2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教B版全國通用版講義：第二章 平面解析幾何初步2.2.2 第2課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時直線的兩點式和一般式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握直線方程的兩點式及截距式,并理解它們存在的條件.2.理解直線方程的一般式的特點與方程其它形式的區(qū)別與聯(lián)系。3.會直線方程的一般式與其它形式之間相互轉(zhuǎn)化，進一步掌握求直線方程的方法．知識點一直線方程的兩點式思考過點（1,3)和(1，5）的直線能用兩點式表示嗎?為什么?過點(2,3），(5，3)的直線呢？答案不能，因為1－1＝0，而0不能做分母．過點(2，3），(5，3）的直線也不能用兩點式表示．梳理直線方程的兩點式名稱已知條件示意圖方程使用范圍兩點式P1(x1，y1），P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1）斜率存在且不為0知識點二直線方程的截距式思考已知兩點P1（a，0)，P2（0,b),其中a≠0，b≠0,求通過這兩點的直線方程．答案由直線方程的兩點式,得eq\f（y－0,b－0）＝eq\f(x－a,0－a)，即eq\f(x,a)＋eq\f(y，b）＝1.梳理直線方程的截距式名稱已知條件示意圖方程使用范圍截距式在x,y軸上的截距分別為a，b，且a≠0，b≠0eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1斜率存在且不為0，不過原點知識點三直線的一般式方程思考1直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式這四種形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0）來表示嗎?答案能．思考2關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0）一定表示直線嗎?答案一定．梳理直線的一般式方程形式Ax＋By＋C＝0條件A2＋B2≠0知識點四直線方程五種形式的比較名稱已知條件標(biāo)準(zhǔn)方程適用范圍點斜式點P1(x1,y1)和斜率ky－y1＝k(x－x1）不垂直于x軸的直線斜截式斜率k和在y軸上的截距by＝kx＋b不垂直x軸的直線兩點式點P1(x1,y1）和點P2（x2，y2)eq\f（y－y1,y2－y1）＝eq\f(x－x1,x2－x1)不垂直于x,y軸的直線截距式在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為beq\f(x，a)＋eq\f(y，b)＝1不垂直于x,y軸的直線，不過原點的直線一般式兩個獨立的條件Ax＋By＋C＝0A,B不全為零1．能用兩點式方程表示的直線也可用點斜式方程表示．（√)2．當(dāng)A，B同時為零時,方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線．(×）3．任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化．（×)類型一直線的兩點式方程例1在△ABC中，已知點A(－3,2）,B(5，－4）,C(0,－2）．(1)求BC邊的方程；（2)求BC邊上的中線所在直線的方程．解(1）BC邊過點B(5，－4)，C（0，－2)，由兩點式，得eq\f(y－－4，－2－－4)＝eq\f(x－5，0－5）,即2x＋5y＋10＝0，故BC邊的方程是2x＋5y＋10＝0（0≤x≤5）．（2)設(shè)BC的中點為M(a，b)，則a＝eq\f（5＋0,2)＝eq\f(5,2)，b＝eq\f(－4＋－2,2)＝－3,所以Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（5，2)，－3）).又BC邊的中線過點A（－3，2）,所以eq\f(y－2，－3－2）＝eq\f(x－－3,\f(5,2)－－3），即10x＋11y＋8＝0，所以BC邊上的中線所在直線的方程是10x＋11y＋8＝0。反思與感悟當(dāng)已知兩點坐標(biāo)，求過這兩點的直線方程時,首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件,若滿足,即可考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程．跟蹤訓(xùn)練1已知△ABC三個頂點坐標(biāo)A（2，－1）,B(2，2),C(4,1)，求三角形三條邊所在的直線方程．解∵A(2,－1）,B(2,2）,A、B兩點橫坐標(biāo)相同,∴直線AB與x軸垂直,故其方程為x＝2.∵A（2,－1)，C(4，1)，由直線方程的兩點式，可得直線AC的方程為eq\f(y－1,－1－1）＝eq\f（x－4，2－4），即x－y－3＝0。同理由直線方程的兩點式，得直線BC的方程為eq\f（y－2，1－2）＝eq\f(x－2，4－2)，即x＋2y－6＝0。類型二直線的截距式方程例2求過點A（5，2），且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程．解方法一(1)當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距均為0時，方程為y＝eq\f(2，5)x,即2x－5y＝0；（2)當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距不為0時,可設(shè)方程為eq\f（x，a）＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a。又∵l過點A(5,2），∴5－2＝a，解得a＝3.∴l(xiāng)的方程為x－y－3＝0。綜上所述,直線l的方程為2x－5y＝0或x－y－3＝0.方法二由題意知，直線的斜率一定存在．設(shè)直線的點斜式方程為y－2＝k（x－5），當(dāng)x＝0時，y＝2－5k;當(dāng)y＝0時,x＝5－eq\f(2,k）。根據(jù)題意，得2－5k＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f（2,k）)).解得k＝eq\f(2,5）或1.當(dāng)k＝eq\f(2，5)時，直線方程y－2＝eq\f(2，5）(x－5）,即2x－5y＝0；當(dāng)k＝1時，直線方程為y－2＝1×（x－5），即x－y－3＝0.綜上所述,直線l的方程為2x－5y＝0或x－y－3＝0。引申探究1．若將本例中的條件“在坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)”變?yōu)椤霸趚軸上的截距是y軸上的截距的2倍”，其他條件不變,如何求解？解(1)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時，方程為y＝eq\f（2,5)x,即2x－5y＝0，符合題意．(2）當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時，可設(shè)方程為eq\f(x，2a)＋eq\f(y,a)＝1。又l過點（5,2），∴eq\f（5，2a)＋eq\f（2,a）＝1，解得a＝eq\f（9，2）.∴直線l的方程為x＋2y－9＝0.2．若將本例中的條件“在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)”變?yōu)椤芭c兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是eq\f(9,2)”,其他條件不變,如何求解？解由題意,直線不過原點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距都存在．設(shè)其方程為eq\f（x，a)＋eq\f（y，b）＝1，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(5,a）＋\f(2，b)＝1，①，\f（1，2）|a｜|b|＝\f（9，2），②)）②可化為ab＝±9，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5，a)＋\f(2,b）＝1，,ab＝9，))解得此方程組無解；由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（5，a)＋\f(2,b）＝1，,ab＝－9，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－\f（15，2)，,b＝\f（6,5)））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝3，，b＝－3.）)∴l(xiāng)的方程為4x－25y＋30＝0或x－y－3＝0。反思與感悟(1)如果問題中涉及直線與兩坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用直線的截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．（2）在選用直線的截距式方程時，必須首先考慮直線是否過原點以及是否與兩坐標(biāo)軸垂直．跟蹤訓(xùn)練2過點A(3，－1）且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線有(）A．2條B．3條C．4條D．無數(shù)多條答案B解析當(dāng)截距都為零時滿足題意要求，直線為y＝－eq\f(1，3)x，當(dāng)截距不為零時，設(shè)直線方程為eq\f(x,a）＋eq\f（y,b)＝1，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（3，a)＋\f(－1，b)＝1，|a|＝|b|，)）∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝2，b＝2)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝4，b＝－4，））即直線方程為eq\f（x，2）＋eq\f(y,2)＝1或eq\f（x，4)＋eq\f(y，－4)＝1，∴滿足條件的直線共有3條．故選B.類型三直線的一般式方程例3設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3）x－（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0.（1）若直線l在x軸上的截距為－3，則m＝________；(2）若直線l的斜率為1，則m＝________。答案（1）－eq\f(5,3）（2)－2解析（1）令y＝0，則x＝eq\f(2m－6，m2－2m－3）,∴eq\f（2m－6，m2－2m－3)＝－3,得m＝－eq\f(5，3)或m＝3（舍去)．∴m＝－eq\f(5,3).（2)由直線l化為斜截式方程,得y＝eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq\f（6－2m，2m2＋m－1）,則eq\f（m2－2m－3，2m2＋m－1)＝1，解得m＝－2或m＝－1（舍去）．∴m＝－2.反思與感悟（1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0.（2）令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．（3)解分式方程注意驗根．跟蹤訓(xùn)練3直線l的方程為（a＋1)x＋y＋2－a＝0.(1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值;(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)令x＝0，則y＝a－2，令y＝0,則x＝eq\f（a－2，a＋1）?！遧在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，∴a－2＝eq\f(a－2，a＋1)，解得a＝2或a＝0。(2)由(1)知，在x軸上的截距為eq\f（a－2，a＋1），在y軸上的截距為a－2，∴由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（a－2,a＋1）≥0,，a－2≤0，)）解得a＜－1或a＝2?！鄬崝?shù)a的取值范圍為{a｜a＜－1或a＝2｝.1．在直角坐標(biāo)系中，直線x＋eq\r(3)y－3＝0的傾斜角是（)A．30° B．60°C．150° D．120°答案C解析因為直線的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)，所以傾斜角為150°，故選C。2．經(jīng)過點A（2,5)，B(－3,6）的直線在x軸上的截距為()A．2 B．－3C．－27 D．27答案D解析由兩點式得直線方程為eq\f（x＋3，2＋3）＝eq\f（y－6，5－6）,即x＋5y－27＝0,令y＝0,得x＝27.3．已知ab〈0，bc<0，則直線ax＋by＝c通過（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限答案C解析由ax＋by＝c，得y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f（c,b），∵ab〈0，bc<0，∴直線的斜率k＝－eq\f（a,b）>0，直線在y軸上的截距eq\f（c,b)〈0。由此可知，直線通過第一、三、四象限．4．已知點A（3，2)，B(－1，4)，則經(jīng)過點C（2，5）且經(jīng)過線段AB的中點的直線方程為________．答案2x－y＋1＝0解析AB的中點坐標(biāo)為（1，3），由直線的兩點式方程,可得eq\f(y－3，5－3）＝eq\f(x－1,2－1),即2x－y＋1＝0。5．直線l過點（1,2）和第一、二、四象限，若直線l的橫截距與縱截距之和為6，求直線l的方程．解設(shè)直線l的橫截距為a，由題意可得縱截距為6－a，所以直線l的方程為eq\f（x，a)＋eq\f（y,6－a)＝1。又因為點（1,2）在直線l上，所以eq\f(1,a）＋eq\f(2，6－a)＝1，解得a＝2或3.當(dāng)a＝2時，直線的方程為2x＋y－4＝0,直線經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)a＝3時，直線的方程為x＋y－3＝0，直線經(jīng)過第一、二、四象限．綜上所述，所求直線的方程為2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0。1．求直線的兩點式方程的策略以及注意點(1)當(dāng)已知兩點坐標(biāo),求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不垂直于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點式求方程．(2)由于減法的順序性，一般用兩點式求直線方程時常會將字母或數(shù)字的順序錯位而導(dǎo)致錯誤．在記憶和使用兩點式方程時，必須注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系．2．截距式方程應(yīng)用的注意事項(1)如果問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交,則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．(2）在選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直．(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用．3．（1)直線方程的其他形式都可以化成一般形式,一般式也可以化為斜截式．一般式化斜截式的步驟①移項,By＝－Ax－C；②當(dāng)B≠0時，得y＝－eq\f(A，B)x－eq\f（C,B).（2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，若A＝0,則y＝－eq\f(C,B),它表示一條與y軸垂直的直線；若B＝0，則x＝－eq\f(C，A)，它表示一條與x軸垂直的直線。一、選擇題1．直線（2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角為45°，則m的值為()A．－2 B．2C．－3 D．3答案D解析由已知，得m2－4≠0，且eq\f（2m2－5m＋2，m2－4)＝1，解得m＝3.2．在x軸和y軸上的截距分別為－2,3的直線方程是(）A.eq\f(x,3)＋eq\f（y，－2)＝1 B。eq\f(x，2）＋eq\f(y,－3）＝1C。eq\f(x，－2）＋eq\f（y,3)＝1 D.eq\f(x，－3)＋eq\f（y,2)＝1答案C3．已知直線ax＋by－1＝0在y軸上的截距為－1，且它的傾斜角是直線eq\r（3)x－y－eq\r（3）＝0的傾斜角的2倍,則a，b的值分別為（)A。eq\r(3）,1 B。eq\r（3)，－1C．－eq\r(3)，1 D．－eq\r(3),－1答案D解析原方程化為eq\f（x，\f(1,a)）＋eq\f(y,\f(1，b））＝1，∴eq\f（1,b）＝－1，∴b＝－1。又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－eq\f（a,b）＝a,且eq\r(3）x－y－eq\r（3）＝0的傾斜角為60°,∴k＝tan120°，∴a＝－eq\r（3）,故選D.4．直線ax＋3my＋2a＝0(m≠0）過點（1，－1），則直線的斜率k等于（）A．－3 B．3C.eq\f(1,3) D．－eq\f（1，3)答案D解析由點(1，－1)在直線上，可得a－3m＋2a＝0（m≠0),解得m＝a,故直線方程為ax＋3ay＋2a＝0（a≠0）,即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－eq\f（1,3)。5．已知△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（1,2），B（3,6)，C（5,2)，M為AB中點，N為AC中點，則中位線MN所在直線方程為()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0答案A解析由中點坐標(biāo)公式可得M（2，4）,N(3,2），再由兩點式可得直線MN的方程為eq\f(y－4,2－4）＝eq\f（x－2，3－2),即2x＋y－8＝0.6．下列命題正確的是(）A．過任意兩點A（x1，y1)，B（x2，y2）的直線方程可以寫成eq\f(y－y1，y2－y1)＝eq\f（x－x1，x2－x1）B．直線在x軸和y軸上的截距相等，則直線斜率為－1C．若直線的斜率為1，則直線在x軸和y軸上的截距之和為0D．若直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，則直線的斜率為1答案C解析當(dāng)x1＝x2或y1＝y(tǒng)2時,直線方程不能寫成eq\f(y－y1，y2－y1）＝eq\f（x－x1,x2－x1）,故A錯誤；當(dāng)直線過原點時,在x軸和y軸上的截距相等，但斜率不一定為1，故B錯誤;設(shè)直線在y軸上的截距為b,則直線方程為y＝x＋b.令y＝0，得直線在x軸上的截距為x＝－b，于是b＋（－b)＝0，故C正確;若直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形,則直線的斜率為±1，故D錯誤．7．利用斜二測畫法，作出直線AB的直觀圖如圖所示，若O′A′＝O′B′＝1，則直線AB在直角坐標(biāo)系中的方程為（)A．x＋y＝1 B．x－y＝1C．x＋eq\f（y,2)＝1 D．x－eq\f(y,2)＝1答案D解析由斜二測畫法可知在直角坐標(biāo)系中，A(1,0)，B(0，－2），由截距式方程可得直線方程為x－eq\f(y，2)＝1.8．直線l1：ax－y＋b＝0,l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b）在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是(）答案C解析將l1與l2的方程化為斜截式，得y＝ax＋b,y＝bx＋a,根據(jù)斜率和截距的符號可得C正確．二、填空題9．已知直線eq\f（x，a)＋eq\f（y，6)＝1與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為6,則a的值為________．答案±2解析由eq\f（x，a)＋eq\f（y,6）＝1知，S＝eq\f（1，2)|a｜·6＝6,所以a＝±2。10．若直線(2t－3）x＋y＋6＝0不經(jīng)過第一象限，則t的取值范圍為________．答案eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，2），＋∞）)解析直線方程(2t－3)x＋y＋6＝0可化為y＝（3－2t)x－6.由題意知,需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－6≤0，3－2t≤0，）)得t≥eq\f(3,2）.11．過點（－2，3）且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為__________．答案3x＋2y＝0或x－y＋5＝0解析①當(dāng)直線過原點時，設(shè)方程為y＝kx,∴k＝－eq\f（3,2），∴直線方程為y＝－eq\f（3，2）x；②當(dāng)直線不過原點時,設(shè)eq\f（x,a）＋eq\f（y,－a)＝1，∴將點(－2，3）代入，得a＝－5,∴直線方程為x－y＋5＝0.∴所求直線方程為3x＋2y＝0或x－y＋5＝0。三、解答題12．求斜率與直線4x＋3y＝0相等,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線在x軸上的截距．解設(shè)直線方程是4x＋3y＋d＝0，分別令x＝0和y＝0，得直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是－eq\f(d,3），－eq\f（d，4)，∴6＝eq\f（1，2)×eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(－\f(d,3))）×eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(－\f(d，4）））＝eq\f(d2,24），∴d＝±12。∴直線在x軸上截距為3或－3。13．已知△ABC的頂點A(5，－2）,B（7，3）且邊AC的中點M在y軸上,邊BC的中點N在x軸上．（1)求頂點C的坐標(biāo)；（2）求直線MN的方程．解（1)設(shè)M(0，m），N(n，0），則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（xC＋xA＝2