二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容1.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容1.2我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過用描點(diǎn)法畫一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，如何畫一個二次函數(shù)的圖象呢？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過用描點(diǎn)法畫一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，探究探究列表：由于自變量x可以取任意實(shí)數(shù)，因此讓x取

0和一些互為相反數(shù)的數(shù)，并且算出相應(yīng)

的函數(shù)值，列成下表：x…-3-2-10123……9410149…列表：由于自變量x可以取任意實(shí)數(shù)，因此讓x取x…-3-2-1描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以x取的值為橫坐標(biāo)，

相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn).如

下圖所示.AA′B′B描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以x取的值為橫坐標(biāo)，AA′B′BAA′B′B觀察左圖，點(diǎn)A和點(diǎn)A′，點(diǎn)B和點(diǎn)B′，…，它們有什么關(guān)系？取更多的點(diǎn)試試，你能得出函數(shù)y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱嗎？觀察左圖，y軸右邊描出的各點(diǎn)，當(dāng)橫坐標(biāo)增大時，縱坐標(biāo)有什么變化？y軸右邊的所有點(diǎn)都具有縱坐標(biāo)隨著橫坐標(biāo)的增大而增大的特點(diǎn)嗎？AA′B′B觀察左圖，點(diǎn)A和點(diǎn)A′，點(diǎn)B和

可以證明y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱；圖象在y軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而增大，簡稱為“右升”.AA′B′B可以證明y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱；圖象在y軸右邊連線：根據(jù)上述分析，我們可以用一條光滑曲線把原點(diǎn)

和y軸右邊各點(diǎn)順次連接起來；然后利用對稱性，

畫出圖象在y軸左邊的部分(把y軸左邊的點(diǎn)和原點(diǎn)

用一條光滑曲線順次連接起來)，這樣就得到了

的圖象.如上圖所示.連線：根據(jù)上述分析，我們可以用一條光滑曲線把原點(diǎn)

觀察下圖，函數(shù)

的圖象除了上面已經(jīng)知道的關(guān)于y軸對稱和“右升”外，還有哪些性質(zhì)？觀察觀察下圖，函數(shù)的圖象除了上面已經(jīng)

圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而減小，簡稱為“左降”；當(dāng)x=0時，函數(shù)值最小，最小值為0.從下圖中可以看出，二次函數(shù)的圖象是一條曲線，它的開口向上，對稱軸與圖象的交點(diǎn)是原點(diǎn)（0，0）；圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取當(dāng)x=0時，

一般地，當(dāng)a＞0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).

于是我們在畫y=ax2(a＞0)的圖象時，可以先畫出圖象在y軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分.

在畫右邊部分時，只需“列表、描點(diǎn)、連線”三個步驟.一般地，當(dāng)a＞0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).x0123…00.524.5…例1舉例

畫二次函數(shù)的圖象.因為二次函數(shù)

的圖象關(guān)于y軸對稱，

因此列表時，自變量x可以從原點(diǎn)的橫坐標(biāo)0開始取值.

解列表：x0123…00.524.5…例1舉畫二次函數(shù)描點(diǎn)和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.如下圖所示：●●●●描點(diǎn)和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.如下圖所示：●●●●

利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點(diǎn)，并用一條光滑曲線把y軸左邊的點(diǎn)和原點(diǎn)順次連接起來，這樣就得到了的圖象.如下圖所示：●●●●●●●利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點(diǎn)，●●●●●●1.

二次函數(shù)y=6x2的性質(zhì)有：練習(xí)（1）圖象的對稱軸是，對稱軸與圖象的交點(diǎn)是；（2）圖象的開口向

；（3）圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

；在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

.上增大減小y軸

（0，0）1.二次函數(shù)y=6x2的性質(zhì)有：練習(xí)（1）圖象的對稱軸是2.在同一直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=3x2

及的圖象，并比較它們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？y=3x2答：????????2.在同一直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=3x2y=3x2答：通過比較以上圖象可得出其相同點(diǎn)為：開口均向上；對稱軸均為y軸；對稱軸與圖象的交點(diǎn)都是（0，0）；圖象均是“左降”“右升”；當(dāng)x=0時，函數(shù)值最小，為0.y=3x2????????通過比較以上圖象可得出其相同點(diǎn)為：開口均向上；對稱軸均為y軸探究

我們已經(jīng)畫出了

的圖象，能不能從它得出二次函數(shù)

的圖象呢？探究我們已經(jīng)畫出了的圖象，能不能從它

在

的圖象上任取一點(diǎn)

，它關(guān)于

x軸的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是

，如下圖所示：

從點(diǎn)Q的坐標(biāo)看出，點(diǎn)Q在

的圖象上.Q在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)

由此可知，

的圖象與

的圖象關(guān)于x軸對稱，因此只要把

的圖象沿著x軸翻折并將圖象“復(fù)印”下來，就得到

的圖象.

如下圖中的綠色曲線：Q由此可知，的圖象與的圖象關(guān)對稱軸是

，對稱軸與圖象的交點(diǎn)是

；圖象的開口向

，y軸O(0，0)下

觀察下圖，函數(shù)

的圖像具有哪些性質(zhì)？從圖中可以看出，二次函數(shù)

的圖象是一條曲線，觀察對稱軸是，對稱軸與圖象的交點(diǎn)是

圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

，簡稱為

；

圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

，簡稱為

；當(dāng)x=

時，函數(shù)值最

，減小右降增大左升0大0最值為．大圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

當(dāng)a＜0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).

于是今后畫y=ax2(a＜0)的圖象時，可以直接先畫出圖象在y軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分.

在畫右邊部分時，只要“列表、描點(diǎn)、連線”三個步驟就可以了.當(dāng)a＜0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).舉例解

列表：例2

畫二次函數(shù)

的圖象.

x012340-1-4舉解列表：例2畫二次函數(shù)的圖象.描點(diǎn)和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.

描點(diǎn)和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.利用對稱性畫出y軸左邊的部分.這樣我們得到了

的圖象.利用對稱性畫出y軸左邊的部分.這樣我們得到了的說一說如下圖所示，在棒球賽場上，棒球在空中沿著一條曲線運(yùn)動，它與二次函數(shù)y=ax2(a＜0)的圖象相像嗎？說一說如下圖所示，在棒球賽場上，棒球在空中沿

以棒球在空中經(jīng)過的路線的最高點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，x軸的正方向水平向右，y軸的正方向豎直向上，則可以看出棒球在空中經(jīng)過的路線是形如y=ax2(a＜0)的圖象的一段.由此受到啟發(fā)，我們把二次函數(shù)y=ax2的圖象這樣的曲線叫作拋物線，簡稱為拋物線y=ax2.以棒球在空中經(jīng)過的路線的最高點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角

一般地，二次函數(shù)y=ax2的圖象關(guān)于y軸對稱.

拋物線與它的對稱軸的交點(diǎn)(0，0)叫做拋物線的頂點(diǎn).一般地，二次函數(shù)y=ax2的圖象關(guān)于y軸對稱.（3）拋物線在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大

而

；在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值

的增大而

.1.畫出二次函數(shù)y=-10x2的圖象并填空：（1）拋物線的對稱軸是

，頂點(diǎn)是

；

（2）拋物線的開口向

；y軸原點(diǎn)O(0，0)下減小增大練習(xí)

（3）拋物線在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大1.2.在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)

y=-0.3x2與y=-8x2的圖象，并分別說出它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn).解：共同點(diǎn)：均開口向下；對稱軸均為y軸；對稱軸與圖象的交點(diǎn)是(0，0)；圖象均是“左升”“右降”；當(dāng)x=0時，函數(shù)值最大，為0；不同點(diǎn)：y=-8x2的圖象開口比y=-0.3x2的圖象開口小.2.在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)y=-0.3x2與y探究

把二次函數(shù)的圖象E向右平移1個單位，得到圖形F，如下圖所示：探究把二次函數(shù)的圖象E向右平移1個單位

由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此圖象E在向右平移1個單位后：原像像拋物線E：圖象F也是拋物線E的頂點(diǎn)O(0，0)點(diǎn)O′(1，0)是F的頂點(diǎn)E有對稱軸l(與y軸重合)直線l′(過點(diǎn)O′與y軸平行)是F的對稱軸E開口向上F也開口向上由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此圖象E在

拋物線F是哪個函數(shù)的圖象呢？

在拋物線

上任取一點(diǎn)

，它在向右平移1個單位后，點(diǎn)P的像點(diǎn)Q的坐標(biāo)是什么？

把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a加上1，縱坐標(biāo)不變，就得到像點(diǎn)Q的坐標(biāo)為拋物線F是哪個函數(shù)的圖象呢？在拋物線

記b=a+1，則a=b-1.

從而點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

，這表明：點(diǎn)Q在函數(shù)

的圖象上.由此得出，拋物線F是函數(shù)

的圖象.記b=a+1，則a=b-1.從而點(diǎn)Q的坐

從上面的過程可以說明：函數(shù)

的圖象是拋物線F，它的開口向上，它的頂點(diǎn)是

，它的對稱軸是過點(diǎn)

且平行于y軸的直線l′.直線l′是由橫坐標(biāo)為1的所有點(diǎn)組成的，我們把直線l′記做直線x=1.從上面的過程可以說明：函數(shù)結(jié)論

二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象是拋物線，它的對稱軸是直線x=h，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，0).當(dāng)a＞0時，拋物線的開口向上；當(dāng)a＜0時，開口向下.類似地，我們可以證明下述結(jié)論：結(jié)論二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象是拋物線，類似地

由于我們已經(jīng)知道了二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象的性質(zhì)，因此今后在畫y=a(x-h)2的圖象時，只要先畫出對稱軸以及圖象在對稱軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出左邊的部分.

在畫圖象的右邊部分時，只需要“列表，描點(diǎn)，連線”三個步驟就可以了.由于我們已經(jīng)知道了二次函數(shù)y=a(x-h)2的舉例解拋物線y=(x-2)2的對稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，0).

x2345…y=(x-2)20149…例3畫函數(shù)y=(x-2)2的圖象.

列表：自變量x從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)2開始取值.

舉解拋物線y=(x-2)2的對稱軸是直線x=2，x234描點(diǎn)和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性畫出圖象在對稱軸左邊的部分:描點(diǎn)和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性畫出圖象在這樣我們得到了函數(shù)y=(x-2)2的圖象.如下圖所示：y=(x-2)2這樣我們得到了函數(shù)y=(x-2)2的圖象.如下圖所示：y=1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向.（1）

練習(xí)答：對稱軸是直線x=5，頂點(diǎn)是(5，0)，開口向上.（2）y=-3(x+2)2答：對稱軸是直線x=-2，頂點(diǎn)是(-2，0)，開口向下.1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向.（12.分別畫出二次函數(shù)

y=-(x-1)2，

的圖象.解2.分別畫出二次函數(shù)y=-(x-1)2，探究

如何畫二次函數(shù)

的圖象？

我們來探究二次函數(shù)

與

之間的關(guān)系.二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)yaa探究如何畫二次函數(shù)

從上表看出：對于每一個給定的x值，函數(shù)的值都要比函數(shù)

的值大3，由此可見函數(shù)的圖象可由二次函數(shù)

的圖象向上平移3個單位而得到（如下圖）.從上表看出：對于每一個給定的x值，函數(shù)

因此，二次函數(shù)

的圖象也是拋物線，它的對稱軸為直線x=1(與拋物線

的對稱軸一樣)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)(它是由拋物線

的頂點(diǎn)(1，0)向上平移3個單位得到)，它的開口向上.因此，二次函數(shù)的圖象也是拋結(jié)論

一般地，二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象是拋物線，它具有下述性質(zhì)：拋物線y=a(x-h)2+k對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)開口方向圖象上的點(diǎn)在對稱軸的左邊在對稱軸的右邊a＞0x=h(h，k)向上y

隨x的增大而減小y

隨x

的增大而增大a＜0x=h(h，k)向下y

隨x

的增大而增大y

隨x的增大而減小結(jié)論一般地，二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的

由于我們已經(jīng)知道了函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象的性質(zhì)，因此畫y=a(x-h)2+k的圖象的步驟如下：第一步

寫出對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并且在平

面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出對稱軸，描出

頂點(diǎn)；由于我們已經(jīng)知道了函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象的第二步

列表(自變量x從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)開始取值)，

描點(diǎn)和連線，畫出圖象在對稱軸右邊的部

分；第三步

利用對稱性，畫出圖象在對稱軸左邊的部

分(這只要先把對稱軸左邊的對應(yīng)點(diǎn)描出

來，然后用一條光滑曲線順次連接它們和

頂點(diǎn)).第二步列表(自變量x從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)開始取值)，第三步舉例解對稱軸是直線x=-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-3).x-10123…-3-2.5-11.55…列表：自變量x從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)-1開始取值.例4畫二次函數(shù)

的圖象.舉解對稱軸是直線x=-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-3).x-1描點(diǎn)和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象在對稱軸左邊的部分.這樣我們得到了函數(shù)

的圖象.描點(diǎn)和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象舉例例5已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），且與y軸相交于點(diǎn)（0，4），求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式.

已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），且與y軸相交于點(diǎn)（0，4），求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式.

舉例5已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），且與y軸已知某由函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，4），可得4=a(0+2)2+1，解由于點(diǎn)（-2，1）是該拋物線的頂點(diǎn)，可設(shè)這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+2)2+1.因此，所求的二次函數(shù)的表達(dá)式為解得解由于點(diǎn)（-2，1）是該拋物線的頂點(diǎn)，可設(shè)這個因此，所求的二1.說出下列二次函數(shù)的圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向：答：對稱軸為直線x=9，頂點(diǎn)(9，7)，開口向上.答：對稱軸為直線x=-18，頂點(diǎn)(-18，-13)，開口向下.練習(xí)1.說出下列二次函數(shù)的圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向：答2.畫二次函數(shù)

的圖象.

●●●解：2.畫二次函數(shù)的圖象.●●●3.已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，2)，且經(jīng)過點(diǎn)(-1，0)，求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式.由函數(shù)圖象過點(diǎn)(-1，0)，可得0=a(-1+3)2+2，解:由于點(diǎn)(-3，2)是該拋物線的頂點(diǎn)，可設(shè)這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+3)2+2.解得因此，所求的二次函數(shù)的表達(dá)式為3.已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，2)，且經(jīng)過解:由于點(diǎn)如何畫二次函數(shù)y=-2x2+6x-1的圖象？動腦筋我們已經(jīng)會畫y=a(x-h)2+k的圖象.因此只需把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式就可以了.如何畫二次函數(shù)y=-2x2+6x-1的圖象？動腦筋配方：對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

.配方：對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是.x233-1列表：自變量x從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)

開始取值.x233-1列表：自變量x從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)開始取值.描點(diǎn)和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象在對稱軸左邊的部分.這樣就得到了函數(shù)y=-2x2+6x-1的圖象.

描點(diǎn)和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象觀察下圖，當(dāng)x等于多少時，函數(shù)y=-2x2+6x-1的值最大？這個最大值是多少？說一說

當(dāng)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時，函數(shù)值最大；這個最大值等于頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).觀察下圖，當(dāng)x等于多少時，函數(shù)y=-2x2+6x-1一般地，有下述結(jié)論：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時，達(dá)到最大值(當(dāng)a＜0)或最小值

(當(dāng)a＞0)，這個最大(小)值等于頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).一般地，有下述結(jié)論：二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)舉例解配方：例6求二次函數(shù)

的最大值.

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，1)，于是當(dāng)x=2時，y達(dá)到最大值1.舉解配方：例6求二次函數(shù)一般地，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c進(jìn)行配方，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

因此，當(dāng)

時，函數(shù)達(dá)到最大值(當(dāng)a＜0)或最小值(當(dāng)a＞0)：一般地，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c進(jìn)行配方，頂點(diǎn)坐標(biāo)是練習(xí)1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和

開口方向，并畫出它們的圖象.（1）y=3x2-6x+1；答：對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)(1，-2)，開口方向向上.原函數(shù)可化為y=3(x-1)2-2.練習(xí)1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和（1）y=答：原函數(shù)可化為對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)(2，0)，開口方向向下.（2）答：原函數(shù)可化為對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)(2，0)，開口2.求下列二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)：（1）y=x2-3x+2；答：的圖象頂點(diǎn)為.（2）答：(-3，4).的圖象頂點(diǎn)為2.求下列二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)：（1）y=x2-3x3.用配方法求第2題中各個二次函數(shù)的最大值或最小值.（1）y=x2-3x+2；答：原函數(shù)配方得當(dāng)時，y最小=（2）答：原函數(shù)配方得當(dāng)x=-3時，y最大=4.3.用配方法求第2題中各個二次函數(shù)的最大值或最小值.（1）中考試題例1

把拋物線y=-x2向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（）

A.y=-(x-1)2-3B.y=-(x+1)2-3C.y=-(x-1)2+3D.y=-(x+1)2+3D解析

拋物線y=-x2的頂點(diǎn)(0，0)先向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到(-1，3)，該點(diǎn)為所求拋物線的頂點(diǎn)，故選D.中考試題例1把拋物線y=-x2向左平移1個單位，然中考試題例2

拋物線y=x2-3x+2與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(0，2)B.(1，0)C.(0，-3)D.(0，0)A解析

當(dāng)x=0時，y=2，所以拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，2)，故選A.中考試題例2拋物線y=x2-3x+2與y軸交點(diǎn)的坐中考試題例3

把拋物線y=2x2向上平移5個單位，所得拋物線的解析式為（）

A.y=2x2+5B.y=2x2-5C.y=2(x+5)2

D.y=2(x-5)2A解析

y=2x2向上平移5個單位后解析式為y=2x2+5，故選A.中考試題例3把拋物線y=2x2向上平移5個單位，所結(jié)束結(jié)束二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容1.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容1.2我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過用描點(diǎn)法畫一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，如何畫一個二次函數(shù)的圖象呢？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過用描點(diǎn)法畫一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，探究探究列表：由于自變量x可以取任意實(shí)數(shù)，因此讓x取

0和一些互為相反數(shù)的數(shù)，并且算出相應(yīng)

的函數(shù)值，列成下表：x…-3-2-10123……9410149…列表：由于自變量x可以取任意實(shí)數(shù)，因此讓x取x…-3-2-1描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以x取的值為橫坐標(biāo)，

相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn).如

下圖所示.AA′B′B描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以x取的值為橫坐標(biāo)，AA′B′BAA′B′B觀察左圖，點(diǎn)A和點(diǎn)A′，點(diǎn)B和點(diǎn)B′，…，它們有什么關(guān)系？取更多的點(diǎn)試試，你能得出函數(shù)y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱嗎？觀察左圖，y軸右邊描出的各點(diǎn)，當(dāng)橫坐標(biāo)增大時，縱坐標(biāo)有什么變化？y軸右邊的所有點(diǎn)都具有縱坐標(biāo)隨著橫坐標(biāo)的增大而增大的特點(diǎn)嗎？AA′B′B觀察左圖，點(diǎn)A和點(diǎn)A′，點(diǎn)B和

可以證明y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱；圖象在y軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而增大，簡稱為“右升”.AA′B′B可以證明y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱；圖象在y軸右邊連線：根據(jù)上述分析，我們可以用一條光滑曲線把原點(diǎn)

和y軸右邊各點(diǎn)順次連接起來；然后利用對稱性，

畫出圖象在y軸左邊的部分(把y軸左邊的點(diǎn)和原點(diǎn)

用一條光滑曲線順次連接起來)，這樣就得到了

的圖象.如上圖所示.連線：根據(jù)上述分析，我們可以用一條光滑曲線把原點(diǎn)

觀察下圖，函數(shù)

的圖象除了上面已經(jīng)知道的關(guān)于y軸對稱和“右升”外，還有哪些性質(zhì)？觀察觀察下圖，函數(shù)的圖象除了上面已經(jīng)

圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而減小，簡稱為“左降”；當(dāng)x=0時，函數(shù)值最小，最小值為0.從下圖中可以看出，二次函數(shù)的圖象是一條曲線，它的開口向上，對稱軸與圖象的交點(diǎn)是原點(diǎn)（0，0）；圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取當(dāng)x=0時，

一般地，當(dāng)a＞0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).

于是我們在畫y=ax2(a＞0)的圖象時，可以先畫出圖象在y軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分.

在畫右邊部分時，只需“列表、描點(diǎn)、連線”三個步驟.一般地，當(dāng)a＞0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).x0123…00.524.5…例1舉例

畫二次函數(shù)的圖象.因為二次函數(shù)

的圖象關(guān)于y軸對稱，

因此列表時，自變量x可以從原點(diǎn)的橫坐標(biāo)0開始取值.

解列表：x0123…00.524.5…例1舉畫二次函數(shù)描點(diǎn)和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.如下圖所示：●●●●描點(diǎn)和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.如下圖所示：●●●●

利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點(diǎn)，并用一條光滑曲線把y軸左邊的點(diǎn)和原點(diǎn)順次連接起來，這樣就得到了的圖象.如下圖所示：●●●●●●●利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點(diǎn)，●●●●●●1.

二次函數(shù)y=6x2的性質(zhì)有：練習(xí)（1）圖象的對稱軸是，對稱軸與圖象的交點(diǎn)是；（2）圖象的開口向

；（3）圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

；在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

.上增大減小y軸

（0，0）1.二次函數(shù)y=6x2的性質(zhì)有：練習(xí)（1）圖象的對稱軸是2.在同一直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=3x2

及的圖象，并比較它們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？y=3x2答：????????2.在同一直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=3x2y=3x2答：通過比較以上圖象可得出其相同點(diǎn)為：開口均向上；對稱軸均為y軸；對稱軸與圖象的交點(diǎn)都是（0，0）；圖象均是“左降”“右升”；當(dāng)x=0時，函數(shù)值最小，為0.y=3x2????????通過比較以上圖象可得出其相同點(diǎn)為：開口均向上；對稱軸均為y軸探究

我們已經(jīng)畫出了

的圖象，能不能從它得出二次函數(shù)

的圖象呢？探究我們已經(jīng)畫出了的圖象，能不能從它

在

的圖象上任取一點(diǎn)

，它關(guān)于

x軸的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是

，如下圖所示：

從點(diǎn)Q的坐標(biāo)看出，點(diǎn)Q在

的圖象上.Q在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)

由此可知，

的圖象與

的圖象關(guān)于x軸對稱，因此只要把

的圖象沿著x軸翻折并將圖象“復(fù)印”下來，就得到

的圖象.

如下圖中的綠色曲線：Q由此可知，的圖象與的圖象關(guān)對稱軸是

，對稱軸與圖象的交點(diǎn)是

；圖象的開口向

，y軸O(0，0)下

觀察下圖，函數(shù)

的圖像具有哪些性質(zhì)？從圖中可以看出，二次函數(shù)

的圖象是一條曲線，觀察對稱軸是，對稱軸與圖象的交點(diǎn)是

圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

，簡稱為

；

圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

，簡稱為

；當(dāng)x=

時，函數(shù)值最

，減小右降增大左升0大0最值為．大圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

當(dāng)a＜0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).

于是今后畫y=ax2(a＜0)的圖象時，可以直接先畫出圖象在y軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分.

在畫右邊部分時，只要“列表、描點(diǎn)、連線”三個步驟就可以了.當(dāng)a＜0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).舉例解

列表：例2

畫二次函數(shù)

的圖象.

x012340-1-4舉解列表：例2畫二次函數(shù)的圖象.描點(diǎn)和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.

描點(diǎn)和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.利用對稱性畫出y軸左邊的部分.這樣我們得到了

的圖象.利用對稱性畫出y軸左邊的部分.這樣我們得到了的說一說如下圖所示，在棒球賽場上，棒球在空中沿著一條曲線運(yùn)動，它與二次函數(shù)y=ax2(a＜0)的圖象相像嗎？說一說如下圖所示，在棒球賽場上，棒球在空中沿

以棒球在空中經(jīng)過的路線的最高點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，x軸的正方向水平向右，y軸的正方向豎直向上，則可以看出棒球在空中經(jīng)過的路線是形如y=ax2(a＜0)的圖象的一段.由此受到啟發(fā)，我們把二次函數(shù)y=ax2的圖象這樣的曲線叫作拋物線，簡稱為拋物線y=ax2.以棒球在空中經(jīng)過的路線的最高點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角

一般地，二次函數(shù)y=ax2的圖象關(guān)于y軸對稱.

拋物線與它的對稱軸的交點(diǎn)(0，0)叫做拋物線的頂點(diǎn).一般地，二次函數(shù)y=ax2的圖象關(guān)于y軸對稱.（3）拋物線在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大

而

；在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值

的增大而

.1.畫出二次函數(shù)y=-10x2的圖象并填空：（1）拋物線的對稱軸是

，頂點(diǎn)是

；

（2）拋物線的開口向

；y軸原點(diǎn)O(0，0)下減小增大練習(xí)

（3）拋物線在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大1.2.在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)

y=-0.3x2與y=-8x2的圖象，并分別說出它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn).解：共同點(diǎn)：均開口向下；對稱軸均為y軸；對稱軸與圖象的交點(diǎn)是(0，0)；圖象均是“左升”“右降”；當(dāng)x=0時，函數(shù)值最大，為0；不同點(diǎn)：y=-8x2的圖象開口比y=-0.3x2的圖象開口小.2.在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)y=-0.3x2與y探究

把二次函數(shù)的圖象E向右平移1個單位，得到圖形F，如下圖所示：探究把二次函數(shù)的圖象E向右平移1個單位

由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此圖象E在向右平移1個單位后：原像像拋物線E：圖象F也是拋物線E的頂點(diǎn)O(0，0)點(diǎn)O′(1，0)是F的頂點(diǎn)E有對稱軸l(與y軸重合)直線l′(過點(diǎn)O′與y軸平行)是F的對稱軸E開口向上F也開口向上由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此圖象E在

拋物線F是哪個函數(shù)的圖象呢？

在拋物線

上任取一點(diǎn)

，它在向右平移1個單位后，點(diǎn)P的像點(diǎn)Q的坐標(biāo)是什么？

把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a加上1，縱坐標(biāo)不變，就得到像點(diǎn)Q的坐標(biāo)為拋物線F是哪個函數(shù)的圖象呢？在拋物線

記b=a+1，則a=b-1.

從而點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

，這表明：點(diǎn)Q在函數(shù)

的圖象上.由此得出，拋物線F是函數(shù)

的圖象.記b=a+1，則a=b-1.從而點(diǎn)Q的坐

從上面的過程可以說明：函數(shù)

的圖象是拋物線F，它的開口向上，它的頂點(diǎn)是

，它的對稱軸是過點(diǎn)

且平行于y軸的直線l′.直線l′是由橫坐標(biāo)為1的所有點(diǎn)組成的，我們把直線l′記做直線x=1.從上面的過程可以說明：函數(shù)結(jié)論

二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象是拋物線，它的對稱軸是直線x=h，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，0).當(dāng)a＞0時，拋物線的開口向上；當(dāng)a＜0時，開口向下.類似地，我們可以證明下述結(jié)論：結(jié)論二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象是拋物線，類似地

由于我們已經(jīng)知道了二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象的性質(zhì)，因此今后在畫y=a(x-h)2的圖象時，只要先畫出對稱軸以及圖象在對稱軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出左邊的部分.

在畫圖象的右邊部分時，只需要“列表，描點(diǎn)，連線”三個步驟就可以了.由于我們已經(jīng)知道了二次函數(shù)y=a(x-h)2的舉例解拋物線y=(x-2)2的對稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，0).

x2345…y=(x-2)20149…例3畫函數(shù)y=(x-2)2的圖象.

列表：自變量x從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)2開始取值.

舉解拋物線y=(x-2)2的對稱軸是直線x=2，x234描點(diǎn)和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性畫出圖象在對稱軸左邊的部分:描點(diǎn)和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性畫出圖象在這樣我們得到了函數(shù)y=(x-2)2的圖象.如下圖所示：y=(x-2)2這樣我們得到了函數(shù)y=(x-2)2的圖象.如下圖所示：y=1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向.（1）

練習(xí)答：對稱軸是直線x=5，頂點(diǎn)是(5，0)，開口向上.（2）y=-3(x+2)2答：對稱軸是直線x=-2，頂點(diǎn)是(-2，0)，開口向下.1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向.（12.分別畫出二次函數(shù)

y=-(x-1)2，

的圖象.解2.分別畫出二次函數(shù)y=-(x-1)2，探究

如何畫二次函數(shù)

的圖象？

我們來探究二次函數(shù)

與

之間的關(guān)系.二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)yaa探究如何畫二次函數(shù)

從上表看出：對于每一個給定的x值，函數(shù)的值都要比函數(shù)

的值大3，由此可見函數(shù)的圖象可由二次函數(shù)

的圖象向上平移3個單位而得到（如下圖）.從上表看出：對于每一個給定的x值，函數(shù)

因此，二次函數(shù)

的圖象也是拋物線，它的對稱軸為直線x=1(與拋物線

的對稱軸一樣)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)(它是由拋物線

的頂點(diǎn)(1，0)向上平移3個單位得到)，它的開口向上.因此，二次函數(shù)的圖象也是拋結(jié)論

一般地，二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象是拋物線，它具有下述性質(zhì)：拋物線y=a(x-h)2+k對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)開口方向圖象上的點(diǎn)在對稱軸的左邊在對稱軸的右邊a＞0x=h(h，k)向上y

隨x的增大而減小y

隨x

的增大而增大a＜0x=h(h，k)向下y

隨x

的增大而增大y

隨x的增大而減小結(jié)論一般地，二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的

由于我們已經(jīng)知道了函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象的性質(zhì)，因此畫y=a(x-h)2+k的圖象的步驟如下：第一步

寫出對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并且在平

面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出對稱軸，描出

頂點(diǎn)；由于我們已經(jīng)知道了函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象的第二步

列表(自變量x從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)開始取值)，

描點(diǎn)和連線，畫出圖象在對稱軸右邊的部

分；第三步

利用對稱性，畫出圖象在對稱軸左邊的部

分(這只要先把對稱軸左邊的對應(yīng)點(diǎn)描出

來，然后用一條光滑曲線順次連接它們和

頂點(diǎn)).第二步列表(自變量x從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)開始取值)，第三步舉例解對稱軸是直線x=-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-3).x-10123…-3-2.5-11.55…列表：自變量x從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)-1開始取值.例4畫二次函數(shù)

的圖象.舉解對稱軸是直線x=-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-3).x-1描點(diǎn)和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象在對稱軸左邊的部分.這樣我們得到了函數(shù)

的圖象.描點(diǎn)和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象舉例例5已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），且與y軸相交于點(diǎn)（0，4），求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式.

已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），且與y軸相交于點(diǎn)（0，4），求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式.

舉例5已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），且與y軸已知某由函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，4），可得4=a(0+2)2+1，解由于點(diǎn)（-2，1）是該拋物線的頂點(diǎn)，可設(shè)這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+2)2+1.因此，所求的二次函數(shù)的表達(dá)式為解得解由于點(diǎn)（-2，1）是該拋物線的頂點(diǎn)，可設(shè)這個因此，所求的二1.說出下列二次函數(shù)的圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向：答：對稱軸為直線x=9，頂點(diǎn)(9，7)，開口向上.答：對稱軸為直線x=-18，頂點(diǎn)(-18，-13)，開口向下.練習(xí)1.說出下列二次函數(shù)的圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向：答2.畫二次函數(shù)

的圖象.

●●●解：2.畫二次函數(shù)的圖象.●●●3.已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，2)，且經(jīng)過點(diǎn)(-1，0)，求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式.由函數(shù)圖象過點(diǎn)(-1，0)，可得0=a(-1+3)2+2，解:由于點(diǎn)(-3，2)是該拋物線的頂點(diǎn)，可設(shè)這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+3)2+2.解得因此，所求的二次函數(shù)的表達(dá)式為3.已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，2)，且經(jīng)過解:由于點(diǎn)如何畫二次函數(shù)y=-2x2+6x-1的圖象？動腦筋我們已經(jīng)會畫y=a(x-h)2+k的圖象.因此只需把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式就可以了.如何畫二次函數(shù)y=-2x2+6x-1的圖象？動腦筋配方：對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

.配方：對稱軸是直線