2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修四人教A版（浙江專用版）講義：第一章 三角函數(shù)1.2.1（二）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．2.1任意角的三角函數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域。2。了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題．知識點一三角函數(shù)的定義域思考正切函數(shù)y＝tanx為什么規(guī)定x∈R且x≠kπ＋eq\f（π，2），k∈Z?答案當(dāng)x＝kπ＋eq\f（π,2），k∈Z時，角x的終邊在y軸上，此時任取終邊上一點P（0，yP）,因為eq\f（yP,0)無意義，因而x的正切值不存在．所以對正切函數(shù)y＝tanx，必須要求x∈R且x≠kπ＋eq\f（π，2）,k∈Z.梳理正弦函數(shù)y＝sinx的定義域是R；余弦函數(shù)y＝cosx的定義域是R；正切函數(shù)y＝tanx的定義域是eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x∈R且x≠kπ＋\f（π，2)，k∈Z）))）。知識點二三角函數(shù)線思考1在平面直角坐標(biāo)系中,任意角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作PM⊥x軸,過點A（1,0）作單位圓的切線，交α的終邊或其反向延長線于點T，如圖所示,結(jié)合三角函數(shù)的定義,你能得到sinα,cosα,tanα與MP，OM,AT的關(guān)系嗎?答案sinα＝MP，cosα＝OM,tanα＝AT.思考2三角函數(shù)線的方向是如何規(guī)定的？答案方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值，反之,為負值．思考3三角函數(shù)線的長度和方向各表示什么？答案長度等于三角函數(shù)值的絕對值，方向表示三角函數(shù)值的正負．梳理圖示正弦線角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作PM垂直于x軸,有向線段MP即為正弦線余弦線有向線段OM即為余弦線正切線過點A（1，0)作單位圓的切線,這條切線必然平行于y軸，設(shè)它與α的終邊或其反向延長線相交于點T，有向線段AT即為正切線1．正弦線MP也可寫成PM。(×）提示三角函數(shù)線是有向線段，端點字母不可顛倒．2．三角函數(shù)線都只能取非負值．（×）提示三角函數(shù)線表示的值也可取負值．3．當(dāng)角α的終邊在y軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在．(√）4．當(dāng)角α的終邊在x軸上時，正弦線、正切線都變成點．(√)類型一三角函數(shù)線例1作出－eq\f（5π,8)的正弦線、余弦線和正切線．考點單位圓與三角函數(shù)線題點三角函數(shù)線的作法解如圖所示，sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（5π,8)))＝MP，coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(5π,8)））＝OM，taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(5π,8)))＝AT.反思與感悟(1）作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點，然后過此交點作x軸的垂線，得到垂足，從而得到正弦線和余弦線．(2）作正切線時，應(yīng)從點A（1，0)引單位圓的切線交角的終邊或終邊的反向延長線于一點T,即可得到正切線AT。跟蹤訓(xùn)練1在單位圓中畫出滿足sinα＝eq\f(1,2）的角α的終邊，并求角α的取值集合．考點單位圓與三角函數(shù)線題點三角函數(shù)線的作法解已知角α的正弦值，可知P點縱坐標(biāo)為eq\f(1,2）.所以在y軸上取點eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2）))，過這點作x軸的平行線，交單位圓于P1,P2兩點，則OP1，OP2是角α的終邊,因而角α的取值集合為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f（π,6)或α＝2kπ＋\f(5π，6），k∈Z)））).類型二利用三角函數(shù)線比較大小例2利用三角函數(shù)線比較sineq\f（2π，3)和sineq\f（4π,5），coseq\f(2π,3)和coseq\f（4π，5)，taneq\f（2π,3)和taneq\f(4π，5）的大?。键c單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線比較大小解如圖，sineq\f(2π，3）＝MP，coseq\f（2π,3）＝OM,taneq\f（2π,3）＝AT,sineq\f(4π，5）＝M′P′，coseq\f(4π,5）＝OM′,taneq\f(4π,5)＝AT′.顯然｜MP|>|M′P′|，符號皆正，∴sineq\f（2π,3)〉sineq\f（4π，5);｜OM｜<|OM′|，符號皆負，∴coseq\f(2π，3)>coseq\f（4π,5）；|AT｜>|AT′|，符號皆負，∴taneq\f（2π,3)<taneq\f（4π，5）。反思與感悟利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時，一般分三步：（1)角的位置要“對號入座"；(2）比較三角函數(shù)線的長度；（3)確定有向線段的正負．跟蹤訓(xùn)練2比較sin1155°與sin(－1654°)的大?。键c單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線比較大小解sin1155°＝sin（3×360°＋75°）＝sin75°，sin(－1654°)＝sin（－5×360°＋146°)＝sin146°.如圖，在單位圓中,分別作出sin75°和sin146°的正弦線M1P1,M2P2?！撸麺1P1｜〉|M2P2｜，且符號皆正，∴sin1155°>sin(－1654°）．類型三利用三角函數(shù)線解不等式（組)命題角度1利用三角函數(shù)線解不等式組例3在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．(1）sinα≥eq\f(\r（3），2）；（2)cosα≤－eq\f(1，2）.考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線解不等式解(1)作直線y＝eq\f(\r(3）,2）交單位圓于A，B兩點,連接OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域（如圖(1)所示的陰影部分，包括邊界），即為角α的終邊的范圍．故滿足要求的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（π，3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3）,k∈Z)）)）.（2)作直線x＝－eq\f（1,2）交單位圓于C，D兩點,連接OC與OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(如圖（2）所示的陰影部分，包括邊界），即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f（2π，3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3）,k∈Z）)））.反思與感悟用單位圓中的三角函數(shù)線求解簡單的三角不等式，應(yīng)注意以下兩點：（1)先找到“正值”區(qū)間，即0～2π內(nèi)滿足條件的角θ的范圍，然后再加上周期;（2）注意區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間．跟蹤訓(xùn)練3已知－eq\f(1,2)≤cosθ<eq\f（\r（3)，2),利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定角θ的取值范圍．考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線解不等式解圖中陰影部分就是滿足條件的角θ的范圍,即eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2,3）π≤θ<2kπ－\f（π，6）或2kπ＋\f(π，6）<θ≤2kπ＋\f(2,3）π，k∈Z）))）.命題角度2利用三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域例4求函數(shù)y＝lgeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sinx－\f（\r(2)，2）))＋eq\r(1－2cosx)的定義域．考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線解不等式解由題意知，自變量x應(yīng)滿足不等式組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1－2cosx≥0，,sinx－\f（\r(2)，2)〉0，）)即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx≤\f（1，2），，sinx>\f（\r(2),2)。))則不等式組的解的集合如圖（陰影部分）所示,∴eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（π,3）≤x<2kπ＋\f（3π,4），k∈Z）))).反思與感悟（1)求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通過解不等式或不等式組求得,對于三角函數(shù)的定義域問題，還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制．(2)要特別注意求一個固定集合與一個含有無限多段的集合的交集時，可以取特殊值把不固定的集合寫成若干個固定集合再求交集．跟蹤訓(xùn)練4求函數(shù)f（x)＝eq\r(2sinx－1）的定義域．考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線解不等式解要使函數(shù)f(x）有意義，必須使2sinx－1≥0，則sinx≥eq\f（1,2）。如圖,畫出單位圓,作x軸的平行直線y＝eq\f（1,2），交單位圓于點P1，P2，連接OP1，OP2，分別過點P1，P2作x軸的垂線,畫出如圖所示的兩條正弦線，易知這兩條正弦線的長度都等于eq\f(1，2）.在[0,2π)內(nèi)，sineq\f(π，6)＝sineq\f(5π,6)＝eq\f（1,2).因為sinx≥eq\f(1，2)，所以滿足條件的角x的終邊在圖中陰影部分內(nèi)（包括邊界),所以函數(shù)f(x)的定義域為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（π，6)＋2kπ≤x≤\f（5π，6)＋2kπ，k∈Z）)））.1。如圖在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是（)A．正弦線為PM，正切線為A′T′B．正弦線為MP，正切線為A′T′C．正弦線為MP,正切線為ATD．正弦線為PM，正切線為AT考點單位圓與三角函數(shù)線題點三角函數(shù)線的作法答案C2．如果eq\f(π,4）<α<eq\f（π,2)，那么下列不等式成立的是(）A．cosα〈sinα<tanαB．tanα<sinα<cosαC．sinα<cosα〈tanαD．cosα<tanα〈sinα考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線比較大小答案A解析方法一（特值法）令α＝eq\f（π，3），則cosα＝eq\f（1，2），tanα＝eq\r（3)，sinα＝eq\f(\r(3）,2），故cosα<sinα〈tanα。方法二如圖所示，在單位圓中分別作出α的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，則OM<MP<AT，即cosα<sinα<tanα。3．已知角α的正弦線是單位長度的有向線段，那么角α的終邊（）A．在x軸上B．在y軸上C．在直線y＝x上D．在直線y＝x或y＝－x上考點單位圓與三角函數(shù)線題點三角函數(shù)線的作法答案B解析由題意|sinα｜＝1，∴sinα＝±1，則角α的終邊在y軸上，故選B。4．已知角α的正弦線和余弦線是方向相反、長度相等的有向線段，則角α的終邊在（）A．第一象限的角平分線上B．第四象限的角平分線上C．第二、四象限的角平分線上D．第一、三象限的角平分線上考點單位圓與三角函數(shù)線題點三角函數(shù)線的作法答案C解析由角α的正弦線和余弦線是方向相反、長度相等的有向線段，則α的終邊在第二、四象限的角平分線上．5．（2017·九江檢測）解不等式3tanα〉－eq\r(3).考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線解不等式解要使3tanα〉－eq\r（3)，即tanα>－eq\f（\r（3），3）.由正切線知－eq\f（π，6）＋kπ<α〈eq\f（π,2)＋kπ,k∈Z。所以不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（kπ－\f(π,6），kπ＋\f（π,2)）)，k∈Z。1．三角函數(shù)線的意義三角函數(shù)線是用單位圓中某些特定的有向線段的長度和方向表示三角函數(shù)的值，三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對值,方向表示三角函數(shù)值的正負．具體地說，正弦線、正切線的方向同y軸一致，向上為正,向下為負；余弦線的方向同x軸一致，向右為正，向左為負．三角函數(shù)線將抽象的數(shù)用幾何圖形表示出來，使得問題更形象直觀，為從幾何途徑解決問題提供了方便．2．三角函數(shù)線的畫法定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線，同時也給出了角α的三角函數(shù)線的畫法，即先找到P，M,T點，再畫出MP,OM，AT。注意三角函數(shù)線是有向線段，要分清始點和終點，字母的書寫順序不能顛倒．3．三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，它直觀地刻畫了三角函數(shù)的概念．與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來，可以從數(shù)與形兩方面認識三角函數(shù)的定義，并使得對三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、誘導(dǎo)公式一的理解更容易了．一、選擇題1．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，3）))的定義域為（）A.eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x≠\f(π,3）,x∈R）））） B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f（π，6),k∈Z）))）C。eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(5π，6），k∈Z)）)） D。eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(5π，6）,k∈Z)）））考點正切函數(shù)的定義域、值域題點正切函數(shù)的定義域答案C解析∵x－eq\f（π，3）≠kπ＋eq\f（π,2），k∈Z，∴x≠kπ＋eq\f（5π，6），k∈Z.2．設(shè)a＝sineq\f(2π，7）,b＝coseq\f(2π，7),c＝taneq\f（2π,7)，則（)A．a(chǎn)<b〈c B．a(chǎn)<c〈bC．b〈c〈a D．b<a〈c考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線比較大小答案D解析∵eq\f(π,4）〈eq\f(2π，7)〈eq\f（π,2),作eq\f（2π,7）的三角函數(shù)線，則sineq\f(2π,7）＝MP,coseq\f(2π，7）＝OM,taneq\f（2π，7）＝AT，∴OM<MP<AT，∴b〈a<c,故選D.3．如果MP,OM分別是角eq\f(3π,16）的正弦線和余弦線，那么下列結(jié)論正確的是（)A．MP<OM〈0 B．MP〈0<OMC．MP〉OM〉0 D．OM〉MP>0考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線比較大小答案D解析0<eq\f（3π，16）〈eq\f（π,4），作三角函數(shù)線可知OM>MP〉0。4．若0<α〈2π，且sinα<eq\f（\r（3），2），cosα〉eq\f(1,2），則角α的取值范圍是()A。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,3),\f(π，3））) B.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(π，3))）C.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5π,3)，2π)） D.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（π，3）））∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5π,3），2π））考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線解不等式答案D解析角α的取值范圍為圖中陰影部分，即eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3）))∪eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5π,3），2π)）。5．有三個命題：①eq\f(π,6）和eq\f(5π，6)的正弦線長度相等；②eq\f(π，3)和eq\f(4π,3)的正切線相同；③eq\f(π，4)和eq\f（5π,4）的余弦線長度相等．其中正確說法的個數(shù)為（)A．1B．2C．3D．0考點單位圓與三角函數(shù)線題點三角函數(shù)線的作法答案C解析eq\f（π,6)和eq\f(5π,6)的正弦線關(guān)于y軸對稱,長度相等;eq\f(π，3）和eq\f（4π,3）兩角的正切線相同；eq\f(π,4）和eq\f(5π,4)的余弦線長度相等．故①②③都正確，故選C。6．點P（sin3－cos3,sin3＋cos3）所在的象限為（)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線比較大小答案D解析因為eq\f（5π,6）＜3＜π，作出單位圓如圖所示．設(shè)MP，OM分別為a,b.sin3＝a＞0，cos3＝b＜0,所以sin3－cos3＞0.因為｜MP|＜｜OM｜,即｜a｜＜｜b|，所以sin3＋cos3＝a＋b＜0。故點P（sin3－cos3，sin3＋cos3)在第四象限．7．已知sinα〉sinβ，那么下列命題成立的是()A．若α，β是第一象限角，則cosα〉cosβB．若α，β是第二象限角,則tanα〉tanβC．若α,β是第三象限角，則cosα〉cosβD．若α，β是第四象限角,則tanα>tanβ考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線比較大小答案D解析如圖(1),α,β的終邊分別為OP，OQ，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此時OM<ON，所以cosα<cosβ,故A錯;如圖(2），OP，OQ分別為角α，β的終邊，MP〉NQ，即sinα>sinβ，所以AC〈AB，即tanα<tanβ,故B錯;如圖(3）,角α，β的終邊分別為OP，OQ，MP>NQ，即sinα〉sinβ，所以O(shè)M<ON，即cosα〈cosβ，故C錯，若α，β為第四象限的角，結(jié)合單位圓,可知tanα>tanβ，故選D。(1)二、填空題8．函數(shù)y＝eq\r（2cosx－1)的定義域為________．考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線解不等式答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(π,3)＋2kπ,\f(π，3)＋2kπ））(k∈Z）9．sin1,cos1，tan1的大小關(guān)系是________．考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線比較大小答案cos1〈sin1<tan1解析由題意eq\f(π，4）〈1〈eq\f(π，2），在單位圓中作出銳角α＝1的正切線、正弦線、余弦線，可知正切線最長，余弦線最短，所以有cos1〈sin1〈tan1。10．若cosθ>sineq\f（7π,3），利用三角函數(shù)線得角θ的取值范圍是________________．考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線解不等式答案eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f（π，6），2kπ＋\f（π，6）））（k∈Z)解析因為cosθ>sineq\f(7π，3），所以cosθ〉sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，3)＋2π））＝sineq\f(π,3）＝eq\f（\r(3),2)，易知角θ的取值范圍是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2kπ－\f（π，6）,2kπ＋\f（π,6))）(k∈Z）．11．函數(shù)f（x)＝eq\r（cos2x－sin2x)的定義域為________．考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線解不等式答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π，4)，kπ＋\f(π，4)))（k∈Z）解析如圖所示．三、解答題12．已知－eq\f（1,2）≤sinθ<eq\f(\r（3)，2）,利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定角θ的范圍．考點單位圓與三角函數(shù)線題點利用三角函數(shù)線解不等式解由三角函數(shù)線可知sineq\f(π,3)＝sineq\f(2π,3）＝eq\f（\r(3），2)，sineq\f（7π,6）＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,6)))＝－eq\f（1,2),且－eq\f（1,2）≤sinθ<eq\f（\r（3),2),如圖，畫出單位圓，陰影部分即為所求．故θ的取值集合是eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（2kπ－\f（π，6），2kπ＋\f（π，3）））∪eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（2π,3)，2kπ＋\f（7π,