第十章 波動和聲

第十章波動和聲

習(xí)題解答10.2.1頻率在20至20000Hz的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽到聲音的感覺。。叱時，空氣中的聲速為331.5m/s，求這兩種頻率聲波的波長解：根據(jù)公式 丫得巧20=±_=2111=16.58X1O~3^v22000010.2.2一平面簡諧聲波的振幅為0.001m，頻率為1483Hz，在200C的水中傳播，寫出其波方程。解：此聲波在200C的水中傳播，其波速為^=M83^/s角頻率少=2^v=2^x1483=2966^A=0.001m波方程為y= 干里竺）=0.001cos(2966^+2血)10.2.3已知平面簡諧波的振幅A=0.1cm，波長1m,周期為10-2s，寫出波方程(最簡形式)。又距波源9m和10m兩波面上的相位差是多少？解：選波源處為坐標(biāo)原點，初相位為零的時刻為計時起點”=丄=丄_=1L/sTIO-2

:丿y=j4cos2^vt+—波方程 'J:丿=10_3cos[2^（102t干別瓦=9決處振動相位旳=誠Lt+9）忑=10喘處振動相位口嚴(yán)加（10叫不10）10.2.4寫出振幅為A,v=了波速為卩二c,沿ox軸正方向傳播的平面簡諧波方程.波源在原點o,且當(dāng)t=0時，波源的振動狀態(tài)被稱為零，速度沿ox軸正方向.解：根據(jù)題意波源的振動方程為y=j4cos（tzt+耐v=-A田sin(皿+ce)f=0 =Acosa=0v0=-Aojsince>0a=-—解之得2y=j4cos[2^v(t-—)+ce]則波方程 u10.2.5已知波源在原點（x=0）的平面簡諧波方程為

y=Acos(bt-cx),A,b,c均為常量.試求(1)振幅、頻率、波速和波長；(2)寫出在傳播方向上距波源￡處一點的振動方程式，此質(zhì)點振動的初相位如何？解：(1)振幅AnfbV=—=—頻率尿 2珂波長幾 抵亡(2)距波源￡處一點的振動方程式y(tǒng)二Acos(bt-c^)其振動初位相為-cF10.2.6平面簡諧波逆x10.2.6平面簡諧波逆x軸傳播，波方程為y=j4cos2冗v(t+—+3)試?yán)酶淖冇嫊r起點的方法將波方程化成最簡形式。解：設(shè)相對于原來計時起點的某一時刻為t,相對于新的計時起點此瞬時為f，且新計時起點可使原點初位相為零，則=2咒邇+3)這樣原波方程化為計時起點提前3秒。10.2.7y=510.2.7y=5cos平面簡諧波方程，試用兩種方法畫出y時的波形圖。SI)=5cos(—-I-—先做出 的波形12曲線，再向左平移廳個單位長，即得做之圖線.先做出y=5cos彳x12=5cos(—-I-—先做出 的波形12曲線，再向左平移廳個單位長，即得做之圖線.先做出y=5cos彳x12的波形曲線，再向左平移三個單位長，即得做之圖線.10.2.8對于平面簡諧波S=rcos中r=0.01m,T=12s,A=0.30m,畫出x=0.20m處體x12 5311526157 502 5y54.32.50-4-52）平移法元的位移-時間曲線。畫出t=3s,6s時的波形圖。解：根據(jù)已知得出平面簡諧波方程為^0.01coS2.(---x=0.20^處體元的振動方程為S=0.01cos2^(--—)f=空時的波形為10.2.9二圖分別表示向右和向左傳的兩列平面簡諧波在某一瞬時的波形圖，說明此時x1、x2、x3以及g1、g2、g3各質(zhì)元的位移和速度為正還是為負(fù)？它們的相位如何？（對于x2和g3只要求說明其相位在第幾象限）解：根據(jù)波動就是振動狀態(tài)在空間的傳播，并且沿波的傳播方向各體元有一定位相落后設(shè)質(zhì)元振動最高處位相為2路，這樣可判斷各點的相位。再根據(jù)圖形判斷位移的正負(fù)。根據(jù)波的傳播方向判斷速度的正負(fù)。得位移正最大負(fù)0正最大負(fù)0速度0負(fù)負(fù)最大0正正最大位相II象限22圧III象限3—區(qū)210.2.10圖（a）、（b）分別表示t=0s和t=2s時的某一平面簡諧波的波形圖。試寫出此平面簡諧波波方程。-2解：由圖可知振幅A=2m波長幾=2忍，由已知和圖可得振動在2秒鐘內(nèi)傳播4，則波速：，頻率：

波速：，頻率：故波方程為y=2cos2^v(t-—)=2cos^(0.25/-x)10.3.1—圓形橫截面的銅絲，受張力1.0N，橫截面積為1.0楓滬。求其中傳播縱波和橫波時的波速各多少？銅的密度為S9xW^g/^，銅的楊氏模量為12x1092//^\解：由已知得T=1.0NQ仝"1°咲列滬F=根據(jù)

根據(jù)得冷=1.06=1.16x103^/s10.3.2已知某種溫度下水中聲速為!-45xl03^f求水的體變模量。解：根據(jù)解：根據(jù)又因為又因為得K=v2p={}.A5x}^xlO3二2AxW9Kg!ms10.4.1在直徑為14cm管中傳播的平面簡諧聲波。平均能流密度張佗匕，v=300Hz,u=300m/s.（1）求最大能量密度和平均能量密度，（2）求相鄰?fù)辔徊骈g的總能量.解：（1）根據(jù)平均能流密度的大小為1=色-=_^X1°7 =3x10-^/^得平均能量密度為v10^x3x!02得平均能量密度為所以夠丈=2s=6xW57/^3⑵相鄰?fù)幌嗖骈g的距離為幾則管在幾長的體積為E=7e=3A4x(JxW-2)2x—x3xW5=4.62幻曠9總能量 30°10.4.2空氣中聲音傳播的過程可視作絕熱過程，其過程方程式為芒討二常量。求證聲壓p=p1-p0可表示作，其中肌和弘表示沒有聲波傳播時一定質(zhì)量空氣的壓強(qiáng)p=p1-p0可表示作，其中肌和弘表示沒有聲波傳播時一定質(zhì)量空氣的壓強(qiáng)和體積，卩1是有聲波時空氣的體積。證明：由絕熱過程公式戸討二常雖兩邊微分碎廠W+M—0則心計則心計10.4.3面向街道的窗口面積約街道上的噪聲在窗口的聲強(qiáng)級為60dB，問有多少聲功率傳入室內(nèi)（即單位時間內(nèi)進(jìn)入多少聲能）？Z=101g—解：根據(jù)聲強(qiáng)級公式 珀Igf由已知L=60所以6= 0婦—I=I0xlO6=10-12xl0e=10^w/^2窗口的面積為40m2則傳入室內(nèi)的聲功率為^=/^=10-6x40=4.0xlQ-5fy

10.4.4距一點聲源10m的地方，聲音的聲強(qiáng)級為20dB。求（1）距聲源5m處的聲強(qiáng)級;（2）距聲源多遠(yuǎn)，就聽不見1000Hz的聲音了？L=Wlg—[dB]解：（1）根據(jù)聲強(qiáng)級公式 厶厶廠1陸學(xué)廖]r1=10m處 0由于聲源為點聲源，故傳播的波為球面波，則耳『其中厶為r1=10m處的聲強(qiáng)，為r2=5m處的聲強(qiáng)。厶二10運(yùn)如=10運(yùn)魚二101g4+101g^-=101g4+Z10=10x0.60+20=26^；0 珀 婦 （2）由（1）101g-^=20知厶得厶"0珀又剛好能聽見的1000Hz聲音的聲強(qiáng)約10W冷為標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)厶設(shè)聲強(qiáng)為珀處距點聲源為心根據(jù)球面波的特點幾扌得:r0根據(jù)球面波的特點幾扌得:r0=100^310.5.1聲音干涉儀用于顯示聲波的干涉，見圖。薄膜S在電磁鐵的作用下振動。D為聲音檢測器，SBD長度可變，SAD長度固定。聲音干涉儀內(nèi)充滿空氣。當(dāng)B處于某一位置時，在D處聽到強(qiáng)度為100單位的最小聲音，將B移動則聲音加大，當(dāng)B移動1.65cm時聽到強(qiáng)度為900單位的最強(qiáng)音。（1）求聲波的頻率，（2）求到達(dá)D處兩聲波振幅之比。已知聲速為342.4m/s。解：根據(jù)題意S的振動向兩個方向傳播成為兩列傳播方向相反的相干波，干涉結(jié)果為振動最強(qiáng)和最弱的點相距憶—=}.65cm j（1）—=}.65cm j（1）由已知得43424 =5188^2 6.6xl0-22）由聲強(qiáng)公式A=Al得出厶由于兩列波的頻率相同且在同一媒質(zhì)中傳播，所以5二少235=45）10.5.3兩個波源發(fā)出橫波，振動方向與紙面垂直，兩波源具有相同的相位，波長0.34m。（1）至少求出三個x數(shù)值使得在P點合振動最強(qiáng)，（2）求出三個x數(shù)值使得在P點合振動最弱。解：由于兩個波源均發(fā)出橫波，在同一媒質(zhì)中傳播，波長又相同，故頻率一定相同。兩波源又具有相同的位相，即位相差恒定，由此得出兩波源為相干波源。兩波源在P點引起的振動為：戸=4曲（皿-煬，=A2co8[nt-k（L-x）]要使P點的合振動為最強(qiáng)△二總二2伽（起=0,1,2,…），當(dāng)挖△二總二2伽（起=0,1,2,…），當(dāng)挖=0,1,2時x=0忑=0.34mx=0.68^32）要使P點的合振動為最弱■字匹=?+~|2用T卜=kx=（2旳+1）珂（旳=o1，2，…）當(dāng)總=0,1,2時x=0.17mx=0.51mx=0.85m10.5.3試證明兩列頻率相同、振動方向相同、傳播方向相反而振幅大小不同的平面簡諧波相疊加可形成一駐波與一行波的疊加。證明：根據(jù)題意，設(shè)這兩列波方程分別為=Axcos（ot-kx）（i）y2y2=cos（d2^+七力2）其中4>&根據(jù)波的疊加原理，可把第一列波視為兩列頻率相同、振動方向相同、傳播方向相同、初相相同、振幅分別為&和刀的波疊加而成，即=A2cos（d2t-七兀）+工‘cos（d2t-七兀）=jy/+W///顯然戸和九疊加而成駐波，而兀為一行波，即:+y2=&cos（ot一kx）+&cos（ot+上x）+Afcos（ot一kx）=（2&cos蚣）cosat+Acos（^-kx）證畢.7=10x10^cos[2000^^-—)]10.5.4入射波 34在固定端反射，坐標(biāo)原點與固定端相距0.51m，寫出反射波方程。無振幅損失°(SI)解：由已知條件可知反射波與入射波有相同的振幅、頻率、波長，因此只需求出反射波在原點的初相妙即可得出反射波的波方程。對入射波而言，設(shè)固定端比原點位相落后九，在原點^=°，質(zhì)點的振動方程為在yY=Acosat在固定端2￡質(zhì)點的振動表達(dá)式為力=乩啦皿-竝)^=kL=—L=^.5\—則 幾 兄在固定端反射，有半波損失，即反射波比入射波在固定端位相落后珂則在固定端，反射波的位相為0.51根據(jù)已知條件，反射波在原點的位相比在固定端的位相又落后 幾故反射波在原點的初相$= - =~~~x0-51x2-^-才=10x10^cos[2000^(/+—)-6R]則反射波方程為=10x10^cos[2000^-(/+=10x10^cos[2000^-(/+10.5.5入射波方程為^=j4cos[M7+I）],在龍=0處的自由端反射，求反射波的波方程。無振幅損失。解：由于是在^=°處的自由端反射，即反射處與原點距離為零，并且自由端反射無半波損失，故反射波與入射波不僅振幅、頻率、波長、振動方向相同，而且初相也相同則反射波方程為:10.5.6圖示某一瞬時入射波的波形圖，在固定端反射。試畫出此瞬時反射波的波形圖。無振幅損失。解：（1） 首先假設(shè)無MN,將波形圖繼續(xù)向右方延伸（2） 取PQ讓其到MN的距離為半個波長，將此半個波長的波去掉（即半波損失）（3） 將占點右邊的波形改為向左傳播的波，并平移到A點（即虛線部分），此波形圖即反射波形圖。10.5.7若10.5.6題圖中為自由端反射，畫出反射波波形圖。解：（1）將圖形繼續(xù)向右方延伸（2）由于是自由端反射，無半波損失，在反射端入射波與反射波位相相同，因此只需把0點右方的波形改為向左傳播即可。10.5.8一平面簡諧波自左向右傳播，在波射線上某質(zhì)元A的振動曲線如圖示。后來此波在前進(jìn)方向上遇一障礙物而反射，并與該入射平面簡諧波疊加而成駐波，相鄰波節(jié)波腹距離為3m，以質(zhì)元A的平衡位置為oy軸原點，寫出該入射波波方程。解：根據(jù)題意，相鄰波腹、波節(jié)距離為張，貝I」波長為/=12^v=—=6m/s由振動圖線可知：振幅心％，周期T=2s，波速〔設(shè)A點的振動表達(dá)式為“衛(wèi)曲皿+前v=—=一014￡血（曲+評）＜0由圖中可知當(dāng)f=°時x=c0=j4cos0v0=-Aojsin<0從而得入射波方程10.5.9同一媒質(zhì)中有兩個平面簡諧波波源作同頻率、同方向、同振幅的振動。二波相對傳播，波長8m。波射線上A、B兩點相距20m。一波在A處為波峰時，另一波在B處相位為2。求AB連線上因干涉而靜止的各點的位置。解：根據(jù)題意，兩波源作同頻率、同方向、同振幅的振動，兩波相對傳播，波長均為8枕,故兩波在媒質(zhì)中相遇，疊加而成駐波。以A為坐標(biāo)原點建立A—x軸設(shè)由A向B傳播的波方程為戸=衛(wèi)匚恥（皿一歸苴中由B向A傳播的波方程為由已知條件：一波在A處為波峰時，另一波在B處位相為2,得此瞬時nt—kx=2冗at=2^

+(^=-— 2>r+—x20+^=-— ^=-—2即4 2得2y2=j4cos(fzt+kx-號冗］=Acos(nt+疋x+扌)y1+y2=j4cos(ot-kx)+j4cos(o^+A;x+^-)=2j4cos(^x+^-)cos(ot+C0s(^x+—)=0由于干涉而靜止的點為 4即h+汁0+1)認(rèn)沖?！?故AB連線上因干涉而靜止的各點的位置為可二加故AB連線上因干涉而靜止的各點的位置為可二加10.5.10—提琴弦長50cm，兩端固定。不用手指按時，發(fā)出的聲音是A調(diào)：440Hz。若欲發(fā)出C調(diào)528Hz，手指應(yīng)按在何處？解：琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)是指基波頻率Vn=根據(jù)弦振動頻率公式VVn=根據(jù)弦振動頻率公式V1=在這里找=1艮卩當(dāng)手指不按時￡二厶二0弼基頻率為巧=440居當(dāng)手指按時L=L^基頻率為?=528/^=||jx0.5=0.4167.=41.67xW^即手指按在41.67x10-2^處。10.5.11張緊的提琴弦能發(fā)出某一種音調(diào)，若欲使它發(fā)出的頻率比原來提高一倍，問弦內(nèi)張力應(yīng)增加多少倍？解：弦振動的頻率公式 樂器發(fā)出聲音的音調(diào)指基頻即挖設(shè)變化后的頻率為*且*二扣張力為0因為*=扣所以￥F 即F=弦內(nèi)張力應(yīng)增加3倍。10.7.2火車以速率卩駛過一個在車站上靜止的觀察者，火車發(fā)出的汽笛聲頻率為f。求觀察者聽到的聲音的頻率的變化。設(shè)聲速是叫。解：此問題有兩個物理過程第一過程：聲源以速率卩駛近靜止的觀察者，在此過程中觀察者聽到的聲音的頻率為◎,根據(jù)多普勒效應(yīng) 叫卩第二過程：聲源以速率v離開靜止的觀察者，在此過程中觀察者聽到的聲音的頻率為根據(jù)多普勒效應(yīng)根據(jù)多普勒效應(yīng)觀察者聽到的頻率的變化為耳一^10.7.2兩個觀察者A和B攜帶頻率均為1000Hz的聲源。如果A靜止，而B以10m/s的速率向A運(yùn)動，那么A和B聽到的拍是多少？設(shè)聲速為340m/s