物理課件1-14第14章振動(dòng)

振動(dòng)第十四章

單擺由一個(gè)質(zhì)量為m的擺錘掛在一根長度為l的細(xì)繩(質(zhì)量可不計(jì))末端組成。擺錘被推向一邊，使繩子與垂線成5.0o角度，當(dāng)釋放時(shí)它就以頻率f來回?cái)[動(dòng)。如果擺錘上升到10.0o釋放，其頻率會(huì)是

(a)兩倍。

(b)一半。

(c)相同或者非常接近。

(d)不到兩倍。

(e)比一半稍大一點(diǎn)。開篇問題----請(qǐng)猜一猜振動(dòng)現(xiàn)象音叉仍為臨床判斷耳聾性質(zhì)的常用檢查方法之一。常用一套音叉一般分5個(gè)或8個(gè)頻率，即：64,128,256,512,1024,2048,4016,8192Hz?！?4-1彈簧的振動(dòng)胡克定律：恢復(fù)力F與彈簧拉伸或壓縮離平衡位置的位移x成正比，F(xiàn)=-kx

(14-1)其中平衡位置選定在x=0處,k稱為該彈簧的彈簧系數(shù)，或稱為剛度系數(shù)。適用范圍：只有當(dāng)彈簧被壓縮到螺旋密繞或者不超出彈性范圍內(nèi)是準(zhǔn)確的。胡克定律不僅適用于彈簧，也于其他振蕩固體，因此，該定律具有廣泛的適用性，盡管它只在F和x一定范圍內(nèi)有效。圖14-2a:均質(zhì)彈簧初始?jí)嚎s距離x=-A；圖14-2b:當(dāng)物體到達(dá)平衡位置時(shí)，作用力已減小為零，但在此點(diǎn)上的速度卻達(dá)到了最大值vmax；圖14-2c：減速，在x=A處停止；圖14-2d：向相反的方向運(yùn)動(dòng)，一直加速到達(dá)平衡位置；圖14-2e：接著減速，直到速度為零回到初始位置x=-A。以后重復(fù)在x=A和x=-A之間對(duì)稱地作往返運(yùn)動(dòng)?！?4-1彈簧的振動(dòng)練習(xí)題A：彈簧一端的物體作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。在一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)過程中下列哪項(xiàng)陳述是真實(shí)的？(a)物體速度為零的同時(shí)加速度不為零；(b)物體速度為零的同時(shí)加速度也為零；(c)物體加速度為零的同時(shí)速度不為零；(d)物體的速度和加速度同時(shí)不為零。練習(xí)題B：水平彈簧一端的物體在無摩擦表面作振動(dòng)，試問在下列什么位置其物體的加速度為零?

x=-A;(b)x=0;(c)x=+A;(d)x=-A和x=+A位置;(e)沒有這樣的位置?！?4-1彈簧的振動(dòng)定義：位移x：平衡位置到物體的距離；振幅A：最大位移量；循環(huán)：完成從初始回到原位的往返運(yùn)動(dòng)，比如說從x=-A到x=A再回到x=-A。周期T:完成一個(gè)循環(huán)所需的時(shí)間;頻率f:每秒經(jīng)歷的循環(huán)數(shù),單位為赫茲(Hz)；其中1Hz=每秒一個(gè)周期(s-1)；頻率和周期成反比：

f=1/T，T=1/f(14-2)§14-1彈簧的振動(dòng)

垂直懸掛彈簧的振動(dòng):本質(zhì)上與一個(gè)水平彈簧的振動(dòng)是一樣的。由于重力作用，垂直彈簧在平衡時(shí)的長度將比相同彈簧在水平平衡時(shí)的長度要更長一些，如圖所示。

彈簧平衡:mg–kx0=0彈簧的平衡位置:x0=mg/k

以新平衡點(diǎn)為原點(diǎn)O:F=-kx§14-1彈簧的振動(dòng)例題14-1汽車彈簧。當(dāng)一個(gè)質(zhì)量為200公斤的一家四口步入一輛總質(zhì)量為1200公斤的汽車?yán)?，汽車的彈簧壓縮了3厘米。(a)假設(shè)汽車?yán)锏膹椈煽梢暈閱蝹€(gè)彈簧，彈簧勁度系數(shù)為多少？(b)如果承載了300公斤而不是200公斤，則汽車將下降多少厘米？解答：(a)施加力：F=(200kg)*(9.8m/s2)=1960N彈簧壓縮：x=3cm=0.03m，根據(jù)胡克定律k=F/x=

1960/0.03=65333N/m

(b)如果汽車承載了300公斤，由胡克定律得：

x=F/k=300*9.8/65333=0.045m=4.5cm2.簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析：物體m系在彈簧系數(shù)為k的單根彈簧一端牛頓第二定律：F=ma

(14-3)稱之為簡諧振子的運(yùn)動(dòng)方程?！?4-2簡諧振動(dòng)

1.簡諧運(yùn)動(dòng)(SHM)：對(duì)于凈回復(fù)力正比于位移負(fù)值：F=-kx的任何振蕩系統(tǒng)稱為簡諧運(yùn)動(dòng)(SHM)，這樣的系統(tǒng)通常稱為簡諧振子(SHO)。許多固體材料的本征振蕩都是簡諧的或近似簡諧的。我們可以通過記錄來猜測(cè)解的形式：將一支筆連接到一個(gè)振動(dòng)物體上，紙?jiān)谙路揭苑€(wěn)定的速度移動(dòng)，筆將會(huì)把軌跡曲線描繪出來。猜到方程的一般解可寫成：

x=Acos(t+)

(14-4)

驗(yàn)證x=Acos(t+)

是方程(14-3)的解：dx/dt=-

Asin(t+)

d2x/dt2

=-2

Acos(t+)=-2

x0=d2x/dt2+(k/m)x=-2

x+(k/m)x(k/m-2)x=0只有當(dāng)(k/m-2)=0時(shí)，x不為零。因此

2=k/m(14-5)兩個(gè)任意常數(shù)A和由初始條件來確定?！?4-2簡諧振動(dòng)例如，設(shè)物體開始位于最大位移處，由靜止釋放。如圖所示

x=Acos(t+)

dx/dt=-

Asin(t+)初始條件：t=0時(shí)x0=A，v0=0

x20+(v0/)2=A2

A=[x20+(v0/)2]1/2=Atg=-v0/(x0)=0，

=0或當(dāng)=0時(shí)，x0=Acos=Acos0=A當(dāng)=

時(shí)，x0=Acos=Acos=-A所以=0。

振動(dòng)方程為：x=Acost§14-2簡諧振動(dòng)考慮另一個(gè)有趣的例子：在t=0時(shí)刻，物體m在x=0處受到撞擊，使它沿x正方向有一初速度v0。初始條件：t=0時(shí)x0=0，v0>0

A=[x20+(v0/)2]1/2=v0/tg=-v0/(x0)=-∞

=

-/2當(dāng)=-/2時(shí)，v0=-A

sin(-/2)=v0所以=-/2。

振動(dòng)方程為：x=Acos(t-/2)=Asint§14-2簡諧振動(dòng)2.簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析：角頻率(單位為rad/s):

=2

/T=2

f

質(zhì)量越大，頻率越低；而彈簧越硬，頻率越高注意:

頻率和周期不依賴于振幅，改變簡諧振子的振幅不影響其頻率。簡諧振子本身的頻率f稱為固有頻率.簡諧運(yùn)動(dòng)可表示為：

x=Acos(2

t/T+)

或x=Acos(2

ft+)

§14-2簡諧振動(dòng)練習(xí)題E

彈簧一端的物體質(zhì)量改變多少其振動(dòng)的頻率變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

(a)不變;(b)兩倍;(c)四倍;(d)一半;(e)四分之一.

練習(xí)題F

簡諧振子的位置由

x=(0.80m)cos(3.14t-0.25)確定，頻率是(a)3.14Hz,(b)1.0Hz,(c)0.50Hz,(d)9.88Hz,(e)19.8Hz.§14-2簡諧振動(dòng)振動(dòng)物體的速度和加速度：

x=Acos(t+)

v

=-

Asin(t+)=

Acos(t++/2)速度超前位移/2vmax=A=(k/m)1/2A

a=-2Acos(t+)=2Acos(t++)加速度超前位移

amax=2A=(k/m)A§14-2簡諧振動(dòng)例題14-3估算震動(dòng)的地板工廠里的馬達(dá)引起地板以10Hz的頻率震動(dòng)，在馬達(dá)附近地板震動(dòng)的振幅大約為3.0mm，試估計(jì)馬達(dá)附近地板震動(dòng)的最大加速度。分析：假設(shè)地板運(yùn)動(dòng)時(shí)大致為簡諧振動(dòng)，我們可以用方程(14-9b)來估算出最大的加速度。解答：

=2f=(2)(10s-1)=62.8rad/s,由方程(14-9b)得：amax=2A=(62.8rad/s)2(0.0030m)=12m/s2.注解：因?yàn)槠渥畲蠹铀俣瘸^重力加速度g，所以當(dāng)?shù)匕逑蛳录铀贂r(shí)，放置在地板上的物體將會(huì)瞬間失去與地板的接觸，這將導(dǎo)致噪音和嚴(yán)重的磨損?！?4-2簡諧振動(dòng)例題14-4揚(yáng)聲器揚(yáng)聲器的紙盆以頻率262Hz（C中調(diào)）作簡諧振動(dòng)，紙盆中心的振幅A為1.510-4m，初始時(shí)刻t=0，x=A。試求：(a)紙盆中心的運(yùn)動(dòng)方程。(b)速度和加速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。(c)在t=1ms(=1.0010-3s)時(shí)紙盆中心的位置？分析：紙盆在最大位移處開始運(yùn)動(dòng)(t=0時(shí)，x=A)，故采用

=0的余弦函數(shù)x=Acost。解答：(a)振幅A=1.510-4m，

=2f=(6.28rad)(262s-1)=1650rad/s運(yùn)動(dòng)方程可表示為

x=Acost=(1.510-4m)cos(1650t)§14-2簡諧振動(dòng)(b)vmax=A=(1650rad/s)(1.510-4m)=0.25m/s故v=-(0.25m/s)sin(1650t)。

amax=2A=(1650rad/s)2(1.510-4m)=410m/s2，于是有

a=-(410m/s2)cos(1650t).(c)在t=1.0010-3s時(shí)刻

x=Acost=(1.510-4m)cos[(1650rad/s)(1.0010-3s)]=(1.510-4m)cos(1.650rad/s)=-1.210-5m.§14-3簡諧振動(dòng)的能量對(duì)于簡諧振子來說，例如一個(gè)質(zhì)量為m物體在質(zhì)量可忽略的彈簧端上振蕩，其恢復(fù)力

F=-kx在x=0處(平衡位置)，令U=0。

總機(jī)械能為動(dòng)能和勢(shì)能之和，即其中v為物體m距平衡位置x處的速度。忽略摩擦，總機(jī)械能E

保持不變。隨著物體來回振動(dòng)，勢(shì)能和動(dòng)能交替變化。

§14-3簡諧振動(dòng)的能量在x=A和x=-A處，v=0,E=m(0)2/2+kA2/2=kA2/2(14-10a)簡諧振子的總機(jī)械能正比于振幅的平方。在x=0平衡位置處，總能量都是動(dòng)能：E=mv2/2+k(0)2/2=mv2max/2(14-10b)其中vmax為振動(dòng)過程中的最大速度。中間過程點(diǎn)的能量一部分是勢(shì)能，另一部分是動(dòng)能。由于能量守恒，E=mv2/2+kx2/2=kA2/2=mv2max/2(14-10c)§14-3簡諧振動(dòng)的能量速度v與x的函數(shù)方程：

右圖顯示了U=kx2/2勢(shì)能曲線，上方的水平線表示總能量為E=kA2/2。E線與U曲線之間的距離表示動(dòng)能K，運(yùn)動(dòng)被限制在x為-A和+A之間。通過能量守恒來計(jì)算速率v——例如，已知x，無需知道時(shí)間t，就可確定速率，反之亦然。例題14-7能量計(jì)算

對(duì)于例題14-5的簡諧振動(dòng)，試求：(a)總能量；(b)動(dòng)能和勢(shì)能與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；(c)當(dāng)物體距平衡位置0.050m時(shí)的速度；(d)在二分之一振幅處的動(dòng)能和勢(shì)能。分析：利用彈簧系統(tǒng)的能量守恒方程(14-10)和方程(14-11)。解答：(a)已知k=19.6N/m

和A=0.100m，根據(jù)方程(14-10a)，總能量E=kA2/2=19.6*(0.100)2/2=0.098J(b)由例題14-5中(f)和(g)的結(jié)果：

x=-(0.100m)cos8.08t和v=(0.808m/s)sin8.08t，可得：

U=kx2/2=19.6*(0.100m)2cos2(8.08t)/2=(0.098J)cos2(8.08t)K=mv2/2=0.3kg(0.808m/s)2sin2(8.08t)/2=(0.098J)sin2(8.08t)例題14-7能量計(jì)算

對(duì)于例題14-5的簡諧振動(dòng)，試求：(a)總能量；(b)動(dòng)能和勢(shì)能與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；(c)當(dāng)物體距平衡位置0.050m時(shí)的速度；(d)在二分之一振幅處的動(dòng)能和勢(shì)能。分析：利用彈簧系統(tǒng)的能量守恒方程(14-10)和方程(14-11)。解答：已知k=19.6N/m

和A=0.100m，

E=kA2/2=19.6*(0.100)2/2=0.098J(c)由方程(14-11b)可得v=±vmax

[(1-x2/A2)]1/2

=±(0.808m/s)[(1-0.052/0.12)]1/2=±0.7m/s(d)在x=A/2=0.050m

處,我們有

U=kx2/2=19.6*(0.05m)2/2=0.025JK=E–U=0.098-0.025=0.073J§14-4簡諧振動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)系考慮質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速率

vM

沿半徑為A的圓周旋轉(zhuǎn)，如圖所示。俯視看它做圓周運(yùn)動(dòng)，但側(cè)視就成為了來回往復(fù)的振蕩運(yùn)動(dòng)，其振蕩運(yùn)動(dòng)規(guī)律與簡諧振動(dòng)（SHM）準(zhǔn)確一致。

旋轉(zhuǎn)矢量:一長度等于振幅A的矢量在紙平面可直觀領(lǐng)會(huì)簡諧振動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義。諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的圖振動(dòng)相位逆時(shí)針方向ω

M點(diǎn)在

X

軸上投影(P點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

的長度旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向與參考方向X的夾角XOMPx振幅A振動(dòng)圓頻率解法一：振動(dòng)方程解法二：旋轉(zhuǎn)矢量速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：M

點(diǎn):

沿X

軸的投影為簡諧運(yùn)動(dòng)的速度、加速度表達(dá)式。兩個(gè)同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)：相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為：例

一物體沿X軸作簡諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向x軸正向運(yùn)動(dòng)。求:(1)簡諧振動(dòng)表達(dá)式;(2)t=T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06m向X軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解:

(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),諧振動(dòng)方程寫為：初始條件：t=0,x0=0.06m,可得其中A=0.12m,T=2s,據(jù)初始條件

o若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解，根據(jù)初始條件可畫出振幅的初始位置，如下圖所示。A得從而可得(2)由(1)求得的簡諧振動(dòng)表達(dá)式得:在t=T/4=0.5s時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得(3)當(dāng)x=-0.06m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1,得因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去，設(shè)物體在t2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是因此從x=-0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間：另解：從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為：相位和初相相位：決定簡諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。初相位：t

=0

時(shí)的相位。

相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異。設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為：A/2二者的相位差為：(b)當(dāng)時(shí),稱兩個(gè)振動(dòng)為反相；

(a)當(dāng)

時(shí),稱兩個(gè)振動(dòng)為同相；討論：(d)當(dāng)

時(shí),稱第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng)

.(c)當(dāng)

時(shí),稱第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng)；

相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)，對(duì)于簡諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在:速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。

φ’－φ＞0，Q超前Lead

Pφ’－φ＜0，Q落后LagbehindPφ’－φ＝0同相Synchronousφ’－φ＝π反相Antiphase

超前時(shí)間

Δt=（φ’－φ）/ω

超前相位