第一章-電力系統(tǒng)潮流計算課件

NorthChinaElectricPowerUniversityDepartmentofElectricalEngineeringBaoding2008.11-2009.01

電力系統(tǒng)分析

NorthChinaElectricPowerUni第一章電力系統(tǒng)潮流計算一．概述

二．潮流計算問題的數(shù)學(xué)模型

三．潮流計算的幾種基本方法

四．保留非線性潮流算法

五．最小化潮流算法六．潮流計算中的自動調(diào)整

七．最優(yōu)潮流問題八．交直流電力系統(tǒng)的潮流計算九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介第一章電力系統(tǒng)潮流計算一．概述二．潮流計算問題的數(shù)學(xué)模

前面介紹的潮流計算可歸結(jié)為求解非線性代數(shù)方程組問題，通過結(jié)合電力系統(tǒng)的物理特性，提出了多種求解該方程組的算法。但在實際計算中，對于一些病態(tài)系統(tǒng)（如重負荷系統(tǒng)等），往往出現(xiàn)計算過程振蕩甚至不收斂的現(xiàn)象。這時人們很難判定這是由于潮流算法不夠完善而導(dǎo)致計算失敗，還是從一定的初值出發(fā)，在給定的運行條件下，從數(shù)學(xué)上來講，非線性的潮流方程組本來就是無解的（或者無實數(shù)解）。

五.最小化潮流算法

前面介紹的潮流計算可歸結(jié)

后來人們提出了潮流計算問題在數(shù)學(xué)上可以表示為求一個由潮流方程構(gòu)成的函數(shù)（稱為目標(biāo)函數(shù)）最小值問題。這就形成了采用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法，稱之為非線性規(guī)劃潮流計算法。這種方法的一個顯著特點是從原理上保證了計算過程不會發(fā)散。在給定的運行條件下，只要潮流問題有解，則目標(biāo)函數(shù)最小值就迅速趨近于零；如果潮流問題無解，則目標(biāo)函數(shù)先是逐漸減小，但最后卻停留在一個不為零的正值上。為給定條件下潮流問題的有解與無解提供了一個明確的判斷途徑。五.最小化潮流算法后來人們提出了潮流計算問題在數(shù)學(xué)上

早期的應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的非線性規(guī)劃潮流算法在內(nèi)存需求量和計算速度方面都無法和前面介紹的各種潮流算法競爭，因而未得到實際推廣應(yīng)用。以后，對非線性規(guī)劃方法進行了改進，將數(shù)學(xué)規(guī)劃原理和常規(guī)牛頓潮流算法有機結(jié)合起來，形成了一種新的潮流計算方法-帶最優(yōu)乘子的牛頓算法，通常簡稱為最優(yōu)乘子法。這種算法能有效地解決病態(tài)電力系統(tǒng)的潮流計算問題，并已得到廣泛使用。五.最小化潮流算法早期的應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的非線性規(guī)劃潮流一潮流計算和非線性規(guī)劃將潮流計算問題概括為求解如下非線性代數(shù)方程組(l-145)構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)(l-147)五.最小化潮流算法一潮流計算和非線性規(guī)劃五.最小化潮流算法若的解存在，則最小值應(yīng)該為零。若此最小值不能為零，則說明不存在能滿足原方程組的解。這樣，就把原來的解代數(shù)方程組的問題轉(zhuǎn)化為求，從而使的問題。從而將潮流計算問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。由于沒有附加的約束條件，因此在數(shù)學(xué)規(guī)劃中屬于無約束非線性規(guī)劃的范疇。五.最小化潮流算法若的解存在，則五.最小化潮流算法

按照數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法，通常由下述步驟求出的極小點：(1)確定初始估計值；(2)置迭代次數(shù)；(3)從出發(fā)，按照能使目標(biāo)函數(shù)下降的原則，確定尋優(yōu)方向；五.最小化潮流算法按照數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法，通常由下述步驟求出的極小點：(4)沿著的方向確定使目標(biāo)函數(shù)下降最多的一個點，即決定移動的步長。由此得到新的迭代點(l-149)式中，為步長因子，其數(shù)值的選擇應(yīng)使目標(biāo)函數(shù)下降最多，即(1-150)可見,當(dāng)決定以后，是的一元函數(shù)。通過求對的極值得到最優(yōu)步長因子。五.最小化潮流算法(4)沿著的方向確定使目標(biāo)函數(shù)下降最多的一個點，即決(5)校驗是否成立。如成立，則就是所求的解；否則，令，轉(zhuǎn)向步驟(3)，重復(fù)循環(huán)計算。五.最小化潮流算法(5)校驗是否成立。如成立，則就圖1-11求目標(biāo)函數(shù)最小點示意圖五.最小化潮流算法圖1-11求目標(biāo)函數(shù)最小點示意圖五.最小化潮流算法例4-1求目標(biāo)函數(shù)的極小點。例4-1求目標(biāo)函數(shù)的極小點。12

由上可見，為了求得問題的解，關(guān)鍵要解決兩個問題：(1)確定下一次迭代的搜索方向；(2)確定下一次迭代的最優(yōu)步長因子。確定迭代的搜索方向常用的方法有：

梯度法(最速下降法)、Powell方法

牛頓法、DFP算法、BFGS算法等.五.最小化潮流算法由上可見，為了求得問題的解，關(guān)鍵要解決兩個問題：五.最確定最優(yōu)步長因子：確定最優(yōu)步長因子用一維搜索法，通過一維搜索法確定最優(yōu)步長因子常用的方法有：

解析法、插值法、黃金分割法等。早期的研究工作中，為確定和采用的非線性規(guī)劃算法由于所需的內(nèi)存量和計算速度都不能和牛頓法等常規(guī)潮流計算方法相比，因此作為一種潮流算法，沒有被普遍采用。五.最小化潮流算法確定最優(yōu)步長因子：五.最小化潮流算法非線性規(guī)劃的計算過程能對收斂過程加以控制，迭代過程總是使目標(biāo)函數(shù)下降，永遠不發(fā)散，這些特點是牛頓法等常規(guī)潮流算法所沒有的。五.最小化潮流算法非線性規(guī)劃的計算過程能對收斂過程加以控制，迭代過程總是二帶最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法1)為了改進非線性規(guī)劃潮流算法，首先在決定搜索方向上，人們提出了利用常規(guī)牛頓潮流算法每次迭代所求出的修正量向量(1-151)作為搜索方向，稱之為目標(biāo)函數(shù)在處的牛頓方向。五.最小化潮流算法二帶最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法五.最小化潮流算法由于牛頓法的雅可比矩陣高度稀疏并且已有了一套行之有效的求解修正方程式的方法，因此在決定時可以充分利用原來牛頓潮流算法在內(nèi)存和計算速度方面的優(yōu)勢。五.最小化潮流算法由于牛頓法的雅可比矩陣高度稀疏并且已有了一套行之有效的2)接著決定最優(yōu)步長因子。已知對確定的，目標(biāo)函數(shù)是的一元函數(shù)(l-152)現(xiàn)在的問題是寫出這個一元函數(shù)的解析表示式。如果有了這樣的式子，則可以通過下式求得(l-153)五.最小化潮流算法2)接著決定最優(yōu)步長因子。五.最小化潮流算法應(yīng)用本章前面的式(1-77)，可以得到計算的有效方法。

由式(1-77)，采用直角坐標(biāo)的潮流方程的泰勒展開式可以精確地表示為(l-154)

引入標(biāo)量乘子調(diào)節(jié)變量的修正步長，上式可寫為(l-155)五.最小化潮流算法應(yīng)用本章前面的式(1-77)，可以得到計算的有效方

為表達簡明起見，分別定義三個向量

(1-156)五.最小化潮流算法五.最小化潮流算法

于是式(1-155)可簡寫為(1-157)

代入式(1-146)，則目標(biāo)函數(shù)可寫為(1-158)五.最小化潮流算法五.最小化潮流算法

將對求導(dǎo)，并令其等于零，由此可以求得最優(yōu)乘子(1-159)展開可得(1-160)其中(1-161)五.最小化潮流算法可用牛頓法求解將對求導(dǎo)，并令其等于零，由此可以求得最優(yōu)乘子以上介紹了從搜索方向和最優(yōu)步長因子兩個方面對非線性規(guī)劃潮流算法作的改進。不難看到經(jīng)過改進的算法實質(zhì)上是常規(guī)牛頓潮流算法和計算最優(yōu)乘子這部分算法的結(jié)合。因此對于現(xiàn)有的采用直角坐標(biāo)的牛頓法潮流程序，只需增加計算最優(yōu)乘子的部分，就可以改造成為應(yīng)用非線性規(guī)劃原理的算法，使得潮流計算的收斂過程能有效地得到控制。五.最小化潮流算法以上介紹了從搜索方向和最優(yōu)步長因子兩個方面計算的原理框圖計算的原理框圖

牛頓潮流法第k次迭代修正量的計算公式為：上式左邊為，等號右邊為，也就是在k次迭代后，已求得，為了求，只要計算即可。五.最小化潮流算法3）

最優(yōu)乘子法計算量的討論

牛頓潮流法第k次迭代修正量的計算公式為：五.最小

如果進一步推導(dǎo)，還可看出第（K+1）次潮流方程的偏差量（）可不必按直接計算，可方便地用第k次迭代中已經(jīng)求得的計算而得。即：（證明見書p36）五.最小化潮流算法如果進一步推導(dǎo)，還可看出第（K+1）次潮流方程的

這樣，每次迭代，從原來要計算簡化為僅計算進一步減少了計算量。分析可見，為了計算最優(yōu)乘子而增加的計算量是很少的。

五.最小化潮流算法這樣，每次迭代，從原來要計算五.最小化潮流算法三、帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法具體應(yīng)用：可分為以下三種不同的情況討論：(1)從一定的初值出發(fā)，原來的潮流問題有解。用帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法求解時，目標(biāo)函數(shù)下降為零，經(jīng)過幾次迭代以后，穩(wěn)定在1.0附近。五.最小化潮流算法三、帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法具體應(yīng)用：五.最小化潮流算法(2)從一定的初值出發(fā)，原來的潮流問題無解。這種情況下使用這種算法求解時，目標(biāo)函數(shù)開始時逐漸減小，但迭代到一定的次數(shù)以后即停滯在某一個不為零的正值上，不繼續(xù)下降。的值則逐漸減小，最后趨近于零。趨近于零是所給的潮流問題無解的標(biāo)志，這說明有異常變化，只是由于存在著一個趨于零的，才使得計算過程不致發(fā)散。五.最小化潮流算法(2)從一定的初值出發(fā)，原來的潮流問題無解。這種情況下使用(3)有別于上兩種情況，當(dāng)采用這個方法計算時，不論迭代多少次，的值始終在1.0附近擺動，但目標(biāo)函數(shù)卻不能降為零或不斷波動。的值趨近于1.0說明了解的存在，而目標(biāo)函數(shù)不能繼續(xù)下降或產(chǎn)生波動可能是由于計算的精度不夠所致，這時若改用雙精度計算往往能解決問題。五.最小化潮流算法(3)有別于上兩種情況，當(dāng)采用這個方法計算時，不論迭代多少可見，采用帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法以后，潮流計算不會發(fā)散，即從算法上保證了計算過程的收斂性，從而有效地解決了病態(tài)潮流的計算問題。而通過的具體數(shù)值，提供了在給定的運算條件下，潮流問題是否存在解的一個判斷標(biāo)志。五.最小化潮流算法可見，采用帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法以后，潮流計前面介紹的各種潮流算法，構(gòu)成了潮流程序的核心部分。除此之外，一些實用的潮流程序往往還附有模擬實際系統(tǒng)運行控制特點的自動調(diào)整計算功能。這些調(diào)整控制大都屬于所謂的單一準(zhǔn)則控制，即調(diào)整系統(tǒng)中單獨的一個參數(shù)或變量以使系統(tǒng)的某一個準(zhǔn)則得到滿足。這方面的具體例子有：(1)自動調(diào)整有載調(diào)壓變壓器的分抽頭以保持變壓器某側(cè)節(jié)點或某個遠方節(jié)點的電壓為規(guī)定的數(shù)值。六．潮流計算中的自動調(diào)整前面介紹的各種潮流算法，構(gòu)成了潮流程序的核心部分。除此之外，

(2)自動調(diào)整移相變壓器的移相抽頭以保持通過該移相變壓器的有功功率為規(guī)定值。

(3)自動調(diào)整互聯(lián)系統(tǒng)中某一個區(qū)域的一個（或數(shù)個）節(jié)點的有功出力以保持本區(qū)域和其它區(qū)域間的凈交換有功功率為規(guī)定的數(shù)值。六．潮流計算中的自動調(diào)整(2)自動調(diào)整移相變壓器的移相抽頭以保持通過該移相變（4）此外，節(jié)點的無功功率越界、節(jié)點的電壓越界的自動處理，負荷靜態(tài)特性的考慮等也屬于潮流計算中自動調(diào)整的范疇。六．潮流計算中的自動調(diào)整（4）此外，節(jié)點的無功功率越界、節(jié)點的電壓越界的自動處理，負為了在潮流計算中引入自動調(diào)整，對于單一準(zhǔn)則控制問題，通常有兩類方法：第一類方法：按照所要保持的系統(tǒng)狀態(tài)量和當(dāng)前的計算值的差值大小，不斷地在迭代中改變控制參數(shù)的大小。大小的改變按照偏差反饋的原理進行，即(1-164)

式中，對減少迭代次數(shù)，保證收斂有很大影響。六．潮流計算中的自動調(diào)整為了在潮流計算中引入自動調(diào)整，對于單一準(zhǔn)則控制問題，通常有兩這一類方法不改變原來的潮流計算方程，算法的迭代矩陣以及變量的組成均無變化。由于加入了調(diào)整，往往使得達到收斂所需的迭代次數(shù)和無調(diào)整的潮流計算相比有較多的增加，有的達到2-3倍。六．潮流計算中的自動調(diào)整這一類方法不改變原來的潮流計算方程，算法的迭代矩陣以

第二類方法：則要改變原來潮流方程的構(gòu)成，如增加或改寫其中的一些方程式，為此待求變量的組成以及迭代矩陣（如雅可比矩陣等）的結(jié)構(gòu)也有變化。屬于這一類的一些比較成功的自動算法能使達到收斂所需的迭代次數(shù)非常接近無調(diào)整的算法。六．潮流計算中的自動調(diào)整第二類方法：則要改變原來潮流方程的構(gòu)成，如增加或改寫其中各種潮流計算方法，往往要根據(jù)算法本身的特點，以不同的方式引入自動調(diào)整。本節(jié)介紹在牛頓法潮流算法中實現(xiàn)自動調(diào)整的有關(guān)方法。六．潮流計算中的自動調(diào)整各種潮流計算方法，往往要根據(jù)算法本身的特點，以不同的方一

節(jié)點無功功率越界和節(jié)點電壓越界的處理發(fā)電機節(jié)點及具有可調(diào)無功電源的節(jié)點，常被指定為節(jié)點。在潮流計算過程中，它們的無功出力可能會超出其出力限制值（包括上界及下界）。為此，潮流程序必須對節(jié)點的無功出力加以監(jiān)視并在出現(xiàn)越界時加以處理。六．潮流計算中的自動調(diào)整一節(jié)點無功功率越界和節(jié)點電壓越界的處理六．潮流計對于用牛頓算法的程序，當(dāng)在迭代過程中發(fā)現(xiàn)無功功率越界時，即將這一節(jié)點轉(zhuǎn)化為給定無功功率的節(jié)點。顯然，這種節(jié)點類型的改換將導(dǎo)致修正方程結(jié)構(gòu)的變化。對采用極坐標(biāo)形式的修正方程將增加一個與對應(yīng)的方程式。而在采用直角坐標(biāo)形式時，則用與對應(yīng)的方程式代替原來與對應(yīng)的方程式。六．潮流計算中的自動調(diào)整對于用牛頓算法的程序，當(dāng)在迭代過程中發(fā)現(xiàn)無功功率越由干牛頓法每次迭代都要重新形成雅可比矩陣，因此就每一次迭代來說，采用這種節(jié)點形式轉(zhuǎn)換的處理方法并不增加多少計算量。在隨后的迭代過程中，若出現(xiàn)該節(jié)點的電壓又高于（對應(yīng)于原來越上界）或低于（對應(yīng)于原來越下界）節(jié)點的規(guī)定電壓值時，則該節(jié)點在下一次迭代中應(yīng)重新轉(zhuǎn)換成節(jié)點。六．潮流計算中的自動調(diào)整由干牛頓法每次迭代都要重新形成雅可比矩陣，因此就節(jié)點的電壓越界（包括越上界及下界）可以通過將該節(jié)點轉(zhuǎn)換成節(jié)點的辦法來處理，即將該節(jié)點的電壓固定在電壓的上界或下界上。但這種處理方式的前提是該節(jié)點必須具有足夠的無功調(diào)節(jié)能力（即有可調(diào)的無功電源，包括無功補償設(shè)備），因而不是所有的節(jié)點都可以這樣處理。六．潮流計算中的自動調(diào)整節(jié)點的電壓越界（包括越上界及下界）可以通在迭代過程中，這種節(jié)點由節(jié)點再復(fù)原為節(jié)點的判據(jù)是節(jié)點的實際無功功率計算值和原來給定的無功功率的差出現(xiàn)正或負值（分別對應(yīng)于原來節(jié)點電壓越上界和越下界）。無論是哪一種越界處理，都要待迭代收斂過程趨于平穩(wěn)時才進行，對牛頓法來說，一般在第二次迭代結(jié)束以后才進行。六．潮流計算中的自動調(diào)整在迭代過程中，這種節(jié)點由節(jié)點再復(fù)原為二帶負荷調(diào)壓變壓器抽頭的調(diào)整帶負荷調(diào)壓變壓器抽頭的調(diào)整可以將變壓器某一側(cè)節(jié)點或某個遠方節(jié)點的電壓保持為指定的數(shù)值。因此在潮流計算中，這種變壓器的變比是按照上述要求而決定的可調(diào)節(jié)變量，可以用兩類不同的方法來進行這種調(diào)整的潮流計算。六．潮流計算中的自動調(diào)整二帶負荷調(diào)壓變壓器抽頭的調(diào)整六．潮流計算中的自動調(diào)整

第一種方法，在計算開始前對這類變壓器預(yù)先選擇一個適當(dāng)?shù)淖儽戎?，用通常的牛頓法迭代2-3次，目的是使迭代過程趨于平穩(wěn)后再引入調(diào)整，避免計算過程的振蕩。然后在后繼的每兩次迭代中間，插入變壓器變比選擇計算。具體做法是根據(jù)所要保持的節(jié)點的電壓，以及該次迭代（設(shè)為第次）求得的電壓，根據(jù)公式(1-165)計算變比在次迭代時所取的新值。式中：為常數(shù)，通?？扇?。六．潮流計算中的自動調(diào)整第一種方法，在計算開始前對這類變壓器預(yù)先選擇一個適當(dāng)?shù)倪@樣重復(fù)計算直到前后兩次迭代所求得的值的變化小于給定的很小的數(shù)并且潮流收斂為止。的選擇，應(yīng)滿足條件(1-166)式中：分別為變壓器變比的上下限值。這種方法僅在兩次迭代中間，插入以式(1-165)表示的變壓器變比的調(diào)整計算，方法簡單，但引入調(diào)整后，達到收斂所需的迭代次數(shù)往往比無調(diào)整的計算要增加一倍以上。六．潮流計算中的自動調(diào)整這樣重復(fù)計算直到前后兩次迭代所求得的值的變化小于第二類自動調(diào)整算法下面結(jié)合一個簡單系統(tǒng)介紹調(diào)整帶負荷調(diào)節(jié)變壓器變比的第二類自動調(diào)整算法，它能使有調(diào)整潮流解所需的迭代次數(shù)和無調(diào)整的情況基本相同。六．潮流計算中的自動調(diào)整第二類自動調(diào)整算法六．潮流計算中的自動調(diào)整圖1-13簡單系統(tǒng)示例

六．潮流計算中的自動調(diào)整圖1-13簡單系統(tǒng)示例六．潮流計算中的自動調(diào)整圖l-13中節(jié)點1為節(jié)點，節(jié)點2~4為節(jié)點，節(jié)點5為平衡節(jié)點。潮流計算中帶負荷調(diào)壓變壓器的變比應(yīng)自動選擇調(diào)整，使節(jié)點3的電壓維持為給定值。對于該系統(tǒng)，用常規(guī)牛頓法求解的修正方程式為六．潮流計算中的自動調(diào)整圖l-13中節(jié)點1為節(jié)點，節(jié)點2~4為節(jié)六．潮流計算中的自動調(diào)整(1-167)

六．潮流計算中的自動調(diào)整(1-167)為了要維持，在計算中將原來的變量看成是等于的一個常量，而以變壓器變比為變量，于是式(1-167)變?yōu)槿缦滦问剑毫绷饔嬎阒械淖詣诱{(diào)整為了要維持，在計算中將原來的變量看成是等

(1-168)其中(l-169)六．潮流計算中的自動調(diào)整

變比為變量后，根據(jù)非標(biāo)準(zhǔn)變比變壓器的等值電路，與變壓器支路端點、對應(yīng)的節(jié)點自導(dǎo)納以及互導(dǎo)納將是的函數(shù)，從而節(jié)點功率方程組中變壓器端點及的節(jié)點功率表示式也包含變量。因此新的雅可比矩陣的結(jié)構(gòu)有以下特點：六．潮流計算中的自動調(diào)整變比為變量后，根據(jù)非標(biāo)準(zhǔn)變比變壓器的等值電路，與當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中不存在支路時，固然等于零。而且只要支路不是用來調(diào)整節(jié)點電壓的變壓器支路時，也等于零。從而在式(1-168)中，與被調(diào)整節(jié)點的電壓變量（現(xiàn)在是變壓器變比）所對應(yīng)的一列內(nèi)，除了對角元素之外，只有一組非零非對角元素。六．潮流計算中的自動調(diào)整當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中不存在支路時，固然等于零。用式(1-168)進行牛頓迭代的過程中，為防止每次的變比調(diào)整量太大，以致超過其規(guī)定的上下限值?？梢圆捎孟拗泼看蔚牟怀^一個控制值（如)的方法，以防止因?qū)ψ儽冗^量的校正而引起發(fā)散或振蕩。六．潮流計算中的自動調(diào)整用式(1-168)進行牛頓迭代的過程中，為防止每次的變在迭代過程中當(dāng)變比超過其限值或又退回其限值范圍以內(nèi)時，應(yīng)仿照上一小節(jié)、節(jié)點類型相互轉(zhuǎn)換的辦法，及時作式(1-167)及式(1-168)的相互轉(zhuǎn)換，然后繼續(xù)求解。式(1-167)即對應(yīng)于變比固定在其上限或下限值上，而則為變量。六．潮流計算中的自動調(diào)整在迭代過程中當(dāng)變比超過其限值或又退回其限值范圍以三互聯(lián)系統(tǒng)區(qū)域間交換功率控制互聯(lián)系統(tǒng)區(qū)域間交換功率控制，也稱聯(lián)絡(luò)線控制。在對由幾個區(qū)域組成的互聯(lián)系統(tǒng)進行研究時，往往要求其潮流解必須滿足各區(qū)域間交換的凈有功功率等于預(yù)先規(guī)定值這一約束條件。計及區(qū)域間交換功率約束的潮流計算，也可以采用兩種不同類型的方法。六．潮流計算中的自動調(diào)整三互聯(lián)系統(tǒng)區(qū)域間交換功率控制六．潮流計算中的自動調(diào)整

第一種方法，在互聯(lián)系統(tǒng)的每一個區(qū)域內(nèi)（含有整個互聯(lián)系統(tǒng)平衡節(jié)點的那個區(qū)域除外），都指定一臺發(fā)電機作為調(diào)節(jié)發(fā)電機，通過這些發(fā)電機有功出力的調(diào)節(jié)保證本區(qū)域的凈交換有功功率為規(guī)定值。這些發(fā)電機在潮流計算中作節(jié)點處理，并分別給定一個有功出力作為其計算初值。具體計算步驟如下六．潮流計算中的自動調(diào)整第一種方法，在互聯(lián)系統(tǒng)的每一個區(qū)域內(nèi)（含有整個互圖1-14互聯(lián)系統(tǒng)示意圖-區(qū)域調(diào)節(jié)發(fā)電機；-整個互聯(lián)系統(tǒng)的平衡機六．潮流計算中的自動調(diào)整圖1-14互聯(lián)系統(tǒng)示意圖六．潮流計算中的自動調(diào)整

(1)進行常規(guī)潮流計算。由解得的節(jié)點電壓計算各聯(lián)絡(luò)線的潮流，并由此求得各個區(qū)域的交換凈有功功率值。以圖l-14為例，區(qū)域和其它區(qū)域交換的第次迭代凈有功功率可由下式求得(l-170)(2)求出每個區(qū)域?qū)嶋H交換功率和該區(qū)域規(guī)定的交換功率之差（含整個系統(tǒng)平衡節(jié)點的區(qū)域除外）。如對區(qū)域，有(l-171)六．潮流計算中的自動調(diào)整(1)進行常規(guī)潮流計算。由解得的節(jié)點電壓計算各聯(lián)絡(luò)(3)確定在下一次迭代中各區(qū)域調(diào)節(jié)發(fā)電機有功出力的新估計值。如對區(qū)域的調(diào)節(jié)發(fā)電機，其有功功率為(1-172)對收斂較快的牛頓法，可取為1。(4)轉(zhuǎn)步驟(1)，重復(fù)上述過程，直到各區(qū)域間的有功交換功率偏差小于或等于事先規(guī)定的誤差允許值為止。六．潮流計算中的自動調(diào)整(3)確定在下一次迭代中各區(qū)域調(diào)節(jié)發(fā)電機有功出力的新估計值這種方法僅在原有潮流算法的兩次迭代之間插入式(l-170)～(l-172)所表示的區(qū)域調(diào)節(jié)發(fā)電機有功出力的調(diào)整計算，簡單而容易實現(xiàn)。但比起無調(diào)整解來，達到收斂所需的迭代次數(shù)可能多達3倍或甚至有時不收斂。六．潮流計算中的自動調(diào)整這種方法僅在原有潮流算法的兩次迭代之間插入式(l-17區(qū)域間有功交換的第二種方法

以極坐標(biāo)形式表示的支路潮流方程為(1-173)互聯(lián)系統(tǒng)中某區(qū)域經(jīng)過若干聯(lián)絡(luò)線和其它區(qū)域交換的凈有功功率為

(1-174)六．潮流計算中的自動調(diào)整區(qū)域間有功交換的第二種方法六．潮流計算中的自動調(diào)整潮流解應(yīng)該滿足這一條件，即(1-175)新算法用式(l-175)取代原來潮流方程組中已作節(jié)點處理的區(qū)域調(diào)節(jié)發(fā)電機節(jié)點的有功功率偏差方程式(l-176)但待求變量仍取。這就保留了原來的變量，方程式的數(shù)目也相同，但潮流方程組中卻引入了區(qū)域控制的精確表示式。六．潮流計算中的自動調(diào)整潮流解應(yīng)該滿足這一條件，即六．潮流計算中的自然后用通常的牛頓法求解。但要用相應(yīng)于式(l-175)的略去高階項的泰勒展開式來代替修正方程組中原來對應(yīng)于調(diào)節(jié)發(fā)電機的方程式

這個算法可使計及區(qū)域間交換功率控制的潮流計算所需的迭代次數(shù)大大減少。六．潮流計算中的自動調(diào)整然后用通常的牛頓法求解。但要用相應(yīng)于式(l-175)需注意，用式(l-175)替代式(l-176)后，如果被指定為區(qū)域調(diào)節(jié)發(fā)電機的節(jié)點不是本區(qū)域和其它區(qū)域的聯(lián)絡(luò)線端點時，由于保持恒定的區(qū)域間交換凈有功功率的表示式(l-174)中僅包含各聯(lián)絡(luò)線端節(jié)點的電壓相角變量而沒有，因此雅可比矩陣的這一行將出現(xiàn)對角元的情況，使求解修正方程的高斯消元過程發(fā)生困難。解決這個問題的辦法是重新安排消元順序，使得在該行消元時，在原來零元素的位置上，已注入了非零元素。六．潮流計算中的自動調(diào)整需注意，用式(l-175)替代式(l-176)后六．潮流

四負荷靜態(tài)特性的考慮電力系統(tǒng)的負荷從系統(tǒng)吸取的有功及無功功率一般要隨著其端電壓的變化而改變。因此在進行潮流計算時，各節(jié)點所給定的負荷功率嚴(yán)格地講只在預(yù)定的電壓下才有意義。為使潮流計算的結(jié)果能正確反映系統(tǒng)的實際情況，應(yīng)計及節(jié)點負荷的電壓特性或靜態(tài)特性(1-178)六．潮流計算中的自動調(diào)整四負荷靜態(tài)特性的考慮六．潮流計算中的自動調(diào)整由于負荷的組成成份及特性千變?nèi)f化，要精確地寫出各節(jié)點負荷的負荷-電壓特性表示式是困難的。因此，在潮流計算中，可采用下述近似模型。(1)指數(shù)函數(shù)(l-179)(2)多項式(l-180)六．潮流計算中的自動調(diào)整由于負荷的組成成份及特性千變?nèi)f化，要精確地寫出各節(jié)點負前兩式中，下標(biāo)表示正常值；分別表示節(jié)點電壓為時的節(jié)點有功、無功功率給定值。式(l-179)和式(l-180)中的常數(shù)應(yīng)由現(xiàn)場試驗測定。在缺乏具體數(shù)據(jù)的情況下，可近似地取經(jīng)驗數(shù)據(jù)，如取和等。六．潮流計算中的自動調(diào)整前兩式中，下標(biāo)表示正常值；分別表示節(jié)點電壓無論采用何種負荷靜態(tài)特性模型，進行潮流計算時，原來潮流方程式(l-28)和式(l-29)中（以采用極坐標(biāo)的為例）具有定值的要用式(l-179)或式(l-180)中有關(guān)表示式代替。如采用多項式模型，潮流方程式(l-28)和式(l-29)將改寫成

(1-181)六．潮流計算中的自動調(diào)整無論采用何種負荷靜態(tài)特性模型，進行潮流計算時，原來潮流因此雅可比矩陣元素的表示式將不同于式(1-34)-式(1-38)，但其它元素的表示式和計算步驟與不計負荷特性時無大差別，所以計及負荷靜態(tài)特性并不會給潮流計算帶來特殊的困難。一般說來，潮流計算中計及負荷靜態(tài)特性對計算的收斂性是有利的。六．潮流計算中的自動調(diào)整因此雅可比矩陣元素的表示式將不同于式(1

最優(yōu)潮流與潮流計算的區(qū)別前面介紹的潮流計算，可以歸結(jié)為針對一定的擾動變量（負荷情況），根據(jù)給定的控制變量（發(fā)電機的有功出力、無功出力或節(jié)點電壓模值等），求出相應(yīng)的狀態(tài)變量（節(jié)點電壓模值及角度）.七.最優(yōu)潮流問題（OPF）----概述最優(yōu)潮流與潮流計算的區(qū)別七.最優(yōu)潮流問題（OPF）---通過一次潮流計算得到電力系統(tǒng)的一個運行狀態(tài)。這種潮流計算稱為常規(guī)潮流計算。常規(guī)潮流計算的結(jié)果滿足潮流方程式或者變量間的等式約束條件

(1-182)七.最優(yōu)潮流問題（OPF）通過一次潮流計算得到電力系統(tǒng)的一個運行狀態(tài)。這種潮流

常規(guī)潮流計算存在以下兩種問題:1.常規(guī)潮流計算決定的運行狀態(tài)可能由于某些狀態(tài)或者作為函數(shù)的其它變量超出了它們的運行限值，因而在技術(shù)上是不可行的。對此實際上常用的方法是調(diào)整某些控制變量的給定值，重新進行基本潮流計算，這樣反復(fù)進行，直到所有的約束條件都滿足為止。這樣便得到了一個技術(shù)上可行的潮流解。七.最優(yōu)潮流問題常規(guī)潮流計算存在以下兩種問題:七.最優(yōu)潮流問題2.對某一種負荷情況，理論上存在眾多的、技術(shù)上都能滿足要求的可行潮流解。這里每一個可行潮流解對應(yīng)于系統(tǒng)的一個特定的運行方式，具有相應(yīng)總體的經(jīng)濟上或技術(shù)上的性能指標(biāo)（如系統(tǒng)總的燃料消耗量、系統(tǒng)總的網(wǎng)損等）。

七.最優(yōu)潮流問題2.對某一種負荷情況，理論上存在眾多的、技術(shù)上都能滿足為了優(yōu)化系統(tǒng)的運行，需要從所有可行潮流解中挑選出上述性能指標(biāo)最佳的一個方案。而這就是本節(jié)要討論的最優(yōu)潮流問題。所謂最優(yōu)潮流，就是當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及負荷情況給定時，通過控制變量的優(yōu)選，找到的能滿足所有指定的約束條件，并使系統(tǒng)的性能指標(biāo)或目標(biāo)函數(shù)達到最優(yōu)的潮流分布。七.最優(yōu)潮流問題為了優(yōu)化系統(tǒng)的運行，需要從所有可行潮流解中挑選出上述性能最優(yōu)潮流和基本潮流比較，有以下不同點。（1）基本潮流計算時控制變量事先給定；而最優(yōu)潮流中則是待優(yōu)選的變量，因此在最優(yōu)潮流模型中必然有一個作為優(yōu)選準(zhǔn)則的目標(biāo)函數(shù)。（2）最優(yōu)潮流計算除了滿足潮流方程這一等式約束條件之外，還必須滿足與運行限制有關(guān)的大量不等式約束條件。七.最優(yōu)潮流問題最優(yōu)潮流和基本潮流比較，有以下不同點。七.最優(yōu)潮流問題（3）基本潮流計算是求解非線性代數(shù)方程組；而最優(yōu)潮流計算從數(shù)學(xué)上講是一個非線性規(guī)劃問題，因此需要采用最優(yōu)化方法來求解。（4）基本潮流計算完成的只是一種計算功能，即從給定的求出相應(yīng)的；而最優(yōu)潮流計算是根據(jù)特定目標(biāo)函數(shù)并滿足相應(yīng)約束條件的情況下，自動優(yōu)選控制變量，具有指導(dǎo)系統(tǒng)進行優(yōu)化調(diào)整的決策功能。七.最優(yōu)潮流問題（3）基本潮流計算是求解非線性代數(shù)方程組；而最優(yōu)潮流計算從

最優(yōu)潮流與經(jīng)濟調(diào)度的區(qū)別建立在嚴(yán)格數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的最優(yōu)潮流模型首先是由法國的Carpentier于20世紀(jì)60年代提出的。由于基于協(xié)調(diào)方程式的經(jīng)典經(jīng)濟調(diào)度方法雖然具有方法簡單，計算速度快，適宜于實時應(yīng)用等優(yōu)點，但協(xié)調(diào)方程式在處理節(jié)點電壓越界及線路過負荷等安全約束的問題上卻顯得無能為力。七.最優(yōu)潮流問題最優(yōu)潮流與經(jīng)濟調(diào)度的區(qū)別七.最優(yōu)潮流問題隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的日益擴大以及一些特大事故的發(fā)生，電力系統(tǒng)運行安全性問題被提到一個新的高度上來加以重視。因此，人們越來越迫切要求將經(jīng)濟和安全問題統(tǒng)一起來考慮。而以數(shù)學(xué)規(guī)劃問題作為基本模式的最優(yōu)潮流在約束條件的處理上具有很強的能力。七.最優(yōu)潮流問題隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的日益擴大以及一些特大事故的發(fā)生，電力系最優(yōu)潮流能夠在模型中引入能表示成狀態(tài)變量和控制變量函數(shù)的各種不等式約束，將電力系統(tǒng)對于經(jīng)濟性、安全性以及電能質(zhì)量三方面的要求，完美地統(tǒng)一起來。七.最優(yōu)潮流問題最優(yōu)潮流能夠在模型中引入能表示成狀態(tài)變量和控制變量函數(shù)40多年來，廣大學(xué)者對最優(yōu)潮流問題進行了大量的研究。這些研究工作，除了提出了采用不同的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，因而構(gòu)成不同應(yīng)用范圍的最優(yōu)潮流模型之外，更大量的是從改善收斂性能、提高計算速度等目的出發(fā)而提出的最優(yōu)潮流計算的各種模型和求解算法。七.最優(yōu)潮流問題40多年來，廣大學(xué)者對最優(yōu)潮流問題進行了大量的研

本節(jié)主要內(nèi)容七.最優(yōu)潮流問題非線性規(guī)劃算法簡化梯度法牛頓法變量的分類目標(biāo)函數(shù)等約束條件不等約束條件最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型解耦最優(yōu)潮流本節(jié)主要內(nèi)容七.最優(yōu)潮流問題非線性規(guī)劃算法簡化梯度法變量一最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型㈠最優(yōu)潮流的變量在最優(yōu)潮流的算法中，常將所涉及的變量分成狀態(tài)變量及控制變量兩類。通常由調(diào)度人員可以調(diào)整、控制的變量組成；確定以后，就可以通過潮流計算確定下來。七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型一最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型一般常用的控制變量有：（1）平衡節(jié)點以外發(fā)電機的有功出力；（2）所有發(fā)電機節(jié)點（包括平衡節(jié)點）及具有可調(diào)無功補償設(shè)備節(jié)點的電壓模值；（3）帶負荷調(diào)壓變壓器的變比。七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型一般常用的控制變量有：七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型狀態(tài)變量由需經(jīng)潮流計算才能求得的變量組成。常見的有：(1)除平衡節(jié)點外，其它所有節(jié)點的電壓相角；(2)除發(fā)電機節(jié)點以及具有可調(diào)無功補償設(shè)備節(jié)點之外，其它所有節(jié)點的電壓模值。七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型狀態(tài)變量由需經(jīng)潮流計算才能求得的變量組成。常見的有：七.有時也采用發(fā)電機節(jié)點及具有可調(diào)無功補償設(shè)備節(jié)點的無功出力作為控制變量，則它們相應(yīng)的節(jié)點電壓模值就要改作為狀態(tài)變量。需要指出的是在某些最優(yōu)潮流的文獻中，往往將凡可以通過潮流計算而求得的作為狀態(tài)變量及控制變量函數(shù)的其它變量，也統(tǒng)稱為狀態(tài)變量。七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型有時也采用發(fā)電機節(jié)點及具有可調(diào)無功補償設(shè)備節(jié)點的無功出力

㈡最優(yōu)潮流的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)潮流的目標(biāo)函數(shù)可以是任何一種按特定的應(yīng)用目的而定義的標(biāo)量函數(shù)，目前常見的目標(biāo)函數(shù)如下。（1）全系統(tǒng)發(fā)電燃料總耗量（或總費用）(1-183)七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型㈡最優(yōu)潮流的目標(biāo)函數(shù)七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型式中：為全系統(tǒng)發(fā)電機的集合，其中包括平衡節(jié)點的發(fā)電機組；為發(fā)電機組的耗量特性，可以采用線性、二次或更高次的函數(shù)關(guān)系式。由于平衡節(jié)點的電源有功出力不是控制變量，其節(jié)點注入功率必須通過潮流計算才能決定，是節(jié)點電壓模值及相角的函數(shù)，于是有(1-184)七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型式中：為全系統(tǒng)發(fā)電機的集合，其中包括平衡節(jié)點的發(fā)電機組；式中：為注入節(jié)點而通過與節(jié)點相關(guān)的線路輸出的有功功率；為節(jié)點的負荷功率。所以式(1-183)可寫為(1-185)七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型式中：為注入節(jié)點而通過與節(jié)點七.最優(yōu)潮流問題—

（2）有功網(wǎng)損(1-186)式中：表示所有支路的集合。采用有功網(wǎng)損作為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)潮流問題，除平衡節(jié)點外，其它發(fā)電機的有功出力都認為是給定不變的。因而對于一定的負荷,平衡節(jié)點的注入功率將隨網(wǎng)損的變化而改變，于是平衡節(jié)點有功注入功率的最小化就等效于系統(tǒng)總的網(wǎng)損的最小化。七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型（2）有功網(wǎng)損七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型因此可以直接采用平衡節(jié)點的有功注入作為有功網(wǎng)損最小化問題的目標(biāo)函數(shù)，即有(1-187)

除此之外，最優(yōu)潮流問題根據(jù)應(yīng)用場合不同，還可采用其它類型的目標(biāo)函數(shù)，如偏移量最小、控制設(shè)備調(diào)節(jié)量最小、投資及年運行費用之和最小等。七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型因此可以直接采用平衡節(jié)點的有功注入作為有功網(wǎng)損最小化問題可見，最優(yōu)潮流的目標(biāo)函數(shù)不僅與控制變量有關(guān)，同時也和狀態(tài)變量有關(guān)，因此可用簡潔的形式表示為(1-188)七.最優(yōu)潮流問題可見，最優(yōu)潮流的目標(biāo)函數(shù)不僅與控制變量有關(guān)，同時也和狀態(tài)

（三）等式約束條件最優(yōu)潮流是經(jīng)過優(yōu)化的潮流分布，為此必須滿足基本潮流方程。這就是最優(yōu)潮流問題的等式約束條件。用式(1-182)表示的基本潮流方程式由于擾動變量即負荷一般都是給定的，所以該式可進一步簡化表示為(1-189)七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型（三）等式約束條件七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型

（四）不等式約束條件最優(yōu)潮流的內(nèi)涵包括了系統(tǒng)運行的安全性及電能質(zhì)量，另外可調(diào)控制變量本身也有一定的容許調(diào)節(jié)范圍，為此在計算中要對控制變量以及通過潮流計算才能得到的其它量（狀態(tài)變量及函數(shù)變量）的取值加以限制。這就產(chǎn)生了大量的不等式約束條件，如：(1）有功電源出力上下限約束；七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型（四）不等式約束條件七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型(2）可調(diào)無功電源出力上下限約束；(3）帶載調(diào)壓變壓器變比調(diào)整范圍約束，(4）節(jié)點電壓模值上下限約束；(5）輸電線路或變壓器等元件的最大電流或視在功率約束，(6）線路的最大有功或無功潮流約束；(7）線路兩端節(jié)點電壓相角差約束，等等。不等式約束條件可以統(tǒng)一表示為(1-190)七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型(2）可調(diào)無功電源出力上下限約束；七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模

（五）最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型綜上所述，電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型可以表示為

(1-191)七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型（五）最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型通過以上討論可以看到，目標(biāo)函數(shù)及等式、不等式約束及中的大部分約束都是非線性函數(shù)，因此電力系統(tǒng)的最優(yōu)潮流計算是一個典型的有約束非線性規(guī)劃問題。采用不同的目標(biāo)函數(shù)并選擇不同的控制變量，再和相應(yīng)的約束條件相結(jié)合，就可以構(gòu)成不同應(yīng)用目的的最優(yōu)潮流問題。例如：七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型通過以上討論可以看到，目標(biāo)函數(shù)及等式、不等式約束（1）目標(biāo)函數(shù)采用發(fā)電燃料耗量（或費用）最?。阂猿テ胶夤?jié)點以外的所有有功電源出力及所有可調(diào)無功電源出力（或用相應(yīng)的節(jié)點電壓），還有帶負荷調(diào)壓變壓器的變比作為控制變量，就是對有功及無功進行綜合優(yōu)化的通常泛稱的最優(yōu)潮流問題．七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型（1）目標(biāo)函數(shù)采用發(fā)電燃料耗量（或費用）最小：七.最優(yōu)潮流（2）若目標(biāo)函數(shù)同（1），僅以有功電源出力作為控制變量而將無功電源出力（或相應(yīng)節(jié)點電壓模值）固定，則稱為有功最優(yōu)潮流。七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型（2）若目標(biāo)函數(shù)同（1），僅以有功電源出力作為控制變量而將(3）目標(biāo)函數(shù)采用系統(tǒng)的有功網(wǎng)損最小將各有功電源出力固定而以可調(diào)無功電源出力（或相應(yīng)節(jié)點電壓模值）及調(diào)壓變壓器變比作為控制變量，則稱為無功優(yōu)化潮流。以上這三種是目前用得最多的最優(yōu)潮流問題。七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模型(3）目標(biāo)函數(shù)采用系統(tǒng)的有功網(wǎng)損最小七.最優(yōu)潮流問題—數(shù)學(xué)模

二最優(yōu)潮流計算的簡化梯度算法由于電力系統(tǒng)的規(guī)模日益擴大，其節(jié)點數(shù)可以成百上千，最優(yōu)潮流計算模型中包含的變量數(shù)及等式約束方程數(shù)極為巨大，至于不等式約束的數(shù)目則更多，兼以變量之間又存在著復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，這些因素都導(dǎo)致最優(yōu)潮流計算躋身于極其困難的大規(guī)模非線性規(guī)劃的行列。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法二最優(yōu)潮流計算的簡化梯度算法七.最優(yōu)潮流問題---簡化雖經(jīng)將近30年的努力，但繼續(xù)尋找能夠快速、有效地求解各種類型的大規(guī)模最優(yōu)潮流計算問題，特別是能夠滿足實時應(yīng)用的方法，對廣大研究者來說，仍然是一個巨大的挑戰(zhàn)。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法雖經(jīng)將近30年的努力，但繼續(xù)尋找能夠快速、有效地求解各種下面介紹最優(yōu)潮流計算的簡化梯度法。這個算法在最優(yōu)潮流領(lǐng)域內(nèi)具有重要的地位，是最優(yōu)潮流問題被提出后，能夠成功地求解較大規(guī)模的最優(yōu)潮流問題并被廣泛采用的第一個算法，它直到現(xiàn)在，仍然還被看成是一種成功的算法而加以引用。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法下面介紹最優(yōu)潮流計算的簡化梯度法。這個算法在最優(yōu)潮流領(lǐng)域最優(yōu)潮流計算的簡化梯度算法以極坐標(biāo)形式的牛頓潮流算法為基礎(chǔ)。下面先討論：僅計及等式約束條件時算法的構(gòu)成；討論計及不等式約束條件時的處理方法。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法最優(yōu)潮流計算的簡化梯度算法以極坐標(biāo)形式的牛頓潮流算法為基

(一)僅有等式約束條件時的算法對于僅有等式約束的最優(yōu)潮流計算，根據(jù)式(1-191)，問題可以表示為(1-192)應(yīng)用經(jīng)典的拉格朗日乘子法，引入和等式約束中方程式數(shù)同樣多的拉格朗日乘子，則構(gòu)成拉格朗日函數(shù)為(1-193)七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法(一)僅有等式約束條件時的算法七.最優(yōu)潮流問題---簡化采用經(jīng)典的函數(shù)求極值的方法，將分別對變量及求導(dǎo)并令其等于零，即得到極值所滿足的必要條件為(1-194)(1-195)(1-196)七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法采用經(jīng)典的函數(shù)求極值的方法，將分別對變量及

這是三個非線性代數(shù)方程組，每組的方程式個數(shù)分別等于向量的維數(shù)。最優(yōu)潮流的解必須同時滿足這三組方程。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法聯(lián)立求解這三個極值條件方程組,可以求得此非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。但由于方程數(shù)目眾多及其非線性性質(zhì)，聯(lián)立求解的計算量非常巨大，有時還相當(dāng)困難。這里采用的是迭代下降算法，其基本思想是從一個初始點開始，確定一個搜索方向，沿著這個方向移動一步，使目標(biāo)函數(shù)有所下降，然后由新的點開始，再重復(fù)上述步驟，直到滿足一定的收斂判據(jù)為止。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法聯(lián)立求解這三個極值條件方程組,可以求得此非線性規(guī)劃問這個迭代求解算法的基本要點如下。（1）令迭代計數(shù)；（2）假定一組控制變量；（3）由于式(1-196)是潮流方程，所以通過潮流計算可由已知的求得相應(yīng)的；（4）觀察式(1-194)，是牛頓法潮流計算的雅可比矩陣，利用求解潮流時已經(jīng)求得的潮流解點的及其三角因子矩陣，可以方便地求出(1-197)七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法這個迭代求解算法的基本要點如下。七.最優(yōu)潮流問題---簡（5）將求得的及代入式(1-195)，則有(1-198)（6）若，則說明這組解是最優(yōu)解，計算結(jié)束。否則，轉(zhuǎn)入下一步；（7）這里，為此必須按照能使目標(biāo)函數(shù)下降的方向?qū)M行修正(1-199)然后回到步驟（3）。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法（5）將求得的及代入式(1-195)，則有七.最重復(fù)上述過程，直到式(1-195)得到滿足，即為止，這樣便求得了最優(yōu)解?？梢宰C明式(1-195)中的是在滿足等式約束條件即式(1-196)的情況下目標(biāo)函數(shù)對于控制變量的梯度向量。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法重復(fù)上述過程，直到式(1-195)得到滿足，即為通過潮流方程，變量的變化可以用控制變量的變化來表示，是在滿足等式約束條件下目標(biāo)函數(shù)在維數(shù)較小的空間上的梯度，所以也稱為簡化梯度(Reducedgradient）。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法通過潮流方程，變量的變化可以用控制變量的變化來表在前述的迭代算法中，必須仔細研究第（7）步中當(dāng)時如何進一步對進行修正，也就是如何決定式(1-199)的的問題，這是該算法極為關(guān)鍵的一步。由于某一點的梯度方向是該點函數(shù)值變化率最大的方向，因此若沿著函數(shù)在該點的負梯度方向前進時，函數(shù)值下降最快，所以最簡便的辦法就是取負梯度作為每次迭代的搜索方向，即取(1-206)七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法在前述的迭代算法中，必須仔細研究第（7）步中當(dāng)在非線性規(guī)劃中，這種以負梯度作為搜索方向的算法，也稱梯度法或最速下降法。式(1-206)中步長因子的選擇對算法的收斂過程有很大影響，選得太小將使迭代次數(shù)增加，選得太大則將導(dǎo)致在最優(yōu)點附近來回振蕩。最優(yōu)步長的選擇正如在本章第七節(jié)中曾經(jīng)討論過的，是一個一維搜索問題，可以采用拋物線插值等方法。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法在非線性規(guī)劃中，這種以負梯度作為搜索方向的算法，也稱梯度

（二）不等式約束條件的處理

最優(yōu)潮流的不等式約束條件數(shù)目很多，按其性質(zhì)的不同可分成兩大類：第一類是關(guān)于自變量或控制變量的不等式約束，第二類是關(guān)于因變量即狀態(tài)變量以及可表示為和的函數(shù)的不等式約束條件，這一類約束通稱為函數(shù)不等式約束。以下分別討論這兩類不等式約束在算法中的處理方法。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法（二）不等式約束條件的處理

最優(yōu)潮流的不等式約束條件數(shù)

1控制變量不等式約束控制變量的不等式約束比較容易處理。若按照對控制變量進行修正，如果得到的使得任一個超過其限值或時，則該越界的控制變量就被強制在相應(yīng)的界上，即(1-207)七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法1控制變量不等式約束七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法控制變量按這種方法處理后，按照庫恩-圖克定理，在最優(yōu)點簡化梯度的第個分量為

(1-208)式中，后面兩個式子可以這樣理解，即對沒有上界或下界的限制而容許繼續(xù)增大或減小時，目標(biāo)函數(shù)能進一步減小。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法控制變量按這種方法處理后，按照庫恩-圖克定理，在最優(yōu)點

2函數(shù)不等式約束函數(shù)不等式約束無法采用和控制變量不等式約束相同的辦法來處理，因而處理起來比較困難。目前比較通行的一種方法是采用罰函數(shù)法來處理。罰函數(shù)法的基本思路是將約束條件引入目標(biāo)函數(shù)而形成一個新的函數(shù)，將有約束最優(yōu)化問題的求解轉(zhuǎn)化成一系列無約束最優(yōu)化問題的求解。具體做法如下。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法2函數(shù)不等式約束七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法（1）將越界不等式約束以懲罰項的形式附加在原來的目標(biāo)函數(shù)上，從而構(gòu)成一個新的目標(biāo)函數(shù)（即懲罰函數(shù)）(1-209)式中：為函數(shù)不等式約束數(shù)；為指定的正常數(shù)，稱為罰因子，其數(shù)值可隨著迭代而改變；七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法（1）將越界不等式約束以懲罰項的形式附加在原來的目標(biāo)函數(shù)附加在原來目標(biāo)函數(shù)上的第二項或，稱為懲罰項。如對于狀態(tài)變量的懲罰項為(1-210)七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法對于要表示成變量函數(shù)式的不等式約束的懲罰項為(1-211)(2)對這個新的目標(biāo)函數(shù)按無約束求極值的方法求解，使得最終求得的解點在滿足上列約束條件的前提下能使原來的目標(biāo)函數(shù)達到最小。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法對于要表示成變量函數(shù)式的不等式約束七.最優(yōu)潮流問題-圖1-15懲罰項的意義七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法圖1-15懲罰項的意義七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法（三）簡化梯度最優(yōu)潮流算法及原理框圖在采用罰函數(shù)法處理函數(shù)不等式約束以后，原來的式(1-193)將用下式代替(1-212)相應(yīng)的極值條件(1-194)~(1-196)變?yōu)?1-213)(1-214)(1-215)七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法（三）簡化梯度最優(yōu)潮流算法及原理框圖七.最優(yōu)潮流問題---簡式(1-197)將變成(1-216)而簡化梯度(1-217)圖1-16是簡化梯度法最優(yōu)潮流算法的原理框圖。七.最優(yōu)潮流問題式(1-197)將變成七.最優(yōu)潮流問題第一章-電力系統(tǒng)潮流計算課件（四）簡化梯度最優(yōu)潮流算法的分析簡化梯度最優(yōu)潮流算法是建立在牛頓法潮流計算的基礎(chǔ)上的。利用已有的采用極坐標(biāo)形式的牛頓法潮流計算程序加以擴充，便可得到這種最優(yōu)潮流計算程序。這種算法原理簡單，程序設(shè)計也比較簡便。七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯度算法（四）簡化梯度最優(yōu)潮流算法的分析七.最優(yōu)潮流問題---簡化梯這種算法也有一些缺點。首先是因為采用梯度法或最速下降法作為求最優(yōu)點的搜索方向，最速下降法前后二次迭代的搜索方向總是互相垂直的，因此迭代點在向最優(yōu)點接近的過程中，走的是曲折的路，即通稱的鋸齒現(xiàn)象。而且越接近最優(yōu)點，鋸齒越小，因此收斂速度很慢。七.最優(yōu)潮流問題這種算法也有一些缺點。首先是因為采用梯度法或最速下降法作另一個缺點是采用罰函數(shù)法處理不等式約束帶來的。罰因子數(shù)值的選擇是否適當(dāng)，對算法的收斂速度影響很大。過大的罰因子會使計算過程收斂性變壞。七.最優(yōu)潮流問題另一個缺點是采用罰函數(shù)法處理不等式約束帶來的。罰因子數(shù)值四、最優(yōu)潮流牛頓法

略七.最優(yōu)潮流問題四、最優(yōu)潮流牛頓法略七.最優(yōu)潮流問題許多文獻提出了改進算法，如在求無約束極小點的搜索方向上，提出采用共軛梯度及擬牛頓方向。另外，每次迭代用牛頓法計算潮流，耗時很多，為此提出可用快速解耦法進行計算。七.最優(yōu)潮流問題許多文獻提出了改進算法，如在求無約束極小點的搜索

四解耦最優(yōu)潮流計算常規(guī)潮流汁算中快速解耦算法的成功促使人們聯(lián)想到在最優(yōu)潮流計算問題中也可以引入有功、無功解耦技術(shù)，從而產(chǎn)生另一類最優(yōu)潮流計算模型，稱之為解耦最優(yōu)潮流（DecoupledOPF）。即把最優(yōu)潮流問題分解成為有功優(yōu)化和無功優(yōu)化兩個子優(yōu)化問題。七.最優(yōu)潮流問題四解耦最優(yōu)潮流計算七.最優(yōu)潮流問題有功優(yōu)化和無功優(yōu)化這兩個子優(yōu)化問題可以獨立地構(gòu)成并求解，實現(xiàn)單獨的有功或無功優(yōu)化；也可以組合起來交替地迭代求解，實現(xiàn)有功、無功的綜合優(yōu)化。按照與有功及無功問題的關(guān)聯(lián)，首先將控制變量分成及兩組，狀態(tài)變量也分成及兩組。其中，為除平衡節(jié)點外，其它發(fā)電機的有功出力。為除平衡節(jié)點外，其它所有節(jié)點的電壓相角。七.最優(yōu)潮流問題有功優(yōu)化和無功優(yōu)化這兩個子優(yōu)化問題可以獨立地構(gòu)成并求解，為所有發(fā)電機（包括平衡節(jié)點）及具有無功補償設(shè)備節(jié)點的電壓模值，另外還有調(diào)壓變壓器變化；為除上述中所列的節(jié)點以外的其余節(jié)點的電壓模值。此外，等式及不等式約束也分成及兩組。于是，兩個子優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型分別如下。七.最優(yōu)潮流問題為所有發(fā)電機（包括平衡節(jié)點）及具有無功補償設(shè)備節(jié)點的（一）有功子優(yōu)化問題通常用全系統(tǒng)的發(fā)電燃料總耗量或總費用即式(1-183)作為目標(biāo)函數(shù)。與無功有關(guān)的控制變量及狀態(tài)變量均作為常數(shù)處理，設(shè)用及表示，于是有功子優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可寫成如下形式(1-231)七.最優(yōu)潮流問題（一）有功子優(yōu)化問題七.最優(yōu)潮流問題式中：等式約束表示節(jié)點有功功率方程組；不等式約束可包括以上提到的有關(guān)控制變量及狀態(tài)變量的不等式約束，另外還可以包括能表示成函數(shù)（如平衡節(jié)點的有功功率以及線路有功潮流等）的不等式約束條件。七.最優(yōu)潮流問題式中：等式約束表示節(jié)點有功功率方程組；不等式約束可包括以上提（二）無功子優(yōu)化問題無功子優(yōu)化問題可以有不同的目標(biāo)函數(shù)。如以節(jié)點電壓偏離其規(guī)定值為最小，或者以無功備用在系統(tǒng)中的均勻分布以能夠較好地應(yīng)付可能受到的擾動為目標(biāo)；也有側(cè)重于經(jīng)濟性的考慮。目前用得較多的是后者，以系統(tǒng)的有功損耗即以式(1-187)作為目標(biāo)函數(shù)。七.最優(yōu)潮流問題（二）無功子優(yōu)化問題七.最優(yōu)潮流問題在無功子優(yōu)化問題中，把控制變量及狀態(tài)變量作為不變的常量處理，以及表示，于是無功子優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可寫成以下形式(1-232)七.最優(yōu)潮流問題在無功子優(yōu)化問題中，把控制變量及狀態(tài)變量作為不變式中：等式約束表示節(jié)點的無功功率方程組；不等式約束中除了包括對以上提到的有關(guān)及的限制以外，還可以包括能表示成及函數(shù)的平衡節(jié)點的無功功率以及線路無功潮流等不等式約束條件。七.最優(yōu)潮流問題式中：等式約束表示節(jié)點的無功功率方程組；不等式約束中除了包括有功及無功兩個子優(yōu)化問題可以獨立地求解，以實現(xiàn)單獨的有功、無功優(yōu)化，而能達到有功、無功綜合優(yōu)化的解耦最優(yōu)潮流計算則要交替地迭代求解這兩個子問題，其步驟如下：（1）通過初始潮流計算，設(shè)定。（2）令，，迭代計數(shù)。七.最優(yōu)潮流問題有功及無功兩個子優(yōu)化問題可以獨立地求解，以實現(xiàn)單獨的有功（3）保持及不變，解有功子優(yōu)化問題，得到的最優(yōu)值及相應(yīng)的。（4）令，。（5）保持及數(shù)值不變，解無功子優(yōu)化問題，得的最優(yōu)值及相應(yīng)的。（6）檢驗，是否滿足。（7）若滿足收斂條件，計算結(jié)束；否則令，。（8），轉(zhuǎn)向步驟（3）。七.最優(yōu)潮流問題（3）保持及不變，解有功子優(yōu)化問題，得到的最優(yōu)值通過解耦或分解，優(yōu)化過程變?yōu)閮蓚€規(guī)模近似減半的子問題串行迭代求解，這樣的算法能在內(nèi)存節(jié)約以及減少計算時間方面取得相當(dāng)?shù)男ЧＲ虼?，在考慮具有實時運行要求的，特別是大規(guī)模電力系統(tǒng)的最優(yōu)潮流算法時，采用這種解耦的最優(yōu)潮流計算模型是一種很好的選擇。七.最優(yōu)潮流問題通過解耦或分解，優(yōu)化過程變?yōu)閮蓚€規(guī)模近似減半的子問題串行從子優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可見，它和最優(yōu)潮流的一般模型完全相似，因此求解最優(yōu)潮流的各種方法都能在這里應(yīng)用。如采用非線性規(guī)劃、二次規(guī)劃以及線性規(guī)劃的各種算法模型。此外，解耦最優(yōu)潮流的另一個優(yōu)點在于容許根據(jù)兩個子優(yōu)化問題的特性采用不同的求解算法，進一步提高算法的性能。這也是采用解耦最優(yōu)潮流的一個重要理由。七.最優(yōu)潮流問題從子優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可見，它和最優(yōu)潮流的一般模型完全相線性規(guī)劃的求解過程十分穩(wěn)定可靠，計算速度快，容易處理各種約束條件。而電力系統(tǒng)的有功分量和有功潮流方程有著良好的線性關(guān)系，線性化程度較高，為此實用的有功優(yōu)化潮流往往采用線性規(guī)劃方法來求解。因此，解耦最優(yōu)潮流的算法可以按照有功子優(yōu)化問題采用線性規(guī)劃，而無功子優(yōu)化問題采用非線性規(guī)劃的方式來組成，進一步提高計算效率。七.最優(yōu)潮流問題線性規(guī)劃的求解過程十分穩(wěn)定可靠，計算速度快，容易處理各種略八．交直流電力系統(tǒng)的潮流計算略八．交直流電力系統(tǒng)的潮流計算

一直流潮流前面介紹的潮流計算，都屬于精確潮流計算,采用的都是精確的非線性交流潮流模型，得到的結(jié)果也是精確的，可是其計算量和耗用時間卻因需要迭代計算而比較多。九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介一直流潮流九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介在有些場合如進行系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計時，原始數(shù)據(jù)本身就不很精確而規(guī)劃方案卻十分眾多；再如在實時安全分析中，要進行大量的預(yù)想事故篩選等等。這些場合在計算精度和速度這一對矛盾中，后者占了主導(dǎo)地位，因此就產(chǎn)生了采用近似模型的直流法潮流。其計算速度是所有潮流算法中最快的。九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介在有些場合如進行系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計時，原始數(shù)據(jù)本身就不很精確而圖1-36一條交流支路的等值電路圖九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介圖1-36一條交流支路的等值電路圖九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計圖1-36中通過的功率表達式為(1-362)(1-363)利用類似于P-Q解耦潮流計算使用的假定，即，數(shù)值很小，，其數(shù)值接近1.0，并略去線路電阻及所有對地支路，以上兩式可近似為(1-364)(1-365)九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介圖1-36中通過的功率表達式為九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題這樣，在不計支路無功潮流之后，由式(1-364)，一條交流網(wǎng)絡(luò)的支路就可看成是一條直流支路，見圖1-37，其兩端相應(yīng)的直流電壓值為及，直流電阻等于支路電抗，直流電流值為相應(yīng)的有功功率。圖1-37直流法支路等值圖九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介這樣，在不計支路無功潮流之后，由式(1-364)，一條交利用節(jié)點功率的關(guān)系，并設(shè)平衡節(jié)點的相角，可得(1-366)這里

除平衡節(jié)點外，其余個節(jié)點都可列出式(1-366)的方程式。九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介利用節(jié)點功率的關(guān)系，并設(shè)平衡節(jié)點的相角不難看出，的構(gòu)成和P-Q解耦法有功迭代方程式(1-65)的系數(shù)矩陣完全相同。式(1-368)是一個線性方程組，可以一次直接求解得到結(jié)果，因而計算速度非?？?。九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介寫成矩陣形式，即得直流潮流數(shù)學(xué)模型(1-368)不難看出，的構(gòu)成和P-Q解耦法有功迭代方程式(1-65二隨機潮流在實際工作中，節(jié)點注入功率的預(yù)測會有誤差，運行中也會有隨機波動；網(wǎng)絡(luò)元件也會發(fā)生偶然事故而退出運行，這些都造成了原始計算數(shù)據(jù)的隨機性，使得計算結(jié)果也帶有不確定性。為估計這些不確定因素對系統(tǒng)的影響，若采用確定性的潮流計算方法，就需要根據(jù)各種可能的變動情況組成眾多方案進行大最計算，耗時極多。九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介二隨機潮流九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介隨機潮流則把潮流計算的已知量和待求量都作為隨機變量處理。隨機潮流輸入的原始數(shù)據(jù)根據(jù)及節(jié)點的不同是相應(yīng)節(jié)點注入功率或節(jié)點電壓的期望值、方差和概率密度函數(shù)等，而計算結(jié)果也是節(jié)點電壓及支路潮流等的概率統(tǒng)計特性（如期望值、方差、概率分布函數(shù)等）。所以只要通過一次計算就能為電力系統(tǒng)運行和規(guī)劃提供較全面的信息。九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介隨機潮流則把潮流計算的已知量和待求量都作為隨機變量處理。

如通過概率分布曲線，可以知道線路過負荷的概率有多大，線路經(jīng)常出現(xiàn)的潮流值是多少；根據(jù)所提供的信息，可以更恰當(dāng)?shù)卮_定輸電線及無功補償設(shè)備的容量以及系統(tǒng)的備用容量等。隨機潮流問題在1974年首次提出，采用直流模型。以后發(fā)展為線性化交流模型，也有采用最小二乘法及保留非線性的交流模型等。目前，這個問題的研究方法及應(yīng)用領(lǐng)域正在不斷深入發(fā)展。

九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介如通過概率分布曲線，可以知道線路過負荷的概率有多大，線路經(jīng)三、三相潮流在有些場合，例如系統(tǒng)含有未換位的超高壓輸電線路或有很大的單相負載時，系統(tǒng)三相不對稱,因而需建立三相模型和研究三相潮流計算方法。從單相潮流到三相潮流，原來的一個節(jié)點將變成三相三個節(jié)點，原來的一條支路也變成三條支路，所以無論是已知量或待求量均以三倍數(shù)增加。九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介三、三相潮流九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介由于系統(tǒng)的超高壓輸電線（嚴(yán)格地講還有某些變壓器）各相間有不對稱的耦合，用對稱分量法進行分析已失去了各序網(wǎng)相互獨立的特點，所以研究三相潮流，目前較多采用相坐標(biāo)系統(tǒng)而不用120對稱分量坐標(biāo)系。建立了三相潮流計算的數(shù)學(xué)模型以后，可以采用類似于單相潮流的方法來求解。如牛頓-拉夫遜法。九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介由于系統(tǒng)的超高壓輸電線（嚴(yán)格地講還有某些變壓器）各相間除了以上三種潮流計算問題之外，還有其它一些用途不同的特殊潮流問題如諧波潮流、動態(tài)潮流等等。

九．幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介除了以上三種潮流計算問題之外，還有其它一些用途不同的特電力工程系DepartmentofElectricalEngineeringNorthChinaElectricPowerUniversityThanks

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