2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步精致講義必修五人教A版全國(guó)通用版：第二章 數(shù)列2.2 第2課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的常用性質(zhì).2。能運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的性質(zhì)思考還記得高斯怎么計(jì)算1＋2＋3＋…＋100的嗎？推廣到一般的等差數(shù)列，你有什么猜想?答案利用1＋100＝2＋99＝….在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離"的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…。梳理在等差數(shù)列{an｝中,若m＋n＝p＋q（m，n,p，q∈N＊)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.知識(shí)點(diǎn)二由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列思考若{an｝是公差為d的等差數(shù)列，那么｛an＋an＋2}是等差數(shù)列嗎？若是，公差是多少？答案∵（an＋1＋an＋3)－（an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋（an＋3－an＋2）＝d＋d＝2d.∴{an＋an＋2｝是公差為2d的等差數(shù)列。梳理若{an},｛bn｝分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an｝公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)）{c·an}公差為cd的等差數(shù)列（c為任一常數(shù)）｛an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù),k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))

1。已知等差數(shù)列任意兩項(xiàng)求公差的實(shí)質(zhì)是已知直線上任意兩點(diǎn)求斜率.（√)2。等差數(shù)列{an}中，若l,m，n,p，q，r∈N*，且l＋m＋n＝p＋q＋r，則al＋am＋an＝ap＋aq＋ar.(√)3。等差數(shù)列{an｝中，若m＋n為偶數(shù)，且m，n∈N*,則eq\f(am＋an，2)＝.（√）類型一等差數(shù)列推廣通項(xiàng)公式的應(yīng)用例1在等差數(shù)列｛an}中，已知a2＝5，a8＝17,求數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式.考點(diǎn)等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題題點(diǎn)等差數(shù)列公差有關(guān)問(wèn)題解因?yàn)閍8＝a2＋(8－2）d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因?yàn)閍n＝a2＋（n－2）d,所以an＝5＋（n－2）×2＝2n＋1.反思與感悟靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì),可以減少運(yùn)算。跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列{an｝的首項(xiàng)為3,｛bn｝為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an（n∈N*），若b3＝－2，b10＝12，則a8等于（)A.0B。3C.8D.11考點(diǎn)等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題題點(diǎn)等差數(shù)列公差有關(guān)問(wèn)題答案B解析∵｛bn｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,則d＝eq\f（b10－b3，10－3)＝eq\f(12－－2，7）＝2，∴bn＝b3＋（n－3)d＝2n－8.∴a8＝（a8－a7)＋(a7－a6)＋（a6－a5)＋(a5－a4)＋（a4－a3）＋(a3－a2)＋（a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b1＋a1＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋（b5＋b3)＋b4＋a1＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.類型二等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系例2已知數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式an＝pn＋q，其中p，q為常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？若是，首項(xiàng)和公差分別是多少？考點(diǎn)等差數(shù)列的判定題點(diǎn)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列解取數(shù)列｛an}中任意相鄰兩項(xiàng)an和an－1(n>1),求差得an－an－1＝（pn＋q)－[p（n－1)＋q］＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p。它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以{an｝是等差數(shù)列。由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，所以首項(xiàng)a1＝p＋q，公差d＝p.反思與感悟根據(jù)等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an＝a1＋（n－1)d＝dn＋（a1－d）,可知｛an｝為等差數(shù)列?an＝pn＋q（p,q為常數(shù)），此結(jié)論可用來(lái)判斷｛an｝是否為等差數(shù)列，也揭示了等差數(shù)列的函數(shù)本質(zhì).跟蹤訓(xùn)練2若數(shù)列{an}滿足a1＝15，3an＋1＝3an－2(n∈N＊)，則使ak·ak＋1<0的k值為_(kāi)_______.考點(diǎn)等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題題點(diǎn)等差數(shù)列公差有關(guān)問(wèn)題答案23解析由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－eq\f(2，3），又a1＝15,∴{an}是首項(xiàng)為15，公差為－eq\f(2,3)的等差數(shù)列,∴an＝a1＋(n－1）d＝15＋（n－1）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（2,3))）＝－eq\f(2,3）n＋eq\f(47,3)。令an＝0，解得n＝eq\f(47,2）＝23.5，∵d＝－eq\f(2，3），數(shù)列｛an}是遞減數(shù)列，∴a23〉0，a24〈0，∴k＝23。類型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3已知等差數(shù)列｛an}中，a1＋a4＋a7＝15,a2a4a6＝45，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題解方法一因?yàn)閍1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15,所以a4＝5。又因?yàn)閍2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d）(a4＋2d)＝9,即(5－2d）（5＋2d)＝9，解得d＝±2。若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3;若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n。方法二設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5,①由a2a4a6＝45，得（a1＋d）（a1＋3d)(a1＋5d）＝45，將①代入上式，得(5－2d）×5×（5＋2d）＝45，即（5－2d)（5＋2d)＝9，②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11,d＝－2，即an＝－1＋2(n－1）＝2n－3或an＝11－2（n－1）＝－2n＋13。引申探究1。在例3中,不難驗(yàn)證a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么,在等差數(shù)列｛an｝中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*,是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？解設(shè)公差為d,則am＝a1＋（m－1)d，an＝a1＋（n－1)d,ap＝a1＋(p－1）d,aq＝a1＋（q－1）d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1）d，∴am＋an＋ap＝3a1＋（m＋n＋p－3）d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3）d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as。2。在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________.答案20解析∵a3＋a8＝10,∴a3＋a3＋a8＋a8＝20?！?＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2（a3＋a8）＝20.反思與感悟解決等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般方法：一是靈活運(yùn)用等差數(shù)列｛an}的性質(zhì)；二是利用通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差的求解，屬于通用方法；或者兼而有之。這些方法都運(yùn)用了整體代換與方程的思想.跟蹤訓(xùn)練3在等差數(shù)列｛an｝中,已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值.考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題解方法一∵（a2＋a5＋a8）－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9）－（a2＋a5＋a8)＝3d，∴a1＋a4＋a7,a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差數(shù)列.∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8）－（a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27。方法二∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d）＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝39，∴a1＋3d＝13,①∵a2＋a5＋a8＝（a1＋d）＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝3a1＋12d＝33.∴a1＋4d＝11，②聯(lián)立①②解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝－2，，a1＝19。）)∴a3＋a6＋a9＝（a1＋2d）＋(a1＋5d)＋(a1＋8d）＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2）＝27。1。在等差數(shù)列{an｝中,已知a3＝10，a8＝－20,則公差d等于（)A。3B.－6C。4D.－3考點(diǎn)等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題題點(diǎn)等差數(shù)列公差有關(guān)問(wèn)題答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)得a8－a3＝（8－3)d＝5d,所以d＝eq\f(－20－10，5)＝－6。2。在等差數(shù)列｛an}中，已知a4＝2，a8＝14，則a15等于()A。32B。－32C。35D。－35考點(diǎn)等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題題點(diǎn)求等差數(shù)列的項(xiàng)答案C解析由a8－a4＝（8－4）d＝4d＝14－2＝12，得d＝3,所以a15＝a8＋（15－8）d＝14＋7×3＝35.3.等差數(shù)列{an｝中，a4＋a5＝15，a7＝12，則a2等于（)A。3 B.－3C。eq\f（3,2） D。－eq\f(3，2）考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題答案A解析由數(shù)列的性質(zhì),得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.4。下列說(shuō)法中正確的是()A。若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2,c2成等差數(shù)列B。若a,b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b,log2c成等差數(shù)列C。若a,b，c成等差數(shù)列,則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列D。若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b，2c成等差數(shù)列考點(diǎn)等差數(shù)列的判定題點(diǎn)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列答案C5。在等差數(shù)列－5，－3eq\f（1，2），－2，－eq\f（1，2),…中,每相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)數(shù)，使之組成一個(gè)新的等差數(shù)列,則新數(shù)列的通項(xiàng)公式為（)A.an＝eq\f(3,4）n－eq\f（23，4） B。an＝－5－eq\f（3，2)（n－1）C。an＝－5－eq\f(3，4）（n－1） D。an＝eq\f(5,4）n2－3n考點(diǎn)等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題題點(diǎn)等差數(shù)列公差有關(guān)問(wèn)題答案A1。在等差數(shù)列{an}中，每隔相同數(shù)目的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列。2.在等差數(shù)列｛an}中，首項(xiàng)a1與公差d是兩個(gè)最基本的元素,有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可根據(jù)a1，d的關(guān)系列方程組求解,但是,要注意公式的變形及整體計(jì)算,以減少計(jì)算量.一、選擇題1.已知等差數(shù)列｛an}的公差為d（d≠0),且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m的值為（）A。12B。8C.6D.4考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋（a6＋a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8,又d≠0，∴m＝8。2.設(shè)公差為－2的等差數(shù)列｛an｝，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于()A。－182B。－78C.－148D.－82考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題答案D解析a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d）＋(a4＋2d)＋(a7＋2d）＋…＋（a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97）＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.3.下面是關(guān)于公差是d（d＞0)的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題：p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列｛nan}是遞增數(shù)列;p3：數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f(an，n））)是遞增數(shù)列;p4：數(shù)列｛an＋3nd}是遞增數(shù)列。其中的真命題為()A。p1，p2 B.p3，p4C.p2,p3 D.p1，p4考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)兩個(gè)等差數(shù)列的性質(zhì)問(wèn)題答案D解析對(duì)于p1：an＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0,則p1正確;對(duì)于p2：nan＝na1＋n（n－1）d，∴nan－(n－1）an－1＝a1＋2(n－1）d與0的大小關(guān)系和a1的取值情況有關(guān)。故數(shù)列｛nan}不一定遞增，則p2不正確;對(duì)于p3：eq\f（an，n)＝eq\f(a1,n）＋eq\f（n－1,n)d，∴eq\f（an,n)－eq\f(an－1，n－1）＝eq\f(－a1＋d,nn－1)，當(dāng)d－a1＞0,即d＞a1時(shí),數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f(an，n）)）是遞增數(shù)列，但d＞a1不一定成立，則p3不正確；對(duì)于p4:設(shè)bn＝an＋3nd，則bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.∴數(shù)列｛an＋3nd}是遞增數(shù)列，p4正確。綜上，正確的命題為p1,p4。4.在等差數(shù)列｛an}中,若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－eq\f(1,2）a8的值為（）A.4B.6C。8D.10考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題答案C解析∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80,∴a6＝16,∴a7－eq\f(1，2）a8＝eq\f(1,2)（2a7－a8）＝eq\f（1,2）(a6＋a8－a8)＝eq\f（1，2）a6＝8.5.若a，b,c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（)A。0B。1C。2D。1或2考點(diǎn)等差中項(xiàng)題點(diǎn)等差中項(xiàng)及其應(yīng)用答案D解析∵a,b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c,∴Δ＝4b2－4ac＝（a＋c)2－4ac＝(a－c）2≥0?！喽魏瘮?shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2.6.在等差數(shù)列{an｝中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8的值等于（）A.45B。75C.180D。300考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題答案C解析∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝（a3＋a7）＋（a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180。7。已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列且a1＋a7＋a13＝4π,則tan(a2＋a12）的值為(）A.eq\r(3)B?！纄q\r（3)C。－eq\f(\r(3),3)D。－eq\r（3）考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題答案D解析由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝eq\f(4π，3）.∴tan（a2＋a12)＝tan(2a7）＝taneq\f（8π，3)＝taneq\f（2π，3)＝－eq\r（3)。8。若方程（x2－2x＋m）(x2－2x＋n）＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f（1,4）的等差數(shù)列，則｜m－n|等于(）A。1B.eq\f(3,4)C。eq\f（1，2）D。eq\f(3，8)考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題答案C解析設(shè)方程的四個(gè)根a1,a2，a3,a4依次成等差數(shù)列，則a1＋a4＝a2＋a3＝2，再設(shè)此等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋3d＝2，∵a1＝eq\f（1，4）,∴d＝eq\f（1，2)，∴a2＝eq\f（1,4)＋eq\f（1,2）＝eq\f(3,4），a3＝eq\f(1，4）＋1＝eq\f(5,4），a4＝eq\f（1，4)＋eq\f(3,2）＝eq\f(7,4），∴|m－n｜＝|a1a4－a2a3｜＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f（1，4）×\f(7，4)－\f(3,4)×\f（5,4）））＝eq\f(1，2)二、填空題9。設(shè){an｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13＝________.考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題答案105解析∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.∵a1a2a3＝（a2－d）a2(a2＋d）＝5（25－d2)＝80,又d為正數(shù),∴d＝3?！郺11＋a12＋a13＝3a12＝3（a2＋10d）＝3(5＋30)＝105。10。若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59,則這三個(gè)數(shù)的積為_(kāi)_______.考點(diǎn)等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題題點(diǎn)等差數(shù)列對(duì)稱設(shè)項(xiàng)問(wèn)題答案－21解析設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d,則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d2＋a2＋a＋d2＝59，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3，，d＝4）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3，，d＝－4。)）∴這三個(gè)數(shù)為－1，3,7或7，3，－1.∴這三個(gè)數(shù)的積為－21。11.在等差數(shù)列｛an}中，已知am＝n,an＝m，則am＋n的值為_(kāi)_______?？键c(diǎn)等差數(shù)列基本量的計(jì)算問(wèn)題題點(diǎn)等差數(shù)列公差有關(guān)問(wèn)題答案0解析方法一設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d＝eq\f(am－an，m－n)＝eq\f（n－m,m－n）＝－1，從而am＋n＝am＋（m＋n－m）d＝n＋n·（－1)＝0。方法二設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝an＋b（a，b為常數(shù))，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(am＝am＋b＝n，，an＝an＋b＝m,))得a＝－1，b＝m＋n。所以am＋n＝a（m＋n)＋b＝0。三、解答題12。已知｛an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24.(1）求a20的值;(2)若bn＝eq\f(3,2)an－eq\f(41，2)，試判斷數(shù)列{bn｝從哪一項(xiàng)開(kāi)始大于0.考點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)題點(diǎn)利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題解(1)因?yàn)閍1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24,所以a3＝6，a4＝8，則公差d＝2,所以a20＝a3＋17d＝40。（2）由（1)得an＝a3＋（n－3）d＝6＋(n－3）×2＝2n，所以bn＝eq\f（3,2)×2n－eq\f（41,2)＝3n－eq\f（41,2)。由bn〉0,即3n－eq\f(41，2)>0,得n〉eq\f(41，6),所以數(shù)列｛bn}從第7項(xiàng)開(kāi)始大于0。13?？纯次覀兩钪械膾鞖v:橫看、豎看、斜看，都是天然的等差數(shù)列.隨意框選9個(gè)數(shù)，如圖，可以發(fā)現(xiàn)12等于周圍8個(gè)數(shù)之和的八分之一.請(qǐng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)此給出簡(jiǎn)要的說(shuō)明?？键c(diǎn)等差數(shù)列的應(yīng)用題題點(diǎn)等差數(shù)列的應(yīng)用題解由題意，在等差數(shù)列中，若m＋n＝2p,則am＋a