2021-2022學(xué)年湖北省十堰市丹江口高一 5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年湖北省十堰市丹江口第一中學(xué)高一5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，又；所以；故選：B2．在中，若，則（

）A．45° B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理可得，再利用余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理、、，所以，即，不妨令、、，由余弦定理，因?yàn)?，所以；故選：C3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用正弦函數(shù)的周期性可得，進(jìn)而求得，再利用時(shí)取得最大值可求得值.【詳解】∵在同一周期內(nèi)，函數(shù)在時(shí)取得最大值，時(shí)取得最小值，∴函數(shù)的周期滿足，由此可得，解得，函數(shù)表達(dá)式為.又∵當(dāng)時(shí)取得最大值2，∴，可得，∵，∴取，得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由的部分圖象確定函數(shù)解析式，考查正弦函數(shù)的周期性和最值，屬于基礎(chǔ)題.4．一個(gè)多面體的所有棱長都相等，那么這個(gè)多面體一定不可能是（

）A．三棱錐 B．五面體 C．六棱錐 D．六面體【答案】C【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征說明三棱錐，四棱錐以及六面體的每條棱可以都相等，作圖說明六棱錐的每條棱不可能都相等，即可判斷答案.【詳解】一個(gè)多面體的所有棱長都相等，三棱錐是正四面體時(shí)，滿足題意,選項(xiàng)A可能；正四棱錐的每條棱可以都相等，即每個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，底面是正方形，即五面體的所有棱長可以都相等，選項(xiàng)B可能；如果六棱錐的棱長都相等，則該棱錐為正六棱錐，如圖：六棱錐,O為底面中心，則,由于底面，底面，故,則，與矛盾，則正六棱錐的底面邊長與棱長不可能相等，所以C不可能；六面體是正方體時(shí)，滿足題意，所以D有可能.故選：C.5．已知函數(shù),下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．的最小正周期為 D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】由平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡函數(shù)解析式可得，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及余弦函數(shù)的周期公式即可得解．【詳解】解：由，故正確；由定義可知為偶函數(shù)，故正確；由周期公式可得的最小正周期為：，故正確；由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的值域?yàn)?，，故錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法不正確的是（

）A．若，則B．若，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若三角形為斜三角形，則【答案】C【分析】由大角對大邊及正弦定理判斷A；由，可得有兩解，從而判斷B；由余弦定理判斷C；由三角形的內(nèi)角和公式、兩角和和正切公式及誘導(dǎo)公式判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則，由正弦定理可得，所以，，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，則，如圖：所以有兩解，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若為鈍角三角形且為鈍角，則，可得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，所以，所以D正確.故選：C.7．函數(shù)，若，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】令，進(jìn)而根據(jù)其奇偶性得，進(jìn)而得答案.【詳解】解：令，由于，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，即，所以，所以，所?故選：A8．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．每年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動，為圓的直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算得出，求出的取值范圍，由此可求得的取值范圍.【詳解】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，、、、、、均為邊長為的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)位于正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，當(dāng)點(diǎn)為正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，即，所以，.所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．二、多選題9．邊長為2的等邊中，為的中點(diǎn).下列正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】由向量加減法法則，可以判斷選項(xiàng)ABD，再由向量數(shù)量積公式可判斷C.【詳解】根據(jù)向量加法法則可知，，故A正確；根據(jù)向量減法法則可得，故B錯(cuò)誤；由向量數(shù)量積公式得，故C正確；根據(jù)向量加法法則可知，，所以D正確.故選：ACD.10．設(shè)有下列四個(gè)命題正確的是（

）A．兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)B．過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面C．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D．若直線平行平面，則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平行【答案】AD【分析】根據(jù)平面的有關(guān)知識，線線平行、線面平行的有關(guān)知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線，共有個(gè)不在一條直線上的個(gè)交點(diǎn)，確定一個(gè)平面，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，空間中任意三點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則過空間中的這三點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，空間兩條直線不相交，可能異面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，直線平行平面，則過直線l的平面與平面的交線都與平行，而這樣的交線有無數(shù)條，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD11．（，i是虛數(shù)單位，e是自然對數(shù)的底）稱為歐拉公式，被稱為世界上最完美的公式，在復(fù)分析領(lǐng)域內(nèi)占重要地位，它將三角函數(shù)與復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)相關(guān)聯(lián)．根據(jù)歐拉公式，下列說法正確的是（

）A．對任意的，B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)已知的歐拉公式，利用復(fù)數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)直接帶入運(yùn)算即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，，正確；對于B選項(xiàng)，，而，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，正確；對于C選項(xiàng)，錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，===，正確.故選：ABD12．已知函數(shù)，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，從小到大依次是則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．可以取到3【答案】BD【分析】由分段函數(shù)對應(yīng)區(qū)間上指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，根據(jù)已知方程知兩個(gè)零點(diǎn)、分別在的兩側(cè)，結(jié)合圖象及原方程根的個(gè)數(shù)確定、的范圍，進(jìn)而得到的范圍，即可確定答案.【詳解】由題設(shè)，，其函數(shù)圖象如下：而的對稱軸為且，即，所以必有兩個(gè)零點(diǎn)、分別在的兩側(cè)，由上圖知：且，滿足原方程有四個(gè)實(shí)根，故，則，D正確；所以：；且；：；且：.；所以且，則，故A、C錯(cuò)誤，B正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)分段函數(shù)上指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，由方程判斷、的分布并結(jié)合函數(shù)圖象確定它們的范圍，進(jìn)而確定根的范圍.三、填空題13．函數(shù)，則________．【答案】1【分析】利用函數(shù)解析式求得.【詳解】依題意.故答案為：14．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則__________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.15．試寫出一個(gè)滿足下列條件的函數(shù)解析式___________.①以為最小正周期；②以為一根對稱軸；③值域?yàn)椤敬鸢浮浚ù鸢覆晃ㄒ唬痉治觥拷Y(jié)合三個(gè)條件，對余弦函數(shù)進(jìn)行變形得到，滿足題意.【詳解】，滿足三個(gè)條件，符合題意.故答案為：四、雙空題16．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，以正方體每條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)半正多面體，如圖，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成，它的所有棱長都為2，則該半正多面體外接球的表面積為___________；若該半正多面體可以在一個(gè)正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該正四面體體積最小值為___________.【答案】

【分析】首先找到外接球的球心，再利用勾股定理計(jì)算即可；若該半正多面體可以在一個(gè)正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該半正多面體的外接球是正四面體的內(nèi)切球時(shí)，該正四面體體積最小，然后根據(jù)正四面體內(nèi)切球的相關(guān)計(jì)算求解即可.【詳解】由題意知，該半正多面體的外接球的球心是正方體的中心，正方體棱長為，所以該半正多面體外接球的半徑，故其表面積為.若該半正多面體可以在一個(gè)正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該半正多面體的外接球是正四面體的內(nèi)切球時(shí)，該正四面體體積最小.此時(shí)，設(shè)正四面體的棱長為a，則正四面體的高為，考查軸截面，則有，解得，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第②空的關(guān)鍵點(diǎn)是探究出結(jié)論：若該半正多面體可以在一個(gè)正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該半正多面體的外接球是正四面體的內(nèi)切球時(shí)，該正四面體體積最小.五、解答題17．已知，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若和的夾角為鈍角，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到，再求的模長即可.（2）根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得，所以，?（2）和的夾角為鈍角，所以，解得且.故的取值范圍18．已知向量，函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求的解析式及其最小正周期..【答案】(1)(2)，周期為【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式，結(jié)合整體思想，求得答案；（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得函數(shù)的解析式，利用周期公式，可得答案.【詳解】（1），令，解得：，故的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）所得，把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，可得，再向左平移個(gè)單位長度，可得，周期.19．如圖，在棱長為1的正方體中，分別是棱的中點(diǎn).(1)證明：共面；(2)求四邊形的周長；(3)求多面體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）證明確定四點(diǎn)共面.（2）分別計(jì)算各線段長度得到周長.（3）確定多面體為三棱臺，再利用棱臺的體積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）連接，如下圖：正方體中，且，故四邊形是平行四邊形，故，G?M分別是棱?BC的中點(diǎn)，故，即，故共面.（2），，.所以四邊形的周長.（3）多面體為三棱臺，體積為.20．我市旅游資源豐富，知名景點(diǎn)眾多，如我們熟悉的武當(dāng)山，太極湖，丹江大壩，鄖西龍?zhí)逗樱y陽九龍瀑，竹山女媧山，竹溪十八里長峽，房縣雙野，西關(guān)印象等等.還有許多景點(diǎn)還在開發(fā)建設(shè)中，某旅游開發(fā)公司計(jì)劃2022年在一地質(zhì)大裂谷開發(fā)新的游玩項(xiàng)目，全年需投入固定成本300萬元，若該項(xiàng)目在2022年有萬人游客，則需另投入成本萬元，且，該游玩項(xiàng)目的每張門票售價(jià)為80元.為吸引游客該公司實(shí)行門票五折優(yōu)惠活動.當(dāng)?shù)卣疄楣膭钇髽I(yè)更好發(fā)展，每年給該旅游開發(fā)公司財(cái)政補(bǔ)貼20x萬元.(1)求2022年該項(xiàng)目的利潤（萬元）關(guān)于人數(shù)（萬人）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=收入-成本）；(2)當(dāng)2022年的游客為多少時(shí)，該項(xiàng)目所獲利潤最大？最大利潤是多少？.【答案】(1)(2)游客為30萬人時(shí)利潤最大，最大為205萬【分析】（1）根據(jù)題意得到門票收入為40x萬元，財(cái)政補(bǔ)貼收入20x萬元，共60x萬元收入，然后由利潤求解；（2）根據(jù)分段函數(shù)分，和，分別求得其最大值，取其中最大值的求解.【詳解】（1）解：門票收入為40x萬元，財(cái)政補(bǔ)貼收入20x萬元，共60x萬元收入，利潤，即；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，故綜上，游客為30萬人時(shí)利潤最大，最大為205萬.21．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，.(1)求的大小；(2)若，求的面積；(3)求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式化簡整理可得，由此可得；（2）利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，由三角形面積公式可求得結(jié)果；（3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范圍，令，將所求式子化為，由單調(diào)性可求得最大值.【詳解】（1）由正弦定理得：，又，，即，又，，，又，.（2）由余弦定理得：，解得：，.（3）由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，又，；，令，，則在上單調(diào)遞增，，即，的最大值為.22．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．(1)若為的相伴特征向量，求實(shí)數(shù)m的值；(2)記向量的相伴函數(shù)為