第75節(jié)剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)_第1頁(yè)
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第7.5節(jié)剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)7.5.110m搞得煙筒因底部損壞而倒下來,求其上端到達(dá)地面時(shí)的線速度。設(shè)傾倒時(shí)底部未移動(dòng)??山普J(rèn)為煙筒為均質(zhì)桿。解:煙筒的長(zhǎng)度l=10m。設(shè)煙筒上端到達(dá)地面的瞬間,煙筒繞其底部的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為①。在傾倒過程中,只受重力作用,做的功為:mg.%l。由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理:mgmg-+/=+1?222I=+ml23煙筒上端到達(dá)地面時(shí)的線速度為:v=l?=.3gl= x9.8x10沁17.2m/s解:先求正方形框架對(duì)通過其質(zhì)心且與其垂直的轉(zhuǎn)軸(質(zhì)心軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:框架的質(zhì)心位于框架的中心,即兩條對(duì)角線的交點(diǎn)上。每根細(xì)桿對(duì)其本身的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:I=壬ml2,細(xì)桿的質(zhì)心與框架的質(zhì)心的距離為+1,由平行軸定理:0122I=4?[I+m?(十l)2]=4ml2

c 0 2 3再由平行軸定理,得框架對(duì)通過0點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:I=I+4m?(il)2=7ml2

c 2 3求框架質(zhì)心的線速度vc框架在下擺過程中,只有重力做功,機(jī)械能守恒。選取桿AB達(dá)到水平時(shí)框架質(zhì)心位置位勢(shì)能零點(diǎn),得:Mgh=+1?2c2M=4mh=+1c2I ...?='71V=+l?=.3glc2 '7求框架對(duì)支點(diǎn)的壓力N以框架為研究對(duì)象,它受到重力Mg和支點(diǎn)的支撐力N的作用,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:N+Mg=Mac

取自然坐標(biāo)系,T沿水平方向,“鉛直向上,得投影方程:n:N一Mg=Ma=M=4m--7=寺mgnN=寺mg+4mg=7今mgn n h 11 7 n7 7f: c 2N=Ma=Mh卩ffc在鉛直位置時(shí),外力矩為0故角加速度卩=0,==〉Nf=07.5.3由長(zhǎng)為2,質(zhì)量各為m的均質(zhì)細(xì)桿組成正方形框架,其中一角連于光滑水平轉(zhuǎn)軸O,轉(zhuǎn)軸與框架所在平面垂直.最初,對(duì)角線OP處于水平,然后從靜止開始向下自由擺動(dòng).求OP對(duì)角線與水平成45。時(shí)P點(diǎn)的速度,并求此時(shí)框架對(duì)支點(diǎn)的作用力.解:先求正方形框架對(duì)通過其質(zhì)心且與其垂直的轉(zhuǎn)軸(質(zhì)心軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:框架的質(zhì)心位于框架的中心,即兩條對(duì)角線的交點(diǎn)上。每根細(xì)桿對(duì)其本身的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:I=壬ml2,細(xì)桿的質(zhì)心與框架的質(zhì)心的距離為+1,由平行軸定理:0122I=4?[I+m?(+1)2]=4ml2

c 0 2 3L框架的質(zhì)心距o點(diǎn)的距離為:亠l,由平行軸定理得框架通過o點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2I=I+4mCl)=ioml2c 2 31)求p點(diǎn)的速度vpNPP框架在下擺過程中,只有重力做功,機(jī)械能守恒。選取對(duì)角NPP線op與水平成450角時(shí)框架質(zhì)心位置為勢(shì)能零點(diǎn),得:Mgh=11?2c2M=4mh=11_c2?=、:礙:5lv=、]2l?= glp '5(2)求框架對(duì)支點(diǎn)的壓力N以框架為研究對(duì)象,它受到重力Mg和支點(diǎn)的支撐力N的作用,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:N+Mg=Mac取自然坐標(biāo)系,n沿op方向,f沿垂直于op方向,得投影方程:N—Mgcos45°=Ma a=l?2=21=2?6gTOC\o"1-5"\h\zn n n c 2 5l 2 5N—Mgsin45°=Ma a=lp\o"CurrentDocument"f f f cN= mg+4mg?亠=i3\:2mg\o"CurrentDocument"n5 2 5由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理:Mg十l=IPnP=

7.5.4質(zhì)量為m長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿,其B端放在桌上,使桿成水平.突然釋放A端,在此瞬時(shí),求:桿質(zhì)心的加速度,桿B端所受的力.解:(1)T=I卩9mg--=-ml2-P23TOC\o"1-5"\h\z-g l-\o"CurrentDocument"B= a=p- =g21 24(2)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:-1mg-N=ma=mg9N=—mg447.5.5下面是均質(zhì)圓柱體在水平地面上作無滑滾動(dòng)的幾種情況,求地面對(duì)圓柱體的靜摩擦力f.沿圓柱體上緣作用以水平拉力F,柱體作加速滾動(dòng).水平拉力F通過圓柱體中心軸線,柱體作加速滾動(dòng)不受任何主動(dòng)力的拉動(dòng)或推動(dòng),柱體作勻速滾動(dòng).在主動(dòng)力偶矩i的驅(qū)動(dòng)下加速滾動(dòng)?設(shè)柱體牛徑為R解:規(guī)定前進(jìn)方向和順時(shí)針方向?yàn)檎较?。假設(shè)靜摩擦力方向向后,其余受力情況如圖所示。對(duì)每種情況,都可以根據(jù)質(zhì)心定理、繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理和無滑滾動(dòng)條件,建立三個(gè)方程求解。⑴F-f=ma,(F+f)R=+mR2p,a=PRc2c可求得f=-F/3,負(fù)號(hào)說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反,應(yīng)向前。(2)F-f=ma,fR=+mR2P,a=PRc2c可求得f=F/3,正號(hào)說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相同,向后。⑶a=0,f=0c⑷一f=ma,T+fR=imR2P,a=PR,求得f=-*c 2 c -R負(fù)號(hào)說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反,應(yīng)向前。7.5.6板的質(zhì)量為M,受水平力F的作用,沿水平面運(yùn)動(dòng)?板與平面間的摩擦系數(shù)為從在板上放一半徑為R質(zhì)量為M2的實(shí)心圓柱,此圓柱只滾動(dòng)不滑動(dòng).求板的加速度.解:f=P(M+M2)g fj F對(duì)圓柱:

轉(zhuǎn)動(dòng)定理:fR=IP=iMR2P222質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:f=Ma22轉(zhuǎn)動(dòng)定理:fR=IP=iMR2P222質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:f=Ma22C對(duì)板:質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:F-f-f=Ma由于圓柱在板上只滾不滑a=Rp+aC聯(lián)立解得:F一嘰M+M)ga= 2——M+十M327.5.7在水平桌面上放置一質(zhì)量為m的線軸,內(nèi)徑為b,外徑為R,其繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為|mR2.線軸和地面之間的靜摩擦系數(shù)為山線軸受一水平拉力F,如圖所示.(1)使線軸在桌面上保持無滑滾動(dòng)之F最大值是多少?(2)若F和水平方向成e角,試證,cos0>b/R時(shí),線軸向前滾動(dòng);cosevb/R時(shí),線軸向后滾動(dòng)。解:(1)當(dāng)線軸在桌面上只滾不滑時(shí)Fb-fR=IP二十mR2P3f-F=maf5卩mg聯(lián)立解得:a=Rp4卩mgRR+3b2)若線軸向前滾動(dòng),則有:T>T且FCOS0>ffF即:fR>FbFCOS0>fFR9cos0>-cos0>b/R若線軸向后滾動(dòng),則有:T<T且Fcos0<ffF即:fR<FbFcos0<fFR9cos0<Fcos0<b/R7.5.8氧分子總質(zhì)量為5.30x10-26kg,對(duì)于通過其質(zhì)心且與二原子連線垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為10x10-46kg?m2.設(shè)在氣體中某氧分子運(yùn)動(dòng)的速率為500m/s,且其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為其平動(dòng)動(dòng)能的2/3,求這一氧分子的角速率.7.5.9,—質(zhì)量為m,半徑為r的均質(zhì)實(shí)心小球沿圓弧形導(dǎo)軌自靜止開始無滑滾下,圓弧形導(dǎo)軌在鉛直面內(nèi),半徑為R.最初,小球質(zhì)心與圓環(huán)中心同高度?求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速率以及它作用于導(dǎo)軌的正壓力.解:設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),其質(zhì)心速度為v,有mg(R—r)=imv2+士(乞mr2)02225無滑滾動(dòng)條件:—代入上式,可求得v評(píng)云在最低點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理: N-mg=mv2/(R—r)N=m[g+v2/(R+r)]=m(g+千g)=2

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