第2講 拉壓桿的內(nèi)力和應(yīng)力

第2講教學(xué)方案——拉壓桿的內(nèi)力和應(yīng)力基本內(nèi)容桿件軸向拉伸與壓縮時的內(nèi)力與應(yīng)力計算教1、通過幾個桿件拉壓的工程實例，建立從工程實例向計算模型簡化學(xué)的初步概念，并給出拉壓桿的幾個基本概念。目2、熟練掌握軸力圖的繪制方法。的3、理解掌握橫截面與任意斜截面上應(yīng)力的計算公式和推導(dǎo)方法。重點本節(jié)重點：軸力與軸力圖，拉壓桿的應(yīng)力計算。、難點本節(jié)難點：拉壓桿應(yīng)力計算公式推導(dǎo)過程中的平面假設(shè)。第二章軸向拉伸與壓縮§2-1軸向拉伸與壓縮的概念與實例軸向拉伸和壓縮的桿件在生產(chǎn)實際中經(jīng)常遇到，雖然桿件的外形各有差異，加載方式也不同，但一般對受軸向拉伸與壓縮的桿件的形狀和受力情況進行簡化，計算簡圖如圖2-1。軸向拉伸是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生伸長變形，也簡稱拉伸；軸向壓縮是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生縮短變形，也簡稱壓縮。實例如圖2-2所示用于連接的螺栓；如圖2-3所示桁架中的拉桿；如圖2-4所示汽車式起重機的支腿；如圖2-5所示巷道支護的立柱。5?々必圖2-5抽向圧5?々必圖2-5抽向圧堀構(gòu)件通過上述實例得知軸向拉伸和壓縮具有如下特點：受力特點：作用于桿件兩端的外力大小相等，方向相反，作用線與桿件軸線重合，即稱軸向力。變形特點：桿件變形是沿軸線方向的伸長或縮短。

§2-2橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力1．內(nèi)力在圖2-6所示受軸向拉力P的桿件上作任一橫截面m—m,取左段部分，并以內(nèi)力的合力N代替右段對左段的作用力。由平衡條件工X二0，得N-P二0由于P>0（拉力），貝I」N二P>0合力N的方向正確。因而當(dāng)外力沿著桿件的軸線作用時，桿件截面上只有一個與軸線重合的內(nèi)力分量，該內(nèi)力（分量）稱為軸力，一般用N表示。若取右段部分，同理工X=0，知P-N二0得N二P>0圖中N的方向也是正確的。材料力學(xué)中軸力的符號是由桿件的變形決定，而不是由平衡坐標方程決定。習(xí)慣上將軸力N的正負號規(guī)定為：拉伸時，軸力N為正；壓縮時，軸力N為負。2．軸力圖軸力圖可用圖線表示軸力沿軸線變化的情況。該圖一般以桿軸線為橫坐標表示截面位置，縱軸表示軸力大小。例2-1求如圖2-7所示桿件的內(nèi)力，并作軸力圖。解：（1）計算各段內(nèi)力AC段：作截面1—1,取左段部分（圖b）。由工X二0得N]=5kN （拉力）

CB段：作截面2-2,取左緞部分（圖），并假設(shè)N2方向如圖所示。由工X=0得N=—10KN22）繪軸力圖選截面位置為橫坐標；相應(yīng)截面上的軸力為縱坐標，根據(jù)適當(dāng)比例，繪出圖線。由圖2-7可知CB段的軸力值最大，即|N| =10kN。max注意兩個問題：1） 求內(nèi)力時，外力不能沿作用線隨意移動（如P2沿軸線移動）。因為材料力學(xué)中研究的對象是變形體，不是剛體，力的可傳性原理的應(yīng)用是有條件的。2） 截面不能剛好截在外力作用點處（如通過C點），因為工程實際上并不存在幾何意義上的點和線，而實際的力只可能作用于一定微小面積內(nèi)。例，已知：P=5t,P=9t12求：各段內(nèi)力，并作軸力圖解：運用截面法：截、拋、代、平。P—N=0；P=N=5t（拉）解：運用截面法：截、拋、代、平。111P—P—N=0；P—P—N=0；122N=P—P=—4t212其作用線垂直于橫截面或通過形心即與軸線重合，稱之為軸力。3） 軸力圖：為了把軸力的變化直接顯示出來我們平行與桿件軸線引x軸，以橫坐標3．軸向拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力1）由于只根據(jù)軸力并不能判斷桿件是否有足夠的強度因此必須用橫截面上的應(yīng)力來度量桿件的受力程度。為了求得應(yīng)力分布規(guī)律，先研究桿件變形，為此提出平面假設(shè)。平面假設(shè)：變形之前橫截面為平面，變形之后仍保持為平面，而且仍垂直于桿軸線，如圖2-8所示。根據(jù)平面假設(shè)得知，橫截面上各點沿軸向的正應(yīng)變相同，由此可推知橫截面上各點正應(yīng)力也

相同，即o等于常量。2）由靜力平衡條件確定°的大小由于dN-dA，所以積分得N二jodA=N二jodA=nAA°=（2-1）A式中：°—橫截面上的正應(yīng)力N—橫截面上的軸力A—橫截面面積正應(yīng)力°的正負號規(guī)定為：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負。，也可應(yīng)用（2-1）對于圖2-9所示斜度不大的變截面直桿，在考慮桿自重（容重，也可應(yīng)用（2-1）N° =xxAx其中N二P+yA-xxx2-2）若不考慮自重，則N二2-2）x對于等截面直桿，由式（2-1）知最大正應(yīng)力發(fā)生在最大軸力處，此處最易破壞。而對于變截面直桿，最大正應(yīng)力的大小不但要考慮N，同時還要考慮A。xx必須指出，實際構(gòu)件兩端并非直接作用著一對軸向力，而是作用著與兩端加載方式有關(guān)的分布力，軸向力只是它們靜力等效的合力，如圖2-2、2-4中的軸向力是通過螺齒作用呈軸對軸分布的分布力的合力。圣維南原理指出：如將作用于構(gòu)件上某一小區(qū)域內(nèi)的外力系（外力大小不超過一定值）用一靜力等效力系來代替，則這種代替對構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的影響只限于離原受力小區(qū)域很近的范圍內(nèi)。對于桿件，此范圍相當(dāng)于橫向尺寸的1?1.5倍。4．軸向拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力有時拉（壓）桿件沿斜截面發(fā)生破壞，此時如何確定斜截面k—k上的應(yīng)力？設(shè)等直桿的軸向拉力為P（如圖2-12），橫截面面積為A，由于k—k截面上的內(nèi)力仍為P=PA

而且由斜截面上沿x方向伸長變形仍均勻分布可知,斜截面上應(yīng)力p仍均勻分布。a若以p表示斜截面k—k上的應(yīng)力，于是有aPP=—a-aAaA而A二，所以acosaPp=cosa=ocosaaA則將斜截面上全應(yīng)力P分解成正應(yīng)力G和剪應(yīng)力P，有a a a2-3)2-4)Q二pcosa二◎cos2a2-3)2-4)aa二psina=2sin2aa2aQ,T正負號分別規(guī)定為：aaa—自x軸逆時針轉(zhuǎn)向斜截面外法線n,a為正；反之為負;G—拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負；aT—取保留截面內(nèi)任一點為矩心，當(dāng)T對矩心順時針轉(zhuǎn)動時為正，反之為負。aa討論式（2-3）和（2-4）：1） 當(dāng)a=0時，橫截面G ，T=0amax aGG2） 當(dāng)a=+45。時，斜截面G= ，T=a2amax23） 當(dāng)a=90。時，縱向截面G=0，T=0aa結(jié)論：對于軸向拉（壓）桿，G=G，發(fā)生在橫截面上；maxGT=小，發(fā)生在沿順時針轉(zhuǎn)45°角的斜截面上。同樣大小的max2

例2-4木立柱承受壓力P，b=例2-4木立柱承受壓力P，b=35MPa,木柱截面積A鋼2解：（1）計算木柱壓力P,由上面放有鋼塊。如圖2-13所示，鋼塊截面積A為2x2cm2,1=8x8cm2,求木柱順紋方向剪應(yīng)力大小及指向。Pb=

鋼A1所以P=b-A=