2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步精致講義必修五人教A版全國通用版：第二章 數(shù)列2.2 第1課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2.2等差數(shù)列第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式學(xué)習(xí)目標1.理解等差數(shù)列的定義.2.會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式，能運用等差數(shù)列的通項公式解決一些簡單的問題.3。掌握等差中項的概念.知識點一等差數(shù)列的概念思考給出以下三個數(shù)列：（1)0,5,10,15,20；(2)4,4,4，4，…；（3）18，15.5，13,10。5，8，5.5.它們有什么共同的特征？答案從第2項起，每項與它的前一項的差是同一個常數(shù)。梳理一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示，可正可負可為零。知識點二等差中項的概念思考下列所給的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列：(1)2,4；(2）－1,5；（3)0,0;(4)a，b。答案插入的數(shù)分別為3,2，0，eq\f(a＋b，2）。梳理如果三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，且A＝eq\f(a＋b,2）.知識點三等差數(shù)列的通項公式思考對于等差數(shù)列2，4，6，8,…,有a2－a1＝2,即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2。試猜想an＝a1＋(）×2.答案n－1明.

1。若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列。(×）2.任意兩個實數(shù)都有等差中項。(√）3。從通項公式可以看出,若等差數(shù)列的公差d〉0，則該數(shù)列為遞增數(shù)列.(√)4。若三個數(shù)a，b,c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定成等差數(shù)列。（√）類型一等差數(shù)列的概念例1判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列？(1）9，7,5，3，…,－2n＋11,…；(2)－1,11，23,35，…，12n－13，…；（3）1，2，1，2，…；（4)1，2,4，6,8,10，…；(5）a，a，a，a，a，….考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用解由等差數(shù)列的定義得（1），(2）,(5）為等差數(shù)列，（3）,(4）不是等差數(shù)列.反思與感悟判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列，就是判斷該數(shù)列的每一項減去它的前一項差是否為同一個常數(shù)，但當(dāng)數(shù)列項數(shù)驗證an＋1－an（n≥1,n∈N*）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列｛an}的通項公式an＝2n＋5，則此數(shù)列（)A.是公差為2的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列C.是首項為5的等差數(shù)列D。是公差為n的等差數(shù)列考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用答案A解析∵an＋1－an＝2(n＋1）＋5－（2n＋5）＝2,∴{an}是公差為2的等差數(shù)列。類型二等差中項例2在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列。考點等差中項題點等差中項及其應(yīng)用解∵－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，∴b是－1與7的等差中項，∴b＝eq\f(－1＋7，2）＝3。又a是－1與3的等差中項,∴a＝eq\f（－1＋3，2)＝1。又c是3與7的等差中項，∴c＝eq\f（3＋7，2)＝5.∴該數(shù)列為－1,1,3，5，7。反思與感悟在等差數(shù)列｛an｝中,由定義有an＋1－an＝an－an－1(n≥2,n∈N＊），即an＝eq\f（an＋1＋an－1，2)，從而由等差中項的定義知，等差數(shù)列從第2項起的每一項都是它前一項與后一項的等差中項。跟蹤訓(xùn)練2若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5，求m和n的等差中項?？键c等差中項題點等差中項及其應(yīng)用解由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10。兩式相加，得m＋n＝6。所以m和n的等差中項為eq\f（m＋n，2)＝3。類型三等差數(shù)列通項公式的求法及應(yīng)用eq\x(命題角度1基本量a1，d的計算)例3在等差數(shù)列{an｝中,已知a6＝12，a18＝36，求通項公式an.考點等差數(shù)列基本量的計算問題題點求等差數(shù)列的項解由題意可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝12,，a1＋17d＝36.))解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1）×2＝2n.反思與感悟根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系，列出方程求解的思想方法，稱為方程思想.等差數(shù)列{an｝中的每一項均可用a1和d表示,這里的a1和d就像構(gòu)成物質(zhì)的基本粒子，我們可以稱為基本量.

跟蹤訓(xùn)練3(1）求等差數(shù)列8,5,2，…的第20項;(2)判斷－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項,如果是，是第幾項？考點等差數(shù)列基本量的計算問題題點求等差數(shù)列的項解（1）由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3,由n＝20，得a20＝8＋(20－1）×（－3)＝－49。（2）由a1＝－5，d＝－9－（－5)＝－4，得這個數(shù)列的通項公式為an＝－5＋（n－1）×(－4)＝－4n－1。由題意，令－401＝－4n－1,得n＝100，即－401是這個數(shù)列的第100項.eq\x(命題角度2等差數(shù)列的實際應(yīng)用）例4某市出租車的計價標準為1.2元/km,起步價為10元，即最初的4km(不含4km）計費10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地,且一路暢通,等候時間為0,那么需要支付多少車費？考點等差數(shù)列的應(yīng)用題題點等差數(shù)列的應(yīng)用題解每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一個等差數(shù)列{an｝來計算車費.令a1＝11.2，表示4km處的車費，公差d＝1。2，那么當(dāng)出租車行至14km處時,n＝11,此時a11＝11.2＋(11－1)×1。2＝23。2.即需要支付車費23。2元.反思與感悟在實際問題中，若一組數(shù)依次成等數(shù)額增長或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決.在利用數(shù)列方法解決實際問題時,一定要確認首項、項數(shù)等關(guān)鍵因素。跟蹤訓(xùn)練4在通常情況下，從地面到10km高空，高度每增加1km,氣溫就下降某一個固定數(shù)值。如果1km高度的氣溫是8.5℃,5km高度的氣溫是－17.5℃，求2km,4km，8km高度的氣溫.考點等差數(shù)列的應(yīng)用題題點等差數(shù)列的應(yīng)用題解用｛an}表示自下而上各高度氣溫組成的等差數(shù)列,則a1＝8。5，a5＝－17。5,由a5＝a1＋4d＝8。5＋4d＝－17.5，解得d＝－6。5，∴an＝15－6。5n?！郺2＝2,a4＝－11,a8＝－37，即2km，4km，8km高度的氣溫分別為2℃，－11℃,－37℃.1。下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是（）A.1，1，1，1,1 B。4，7，10，13,16C.eq\f（1，3)，eq\f(2,3),1，eq\f(4,3），eq\f(5，3) D.－3，－2，－1,1，2考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用答案D2。已知等差數(shù)列{an｝的通項公式an＝3－2n，則它的公差d為()A.2B.3C.－2D.－3考點等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用答案C解析由等差數(shù)列的定義，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2。3。已知在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則角B等于（)A。30°B.60°C.90°D.120°考點等差中項題點等差中項及其應(yīng)用答案B解析因為A,B，C成等差數(shù)列，所以B是A，C的等差中項,則有A＋C＝2B，又因為A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，從而B＝60°.4。已知等差數(shù)列－5，－2，1,…，則該數(shù)列的第20項為（)A.52 B.62C.－62 D.－52考點等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用答案A解析公差d＝－2－(－5）＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.5。已知等差數(shù)列1，－1，－3,－5，…,－89,則它的項數(shù)是(）A.92 B。47C。46 D。45考點等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用答案C解析d＝－1－1＝－2,設(shè)－89為第n項，則－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1）·(－2)，∴n＝46.1。判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法(1)an＋1－an＝d（d為常數(shù)，n∈N＊）?{an}是等差數(shù)列;(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?｛an｝是等差數(shù)列;(3）an＝kn＋b(k,b為常數(shù),n∈N*）?｛an｝是等差數(shù)列。但若要說明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個反例即可。2。由等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋（n－1)d可以看出，只要知道首項a1和公差d，就可以求出通項公式，反過來,在a1,d，n，an四個量中，只要知道其中任意三個量，就可以求出另一個量.一、選擇題1。若數(shù)列{an}滿足3an＋1＝3an＋1，則數(shù)列｛an｝是（）A.公差為1的等差數(shù)列B。公差為eq\f(1,3）的等差數(shù)列C。公差為－eq\f(1,3）的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用答案B解析由2。在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，則a101的值為()A.52B.51C。50D。49考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用答案A解析因為2an＋1－2an＝1，a1＝2,所以數(shù)列{an}是首項a1＝2，公差d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×eq\f(1，2)＝52.3。若a≠b,則等差數(shù)列a，x1,x2，b的公差是（)A.b－a B.eq\f(b－a,2）C。eq\f（b－a,3） D。eq\f(b－a,4)考點等差數(shù)列基本量的計算問題題點等差數(shù)列公差有關(guān)問題答案C解析由等差數(shù)列的通項公式，得b＝a＋(4－1）d，所以d＝eq\f(b－a,3）。4.已知在等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5等于()A.15B.22C.7D。29考點等差數(shù)列基本量的計算問題題點求等差數(shù)列的項答案A解析設(shè){an｝的首項為a1，公差為d，根據(jù)題意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，）)解得a1＝47,d＝－8。所以a5＝47＋(5－1)×（－8）＝15。5。等差數(shù)列20,17,14，11，…中第一個負數(shù)項是()A。第7項 B.第8項C。第9項 D.第10項考點等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用答案B解析∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋（n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1〈0.

6.若5，x，y，z,21成等差數(shù)列，則x＋y＋z的值為（)A。26B.29C。39D.52考點等差中項題點等差中項及其應(yīng)用答案C解析∵5,x,y，z,21成等差數(shù)列，∴y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項?！?＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39。7。一個等差數(shù)列的前4項是a，x，b,2x，則eq\f（a,b)等于(）A。eq\f(1，4）B.eq\f（1,2）C.eq\f(1，3)D.eq\f（2，3)考點等差中項題點等差中項及其應(yīng)用答案C解析∵b是x，2x的等差中項,∴b＝eq\f(x＋2x，2)＝eq\f（3x,2)，又∵x是a，b的等差中項，∴2x＝a＋b,∴a＝eq\f（x，2），∴eq\f(a，b)＝eq\f（1，3)。8.已知等差數(shù)列｛an｝中,a7＋a9＝16，a4＝1,則a12的值是（)A.15B。30C.31D。64考點等差數(shù)列基本量的計算問題題點求等差數(shù)列的項答案A解析由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a4＝a1＋3d＝1，，a7＋a9＝2a1＋14d＝16，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－\f（17，4）,,d＝\f（7，4)，）)∴a12＝a1＋11d＝－eq\f(17,4)＋11×eq\f（7，4)＝15。二、填空題9。若一個等差數(shù)列的前三項為a,2a－1,3－a，則這個數(shù)列的通項公式為________?？键c等差數(shù)列的通項公式題點求通項公式答案an＝eq\f(n，4）＋1，n∈N＊解析∵a＋（3－a）＝2（2a－1)，∴a＝eq\f（5，4)?！噙@個等差數(shù)列的前三項依次為eq\f(5，4),eq\f(3,2），eq\f（7,4)，∴d＝eq\f(1，4），an＝eq\f（5,4)＋(n－1）×eq\f(1,4）＝eq\f（n,4）＋1，n∈N*.10?，F(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升?？键c等差數(shù)列的應(yīng)用題題點等差數(shù)列的應(yīng)用題答案eq\f(67,66)解析設(shè)此等差數(shù)列為｛an｝,公差為d，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＋a2＋a3＋a4＝3,，a7＋a8＋a9＝4，）)∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝\f(13，22),,d＝\f（7，66），))∴a5＝a1＋4d＝eq\f（13,22)＋4×eq\f（7,66)＝eq\f（67，66）.11.首項為－24的等差數(shù)列,從第10項起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是________?？键c等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(8，3）,3)）解析設(shè)an＝－24＋（n－1）d,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a9＝－24＋8d≤0，，a10＝－24＋9d〉0，）)解得eq\f(8，3)<d≤3。三、解答題12.在數(shù)列{an｝中,a1＝1，an＋1＝2an＋2n,設(shè)bn＝eq\f(an，2n－1)。(1）證明:數(shù)列｛bn}是等差數(shù)列；(2）求數(shù)列{an｝的通項公式.考點等差數(shù)列的概念題點等差數(shù)列概念的理解運用(1)證明由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝eq\f(an＋1，2n）＝eq\f(2an＋2n,2n)＝eq\f(an，2n－1)＋1＝bn＋1。又b1＝a1＝1，因此｛bn｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列。(2)解13。已知等差數(shù)列{an｝：3，7,11,15，…。（1）135，4m＋19（m∈N＊)是｛an}中的項嗎？試說明理由;(2)若ap，aq(p，q∈N＊）是數(shù)列｛an}中的項,則2ap＋3aq是數(shù)列｛an}中的項嗎?并說明你的理由?？键c等差數(shù)列的通項公式題點通項公式的綜合應(yīng)用解由題意可知,a1＝3,d＝4,則an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，∴135是數(shù)列｛an}的第34項。令an＝4n－1＝4m＋19，則n＝m＋5∈N＊,∴4m＋19是數(shù)列{an｝的第m＋5項。（2）∵ap，aq是數(shù)列｛an}中的項，∴ap＝4p－1,aq＝4q－1?！?ap＋3aq＝2（4p