貝塞爾函數(shù)3課件

數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)貝塞爾函數(shù)3數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)貝塞爾函數(shù)31本節(jié)內(nèi)容貝塞爾函數(shù)第二次課內(nèi)容總結(jié)貝塞爾函數(shù)的遞推公式函數(shù)展成貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例本節(jié)內(nèi)容貝塞爾函數(shù)第二次課內(nèi)容總結(jié)2上面兩式左邊的導(dǎo)數(shù)求出來(lái),并經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)貝塞爾函數(shù)的遞推公式上面兩式左邊的導(dǎo)數(shù)求出來(lái),并經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)貝塞爾函數(shù)的遞推公式3兩式相加減分別消去和兩式相加減分別消去和4這里微分算子表示算子連續(xù)作用m

次的縮寫(xiě).

半奇數(shù)級(jí)貝塞爾函數(shù)的表達(dá)式可見(jiàn)，半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)都是初等函數(shù)。這里微分算子表示算子5方程的通解為令方程轉(zhuǎn)化為從而由于,由條件知,方程的通解為令方程轉(zhuǎn)化為從而由于,由6由

可得:

求特征問(wèn)題因此，必須判明的零點(diǎn)是否存在；如果存在，則需要研究其分布情形。貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)由可得:求特7關(guān)于貝塞爾函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論：

有無(wú)窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn),這些零點(diǎn)在x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布,因而有無(wú)窮多個(gè)正的零點(diǎn)；24681012o1.00.5-0.5關(guān)于貝塞爾函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論：有無(wú)窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn),8

的零點(diǎn)和的零點(diǎn)是彼此相間分布，即的任意兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間有且僅有一個(gè)的零點(diǎn)，反之亦然；24681012o1.00.5-0.5的零點(diǎn)和924681012o1.00.5-0.5以表示的非負(fù)零點(diǎn),則函數(shù)以p為周期振蕩24681012o1.00.5-0.5以10與這些特征值相應(yīng)的特征函數(shù)為

方程的解為：即貝塞爾方程相應(yīng)定解問(wèn)題的特征值為與這些特征值相應(yīng)的特征函數(shù)為方程11貝塞爾函數(shù)的正交性結(jié)論１：n

階貝塞爾特征函數(shù)系在區(qū)間(0,R)上帶權(quán)r

正交，模值的平方即貝塞爾函數(shù)的正交性結(jié)論１：n階貝塞爾特征函數(shù)系在區(qū)間(12結(jié)論2：在區(qū)間［0,R］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)以及分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(r)如果在r=0處有界,在r=R

處等于零,則它必可以展開(kāi)為如下形式的絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)：其中模的平方權(quán)函數(shù)貝塞爾函數(shù)結(jié)論2：在區(qū)間［0,R］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)以及其中模的平方13§5.6貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例例設(shè)有半徑為1的薄均勻圓盤(pán)，其側(cè)面絕緣，邊界上的溫度始終保持為零度，初始圓盤(pán)內(nèi)溫度分布為其中r為圓盤(pán)內(nèi)任一點(diǎn)的極半徑，求圓盤(pán)的溫度分布規(guī)律。分析:

由于是在圓域內(nèi)求解問(wèn)題,故采用極坐標(biāo).

考慮到定解條件和

無(wú)關(guān),所以溫度u

只能是t

和r

的函數(shù).

§5.6貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例例設(shè)有半徑為1的薄均14解根據(jù)問(wèn)題的要求,即可歸結(jié)為求下列方程的定解問(wèn)題：由于u

和無(wú)關(guān),可以化簡(jiǎn)為問(wèn)題解根據(jù)問(wèn)題的要求,即可歸結(jié)為求下列方程的定解問(wèn)題：由于15此外,由問(wèn)題的物理意義,還有條件且時(shí)，令代入到上述方程,有由此得解(1)得：∵時(shí)，∴此外,由問(wèn)題的物理意義,還有條件且16(2)為零階非標(biāo)準(zhǔn)的貝塞爾方程,由u(r,t)的有界性,可以知道再由條件知：即是的零點(diǎn).用(n=1,2…)表示的正零點(diǎn),綜合以上結(jié)果可得:方程(1)的解為令則它的通解為：(2)為零階非標(biāo)準(zhǔn)的貝塞爾方程,由u(r,t)的有界17

方程的特征值為：相應(yīng)的特征函數(shù)為：這時(shí)方程的解為：從而方程18由疊加原理,可得原問(wèn)題的解為

由初始條件得其中由疊加原理,可得原問(wèn)題的解為由初始條件得其中19因?yàn)榱钏砸驗(yàn)榱钏?0貝塞爾函數(shù)3課件21從而所求定解問(wèn)題的解為：其中是的正零點(diǎn)。從而所求定解問(wèn)題的解為：其中是22例例23解一、建立方程解一、建立方程24“翻譯”邊界條件一、建立方程U為常數(shù)，為上底的電勢(shì)?！胺g”邊界條件一、建立方程U為常數(shù)，為上底的電勢(shì)。25一、建立方程我們知道一、建立方程我們知道26一、建立方程一、建立方程27一、建立方程一、建立方程28二、求本征值、本征函數(shù)二、求本征值、本征函數(shù)29二、求本征值、本征函數(shù)二、求本征值、本征函數(shù)30三、由疊加原理寫(xiě)出解。三、由疊加原理寫(xiě)出解。31四、確定常數(shù)四、確定常數(shù)32四、確定常數(shù)四、確定常數(shù)33四、確定常數(shù)四、確定常數(shù)34總結(jié)：貝塞爾函數(shù)重點(diǎn)：貝塞爾方程的標(biāo)準(zhǔn)形式貝塞爾方程的通解第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)的形式貝塞爾函數(shù)的奇偶性及有界性貝塞爾函數(shù)的遞推公式貝塞爾函數(shù)的正交性及函數(shù)展開(kāi)總結(jié)：貝塞爾函數(shù)重點(diǎn)：35做代換,并記----n階貝塞爾方程的常見(jiàn)形式(重要??！)方程轉(zhuǎn)化為做代換,并記----n階貝塞爾方程的常36謝謝大家！

謝謝大家！

37數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)貝塞爾函數(shù)3數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)貝塞爾函數(shù)338本節(jié)內(nèi)容貝塞爾函數(shù)第二次課內(nèi)容總結(jié)貝塞爾函數(shù)的遞推公式函數(shù)展成貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例本節(jié)內(nèi)容貝塞爾函數(shù)第二次課內(nèi)容總結(jié)39上面兩式左邊的導(dǎo)數(shù)求出來(lái),并經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)貝塞爾函數(shù)的遞推公式上面兩式左邊的導(dǎo)數(shù)求出來(lái),并經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)貝塞爾函數(shù)的遞推公式40兩式相加減分別消去和兩式相加減分別消去和41這里微分算子表示算子連續(xù)作用m

次的縮寫(xiě).

半奇數(shù)級(jí)貝塞爾函數(shù)的表達(dá)式可見(jiàn)，半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)都是初等函數(shù)。這里微分算子表示算子42方程的通解為令方程轉(zhuǎn)化為從而由于,由條件知,方程的通解為令方程轉(zhuǎn)化為從而由于,由43由

可得:

求特征問(wèn)題因此，必須判明的零點(diǎn)是否存在；如果存在，則需要研究其分布情形。貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)由可得:求特44關(guān)于貝塞爾函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論：

有無(wú)窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn),這些零點(diǎn)在x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布,因而有無(wú)窮多個(gè)正的零點(diǎn)；24681012o1.00.5-0.5關(guān)于貝塞爾函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論：有無(wú)窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn),45

的零點(diǎn)和的零點(diǎn)是彼此相間分布，即的任意兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間有且僅有一個(gè)的零點(diǎn)，反之亦然；24681012o1.00.5-0.5的零點(diǎn)和4624681012o1.00.5-0.5以表示的非負(fù)零點(diǎn),則函數(shù)以p為周期振蕩24681012o1.00.5-0.5以47與這些特征值相應(yīng)的特征函數(shù)為

方程的解為：即貝塞爾方程相應(yīng)定解問(wèn)題的特征值為與這些特征值相應(yīng)的特征函數(shù)為方程48貝塞爾函數(shù)的正交性結(jié)論１：n

階貝塞爾特征函數(shù)系在區(qū)間(0,R)上帶權(quán)r

正交，模值的平方即貝塞爾函數(shù)的正交性結(jié)論１：n階貝塞爾特征函數(shù)系在區(qū)間(49結(jié)論2：在區(qū)間［0,R］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)以及分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(r)如果在r=0處有界,在r=R

處等于零,則它必可以展開(kāi)為如下形式的絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)：其中模的平方權(quán)函數(shù)貝塞爾函數(shù)結(jié)論2：在區(qū)間［0,R］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)以及其中模的平方50§5.6貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例例設(shè)有半徑為1的薄均勻圓盤(pán)，其側(cè)面絕緣，邊界上的溫度始終保持為零度，初始圓盤(pán)內(nèi)溫度分布為其中r為圓盤(pán)內(nèi)任一點(diǎn)的極半徑，求圓盤(pán)的溫度分布規(guī)律。分析:

由于是在圓域內(nèi)求解問(wèn)題,故采用極坐標(biāo).

考慮到定解條件和

無(wú)關(guān),所以溫度u

只能是t

和r

的函數(shù).

§5.6貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例例設(shè)有半徑為1的薄均51解根據(jù)問(wèn)題的要求,即可歸結(jié)為求下列方程的定解問(wèn)題：由于u

和無(wú)關(guān),可以化簡(jiǎn)為問(wèn)題解根據(jù)問(wèn)題的要求,即可歸結(jié)為求下列方程的定解問(wèn)題：由于52此外,由問(wèn)題的物理意義,還有條件且時(shí)，令代入到上述方程,有由此得解(1)得：∵時(shí)，∴此外,由問(wèn)題的物理意義,還有條件且53(2)為零階非標(biāo)準(zhǔn)的貝塞爾方程,由u(r,t)的有界性,可以知道再由條件知：即是的零點(diǎn).用(n=1,2…)表示的正零點(diǎn),綜合以上結(jié)果可得:方程(1)的解為令則它的通解為：(2)為零階非標(biāo)準(zhǔn)的貝塞爾方程,由u(r,t)的有界54

方程的特征值為：相應(yīng)的特征函數(shù)為：這時(shí)方程的解為：從而方程55由疊加原理,可得原問(wèn)題的解為

由初始條件得其中由疊加原理,可得原問(wèn)題的解為由初始條件得其中56因?yàn)榱钏砸驗(yàn)榱钏?7貝塞爾函數(shù)3課件58從而所求定解問(wèn)題的解為：其中是的正零點(diǎn)。從而所求定解問(wèn)題的解為：其中是59例例60解一、建立方程解一、建立方程61“翻譯”邊界條件一、建立方程U為常數(shù)，為上底的電勢(shì)?！胺g”邊界條件一、建立方程U為常數(shù)，為上底的電勢(shì)。62一、建立方程我們知道一、建立方程我們知道63一、建立方程一、建立方程64一、建立方程一、建立方程65二、求本征值、本征函數(shù)二、求本征值、本征函數(shù)66二、求本征值、本征函數(shù)二、求本征值、本征函數(shù)67三、由疊加原