彈性力學簡明教程-第四版-徐芝綸第五章學碩xin課件

例題第一節(jié)差分公式的推導第二節(jié)應力函數(shù)的差分解第三節(jié)應力函數(shù)差分解的實例第四節(jié)彈性體的形變勢能和外力勢能第五節(jié)位移變分方程第六節(jié)位移變分法教學參考資料第五章用差分法和變分法解平面問題第七節(jié)位移變分法例題例題第一節(jié)差分公式的推導第二節(jié)應力函數(shù)的差分解第三節(jié)彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學問題屬于微分方程的邊值問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答?！?-1差分公式的推導

——本節(jié)只介紹原理彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變

對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以

差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)，而是求函數(shù)在一些結點上的值。

fxo差分法 差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)

差分法的內容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。將導數(shù)用有限差商來代替，將微分用有限差分來代替，差分法的內容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方

導數(shù)差分公式的導出：導數(shù)差分公式在平面彈性體上劃分等間距h的兩組網格，分別∥x、y軸。網格交點稱為結點，h稱為步長。 導數(shù)差分公式的導出：導數(shù)差分公式在平面彈性應用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)應用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結點1、3，拋物線差分公式結點3：結點1：拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導出高階導數(shù)公式。從上兩式解出o點的導數(shù)公式，拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導出高階導

應用泰勒級數(shù)導出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計其誤差量級，式(b)的誤差為。拋物線差分公式應用泰勒級數(shù)導出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性對于單連體，按應力函數(shù)求解時，應滿足:§5-2應力函數(shù)的差分解按求解

——本節(jié)只介紹原理對于單連體，按應力函數(shù)求解時，應滿足:§5按求解(3)求出后，由下式求應力（假設無體力）：按求解(3)求出后，由下式求應力（假設無體力）：差分法求解1.應力公式(c)的差分表示。對于o點，

差分法求解：差分法求解1.應力公式(c)的差分表示。對于o點，差分法相容方程(5-10)化為：對每一內結點，為未知，均應列出式(5-10)的方程。2.相容方程(a)的差分表示相容方程(5-10)化為：對每一內結點，相容方程

對邊界內一行結點列式(5-10)時，需要求出邊界點和邊界外一行結點（虛結點）的值。

為了求虛結點的值，需要求出邊界點的，值。相容方程對邊界內一行結點列式(5-10)時，

3.應用應力邊界條件(b)，求出邊界點的、、值。邊界條件 3.應用應力邊界條件(b)，求出邊界點的、、（1）在邊界上選定基點A求解步驟3.應力函數(shù)差分解的步驟然后計算邊界上各結點的、、；令（1）在邊界上選定基點A求解步驟3.應力函數(shù)差分解的步驟然求解步驟（2）由邊界結點的、值，求出邊界外一行虛結點的值；（3）對邊界內所有結點列出式(5-10)的方程，聯(lián)立求各結點的值；（4）求出邊界外一行虛結點的值；（5）按式(5-9)求各結點的應力。求解步驟（2）由邊界結點的、值，求出§5－3應力函數(shù)差分解的實例問題

此題無函數(shù)式解答。應用差分法求解。

正方形深梁,上邊受均布荷載，下邊兩角點處有支承反力維持平衡，試求其應力。

——本節(jié)只介紹結果§5－3應力函數(shù)差分解的實例問題此題無函數(shù)式解1.本題具有對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。取網格如圖。取網格如圖。

比較：材料力學解─AM上為直線分布，彈性力學解─AM上為曲線分布，

由此也說明，材料力學解法只適用于桿件。比較比較：比較

（1）是解微分方程邊值問題和彈性力學問題的有效方法；（2）簡便易行，且總能求出解答；（3）可配合材料力學、結構力學解法，精確地分析結構的局部應力狀態(tài)。

差分法優(yōu)點：差分法評價 差分法優(yōu)點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網格的計算較麻煩；（2）比較適用于平面問題或二維問題；（3）凡是近似解，在求導運算時會降低精度。如的誤差為，則應力的誤差為。

缺點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網格的計算缺點：差分法評價§5－4彈性體的形變勢能和外力勢能彈性力學變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種函數(shù)。變分法─是研究泛函及其極值的求解方法?！?－4彈性體的形變勢能和外力勢能彈性力學變分法，又稱為能應力變分法─取應力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導出變分方程。彈性力學變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：應力變分法─取應力函數(shù)為自變量，并以位移變分法─取位移函形變勢能（2）因為應力和應變均從0增長到，故單位體積上，應力所做的功是非線性關系─線性關系─（1）作用于微小單元上的應力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。1.應力的功和形變勢能（內力勢能）形變勢能（2）因為應力和應變均從0增長到線性的應力-應變關系非線性的應力-應變關系線性的應力-應變關系非線性的應力-應變關系（3）對于平面應力問題

或平面應變問題

單元體積上應力所做的功都是

(c)形變勢能利用物理方程，平面應力問題的形變勢能密度，可用形變表示為（3）對于平面應力問題(c)形變勢能利用（4）假設沒有非機械能和動能的轉化，則應力所做的功全部轉化為彈性體的

內力勢能，又稱為形變勢能，或應變

能，存貯于物體內部。形變勢能─單位體積的形變勢能（形變勢能密度）。（5）整個彈性體的形變勢能

（4）假設沒有非機械能和動能的轉化，則形變勢能形變勢能對于平面應變問題，將，?？捎梦灰票硎緸椋?）將幾何方程代入式(e)，則平面應力問題的形變勢能(5-16)形變勢能對于平面應變問題，將2.形變勢能的性質（1）是應變或位移的二次泛函，

故不能應用疊加原理。（2）應變或位移發(fā)生時，總是正的，即（3）的大小與受力次序無關。（4）對應變的導數(shù)，等于對應的應力：

(5-15)形變勢能的性質2.形變勢能的性質(5-15)形變勢能的性質外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當取時的外力功和能為零，則有：(5-18)外力功和外力勢能3.彈性體上的外力功和外力勢能外力功：外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當取

4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內力（形變）勢能之和：(5-19) 4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內力(5-19)§5－5位移變分方程

在位移變分法中，所取泛函為總勢能，其自變量（宗量）為位移狀態(tài)函數(shù)

，?！?－5位移變分方程 在位移變分法中，所取泛函為⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的應力邊界條件（在上）⑶位移邊界條件（在上）。實際位移其中⑴、⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對于實際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴、⑵是充分條件。1.實際平衡狀態(tài)的位移、，必須滿足⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）實際位移其

2.虛位移狀態(tài)

⑴虛位移（數(shù)學上稱為位移變分），

表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量。

虛位移（在上）2.虛位移狀態(tài)虛位移（在上） 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產生的。因此，虛位移狀態(tài)

就構成實際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。虛位移 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他微分

─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標)改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標變量

x,y；

而因變量為函數(shù)，如位移，有

(a)⑵變分與微分的比較變分與微分微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(a)⑵變分與微分變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如，，，有

變分與微分(b)變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變變分與微分(b)由于微分和變分都是微量，所以(I).它們的運算方式相同；(II).變分和微分可以交換次序，如

變分與微分(c)由于微分和變分都是微量，所以變分與微分(c)當發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能外力勢能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

(5-20)(5-21)當發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能虛位移上功和能根據(jù)幾何方程可得到虛位移引起的虛應變，為：從而引起形變勢能的變分，為：(5-22)上式中的應力分量，在虛位移發(fā)生之前已經存在，應作為恒力計算，故無系數(shù)。虛位移上功和能根據(jù)幾何方程可得到虛位移引起（1）在封閉系統(tǒng)中，假設沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加應等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功）。即位移變分方程4.彈性力學中位移變分方程的導出(d)（1）在封閉系統(tǒng)中，假設沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變（2）位移變分方程

將式(5-20)代入式(d)，可得該式表示：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。位移變分方程(5-23)（2）位移變分方程該式表示：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變位移變分方程該式表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，

外力在虛位移上所做的虛功等于

應力在虛應變上所做的虛功。（3）虛功方程

將式(5-20)和式(5-22)代入式(d)中，可得(5-25)位移變分方程該式表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，（3）虛功其中,為形變勢能的變分；為外力功的變分。位移變分方程（4）最小勢能原理其中,U為彈性體的形變勢能;W為彈性體的外力功?？梢宰C明，式(e)可以寫成式(d)可寫成(e)(f)其中,為形變勢能的變分；為外力功的變分。位移變分方由于彈性體的總勢能為故式(f)可以表示為

再將總勢能對其變量（位移或應變）作二次變分運算，可得

也就是：(5-24)位移變分方程由于彈性體的總勢能為(5-24)位移變分方程最小勢能原理：數(shù)學表示如圖(a)，物理意義如圖(b)uu（實際位移）(a)(b)最小勢能原理：uu（實際位移）(a)(b)位移變分方程

這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應于總勢能為極小值。位移變分方程這就是最小勢能原理。它表示在給證明：位移變分方程等價于證明：位移變分方程等價于證明：位移變分方程等價于平衡微分方程和應力邊界條件。利用幾何方程將方程(5-22)改寫為：證明：位移變分方程等價于平衡微分方程利用幾何方程將應用分部積分公式又一形式和格林公式其中，s為平面域A的邊界，l、m為邊界外法線的方向余弦。應用分部積分公式又一形式和格林公式其中，s為平面域A的對第一項計算因為在邊界約束處，虛位移∴即有：對第一項計算因為在邊界約束處，虛位移∴即有：對第二項計算與第一項計算類似處理，有對第二項計算與第一項計算類似處理，有對第三項計算對第三項計算又一形式三項相加：此外，由式（5-23）又有又一形式三項相加：此外，由式（5-23）又有因為，是任意的獨立變分，為了滿足上式，必須有虛位移的系數(shù)為零。又一形式上式兩邊相等，有因為，是任意的獨立變分，為了滿足又一形式上（在A中）（在上）得到如下平衡微分方程和應力邊界條件：（在A中）（在上）得到如下平衡微分方程和應力邊界條件

由此可見，從位移變分方程可以導出平衡微分方程和應力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應力邊界條件。由此可見，從位移變分方程可以導出平衡微分方⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足

a.上的約束(位移)邊界條件；

b.上的應力邊界條件；c.域A中的平衡微分方程。5.結論結論⑵位移變分方程可以等價地代替靜力條件b和c。⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足5.結論結論⑵位移變分方結論⑶由此得出一種變分解法，即預先使位移函數(shù)滿足上的位移邊界條件，再滿足位移變分方程，必然也可以找出對應于實際平衡狀態(tài)的位移解答。結論⑶由此得出一種變分解法，即預先使位

1.微分和變分各是由什么原因引起的？2.試比較位移變分方程、虛功方程和極小勢能原理不同的物理解釋。3.試證明二階變分。思考題1.微分和變分各是由什么原因引起的？思考題

位移變分法取位移為基本未知函數(shù)。位移函數(shù)應預先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程?！?-6位移變分法位移變分法取位移為基本未知函數(shù)?！?-6位移變分(5-26)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設定位移試函數(shù)的方法，令

1.瑞利-里茨法

(5-26)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法其中和均為設定的x，y的函數(shù)，并在邊界上，令

（在上）（在上）瑞利-里茨法其中和均為設定的x，y的函數(shù)，并在邊界∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。

而，用來反映位移狀態(tài)的變化， 故位移的變分為瑞利-里茨法(a)∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。瑞利-里茨法(a瑞利-里茨法位移的變分通過，的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(5-26)還必須滿足位移變分方程(5-23)瑞利-里茨法位移的變分通過，將式(b)，(a)代入位移變分方程(5-23)，整理得到：因為虛位移（位移變分）中的，是任意的獨立變分，為了滿足上式，必須有其系數(shù)為零。將式(b)，(a)代入位移變分方程(5-23)，整理得到：瑞利-里茨法式(5-27)是瑞利-里茨變分方程。它是關于，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出和，代入式（5-26）從而得到位移的解答。瑞利-里茨法式(5-27)是瑞利-里茨變

2.伽遼金法（介紹原理）——設定位移試函數(shù)如式(5-26)所示，但令u,v

不僅滿足上的位移邊界條件，而且也滿足上的應力邊界條件（用u,v表示）。伽遼金法伽遼金法例1

圖示矩形板a×b，在上邊及右邊受有均布壓力及，而左邊和下邊受有法向連桿的約束。§5-7位移變分法例題例1§5-7位移變分法例題

應用瑞利-里茨法，設定位移滿足兩個約束邊界條件

例題(a)(b) 應用瑞利-里茨法，設定位移例題(a)(b)

應力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（體力）：(c)對式(c)右邊的積分，應包含所有的應力邊界條件，積分時要將邊界方程代入。例題應力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替在處：，，例題在處：，，(d)(e)在處：將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項：利用方程（5-16）例題得到：其中：將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項：例題得到根據(jù)式(c)、(d)、(e)、(f)可得：例題積分可得：(f)根據(jù)式(c)、(d)、(e)、(f)可得：例題積分可得解得，為：例題對于圖示的簡單問題，該解答正好是其精確解。將，代入式(a)，可得位移解答：解得，為：例題對于圖示第五章例題例題1例題2例題3例題第五章例題例題1例題2例題3例題例題1

試證明，在同樣的應變分量，和下，平面應變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應力情況下的形變勢能。例題例題1試證明，在同樣的應變分量，例題對于平面應變情況，只需將上式中的，變換為：解：平面應力情況下，單位厚度的形變勢能為：例題(a)(b)對于平面應變情況，只需將上式中的，例題(e)則有：將式(b)-(d)代入式(a)，得到平面應變情況下的形變勢能：(c)(d)例題(e)則有：將式(b)-(d)代入式(a)

從式(e)可見，在平面應變情況下，形變勢能中的第所有項均大于平面應力情況下的值。因此，平面應變的形變勢能大于平面應力的形變勢能U。例題從式(e)可見，在平面應變情況下，形變勢能aabqbx

y例題2圖中所示的薄板，厚度，三邊固定，一邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解。取：aabqbxy例題2圖中所示的薄板，厚度解：在瑞利-里茨法中，設定位移試函數(shù)應滿足位移邊界條件，并應反映圖示問題的對稱性。取上式反映了位移對稱于y

軸的要求：v為x的偶函數(shù)，u為x的奇函數(shù)。滿足位移邊界條件：解：在瑞利-里茨法中，設定位移試函數(shù)應滿足位移邊界條件，

僅取各一項進行運算:例題因為體力：面力只作用在處，有：則：(a)(b)僅取各一項進行運算:例題因為體力：利用方程（5-16），將式位移函數(shù)代入，得

例題其中：利用方程（5-16），將式位移函數(shù)代入，得例題其中：例題?。盒巫儎菽苊芏葹榉e分得到形變勢能為(c)例題取：形變勢能密度為積分得到將式(a)-(c)代入式瑞利-里茨變分方程

得到：(d)將式(a)-(c)代入式瑞利-里茨變分方程得到：例題求應力解答，由物理方程：解得：位移解答：例題求應力解答，由物理方程：解得：例題對稱軸上（）：（最大）例題對稱軸上（）：例題在邊界：（最大）例題在邊界：（最大）本題中，由于u，v中各只取一項，且取，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應力時，其應力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應取更多的項數(shù)進行計算。本題中，由于u，v中各只取一項，且取例題3一端固定、一端簡支的梁受均布荷載q作用，如圖所示。試用瑞利-里茨的位移變分法求解梁的撓度。例題3一端固定、一端簡支的梁受均布荷載q作用，如圖所解：在瑞利-里茨法中，設定位移試函數(shù)應滿足位移邊界條件。取需滿足位移邊界條件：滿足解：在瑞利-里茨法中，設定位移試函數(shù)應滿足位移邊界條件。位移試函數(shù)變?yōu)椋毫旱目倓菽転椋河山Y構力學公式有：位移試函數(shù)變?yōu)椋毫旱目倓菽転椋河山Y構力學公式有：由極小勢能原理：位移變分方程根據(jù)，的任意性，有即有：由極小勢能原理：位移變分方程根據(jù)，的任意性，有即位移解答：位移變分方程解得：代入式(a)：位移解答：位移變分方程解得：代入式(a)：第五章教學參考資料

（一）本章學習重點及要求1.彈性力學的基本解法，是根據(jù)靜力平衡條件，形變和位移之間的幾何條件和形變與應力之間的物理條件建立微分方程和邊界條件，并由此求解應力、形變和位移。從數(shù)學上看，彈性力學問題可化為微分方程的邊值問題，通過求解，得出函數(shù)式的精確解答。教學參考資料第五章教學參考資料（一）本章學習 但是對于工程實際問題，由于荷載、邊界等較為復雜，難以求出函數(shù)式的解答。從彈性力學基本理論建立以來，為了解決工程實際問題，人們就探討了各種可供應用的近似解法。彈性力學中最主要的近似解法是變分法、差分法和有限單元法分法。教學參考資料 但是對于工程實際問題，由于荷載、邊界等較為復雜，難

2.差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解法。在差分法中，將連續(xù)函數(shù)用一些結點上的函數(shù)值來代替，并從而將微分方程及其邊界條件變換為差分(代數(shù))方程，使問題易于求解。在這種方法中，采用了將函數(shù)離散的手段。教學參考資料2.差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解教學參考3.變分法是彈性力學中另一獨立的求解方法。

在變分法中根據(jù)平衡狀態(tài)時的能量處于極小值的條件，建立變分方程，并進行求解。彈性力學中的變分方程和微分方程是互通的，可以互相導出。 由于變分法得出的常常是近似的解答，所以也將變分法歸入彈性力學的近似解法。

教學參考資料3.變分法是彈性力學中另一獨立的教學參考資料4.有限單元法是20世紀中期發(fā)展起來的彈性力學近似解法。在有限單元法中,首先將區(qū)域離散化，把連續(xù)體變換為離散化結構；然后將連續(xù)體的能量極小值條件應用到離散化結構，從而建立求解的方法。有限單元法應用計算機進行計算，可以有效地解決各種復雜的工程問題。教學參考資料4.有限單元法是20世紀中期發(fā)展起來教學參考資料

5.對于工程技術人員來講，這些彈性力學的近似解法，是用來解決實際問題的有效手段。因此，讀者不僅要理解，而且要能應用這些近似解法。教學參考資料5.對于工程技術人員來講，這些彈性力學的近似解法

1.變分法是研究泛函及其極值的求解方法。

彈性力學中的位移變分法，是取位移函數(shù)為宗量，由總勢能處于極小值的條件來導出變分方程，然后進行求解的。以下列出平面應力問題的有關變分公式及方程。教學參考資料

（二）本章內容提要1.變分法是研究泛函及其極值的教學參考資料2.彈性體的功和能教學參考資料外力勢能：外力功：總勢能：2.彈性體的功和能教學參考資料外力勢能：外力功：總勢能：形變(內力)勢能：教學參考資料形變(內力)勢能：教學參考資料

虛位移(位移變分),是在約束條件允許下，在平衡狀態(tài)附近的微小位移增量。虛位移狀態(tài)為：

其中u，v為實際平衡狀態(tài)下的位移。教學參考資料3.在虛位移上彈性體的功和能教學參考資料3.在虛位移上彈性體的功和能教學參考資料當虛位移發(fā)生，發(fā)生時外力的虛功：外力勢能的變分：形變勢能的變分：教學參考資料當虛位移發(fā)生，發(fā)生時外力的虛功：外力勢⑴在封閉系統(tǒng)中，假定沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中，形變勢能的增加應等于外力勢能的減少，即教學參考資料4.變分方程

上式可以展開用下列各類表達式表達：⑴在封閉系統(tǒng)中，假定沒有非機械能的改教學參考資料4.變一、位移變分方程教學參考資料二、虛功方程一、位移變分方程教學參考資料二、虛功方程教學參考資料三、極小勢能原理其中。四、位移變分方程的又一形式（等價于平衡微分方程和應力邊界條件）即：教學參考資料三、極小勢能原理其中

5.位移變分法⑴瑞利－里茨法：設定位移試函數(shù)，

預先滿足上的約束邊界條件，并滿足瑞利－里茨變分方程：教學參考資料5.位移變分法教學參考資料

⑵伽遼金法：設定位移勢函數(shù)預先滿足上的約束邊界條件和上的應力邊界條件，并滿足伽遼金變分方程。教學參考資料⑵伽遼金法：設定位移勢函數(shù)預先滿教學參考資料

6.對變分法的簡單評價⑴位移變分法適用于具有各種邊界條件的問題，因此，它的適用范圍廣泛。⑵變分法中設定試函數(shù)時，一般總是局限于某種函數(shù)的范圍內，不是完全任意的。因此，變分法得出的通常是近似解。⑶由于位移解答是近似的，在求導運算后要降低精度。因此在位移變分法中，應力的精度低于位移的精度。教學參考資料6.對變分法的簡單評價教學參考資料⑷用變分法求解實際問題時，主要的難點在于：a.設定試函數(shù)必須預先滿足一定的邊界條件；b.當試函數(shù)中所取項數(shù)較多時，計算工作量很大。但與求解微分方程的解法相比，變分法具有更容易和更有可能地解決實際問題的能力。因此，變分法得到了廣泛的應用。教學參考資料⑷用變分法求解實際問題時，主要的難點教學參考資料例題第一節(jié)差分公式的推導第二節(jié)應力函數(shù)的差分解第三節(jié)應力函數(shù)差分解的實例第四節(jié)彈性體的形變勢能和外力勢能第五節(jié)位移變分方程第六節(jié)位移變分法教學參考資料第五章用差分法和變分法解平面問題第七節(jié)位移變分法例題例題第一節(jié)差分公式的推導第二節(jié)應力函數(shù)的差分解第三節(jié)彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學問題屬于微分方程的邊值問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答?！?-1差分公式的推導

——本節(jié)只介紹原理彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變

對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以

差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)，而是求函數(shù)在一些結點上的值。

fxo差分法 差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)

差分法的內容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。將導數(shù)用有限差商來代替，將微分用有限差分來代替，差分法的內容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方

導數(shù)差分公式的導出：導數(shù)差分公式在平面彈性體上劃分等間距h的兩組網格，分別∥x、y軸。網格交點稱為結點，h稱為步長。 導數(shù)差分公式的導出：導數(shù)差分公式在平面彈性應用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)應用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結點1、3，拋物線差分公式結點3：結點1：拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導出高階導數(shù)公式。從上兩式解出o點的導數(shù)公式，拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導出高階導

應用泰勒級數(shù)導出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計其誤差量級，式(b)的誤差為。拋物線差分公式應用泰勒級數(shù)導出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性對于單連體，按應力函數(shù)求解時，應滿足:§5-2應力函數(shù)的差分解按求解

——本節(jié)只介紹原理對于單連體，按應力函數(shù)求解時，應滿足:§5按求解(3)求出后，由下式求應力（假設無體力）：按求解(3)求出后，由下式求應力（假設無體力）：差分法求解1.應力公式(c)的差分表示。對于o點，

差分法求解：差分法求解1.應力公式(c)的差分表示。對于o點，差分法相容方程(5-10)化為：對每一內結點，為未知，均應列出式(5-10)的方程。2.相容方程(a)的差分表示相容方程(5-10)化為：對每一內結點，相容方程

對邊界內一行結點列式(5-10)時，需要求出邊界點和邊界外一行結點（虛結點）的值。

為了求虛結點的值，需要求出邊界點的，值。相容方程對邊界內一行結點列式(5-10)時，

3.應用應力邊界條件(b)，求出邊界點的、、值。邊界條件 3.應用應力邊界條件(b)，求出邊界點的、、（1）在邊界上選定基點A求解步驟3.應力函數(shù)差分解的步驟然后計算邊界上各結點的、、；令（1）在邊界上選定基點A求解步驟3.應力函數(shù)差分解的步驟然求解步驟（2）由邊界結點的、值，求出邊界外一行虛結點的值；（3）對邊界內所有結點列出式(5-10)的方程，聯(lián)立求各結點的值；（4）求出邊界外一行虛結點的值；（5）按式(5-9)求各結點的應力。求解步驟（2）由邊界結點的、值，求出§5－3應力函數(shù)差分解的實例問題

此題無函數(shù)式解答。應用差分法求解。

正方形深梁,上邊受均布荷載，下邊兩角點處有支承反力維持平衡，試求其應力。

——本節(jié)只介紹結果§5－3應力函數(shù)差分解的實例問題此題無函數(shù)式解1.本題具有對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。取網格如圖。取網格如圖。

比較：材料力學解─AM上為直線分布，彈性力學解─AM上為曲線分布，

由此也說明，材料力學解法只適用于桿件。比較比較：比較

（1）是解微分方程邊值問題和彈性力學問題的有效方法；（2）簡便易行，且總能求出解答；（3）可配合材料力學、結構力學解法，精確地分析結構的局部應力狀態(tài)。

差分法優(yōu)點：差分法評價 差分法優(yōu)點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網格的計算較麻煩；（2）比較適用于平面問題或二維問題；（3）凡是近似解，在求導運算時會降低精度。如的誤差為，則應力的誤差為。

缺點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網格的計算缺點：差分法評價§5－4彈性體的形變勢能和外力勢能彈性力學變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種函數(shù)。變分法─是研究泛函及其極值的求解方法?！?－4彈性體的形變勢能和外力勢能彈性力學變分法，又稱為能應力變分法─取應力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導出變分方程。彈性力學變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：應力變分法─取應力函數(shù)為自變量，并以位移變分法─取位移函形變勢能（2）因為應力和應變均從0增長到，故單位體積上，應力所做的功是非線性關系─線性關系─（1）作用于微小單元上的應力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。1.應力的功和形變勢能（內力勢能）形變勢能（2）因為應力和應變均從0增長到線性的應力-應變關系非線性的應力-應變關系線性的應力-應變關系非線性的應力-應變關系（3）對于平面應力問題

或平面應變問題

單元體積上應力所做的功都是

(c)形變勢能利用物理方程，平面應力問題的形變勢能密度，可用形變表示為（3）對于平面應力問題(c)形變勢能利用（4）假設沒有非機械能和動能的轉化，則應力所做的功全部轉化為彈性體的

內力勢能，又稱為形變勢能，或應變

能，存貯于物體內部。形變勢能─單位體積的形變勢能（形變勢能密度）。（5）整個彈性體的形變勢能

（4）假設沒有非機械能和動能的轉化，則形變勢能形變勢能對于平面應變問題，將，?？捎梦灰票硎緸椋?）將幾何方程代入式(e)，則平面應力問題的形變勢能(5-16)形變勢能對于平面應變問題，將2.形變勢能的性質（1）是應變或位移的二次泛函，

故不能應用疊加原理。（2）應變或位移發(fā)生時，總是正的，即（3）的大小與受力次序無關。（4）對應變的導數(shù)，等于對應的應力：

(5-15)形變勢能的性質2.形變勢能的性質(5-15)形變勢能的性質外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當取時的外力功和能為零，則有：(5-18)外力功和外力勢能3.彈性體上的外力功和外力勢能外力功：外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當取

4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內力（形變）勢能之和：(5-19) 4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內力(5-19)§5－5位移變分方程

在位移變分法中，所取泛函為總勢能，其自變量（宗量）為位移狀態(tài)函數(shù)

，。§5－5位移變分方程 在位移變分法中，所取泛函為⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的應力邊界條件（在上）⑶位移邊界條件（在上）。實際位移其中⑴、⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對于實際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴、⑵是充分條件。1.實際平衡狀態(tài)的位移、，必須滿足⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）實際位移其

2.虛位移狀態(tài)

⑴虛位移（數(shù)學上稱為位移變分），

表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量。

虛位移（在上）2.虛位移狀態(tài)虛位移（在上） 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產生的。因此，虛位移狀態(tài)

就構成實際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。虛位移 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他微分

─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標)改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標變量

x,y；

而因變量為函數(shù)，如位移，有

(a)⑵變分與微分的比較變分與微分微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(a)⑵變分與微分變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如，，，有

變分與微分(b)變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變變分與微分(b)由于微分和變分都是微量，所以(I).它們的運算方式相同；(II).變分和微分可以交換次序，如

變分與微分(c)由于微分和變分都是微量，所以變分與微分(c)當發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能外力勢能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

(5-20)(5-21)當發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能虛位移上功和能根據(jù)幾何方程可得到虛位移引起的虛應變，為：從而引起形變勢能的變分，為：(5-22)上式中的應力分量，在虛位移發(fā)生之前已經存在，應作為恒力計算，故無系數(shù)。虛位移上功和能根據(jù)幾何方程可得到虛位移引起（1）在封閉系統(tǒng)中，假設沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加應等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功）。即位移變分方程4.彈性力學中位移變分方程的導出(d)（1）在封閉系統(tǒng)中，假設沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變（2）位移變分方程

將式(5-20)代入式(d)，可得該式表示：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。位移變分方程(5-23)（2）位移變分方程該式表示：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變位移變分方程該式表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，

外力在虛位移上所做的虛功等于

應力在虛應變上所做的虛功。（3）虛功方程

將式(5-20)和式(5-22)代入式(d)中，可得(5-25)位移變分方程該式表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，（3）虛功其中,為形變勢能的變分；為外力功的變分。位移變分方程（4）最小勢能原理其中,U為彈性體的形變勢能;W為彈性體的外力功。可以證明，式(e)可以寫成式(d)可寫成(e)(f)其中,為形變勢能的變分；為外力功的變分。位移變分方由于彈性體的總勢能為故式(f)可以表示為

再將總勢能對其變量（位移或應變）作二次變分運算，可得

也就是：(5-24)位移變分方程由于彈性體的總勢能為(5-24)位移變分方程最小勢能原理：數(shù)學表示如圖(a)，物理意義如圖(b)uu（實際位移）(a)(b)最小勢能原理：uu（實際位移）(a)(b)位移變分方程

這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應于總勢能為極小值。位移變分方程這就是最小勢能原理。它表示在給證明：位移變分方程等價于證明：位移變分方程等價于證明：位移變分方程等價于平衡微分方程和應力邊界條件。利用幾何方程將方程(5-22)改寫為：證明：位移變分方程等價于平衡微分方程利用幾何方程將應用分部積分公式又一形式和格林公式其中，s為平面域A的邊界，l、m為邊界外法線的方向余弦。應用分部積分公式又一形式和格林公式其中，s為平面域A的對第一項計算因為在邊界約束處，虛位移∴即有：對第一項計算因為在邊界約束處，虛位移∴即有：對第二項計算與第一項計算類似處理，有對第二項計算與第一項計算類似處理，有對第三項計算對第三項計算又一形式三項相加：此外，由式（5-23）又有又一形式三項相加：此外，由式（5-23）又有因為，是任意的獨立變分，為了滿足上式，必須有虛位移的系數(shù)為零。又一形式上式兩邊相等，有因為，是任意的獨立變分，為了滿足又一形式上（在A中）（在上）得到如下平衡微分方程和應力邊界條件：（在A中）（在上）得到如下平衡微分方程和應力邊界條件

由此可見，從位移變分方程可以導出平衡微分方程和應力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應力邊界條件。由此可見，從位移變分方程可以導出平衡微分方⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足

a.上的約束(位移)邊界條件；

b.上的應力邊界條件；c.域A中的平衡微分方程。5.結論結論⑵位移變分方程可以等價地代替靜力條件b和c。⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足5.結論結論⑵位移變分方結論⑶由此得出一種變分解法，即預先使位移函數(shù)滿足上的位移邊界條件，再滿足位移變分方程，必然也可以找出對應于實際平衡狀態(tài)的位移解答。結論⑶由此得出一種變分解法，即預先使位

1.微分和變分各是由什么原因引起的？2.試比較位移變分方程、虛功方程和極小勢能原理不同的物理解釋。3.試證明二階變分。思考題1.微分和變分各是由什么原因引起的？思考題

位移變分法取位移為基本未知函數(shù)。位移函數(shù)應預先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程?！?-6位移變分法位移變分法取位移為基本未知函數(shù)?！?-6位移變分(5-26)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設定位移試函數(shù)的方法，令

1.瑞利-里茨法

(5-26)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法其中和均為設定的x，y的函數(shù)，并在邊界上，令

（在上）（在上）瑞利-里茨法其中和均為設定的x，y的函數(shù)，并在邊界∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。

而，用來反映位移狀態(tài)的變化， 故位移的變分為瑞利-里茨法(a)∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。瑞利-里茨法(a瑞利-里茨法位移的變分通過，的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(5-26)還必須滿足位移變分方程(5-23)瑞利-里茨法位移的變分通過，將式(b)，(a)代入位移變分方程(5-23)，整理得到：因為虛位移（位移變分）中的，是任意的獨立變分，為了滿足上式，必須有其系數(shù)為零。將式(b)，(a)代入位移變分方程(5-23)，整理得到：瑞利-里茨法式(5-27)是瑞利-里茨變分方程。它是關于，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出和，代入式（5-26）從而得到位移的解答。瑞利-里茨法式(5-27)是瑞利-里茨變

2.伽遼金法（介紹原理）——設定位移試函數(shù)如式(5-26)所示，但令u,v

不僅滿足上的位移邊界條件，而且也滿足上的應力邊界條件（用u,v表示）。伽遼金法伽遼金法例1

圖示矩形板a×b，在上邊及右邊受有均布壓力及，而左邊和下邊受有法向連桿的約束?！?-7位移變分法例題例1§5-7位移變分法例題

應用瑞利-里茨法，設定位移滿足兩個約束邊界條件

例題(a)(b) 應用瑞利-里茨法，設定位移例題(a)(b)

應力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（體力）：(c)對式(c)右邊的積分，應包含所有的應力邊界條件，積分時要將邊界方程代入。例題應力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替在處：，，例題在處：，，(d)(e)在處：將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項：利用方程（5-16）例題得到：其中：將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項：例題得到根據(jù)式(c)、(d)、(e)、(f)可得：例題積分可得：(f)根據(jù)式(c)、(d)、(e)、(f)可得：例題積分可得解得，為：例題對于圖示的簡單問題，該解答正好是其精確解。將，代入式(a)，可得位移解答：解得，為：例題對于圖示第五章例題例題1例題2例題3例題第五章例題例題1例題2例題3例題例題1

試證明，在同樣的應變分量，和下，平面應變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應力情況下的形變勢能。例題例題1試證明，在同樣的應變分量，例題對于平面應變情況，只需將上式中的，變換為：解：平面應力情況下，單位厚度的形變勢能為：例題(a)(b)對于平面應變情況，只需將上式中的，例題(e)則有：將式(b)-(d)代入式(a)，得到平面應變情況下的形變勢能：(c)(d)例題(e)則有：將式(b)-(d)代入式(a)

從式(e)可見，在平面應變情況下，形變勢能中的第所有項均大于平面應力情況下的值。因此，平面應變的形變勢能大于平面應力的形變勢能U。例題從式(e)可見，在平面應變情況下，形變勢能aabqbx

y例題2圖中所示的薄板，厚度，三邊固定，一邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解。?。篴abqbxy例題2圖中所示的薄板，厚度解：在瑞利-里茨法中，設定位移試函數(shù)應滿足位移邊界條件，并應反映圖示問題的對稱性。取上式反映了位移對稱于y

軸的要求：v為x的偶函數(shù)，u為x的奇函數(shù)。滿足位移邊界條件：解：在瑞利-里茨法中，設定位移試函數(shù)應滿足位移邊界條件，

僅取各一項進行運算:例題因為體力：面力只作用在處，有：則：(a)(b)僅取各一項進行運算:例題因為體力：利用方程（5-16），將式位移函數(shù)代入，得

例題其中：利用方程（5-16），將式位移函數(shù)代入，得例題其中：例題取：形變勢能密度為積分得到形變勢能為(c)例題取：形變勢能密度為積分得到將式(a)-(c)代入式瑞利-里茨變分方程

得到：(d)將式(a)-(c)代入式瑞利-里茨變分方程得到：例題求應力解答，由物理方程：解得：位移解答：例題求應力解答，由物理方程：解得：例題對稱軸上（）：（最大）例題對稱軸上（）：例題在邊界：（最大）例題在邊界：（最大）本題中，由于u，v中各只取一項，且取，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應力時，其應力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應取更多的項數(shù)進行計算。本題