）的方法寫出S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式即可；42解：(7)①如解圖⑦，∵點(diǎn)P在拋物線上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p,-p2-2p+3），過P作PP′∥y軸交直線AB于點(diǎn)P′，則P′（p,p+3），則PP′＝（-p2-2p+3）-(p+3)=-p2-3p，∴S△ABP=×3×PP′＝

p2

p.即S=p2

p.例2題解圖⑦解：(7)①如解圖⑦，∵點(diǎn)P在拋物線上，例2題解圖⑦43②將S=p2

p轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式得S=(p+)2+，∴當(dāng)p=時(shí)S最大，最大值為.例2題解圖⑦②將S=p2p轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式得例244③如解圖⑧，連接OQ,∵PQ平分△ABP的面積∴Q是AB中點(diǎn)，∵PQ⊥AB,∴PQ垂直平分AB，∵OA=OB=3，∴QA=QB，由A（-3,0），B（0,3），易得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-，-），∴直線OQ的解析式為y=-x.∵OA=OB,∴OQ是線段AB的垂直平分線，例2題解圖⑧③如解圖⑧，連接OQ,例2題解圖⑧45由，y=-x2-2x+3y=-x∴P、Q、O三點(diǎn)共線.解得：x1=y1=，x2=y2=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

，

）（i）若S△APQ：S△PQB=2∶1，則S△APQ∶S△APB

=2∶3，∴點(diǎn)Q在線段AB的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B，由，y=-x2-2x+3∴P、Q、O三點(diǎn)共線.解得：x1=y46如解圖⑨，過Q作AO的垂線，垂足為點(diǎn)Q′，則，易得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1,2），∵PQ⊥AB，∴PQ平行于直線y=-x，例2題解圖⑨如解圖⑨，過Q作AO的垂線，垂足為點(diǎn)Q′，例2題解圖⑨47設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+q,將點(diǎn)（-1,2）代入得q=1,此時(shí)直線PQ的解析式為y=-x+1,與拋物線聯(lián)立得，y=-x2-2x+3y=-xx1=-2y1

=3，解得x2=1y2

=0舍，例2題解圖⑨此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,3）；設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+q,與拋物線聯(lián)立得，y=-x248（ii）當(dāng)點(diǎn)Q是AB的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)A，則易得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，1），此時(shí)直線PQ的解析式為y=-x-1,解得：x1=y1=，x2=y2=舍，與拋物線聯(lián)立得y=-x2-2x+3y=-x-1，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

，

）.（ii）當(dāng)點(diǎn)Q是AB的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)A，則易得點(diǎn)Q的坐標(biāo)49(8)若點(diǎn)R是拋物線上的一點(diǎn)，且位于對(duì)稱軸的左側(cè)，是否存在點(diǎn)R，使S△RBC

=3？若存在，請(qǐng)寫出相應(yīng)的點(diǎn)R的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由； 過R做y軸的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)R作RK垂直于BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，則構(gòu)造出△RKF∽△BOC，因?yàn)镾△RBC

=3，即

BC·RK=3，利用三角形相似得到的比例關(guān)系和題中的已知線段長(zhǎng)即可求出RF長(zhǎng).設(shè)R的橫坐標(biāo)為x，則F點(diǎn)的縱坐標(biāo)可根據(jù)BC的解析式求得，R點(diǎn)的縱坐標(biāo)可根據(jù)拋物線的解析式求得，而RF的長(zhǎng)等于F點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去R點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此可列方程求出R點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可知R點(diǎn)坐標(biāo).注意驗(yàn)證求得的R點(diǎn)是否是在對(duì)稱軸的左側(cè).

【思路點(diǎn)撥】(8)若點(diǎn)R是拋物線上的一點(diǎn)，且位于對(duì)稱軸的左側(cè)，是否存在點(diǎn)50(8)不妨假設(shè)存在點(diǎn)R，使S△RBC

=3.過點(diǎn)R作RK⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，作RH∥y軸，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如解圖⑩，則∠F=∠BCO，∠RKF=∠BOC=90°，∴△RKF∽△BOC，∴

，∴BC·RK=BO·RF.解：例2題解圖⑩(8)不妨假設(shè)存在點(diǎn)R，使S△RBC=3.51又S△RBC

=3，BO=1，∴

BC·RK=BO·RF=3，∴RF=6.由B(1，0)，C(0，3)可求出直線BC的解析式為:y=-3x+3.設(shè)R(x，-x2-2x+3)，則F(x，-3x+3).∴RF=-3x+3-(-x2-2x+3)=x2-x.∴x2-x=6，解得x1=-2，x2=3(舍).∴R(-2，3).∴存在點(diǎn)R，使S△RBC

=3，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-2，3).例2題解圖⑩又S△RBC=3，BO=1，例2題解圖⑩52類型三圖形判定問題類型三圖形判定問題53典例精講例3如圖①，已知拋物線y＝-x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A、B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，直線l經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)為D.(1)求拋物線和直線l的解析式；例2題圖①典例精講例3如圖①，已知拋物線y＝-x2＋bx＋c54【思路點(diǎn)撥】所求拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，將B(3，0)和C(0，3)代入y＝-x2＋bx＋c中得到關(guān)于b，c的二元一次方程組，解出b，c的值即可；所求直線l經(jīng)過B(3，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線l的解析式【思路點(diǎn)撥】所求拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，將B(3，0)和C(055解：(1)將B(3，0)、C(0，3)代入拋物線y＝－x2＋bx＋c

得：-9+3b+c=0,

解得：

b=2,

c

=3.

c

=3.∴拋物線的解析式：y＝－x2＋2x＋3．設(shè)直線l的函數(shù)關(guān)系是y=kx+z，據(jù)題意得

3k+z=0,

z=3.解得：

k=-1,

z=3.∴直線l的函數(shù)關(guān)系是：y

=-x+3.解：(1)將B(3，0)、C(0，3)代入拋物線y＝－x2＋56（2）判斷△BCD的形狀并說明理由.【思路點(diǎn)撥】判斷三角形形狀可考慮從邊和角兩個(gè)角度入手.本題中可求出B,C,D三點(diǎn)的坐標(biāo)，因此從邊長(zhǎng)入手比較方便.分別求出三角形的三邊長(zhǎng)，如果有兩邊相等，則三角形是等腰三角形，如果三邊相等，則三角形是等邊三角形.如果沒有相等的邊，則考慮使用勾股定理驗(yàn)證三角形是否是直角三角形.（2）判斷△BCD的形狀并說明理由.57解：(2)△BCD是直角三角形.理由如下：∵由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，可得D（1，4），根據(jù)題意可知B(3，0)、C(0，3)，∴BC2=(3-0)2+(0-3)2=18,DC2=(1-0)2+(4-3)2=2,BD2=(3-1)2+(0-4)2=20,∴BC2+DC2=BD2,∴∠DCB=90°，△BCD是直角三角形.例2題圖①解：(2)△BCD是直角三角形.理由如下：例2題圖①58(3)如圖②，若點(diǎn)E是線段BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥x軸于點(diǎn)F，EF交線段BC于點(diǎn)G，當(dāng)△ECG是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).例3

題圖②(3)如圖②，若點(diǎn)E是線段BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過E59【思路點(diǎn)撥】因EG∥y軸，所以∠EGC不可能等于90°，故本題需要分①∠CEG=90°②∠ECG=90°兩種情況進(jìn)行討論.情況①中，連接CE，因?yàn)椤螩EG=90°，所以CE∥x軸，故E的縱坐標(biāo)與C的縱坐標(biāo)相同，由此即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo).情況②中，過點(diǎn)C做BC的垂線，與BC上方的拋物線的交點(diǎn)即是點(diǎn)E的位置.過點(diǎn)E做y軸的垂線可得到等腰直角三角形，利用其性質(zhì)求得E點(diǎn)坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】因EG∥y軸，所以∠EGC不可能等于90°，故本60解：（3）∵△ECG是直角三角形，EF⊥x軸，如解圖①有兩種情況：①E為直角頂點(diǎn)，∠CEG=90°，則C、E兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等為3，由－x2＋2x＋3=3得E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)；例3

題解圖

①解：（3）∵△ECG是直角三角形，EF⊥x軸，例3題解圖61②C為直角頂點(diǎn)，∠ECG=90°，過E作EQ⊥y軸于點(diǎn)Q,∵設(shè)EQ=x，OB=OC=3，∴∠OCB=∠ECQ=45°，∴EQ=QC=x,∴QC+OC=x+3=y=－x2＋2x＋3,解得E點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4).綜上可知點(diǎn)E坐標(biāo)為(2，3)或(1，4).例3

題解圖

①②C為直角頂點(diǎn)，∠ECG=90°，過E作EQ⊥y軸于點(diǎn)Q,例62（4）如圖③，設(shè)DC延長(zhǎng)線與x軸交于點(diǎn)N,動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)△NPC是以NC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).例3題圖③（4）如圖③，設(shè)DC延長(zhǎng)線與x軸交于點(diǎn)N,動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，63【思路點(diǎn)撥】由D,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求得CD的解析式，可求得N的坐標(biāo).本題中設(shè)定NC是直角邊，所以應(yīng)該分①∠PCN=90°，②∠PNC=90°兩種情況討論.①當(dāng)∠PCN=90°時(shí)，過點(diǎn)C作NC的垂線，與拋物線的交點(diǎn)即是點(diǎn)P，求出垂線的解析式與拋物線解析式聯(lián)立即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)∠PNC=90°時(shí)，過點(diǎn)N作NC的垂線，與拋物線的交點(diǎn)即是點(diǎn)P，求出垂線的解析式與拋物線聯(lián)立即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).注意在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)后要檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.【思路點(diǎn)撥】由D,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求得CD的解析式，可求得N的64解：（4）∵C(0，3)，D（1，4），可得直線CD的解析式為y=x+3,∴N(-3，0).∵△NPC是以NC為直角邊的直角三角形，有兩種情況：①當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，CP1⊥CN,則直線CP1的解析式為y=-x+3，由y=-x+3與y=-x2+2x+3聯(lián)立解得點(diǎn)P1點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)或者（3,0），∵（0,3）與點(diǎn)C重合，不能夠成三角形，故不合題意.所以P1坐標(biāo)為(3，0);解：（4）∵C(0，3)，D（1，4），可得直線CD的解析式65②當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，NP⊥CN,設(shè)直線NP的解析式為y=-x+b，把點(diǎn)N(-3，0)代入得b=-3，由y=-x-3與y=-x2+2x+3聯(lián)立得x2-3x-6=0，解得:x1=,x2=.∴y1=，y2= .∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為(,），P3坐標(biāo)為(，

）.例3

題解圖

②②當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，NP⊥CN,設(shè)直線NP的解析式為y=-x66綜所上述，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，0)，（,）或（

，

）.

例3

題解圖

②綜所上述，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，0)，例3題解圖②67（5）如圖④，在拋物線的對(duì)稱軸上求點(diǎn)P，使△PBC為直角三角形.例3

題圖④（5）如圖④，在拋物線的對(duì)稱軸上求點(diǎn)P，使△PBC為直角三角68【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镻點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，因此可以設(shè)P（1,t）,使用含有t的代數(shù)式分別表示出PC,PB的長(zhǎng)，而B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，即可求出BC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理分①PC是斜邊②PB為斜邊③BC為斜邊三種情況列方程求t值，即可知P點(diǎn)坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镻點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，因此可以設(shè)P（1,t69解：（5）據(jù)題意設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，t）,∵B(3，0)、C(0，3),∴BC2=18，PB2=（1-3）2+t2=4+t2，PC2=（1-0）2+（t-3）2=t2-6t+10，①若PC為斜邊，則BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；②若PB為斜邊，則BC2+PC2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4;解：（5）據(jù)題意設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，t）,70③若BC為斜邊，則PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2-6t+10=18,解之得：t1=，t2=；綜上所述P的坐標(biāo)為（1，-2）或（1，4）或（1，

）或（1，

）．③若BC為斜邊，則PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2-71(6)如圖⑤，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使△PDC為等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例3題圖⑤(6)如圖⑤，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使△PD72【思路點(diǎn)撥】由C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出CD的長(zhǎng)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，即可使用x表示出PD,PC，因題目中未說明△PDC那個(gè)角是頂角，故分（1）當(dāng)∠D是頂角：根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，P的縱坐標(biāo)應(yīng)該等于C的縱坐標(biāo)，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)（2）∠DCP是頂角，因?yàn)辄c(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，所以拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)的距離點(diǎn)C的距離一定大于CD，因此這種情況在對(duì)稱軸的右側(cè)不存在滿足條件的P點(diǎn).（3）∠P是頂角，根據(jù)PC=PD列方程求解即可，結(jié)果要舍去P在對(duì)稱軸左側(cè)的情況.【思路點(diǎn)撥】由C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出CD的長(zhǎng)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)73 ①若∠D是等腰三角形的頂角，由C點(diǎn)（0，3）和x=1可得對(duì)稱點(diǎn)為P1（2，3）滿足條件；②若∠DCP是等腰三角形的頂角，∵C（0，3），D（1，4），而點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，∴CP＞CD，與等腰三角形矛盾，故在拋物線的右側(cè)不存在滿足條件的P點(diǎn).（6）存在． ①若∠D是等腰三角形的頂角，由C點(diǎn)（6）存在74③若∠P是等腰三角形的頂角，設(shè)P2（x，y），∵

=（3-y）2+x2，

=（x-1）2+（4-y）2，∴（3-y）2+x2=（x-1）2+（4-y）2，將y=-x2+2x+3代入可得：x＝

或x＝

（舍），∴y＝

，∴P2（

，

），故滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（

，

）.例3題圖⑤③若∠P是等腰三角形的頂角，設(shè)P2（x，y），例3題圖75（7）如圖⑥，若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例3

題圖⑥（7）如圖⑥，若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其76【思路點(diǎn)撥】（1）若點(diǎn)Q是直角頂點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€和等腰直角三角形都是軸對(duì)稱圖形，所點(diǎn)Q1必為拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)；（2）若點(diǎn)M或點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，因?yàn)閳D形的對(duì)稱性，我們不妨以N點(diǎn)為對(duì)象進(jìn)行探究，此時(shí)因?yàn)椴淮_定MN在x軸的上方還是下方，所以需要分①M(fèi)N在x軸上方②MN在x軸下方進(jìn)行分類討論.在每種情況下，根據(jù)MN=2QQ1,NQ=MN列方程求解Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，注意驗(yàn)證Q點(diǎn)是否在對(duì)稱軸的左側(cè)，確定Q點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的情況后其關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)即是Q點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)的情況.【思路點(diǎn)撥】（1）若點(diǎn)Q是直角頂點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€和等腰直角三角77解：（7）存在.①若Q是直角頂點(diǎn)，由對(duì)稱性可直接得Q1（1，0）；②若N是直角頂點(diǎn)，且M、N在x軸上方時(shí)，設(shè)Q2（x，0）（x＜1），則N（x，-x2+2x+3）∴MN=2Q1Q2=2（1-x），∵△Q2MN為等腰直角三角形，∴NQ2=MN,∴-x2+2x+3=2（1-x）,解得x=或x=，∵x＜1，∴Q2（

，0），由對(duì)稱性可得Q3（

，0）；例3

題圖⑥解：（7）存在.例3題圖⑥78③若N是直角頂點(diǎn)，且M、N（x，-x2+2x+3）在x軸下方時(shí)：同理設(shè)Q4（x，0），（x＜1），∴Q1Q4=1-x，而Q4N=2Q1Q4，∵N在x軸下方，∴-（-x2+2x+3）=2（1-x）解得x=或x=∵x＜1，∴x=，∴Q4（

，0），由對(duì)稱性可得Q5（+2，0）．綜上:Q1（1，0），Q2（2，0），Q3（

，0），Q4（

，0），Q5（+2，0）；③若N是直角頂點(diǎn)，且M、N（x，-x2+2x+3）在x軸下方79（8）如圖⑦，一動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，連接CP，過點(diǎn)B作直線CP的垂線交y軸于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使△MPQ為等邊三角形？若存在，求t的值及相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例

3題圖⑦（8）如圖⑦，一動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度沿x軸80【思路點(diǎn)撥】觀察點(diǎn)C、P、O、B、Q的位置，為常見的直角三角形全等模型，故可知OP=OQ，若△MPQ是等邊三角形，則M一定在PQ的垂直平分線上.求出PQ的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求出M點(diǎn)所有可能的坐標(biāo).針對(duì)每個(gè)可能的M值，根據(jù)等腰直角三角形OPQ和等邊三角形MPQ的性質(zhì)，求出t的值即可.【思路點(diǎn)撥】觀察點(diǎn)C、P、O、B、Q的位置，為常見的直角三角81解：（8）當(dāng)t=時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M（

，

），或當(dāng)t=時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M（

，

），使得△MPQ為等邊三角形．理由如下：∵BQ⊥CP，∴∠QBO+∠CPO=90°，∵∠QBO+∠BQO=90°，∴∠BQO=∠CPO，例

3題圖⑦解：（8）當(dāng)t=時(shí)，拋物線上存在82在△BOQ和△COP中，∠BQO=∠CPO,

∠QOB=∠POC=90°，BO=CO,∴△BOQ≌△COP，∴OP=OQ，∴△OPQ為等腰直角三角形，例

3題圖⑦在△BOQ和△COP中，例3題圖⑦83∵△MPQ為等邊三角形，則M點(diǎn)必在PQ的垂直平分線y=-x上，設(shè)M（x，-x），代入拋物線解析式y(tǒng)=-x2+2x+3得x1=，x2=∴M點(diǎn)可能為（

，

）或（

，

）．例

3題圖⑦∵△MPQ為等邊三角形，則M點(diǎn)必在PQ的垂直平分線y=-x上84①如解圖③，當(dāng)M的坐標(biāo)為（

，

）時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)C的下方，OM=×,設(shè)OM與PQ交于點(diǎn)N，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,△OPQ是等腰直角三角形，△MPQ是等邊三角形，∴OP=t,PQ=t,MN=PQ=×t,ON=PQ=t,例

3題解圖③①如解圖③，當(dāng)M的坐標(biāo)為（，85∵OM=ON+MN，∴ ＝

t+∴t=；例

3題解圖③∵OM=ON+MN，例3題解圖③86②如解圖④，當(dāng)M的坐標(biāo)為（

，

）時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)C的上方，OM=×,設(shè)直線OM與PQ交于點(diǎn)N，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,△OPQ是等腰直角三角形，△MPQ是等邊三角形，∴OP=t,PQ=t,MN=PQ=×t,ON=PQ=t,例

3題解圖④②如解圖④，當(dāng)M的坐標(biāo)為（，87∴t=，綜上所述，當(dāng)t=

時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M（

，

），或當(dāng)t=

時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M（

，

），使得△MPQ為等邊三角形．∵OM+ON=MN∴∴t=，∵OM+ON=MN88(9)如圖⑧，分別過點(diǎn)D,B作x,y軸的平行線，兩線交于點(diǎn)M,連接OM,點(diǎn)Q是線段MB上一動(dòng)點(diǎn)，在線段OM上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△POQ為等腰三角形且△PMQ為直角三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例3題圖⑧(9)如圖⑧，分別過點(diǎn)D,B作x,y軸的平行線，兩線交于點(diǎn)M89【思路點(diǎn)撥】△OPQ中的內(nèi)角∠OPQ和△MPQ的內(nèi)角∠MPQ互補(bǔ)，因此從這一點(diǎn)進(jìn)行突破：①若∠MPQ=90°，則∠OPQ=90°，從而等腰△OPQ中只有OP和PQ才能作為腰，②若∠PQM=90°，則∠MPQ是銳角，故∠OPQ是鈍角，所以O(shè)P和PQ是等腰三角形的腰.在每種情況下根據(jù)三角形相似求得OP的長(zhǎng)度即可知P點(diǎn)的坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】△OPQ中的內(nèi)角∠OPQ和△MPQ的內(nèi)角∠MPQ90解：∵B（3，0）、M（3，4），∴直線OM的解析式為y=43x，①當(dāng)∠QPM=90°時(shí)，如解圖⑤，∵∠OPQ=90°，∴只能OP=PQ，設(shè)OP=PQ=m，∴MP=5-m，∵∠MPQ=∠OBM=90°，∠PMQ=∠BMO，∴△MPQ∽△MBO，∴,∴，解得

，例3題解圖⑤

解：∵B（3，0）、M（3，4），例3題解圖⑤91∴

，

，∴PN=

，ON=，∴P（

，

）;作PN∥BM，②當(dāng)∠MQP=90°時(shí)，如圖⑥，∵∠OPQ＞90°，∴只能OP=PQ=b，例3題解圖⑥

作PN∥BM，②當(dāng)∠MQP=90°時(shí)，如圖⑥，例3題解圖⑥92∵PQ∥OB，∴△PQM∽△OBM，∴

，即

，解得b=，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3-=，代入y=x得，y=，∴P（

，

）.綜上所述，在線段OM上存在這樣的點(diǎn)P，使△OQP為等腰三角形且△MQP為直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

，

）或（

，

）．∵PQ∥OB，∴93拓展類型三角形相似問題拓展類型三角形相似問題941.（2015黔南州12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c過點(diǎn)A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AP的中點(diǎn)，將線段MP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB.過點(diǎn)B作x軸的垂線，過點(diǎn)A作y軸的垂線，兩直線相交于點(diǎn)D.

1.（2015黔南州12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO95第1

題圖（1）求b,c的值；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D落在拋物線上；（3）是否存在t，使得以A,B,D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似？若存在，求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.第1題圖（1）求b,c的值；96解：（1）由拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A(0,4)和C(8，0),可得c=4×64+8b+c=0,解得c=4

b=;第1

題圖解：（1）由拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A(097（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=90°-∠APO=∠EPB,∴△AOP∽△PEB，且相似比為=2,∵AO=4,∴PE=2,OE=OP+PE=t+2，又∵DE=OA=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t+2,4），∴點(diǎn)D落在拋物線上時(shí)，有-(t+2)2+(t+2)+4=4,解得t=3或t=-2.∵t>0，∴t=3,故當(dāng)t為3時(shí)，點(diǎn)D落在拋物線上.（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=90°-∠AP98(3)存在t,能夠使得以A,B,D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似.理由：①當(dāng)0<t<8時(shí)，若△POA∽△ADB,則

，即

,整理，得t2+16=0,∴t無解;若△POA∽△BDA,同理，解得t=-2+2，t=-2-2(負(fù)值舍去)；(3)存在t,能夠使得以A,B,D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相99②當(dāng)t>8時(shí)，若△POA∽△ADB,則

，即

解得t=8+4,t=8-4（負(fù)值舍去）;

若△POA∽△BDA，同理，解得t無解.綜上所述，當(dāng)t=-2+2或t=8+4

時(shí)，以A,B,D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似.②當(dāng)t>8時(shí)，若△POA∽△ADB,1002.（2015隨州12分）如圖，已知拋物線y=(x+2)(x-4)與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，CD∥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，M為拋物線的頂點(diǎn).（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（-2，n），求使MN+BN的值最小時(shí)n的值；第2

題圖2.（2015隨州12分）如圖，已知拋物線y=101（3）P是拋物線上一點(diǎn)，請(qǐng)你探究：是否存在點(diǎn)P，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）P是拋物線上一點(diǎn)，請(qǐng)你探究：是否存在點(diǎn)P，使以P、A、102解：（1）令(x+2)(x-4)=0得x1=-2,x2=4,∴點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(4,0),將x=0代入y=(x+2)(x-4)得

y=-,∴點(diǎn)C(0,-).第2

題圖解：（1）令(x+2)(x-4)=0第2題圖103（2）如解圖①，過點(diǎn)A(-2，0)作y軸平行線l，則點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′（-8,0），M（1，-）,連接B′M與l的交點(diǎn)即為使MN+BN值最小的點(diǎn)N.設(shè)直線B′M的解析式為y=kx+b,第2

題解圖①則-8k+b=0

k+b=-，解得k=-

b=-2，∴y=-x-2.當(dāng)x=-2時(shí)，n=-.（2）如解圖①，過點(diǎn)A(-2，0)作y軸平行線l，第2題104（3）假設(shè)存在點(diǎn)P（t,（t+2）(t-4)）,使P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似.下面分三種情況討論：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，顯然∠PBA為鈍角，∠BAD與∠ABD為銳角，如解圖②，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，易得D（2，-），則AE=4,DE=PF=(t+2)(t-4),AF=t+2.第2題解圖②（3）假設(shè)存在點(diǎn)P（t,（t+2）(t-4)）,使P105①若∠PAF=∠DAE,則△PAF∽△DAE,∴,∴4×(t+2)(t-4)=(t+2),∴t1=-2(舍去)，t2=6,當(dāng)t=6時(shí)，PF=，AF=8，PA=，又∵AD=，∴

,∴

,∴，∴t=6時(shí)，△PAB與△BAD相似，且P（6,）.①若∠PAF=∠DAE,則△PAF∽△DAE,106②若∠PAF=∠DBE,則△PAF∽△DBE,∴,∴2×（t+2）(t-4)=(t+2),∴t1=-2(舍去),t2=8,當(dāng)t=8時(shí)，AF=10，PF=,PA=,∵DB=,∴,=6,=5,顯然且

∴t=8時(shí)，△PAB與△ABD不可能相似.②若∠PAF=∠DBE,則△PAF∽△DBE,107（Ⅱ）點(diǎn)P在第二象限時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性易知存在點(diǎn)P（-4,），使△PAB∽△BDA,(當(dāng)然，也可以像F（Ⅰ）中一樣計(jì)算得出)（Ⅲ）點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性易知存在點(diǎn)P（0,），使△PAB∽△BDA.綜上所述，存在點(diǎn)P1（6,）、P2（-4,）、P3（0,-）三點(diǎn)使P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似.（Ⅱ）點(diǎn)P在第二象限時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性易知存在點(diǎn)1083.（2015鹽城改編）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+b與拋物線y=ax2交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A的到y(tǒng)軸的距離為1，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）如圖①，若點(diǎn)Q在直線AB的下方，求點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大值；第3

題圖①

3.（2015鹽城改編）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，109（3）如圖②，若點(diǎn)Q在y軸左側(cè)，且點(diǎn)T(0,t)（t<2）是射線PO上一點(diǎn)，當(dāng)以P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△PAT相似時(shí)，求所有滿足條件的t的值.第3

題圖②

（3）如圖②，若點(diǎn)Q在y軸左側(cè)，且點(diǎn)T(0,t)（t<2）第110解：（1）∵直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)P(0，2)，∴b=2，則y=x+2，∵由題意可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1，∴y=-1+2=1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，1）.∵拋物線交y=ax2經(jīng)過點(diǎn)A，∴a=1,∴拋物線的解析式為y=x2.第3

題圖①

解：（1）∵直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)P(0，2)，第3題圖①111（2）如解圖①，過點(diǎn)Q作x軸的垂線QC,交AB于點(diǎn)C，再過點(diǎn)Q作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)D