2021-2022學(xué)年吉林省吉化第一校高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 【含答案】

吉化一中2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若曲線(xiàn)表示圓，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】按照?qǐng)A的一般方程滿(mǎn)足的條件求解即可.【詳解】或.故選：C.2.如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，用基底表示向量，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用空間向量基本定理求解即可【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，，，所以，故選：B3.圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.相離【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算兩圓心之間的距離，判斷距離和半徑和、半徑差之間的關(guān)系即可.【詳解】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，兩圓心之間的距離，故兩圓內(nèi)切.故選：A.4.雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，焦點(diǎn)在軸上，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.5.平行直線(xiàn)：與：之間的距離等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由兩條直線(xiàn)平行解出，再按照平行線(xiàn)之間距離公式求解.【詳解】，則：，即，距離為.故選：B.6.《萊茵德紙草書(shū)》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書(shū)中有這樣一道題目：把93個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個(gè)．A.12 B.24 C.36 D.48【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，根據(jù)題意，由求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D7.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A.32 B. C.1320 D.【答案】A【解析】【分析】先令，求出，再當(dāng)時(shí)，由，可得，然后兩式相比，求出，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相除可得，所以，所以，故選：A8.已知橢圓的中心為，一個(gè)焦點(diǎn)為，在上，若是正三角形，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是正三角形可得的坐標(biāo)，代入方程后可求離心率.【詳解】不失一般性，可設(shè)橢圓的方程為：，為半焦距，為右焦點(diǎn)，因?yàn)榍遥?，故，，整理得到，故，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且斜率為k，若與連接兩點(diǎn)，的線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則k的取值可以為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】AD【解析】【分析】要使直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)，則需或，根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】解：要使直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)，則需或，而，，所以或，所以k的取值可以為或4，故選：AD10.下列雙曲線(xiàn)中以為漸近線(xiàn)的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依次求4個(gè)選項(xiàng)中的漸近線(xiàn)方程即可.【詳解】A選項(xiàng)：漸近線(xiàn)方程，正確；B選項(xiàng)：漸近線(xiàn)方程，正確；C選項(xiàng)：漸近線(xiàn)方程，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：漸近線(xiàn)方程，正確；故選：ABD.11.已知空間三點(diǎn)，，，四邊形ABCD為平行四邊形，則下列結(jié)論正確的有（）A.點(diǎn)C的坐標(biāo)為 B.C.點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離為 D.平行四邊形ABCD的面積為【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)通過(guò)直接計(jì)算；B選項(xiàng)直接求出，余弦定理計(jì)算即可；C選項(xiàng)利用空間點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算；D選項(xiàng)按照面積公式計(jì)算.【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，解得，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，，正確；C選項(xiàng)：，，方向上的單位向量，則點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離為，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離為1，平行四邊形ABCD的面積為，正確.故選：BD.12.已知數(shù)列各項(xiàng)均是正數(shù)，，是方程（）的兩根，下結(jié)論正確的是（）A.若是等差數(shù)列，則數(shù)列前9項(xiàng)和為18B.若是等差數(shù)列，則數(shù)列的公差為C.若是等比數(shù)列，公比為q，，則D.若是等比數(shù)列，則的最小值為【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)按照等差數(shù)列的前項(xiàng)公式計(jì)算即可；B選項(xiàng)直接計(jì)算，，再計(jì)算公差；C選項(xiàng)計(jì)算出即可解決；D選項(xiàng)利用基本不等式解決.【詳解】對(duì)于A：是等差數(shù)列，，前9項(xiàng)和為，正確；對(duì)于B：是等差數(shù)列且各項(xiàng)均是正數(shù)，，解得，公差，錯(cuò)誤；對(duì)于C：是等比數(shù)列且各項(xiàng)均是正數(shù)，，解得或，公差或，代入，均成立，正確；對(duì)于D：是等比數(shù)列且各項(xiàng)均是正數(shù)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，又，，錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題（每小題5分，共20分）13.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則該拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，得到，根據(jù)，求得，即可求解.【詳解】由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，解得，設(shè)拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)的定義可得，因?yàn)?，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍是.故答案為：.14.已知直線(xiàn)l的方向向量，平面的法向量，若，則______．【答案】【解析】【分析】由，可得∥，從而可得，代入坐標(biāo)列方程可求出，從而可求出【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)l的方向向量，平面的法向量，，所以∥，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得，所以，故答案為：15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．【答案】【解析】【分析】先通過(guò)裂項(xiàng)相消求出，再代入計(jì)算即可.【詳解】，則，故.故答案為：3.16.已知點(diǎn)在圓C：（）內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為8，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.【詳解】由點(diǎn)在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)垂直于該定點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)，即圓心到直線(xiàn)的距離為又，所以，解得故答案為：四、解答題（共70分）17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求k的值．【答案】（1）（2）10【解析】【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用已知建立方程組，解之可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，化簡(jiǎn)即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知，，得，解得，則；小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，則由，得或（舍去），所以的值為10.18.如圖，在長(zhǎng)方體中，，．點(diǎn)E在上，且．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫(xiě)出，，的坐標(biāo)，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫(xiě)出平面法向量，按照公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】在長(zhǎng)方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面小問(wèn)2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．19.已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)（）上，過(guò)點(diǎn)A且斜率為1直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為B．（1）求p的值和拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求弦長(zhǎng)．【答案】（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程，可求得的值，進(jìn)而可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，即所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】由已知得直線(xiàn)方程為，即由得，解得或所以，則20.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，點(diǎn)在棱上，且直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．（1）求點(diǎn)的位置；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）為棱中點(diǎn)（2）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合求出的值，即可得出點(diǎn)的位置；（2）利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離．【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槠矫?，底面為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，由題意可得，整理可得，因?yàn)?，解得，因此，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知為棱中點(diǎn)，即，則，又，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因?yàn)椋?，點(diǎn)到平面的距離為.21.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2）.【解析】【分析】（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，兩式作差整理得，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得證；（2）由（1）求得，，再運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，……①，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)……②，則①-②可得，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，即，因?yàn)樗?，則……①，①得……②，①-②得，所以.22.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）直接由斜率關(guān)系計(jì)算得到；（2）設(shè)出直線(xiàn)，聯(lián)立橢圓方程，韋達(dá)定理求出，再結(jié)