剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義課件

質(zhì)量幾何和面積幾何

質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心、形心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、慣性矩和慣性積慣量主軸、主慣性矩質(zhì)量幾何和面積幾何質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心、形心1第一節(jié)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心矢量式：第一節(jié)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心矢量式：2質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心矢量式：分量式：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心矢量式：分量式：3質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心積分式：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心積分式：4重心（在重力場中，用合力矩定理）重心（在重力場中，用合力矩定理）5重心（積分式）重心（積分式）6形心（均質(zhì)材料，質(zhì)量密度為常數(shù)）積分式：形心（均質(zhì)材料，質(zhì)量密度為常數(shù)）積分式：7平面圖形的形心積分式：平面圖形的形心積分式：8空間組合體的形心公式：空間組合體的形心公式：9平面組合圖形的形心公式：平面組合圖形的形心公式：10將此截面分割為兩個(gè)截面例1：已知組合截面的尺寸，試求該組合體的形心。解：取對(duì)稱軸故xC

=0分割法：將物體分割成有規(guī)律的幾個(gè)物體，C11將此截面分割為兩個(gè)截面例1：已知組合截面的尺寸，試求該組合體例2：圖示槽鋼橫截面，試求此截面形心的位置。A1=30?10=300cm2,x1=15cm；解：取對(duì)稱軸故yc=0，再分割成有規(guī)律的幾個(gè)物體：A2=20?10=200cm2,x2=5cm；A3=30?10=300cm2,x3=15cm；例2：圖示槽鋼橫截面，試求此截面形心的位置。A1=30?1012例3：用負(fù)面積法求上題槽鋼橫截面形心的位置。解：若將截面分割成二塊有規(guī)律的矩形物體，A1是正面積，A2是負(fù)面積，代入公式結(jié)果同前。A1A2A1=30?40=1200cm2,x1=15cmA2=-20?20=-400cm2,x2=20cm；負(fù)面積法例3：用負(fù)面積法求上題槽鋼橫截面形心的位置。解：若將截面分割13例4：圖示均質(zhì)扇形薄板，試求形心的位置。解：取對(duì)稱軸故yc=0xyC當(dāng)：=/2，則:xc=(4r/3)積分法rxydSd例4：圖示均質(zhì)扇形薄板，試求形心的位置。解：取對(duì)稱軸故yc14圖示為任意板塊物體，試用試驗(yàn)法求板塊重心的位置。`PA`PCB

1）先在物體A點(diǎn)懸掛作垂直線；2）再在物體B點(diǎn)懸掛作垂直線；3）二根垂直線交點(diǎn)C是重心的位置。懸掛法確定重心的實(shí)驗(yàn)法：1、懸掛法圖示為任意板塊物體，試用試驗(yàn)法求板塊重心的位置。`PA`PC152、稱重法162、稱重法16第二節(jié)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：第二節(jié)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：17第二節(jié)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：剛體內(nèi)每一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其至軸x的距離二次方的乘積的總和也可寫成：m為剛體的總質(zhì)量，稱為剛體對(duì)軸x的回轉(zhuǎn)半徑。回轉(zhuǎn)半徑是將整個(gè)剛體的質(zhì)量等效地集中在離軸x的的點(diǎn)上。第二節(jié)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可寫成：m為18

定義：剛體內(nèi)每一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其至軸O的距離二次方的乘積的總和2、剛體對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：剛體內(nèi)每一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其至軸O的距離二次方19剛體正交三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：3、剛體對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系剛體正交三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：3、剛體對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)軸20因?yàn)閯傮w對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系則有：對(duì)于不計(jì)厚度的平面剛體，若選剛體平面為Oxy平面，顯然則有因?yàn)閯傮w對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系則有：21

設(shè)在質(zhì)心C上建立與Oxyz平行的坐標(biāo)系，質(zhì)心C在Oxyz中的坐標(biāo)為則任一質(zhì)點(diǎn)的x，y坐標(biāo)為：4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理設(shè)在質(zhì)心C上建立與Oxyz平行的坐標(biāo)系，質(zhì)心C在22剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其對(duì)過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。由此可見，物體對(duì)通過自身質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最小。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理：則其中剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其對(duì)過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)23

若剛體為平面剛片且是均質(zhì)的（物體的密度為常量），則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只與物體的形狀有關(guān)，抽去物體的密度常數(shù)，即5、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣性矩的關(guān)系其中（為物體的密度）（慣性矩）若剛體為平面剛片且是均質(zhì)的（物體的密度為常量），24定義：1）量綱：m4或mm4。yzdAzyo2）慣性矩是對(duì)軸而言（軸慣性矩）。3）慣性矩的取值恒為正值。4）極慣性矩：（對(duì)o點(diǎn)而言）（圖形對(duì)z軸的慣性矩）（圖形對(duì)y軸的慣性矩）6、慣性矩（面積的二次矩）定義：1）量綱：m4或mm4。yzdAzyo2）慣性矩是25慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：

圖形對(duì)任一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)系的慣性矩之和恒等于此圖形對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。yzdAzyo慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：圖形對(duì)任一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)系26bhzccyc矩形平面慣性矩的計(jì)算：bdyhdzbhzccyc矩形平面慣性矩的計(jì)算：bdyhdz27圓形平面慣性矩的計(jì)算：實(shí)心圓（直徑D）——空心圓（外徑D，內(nèi)徑d）——zcycc圓形平面慣性矩的計(jì)算：實(shí)心圓（直徑D）——空心圓（外徑D，內(nèi)28zyoyczcczcyc慣性矩的平行移軸公式：zyoyczcczcyc慣性矩的平行移軸公式：29例：試求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩。解：1、求形心坐標(biāo)xyb(y)ycCdxc例：試求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩。302、求對(duì)形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxc例：試求圖示直徑為d

的半圓對(duì)其自身形心軸的慣性矩。2、求對(duì)形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y31例：試求圖a所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。1、矩形對(duì)x軸的慣性矩：2、一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸xc軸的慣性矩（見上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p例：試求圖a所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩。解：將截面看323、一個(gè)半圓對(duì)x的慣性矩由平行移軸公式得：4、整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩：xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p例：試求圖a所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x

的慣性矩。3、一個(gè)半圓對(duì)x的慣性矩由平行移軸公式得：4、整個(gè)截面對(duì)33第三節(jié)剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在剛體內(nèi)任選一點(diǎn)O為原點(diǎn)作固連于剛體的坐標(biāo)系Oxyz，過點(diǎn)O作任一直線OL，它與坐標(biāo)軸x，y，z的夾角為。則根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式，剛體對(duì)軸OL的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：第三節(jié)剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在剛體內(nèi)任選一點(diǎn)341、剛體對(duì)任意軸OL的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體對(duì)任意軸OL的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量35剛體對(duì)任意軸OL的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量上式中Jxy、Jyz、Jzx分別稱為剛體對(duì)于軸x和y、對(duì)軸y和z、對(duì)軸z和x的離心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。抽去物體的密度常數(shù)，即為物體形狀的慣性積。剛體對(duì)任意軸OL的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量上式中Jxy、Jyz、Jz362、離心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（慣性積）：2、離心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（慣性積）：373、主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（主慣性矩）：如果適當(dāng)選取坐標(biāo)軸Oxyz的方位，使上式中的Jxy=0、Jyz=0、Jzx=0，則稱坐標(biāo)軸x、y、z是對(duì)于其原點(diǎn)的慣量主軸。于是此時(shí)Jx、Jy、Jz分別稱為剛體對(duì)于軸x、對(duì)軸y、對(duì)軸z的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。3、主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（主慣性矩）：如果適當(dāng)選取坐標(biāo)軸O384、慣性積的平行移軸定理：設(shè)：4、慣性積的平行移軸定理：設(shè)：39慣性積的平行移軸定理：則有：慣性積的平行移軸定理：則有：40質(zhì)量幾何和面積幾何

質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心、形心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、慣性矩和慣性積慣量主軸、主慣性矩質(zhì)量幾何和面積幾何質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心、形心41第一節(jié)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心矢量式：第一節(jié)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心矢量式：42質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心矢量式：分量式：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心矢量式：分量式：43質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心積分式：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心積分式：44重心（在重力場中，用合力矩定理）重心（在重力場中，用合力矩定理）45重心（積分式）重心（積分式）46形心（均質(zhì)材料，質(zhì)量密度為常數(shù)）積分式：形心（均質(zhì)材料，質(zhì)量密度為常數(shù)）積分式：47平面圖形的形心積分式：平面圖形的形心積分式：48空間組合體的形心公式：空間組合體的形心公式：49平面組合圖形的形心公式：平面組合圖形的形心公式：50將此截面分割為兩個(gè)截面例1：已知組合截面的尺寸，試求該組合體的形心。解：取對(duì)稱軸故xC

=0分割法：將物體分割成有規(guī)律的幾個(gè)物體，C51將此截面分割為兩個(gè)截面例1：已知組合截面的尺寸，試求該組合體例2：圖示槽鋼橫截面，試求此截面形心的位置。A1=30?10=300cm2,x1=15cm；解：取對(duì)稱軸故yc=0，再分割成有規(guī)律的幾個(gè)物體：A2=20?10=200cm2,x2=5cm；A3=30?10=300cm2,x3=15cm；例2：圖示槽鋼橫截面，試求此截面形心的位置。A1=30?1052例3：用負(fù)面積法求上題槽鋼橫截面形心的位置。解：若將截面分割成二塊有規(guī)律的矩形物體，A1是正面積，A2是負(fù)面積，代入公式結(jié)果同前。A1A2A1=30?40=1200cm2,x1=15cmA2=-20?20=-400cm2,x2=20cm；負(fù)面積法例3：用負(fù)面積法求上題槽鋼橫截面形心的位置。解：若將截面分割53例4：圖示均質(zhì)扇形薄板，試求形心的位置。解：取對(duì)稱軸故yc=0xyC當(dāng)：=/2，則:xc=(4r/3)積分法rxydSd例4：圖示均質(zhì)扇形薄板，試求形心的位置。解：取對(duì)稱軸故yc54圖示為任意板塊物體，試用試驗(yàn)法求板塊重心的位置。`PA`PCB

1）先在物體A點(diǎn)懸掛作垂直線；2）再在物體B點(diǎn)懸掛作垂直線；3）二根垂直線交點(diǎn)C是重心的位置。懸掛法確定重心的實(shí)驗(yàn)法：1、懸掛法圖示為任意板塊物體，試用試驗(yàn)法求板塊重心的位置。`PA`PC552、稱重法562、稱重法16第二節(jié)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：第二節(jié)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：57第二節(jié)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：剛體內(nèi)每一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其至軸x的距離二次方的乘積的總和也可寫成：m為剛體的總質(zhì)量，稱為剛體對(duì)軸x的回轉(zhuǎn)半徑。回轉(zhuǎn)半徑是將整個(gè)剛體的質(zhì)量等效地集中在離軸x的的點(diǎn)上。第二節(jié)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可寫成：m為58

定義：剛體內(nèi)每一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其至軸O的距離二次方的乘積的總和2、剛體對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：剛體內(nèi)每一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其至軸O的距離二次方59剛體正交三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：3、剛體對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系剛體正交三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：3、剛體對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)軸60因?yàn)閯傮w對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系則有：對(duì)于不計(jì)厚度的平面剛體，若選剛體平面為Oxy平面，顯然則有因?yàn)閯傮w對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系則有：61

設(shè)在質(zhì)心C上建立與Oxyz平行的坐標(biāo)系，質(zhì)心C在Oxyz中的坐標(biāo)為則任一質(zhì)點(diǎn)的x，y坐標(biāo)為：4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理設(shè)在質(zhì)心C上建立與Oxyz平行的坐標(biāo)系，質(zhì)心C在62剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其對(duì)過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。由此可見，物體對(duì)通過自身質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最小。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理：則其中剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其對(duì)過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)63

若剛體為平面剛片且是均質(zhì)的（物體的密度為常量），則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只與物體的形狀有關(guān)，抽去物體的密度常數(shù)，即5、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣性矩的關(guān)系其中（為物體的密度）（慣性矩）若剛體為平面剛片且是均質(zhì)的（物體的密度為常量），64定義：1）量綱：m4或mm4。yzdAzyo2）慣性矩是對(duì)軸而言（軸慣性矩）。3）慣性矩的取值恒為正值。4）極慣性矩：（對(duì)o點(diǎn)而言）（圖形對(duì)z軸的慣性矩）（圖形對(duì)y軸的慣性矩）6、慣性矩（面積的二次矩）定義：1）量綱：m4或mm4。yzdAzyo2）慣性矩是65慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：

圖形對(duì)任一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)系的慣性矩之和恒等于此圖形對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。yzdAzyo慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：圖形對(duì)任一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)系66bhzccyc矩形平面慣性矩的計(jì)算：bdyhdzbhzccyc矩形平面慣性矩的計(jì)算：bdyhdz67圓形平面慣性矩的計(jì)算：實(shí)心圓（直徑D）——空心圓（外徑D，內(nèi)徑d）——zcycc圓形平面慣性矩的計(jì)算：實(shí)心圓（直徑D）——空心圓（外徑D，內(nèi)68zyoyczcczcyc慣性矩的平行移軸公式：zyoyczcczcyc慣性矩的平行移軸公式：69例：試求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩。解：1、求形心坐標(biāo)xyb(y)ycCdxc例：試求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩。702、求對(duì)形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxc例：試求圖示直徑為d

的半圓對(duì)其自身形心軸的慣性矩。2、求對(duì)形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y71例：試求圖a所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。1、矩形對(duì)x軸的慣性矩：2、一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸xc軸的慣性矩（見上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p例：試求圖a所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩。解：將截面看723、一個(gè)半圓對(duì)x的慣性矩由平行移軸公式得：4、整個(gè)截面對(duì)于對(duì)