生物數(shù)學(xué)－模糊數(shù)學(xué)方法

PAGE來源網(wǎng)絡(luò)，僅供參考，侵權(quán)刪除模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模糊數(shù)學(xué)的理論與方法，是一種研究和處理模糊現(xiàn)象的新型數(shù)學(xué)方法。它是由美國自動(dòng)控制專家查德(L.A.Zadeh)于1965年首次提出的。近年來，模糊數(shù)學(xué)方法在自然科學(xué)和社會科學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。第一章

模糊數(shù)學(xué)基本知識一、模糊子集及其運(yùn)算在經(jīng)典集合論中，一個(gè)元素對于一個(gè)集合，要么屬于，要么不屬于，二者必居其一，絕不允許模棱兩可。這一要求就從根本上限定了以經(jīng)典集合論為基礎(chǔ)的常規(guī)數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用范圍，它只能用來研究那些具有絕對明確的界限的事物和現(xiàn)象。但是，在現(xiàn)實(shí)世界中，并非所有事物和現(xiàn)象都具有明確的界限。譬如，“高與矮”，“好與壞”，“美與丑”，…，這些概念之間并沒有絕對分明的界限。嚴(yán)格說來，這些概念沒有明確的外延，這些概念被稱之為模糊概念，它們不能用一般集合來描述，需要用模糊集合去描述。(一)模糊子集及其表示方法1.模糊子集(1)特征函數(shù)與隸屬函數(shù)：在經(jīng)典集合論中，一個(gè)元素x和一個(gè)集合A之間的關(guān)系有或者兩種情況，二者必居其一。集合可以通過其特征函數(shù)來刻劃，每一個(gè)集合A都有一個(gè)特征函數(shù)，其定義如下：(1)由于經(jīng)典集合論的特征函數(shù)只允許取0與1兩個(gè)值，故與二值邏輯｛0，1｝相對應(yīng)。模糊數(shù)學(xué)是將二值邏輯｛0，1｝拓廣到可取閉區(qū)間上無窮多個(gè)值的連續(xù)值邏輯。因此，把特征函數(shù)作適當(dāng)?shù)耐貜V，得到隸屬函數(shù)，它滿足：0≤≤1

(2)(2)模糊子集的定義：設(shè)U是待研究對象的全體構(gòu)成的普通集合，稱U為論域。論域U上的模糊子集定義如下：定義1設(shè)是U到閉區(qū)間上的一個(gè)映射，使對任何，都有唯一的與之對應(yīng)，則稱該映射給定了論域U上的一個(gè)模糊子集。稱為的隸屬函數(shù)，為對的隸屬度。通常，體現(xiàn)某種特征，對于任何，隸屬度為具有該特征的程度，因此可將模糊子集看做是普通集合的推廣?！澳：斌w現(xiàn)在是否具有特征這個(gè)問題，沒有明確的答案。2.模糊子集的表示方法通過上述關(guān)于模糊子集的定義可以看出，一個(gè)模糊子集完全由其隸屬函數(shù)所刻劃。因此，模糊子集通常有以下幾種表示方法：(1)模糊向量表示法如果論域U是有限集，可以用向量來表示模糊子集。一般地，若論域?yàn)?，則模糊子集可表示為：

(3)在(3)式中，(i=1，2，…，n)為第i個(gè)元素對的隸屬度。(2)查德表示方法①如果論域U是有限集時(shí)，采用查德記號可以將模糊子集表示為(4)應(yīng)該注意，(4)式的記號決不是分式求和，而只是一個(gè)記號而已，其“分母”表示論域U中的元素，“分子”是相應(yīng)元素的隸屬度，當(dāng)隸屬度為0時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)可以省略。②如果論域U是無限集，采用查德記號可以將模糊子集表示為(5)在(5)式中，“積分號”不代表普通的積分，也不代表求和，而是表示各個(gè)元素與其隸屬度對應(yīng)關(guān)系的一個(gè)總括。③序偶集表示法(6)例1某電冰箱廠對本廠生產(chǎn)的四種型號的電冰箱的“受歡迎”程度進(jìn)行調(diào)查?，F(xiàn)隨機(jī)調(diào)查100名顧客,根據(jù)顧客打分的結(jié)果，再用100去除折合成區(qū)間內(nèi)的數(shù)，為各型號電冰箱受歡迎的程度。受歡迎的程度為0.85；受歡迎的程度為0.50；受歡迎的程度為0.25；受歡迎的程度為0.90?！笆軞g迎”這是一個(gè)模糊概念,根據(jù)上述分?jǐn)?shù),可以認(rèn)為在論域上確定了模糊集，中每個(gè)元素隸屬的程度分別為：；；；；于是有：=[0.85,0.50,0.25,0.90]他們是四種型號的電冰箱屬于“受歡迎”這一模糊集的隸屬度。例2以年齡為論域=[0,100],Zadeh給出“年輕”模糊集的隸屬函數(shù)=以及“年老”模糊集的隸屬函數(shù)=年齡在25歲以下,=1這就是說年齡在25歲以下的人，百分之百屬于年輕；當(dāng)年齡超過25歲,而且年齡越來越大時(shí),屬于“年輕”這一模糊集的隸屬程度越來越小，如=40，則=0.1，也就是說40歲的人屬于年輕的程度只有10%.同樣，對于“年老”這一模糊集，年齡為60歲的人屬于“年老”這一模糊集的隸屬度為=0.8。而年齡為80歲的人,其隸屬度為=0.97。顯然，80歲的人比60歲的人更接近年老。圖1-3表示了模糊集的隸屬函數(shù)曲線。圖1-1年輕模糊集的隸屬函數(shù)曲線圖1-1年老模糊集的隸屬函數(shù)曲線例3設(shè)論域=[0,500]表示某流域徑流的范圍(單位：mm),表示徑流劃分上“中”的模糊集,它的隸屬函數(shù)定義為=其中,為兩個(gè)參數(shù)。若取=300，=100則當(dāng)時(shí),=0.697，它表示徑流值為360mm時(shí)，隸屬于“中”等劃分的程度為0.679。(二)模糊子集的運(yùn)算及其性質(zhì)1.模糊子集的運(yùn)算論域U上兩個(gè)模糊子集和之間的相等、包含關(guān)系及并、交、補(bǔ)等運(yùn)算，分別規(guī)定如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）上述記號“∨”和“∧”是運(yùn)算符號，簡稱為算子，“∨”表示取最大值，“∧”表示取最小值。2.模糊子集運(yùn)算的基本性質(zhì)對于模糊子集的運(yùn)算，它具有如下幾個(gè)基本性質(zhì)。(1)冪等律：∪=，∩=(2)交換律：∪=∪，∩=∩(3)結(jié)合律：(∪)∪=∪(∪)(∩)∩=∩(∩)(4)吸收率：∪(∩)=∩(∪)=(5)分配率：∪(∩)=(∪)∩(∪）∩(∪)=(∩)∪(∩）(6)復(fù)原(對合)率：(7)對偶率（DeMorgan原理）：，(8)常數(shù)原算法則：，(或)定義2設(shè)是論域U上的一個(gè)模糊子集，為隸屬函數(shù)，為x對的隸屬度。對于任一，稱集合=｛x|，x∈U｝

(7)為的強(qiáng)-截集；稱集合=｛x|，x∈U｝

(8)為的弱-截集。通常，將強(qiáng)-截集與弱-截集統(tǒng)稱為-截集。在模糊聚類分析等方法中，通常使用弱-截集。例，，則的弱0.6-截集的強(qiáng)0.6-截集二、模糊關(guān)系與模糊變換(一)模糊關(guān)系1.模糊關(guān)系的概念模糊關(guān)系是一般關(guān)系的推廣，其定義如下：定義3設(shè)U和V是兩個(gè)普通集合，U與V的直積U×V=｛(x，y)｜x∈U，y∈V｝(9)上的一個(gè)模糊子集稱為U到V上（或U與V之間）的一個(gè)模糊關(guān)系，記為。特別當(dāng)時(shí)，稱為U上的模糊關(guān)系。是x與y之間某種關(guān)系（或特征）的體現(xiàn)。若，對的隸屬度記為或，它表示x與y具有這種關(guān)系的程度。當(dāng)U和V為有限集合時(shí)，記，，U與V之間的模糊關(guān)系則可以用矩陣表示為(10)其中，表示與之間具有關(guān)系的程度，，i=1，2，…，n；j=1，2，…，m。矩陣(10)稱為U與V間的模糊關(guān)系矩陣，簡稱模糊矩陣。當(dāng)時(shí)，有(11)稱為U上的模糊矩陣。因?yàn)槟：P(guān)系就是集合U與V的直積U×V上的模糊子集，所以它的相等、包含、并、交、補(bǔ)等運(yùn)算與模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì)完全相同，這里不再贅述。下面介紹U中幾個(gè)重要的特殊關(guān)系。(1)恒等關(guān)系：(2)零關(guān)系：(3)全關(guān)系:(4)轉(zhuǎn)置關(guān)系:2.模糊關(guān)系的合成及其性質(zhì)(1)模糊關(guān)系的合成定義4設(shè)U，V，W是三個(gè)集合，是U到V上的模糊關(guān)系，是V到W上的模糊關(guān)系，則稱為與的合成，且規(guī)定它是U到W上的模糊關(guān)系，對，其隸屬函數(shù)為：(12)如果是論域上的模糊關(guān)系，則對自然數(shù)k，定義，，……，（）(13)其中是恒等關(guān)系。定義5設(shè)均有限論域,，，則稱為模糊矩陣對的合成，也稱為對的模糊乘積，其中()(14)模糊矩陣的乘法與普通矩陣乘法類似,只是將其中的加法“+”改為Zadeh算子的“∨”,乘法“×”改為“∧”(當(dāng)然也可以據(jù)實(shí)際需要采用其他模糊算子)。例4設(shè)有三位教師,四門課程,三位學(xué)生，且已知，，表示“講授”（課程）關(guān)系，表示（課程）“被選”關(guān)系，試求師生關(guān)系。解這說明教師與學(xué)生、教師與學(xué)生之間有師生關(guān)系，教師與三位學(xué)生均有師生關(guān)系。(2)模糊關(guān)系合成的基本性質(zhì)①結(jié)合律②③④若，則對任意有⑤⑥⑦⑧⑨⑩3.模糊相似關(guān)系與模糊等價(jià)關(guān)系定義6設(shè)是U中的模糊關(guān)系，若它滿足如下性質(zhì)：(1)自反性：；(2)對稱性：；則稱為U中的模糊相似關(guān)系。進(jìn)一步，若還滿足(3)傳遞性：對，都有，即，則稱為U中的模糊等價(jià)關(guān)系。注：定義7如果(11)式給出的中的模糊矩陣具有如下特點(diǎn):(1)自反性：(2)對稱性：則稱為模糊相似矩陣。進(jìn)一步，若還滿足(3)傳遞性：()則稱為模糊等價(jià)矩陣。定義8設(shè)是U上的模糊矩陣，包含的最小模糊等價(jià)矩陣稱為的等價(jià)閉包，記為，即滿足(1)；(2)為模糊等價(jià)矩陣；(3)若且為模糊等價(jià)矩陣，則。(二)模糊變換定義9設(shè)為模糊矩陣其中，0≤≤1(i=1，2，…，n；j=1，2，…，m)；是一個(gè)給定的模糊向量=[a1，a2，…，an]

(15)其中，0≤≤1(i=1，2，…，n)。則稱與的合成運(yùn)算(16)為模糊變換。顯然，在(16)式中，有0≤≤1(j=1，2，…，m)。

第二章

模糊聚類分析方法模糊聚類分析，是從模糊集的觀點(diǎn)來探討事物的數(shù)量分類的一類方法。近年來，模糊聚類分析方法在地理分區(qū)與地理事物分類研究中得到了廣泛地應(yīng)用。這里僅介紹基于模糊等價(jià)關(guān)系的模糊聚類分析方法。定義1元素非0即1的矩陣稱為布爾矩陣。如果布爾矩陣滿足(1)自反性：；(2)對稱性：；(3)傳遞性：；則稱為等價(jià)的布爾矩陣。顯然，等價(jià)的布爾矩陣是一個(gè)特殊的模糊等價(jià)矩陣，稱之為有限論域上的普通等價(jià)關(guān)系。定理1若是上的普通等價(jià)關(guān)系，則對應(yīng)著的一個(gè)劃分,即將分成若干個(gè)類，使不同的類中沒有相同的元素（一個(gè)元素只屬于一個(gè)類）。定理2矩陣是模糊等價(jià)矩陣的充分必要條件是對任意的，截集是等價(jià)的布爾矩陣。因此，對于有限論域，若是上的模糊等價(jià)關(guān)系，則用水平截時(shí)，得到的截集是上的普通等價(jià)關(guān)系，由此便可得到U中元素的一個(gè)劃分。當(dāng)由1下降到0時(shí)，所得的分類由細(xì)變粗，逐漸歸并，從而形成一個(gè)動(dòng)態(tài)聚類譜系圖。由此可見，分類對象上的模糊等價(jià)關(guān)系的建立，是模糊聚類分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為建立分類對象集合上的模糊等價(jià)關(guān)系，通常需要先計(jì)算各個(gè)分類對象之間的相似系數(shù)，從而得到上的模糊相似關(guān)系，進(jìn)而合成模糊等價(jià)關(guān)系?；谀：葍r(jià)關(guān)系的模糊聚類分析步驟歸結(jié)如下：1.確定研究對象和定分類指標(biāo)設(shè)為待分類對象的全體，稱（）為樣品；每一樣品具有項(xiàng)分類特征指標(biāo)（簡稱指標(biāo)），若樣品的個(gè)指標(biāo)的觀測值為則個(gè)樣品的個(gè)分類指標(biāo)用矩陣表示為(1)2.分類指標(biāo)規(guī)格化處理當(dāng)項(xiàng)分類指標(biāo)存在著量級、量綱上的差異時(shí)，應(yīng)當(dāng)對其進(jìn)行規(guī)格化處理，以消除這些差異對分類結(jié)果的影響。極差規(guī)格化是常用的方法，計(jì)算公式為(2)其中，表示第個(gè)樣品的第項(xiàng)指標(biāo)；表示第項(xiàng)指標(biāo)的最大值；表示第項(xiàng)指標(biāo)的最小值。對指標(biāo)進(jìn)行規(guī)格化處理后，得到數(shù)據(jù)矩陣(3)其中，表示第樣品的第項(xiàng)指標(biāo)的規(guī)格化值；。當(dāng)項(xiàng)指標(biāo)的量級、量綱一致時(shí)，可以不進(jìn)行規(guī)格化。3.建立模糊相似關(guān)系建立與之間的模糊相似關(guān)系的方法很多，主要來自傳統(tǒng)聚類分析的相似系數(shù)法和距離法等。這里僅介紹產(chǎn)生模糊相似矩陣幾種常用的方法。①數(shù)量積法(4)其中為一適當(dāng)選擇之正數(shù)，滿足，②相關(guān)系數(shù)法(5)③最大最小法(6)④算術(shù)平均最小法(7)⑤幾何平均最小法(8)⑥絕對值指數(shù)法(9)⑦絕對值減數(shù)法(10)其中是一個(gè)可以適當(dāng)選取的常數(shù)，使。選擇哪一個(gè)方法好，要按實(shí)際情況而定。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，最好多采用幾種方法，選取分類最符合實(shí)際的結(jié)果。4.改造相似關(guān)系為等價(jià)關(guān)系。由第一步得到的矩陣滿足自反性和對稱性，即是相似矩陣，但一般而言并不滿足傳遞性，必須將它改造成模糊等價(jià)矩陣。通常采用平方法來合成的等價(jià)閉包：，，可以證明，必然存在一個(gè)自然數(shù)k，使得，于是得到模糊等價(jià)關(guān)系。定理3若是n階模糊相似矩陣，則對于任意的，有。由定理3知，至多需要作次乘積，即可得到分類所需模糊等價(jià)矩陣。5.給定不同置信水平，利用的截集便可對進(jìn)行分類。6.分析聚類結(jié)果是否反映實(shí)際，確定合理的置信水平，確定分類的個(gè)數(shù)。根據(jù)確定的分類，提出合理化建議，用于指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐。例1環(huán)境單元分類。每個(gè)環(huán)境單元包括空氣、水份、土壤、作物四個(gè)要素。環(huán)境單元的污染狀況由污染物在四要素中含量的超限度來描述。現(xiàn)有五個(gè)環(huán)境單元，記為，觀測值為=（5，5，3，2），=（2，3，4，5），=（5，5，2，3），=（1，5，3，1），=（2，4，5，1）。試對分類。解首先，按方法⑦建立模糊相似關(guān)系，取，得模糊相似矩陣其次，用平方法求的等價(jià)閉包：，所以，是的等價(jià)閉包，也就是所求的模糊等價(jià)矩陣。最后,給定不同的水平聚類：當(dāng)時(shí),分為一類:{I，II，III，IV，V}；當(dāng)時(shí),分為二類:{I，III，IV，V}，{II}；當(dāng)時(shí),分為三類:{I，III}，{IV，V}，{II}；當(dāng)時(shí),分為四類:{I，III}，{II}，{IV}，{V}；當(dāng)時(shí),分為五類:{I}，{II}，{III}，{IV}，{V}聚類圖如圖2-1所示。圖2-1環(huán)境單元聚類圖

第三章

模糊綜合評價(jià)模糊綜合評價(jià)方法，是一種運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)原理分析和評價(jià)具有“模糊性”的事物的系統(tǒng)分析方法。它是一種以模糊推理為主的定性與定量相結(jié)合、精確與非精確相統(tǒng)一的分析評價(jià)方法。由于這種方法在處理各種難以用精確數(shù)學(xué)方法描述的復(fù)雜系統(tǒng)問題方面所表現(xiàn)出的獨(dú)特的優(yōu)越性，近年來已在許多學(xué)科領(lǐng)域中得到了十分廣泛的應(yīng)用。一、模糊綜合評價(jià)模型(一)單層次模糊綜合評價(jià)模型給定兩個(gè)有限論域U=｛u1，u2，…，um｝

(1)V=｛v1，v2，…，vn｝

(2)其中，U代表所有的評價(jià)因素所組成的集合，稱為因素集，V代表所有的評語等級所組成的集合，稱為評語集。如果著眼于第i(i=1，2，…，m)個(gè)評價(jià)因素ui，其單因素評價(jià)結(jié)果為，則稱(3)為m個(gè)評價(jià)因素的評價(jià)決策矩陣，它是U到V上的一個(gè)模糊關(guān)系。如果各評價(jià)因素的權(quán)重為（顯然，是U上的模糊子集），一般要求，，則通過合成運(yùn)算可以得到論域V上的一個(gè)模糊子集，即綜合評價(jià)（結(jié)果）向量：(4)一般地，要根據(jù)評價(jià)向量給出該系統(tǒng)的評語。模糊綜合評價(jià)是按最大隸屬原則，即應(yīng)獲得最大的所對應(yīng)的評語。(二)多層次模糊綜合評價(jià)模型在復(fù)雜大系統(tǒng)中，需要考慮的因素往往很多，而且因素之間還存在著不同的層次。這時(shí)，應(yīng)用單層次模糊綜合評價(jià)模型就很難得出正確的評價(jià)結(jié)果。所以，在這種情況下，就需要將評價(jià)因素集合按照某種屬性分成幾類，先對每一類進(jìn)行綜合評價(jià)，然后再對各類評價(jià)結(jié)果進(jìn)行類之間的高層次綜合評價(jià)。這樣，就產(chǎn)生了多層次模糊綜合評價(jià)問題。多層次模糊綜合評價(jià)模型的建立，可按以下步驟進(jìn)行：(1)對于有多層次涵義的評價(jià)因素集合U，若按某個(gè)屬性c，將其劃分成m個(gè)子集，使它們滿足：(5)其中含有個(gè)評價(jià)因素（）。于是U/c=｛｝

(6)(2)仍設(shè)評語集為V=｛v1，v2，…，vn｝。對于每一個(gè)子集中的個(gè)評價(jià)因素，按單層次模糊綜合評價(jià)模型進(jìn)行評價(jià)，以表示因素獲得評語的程度，則可得到評價(jià)決策矩陣(7)如果中諸因素的權(quán)重為，則得到第i個(gè)子集Ui的綜合評價(jià)結(jié)果(8)(3)對U/c中的m個(gè)評價(jià)因素子集Ui(i=1，2，…，m)進(jìn)行綜合評價(jià)，其評價(jià)決策矩陣為：(9)如果U/c中m個(gè)因素子集的權(quán)重向量為(10)則可得到綜合評價(jià)結(jié)果(11)按最大隸屬原則，該系統(tǒng)應(yīng)獲得最大的所對應(yīng)的評語。這里需要強(qiáng)調(diào)的是，在(8)或(11)式中，矩陣合成運(yùn)算的方法通常有兩種：一是主因素決定模型法，即利用邏輯算子M(∧，∨)進(jìn)行取大或取小合成，該方法一般僅適合于單項(xiàng)最優(yōu)的選擇；二是普通矩陣模型法，即利用普通矩陣算法進(jìn)行運(yùn)算，這種方法兼顧了各方面的因素，因此適宜于多因素的排序。若U/c中仍含有很多因素集，則可以對它再進(jìn)行劃分，得到三級以至更多層次的模糊綜合評價(jià)模型。多層次的模糊綜合評價(jià)模型，不僅可以反映評價(jià)因素的不同層次，而且避免了由于因素過多而難于分配權(quán)重的弊病。二、模糊綜合評價(jià)實(shí)例作為模糊綜合評價(jià)方法的應(yīng)用實(shí)例，以下我們將探討農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能綜合評價(jià)問題。農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，是一類多要素的復(fù)雜系統(tǒng)，其內(nèi)部諸要素之間的相互作用關(guān)系及各要素對系統(tǒng)功能的影響程度在量上是難以精確衡量的，即系統(tǒng)具有“模糊性”特征；其次，農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)也還是一個(gè)包含著若干不同生產(chǎn)層次（或若干子系統(tǒng)）的復(fù)合系統(tǒng)，其系統(tǒng)功能從整體上來說是一種綜合功能，具有“多屬性”特點(diǎn)。因此，農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能評價(jià)是一種多屬性或多準(zhǔn)則評價(jià)問題。這就要求評價(jià)者必須根據(jù)評價(jià)問題的性質(zhì)、目標(biāo)、要求等選擇適宜的評價(jià)模型和方法。在這方面，模糊綜合評價(jià)模型為我們提供了一種有效的方法。(一)評價(jià)要素指標(biāo)體系的設(shè)置評價(jià)要素指標(biāo)體系的設(shè)置，是對農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能進(jìn)行綜合評價(jià)的前提和基礎(chǔ)。指標(biāo)體系設(shè)置得是否合理和準(zhǔn)確，直接影響著評價(jià)結(jié)果的科學(xué)性、可靠性和準(zhǔn)確性。因此，農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能綜合評價(jià)的首要任務(wù)就是根據(jù)評價(jià)對象的性質(zhì)、評價(jià)目標(biāo)以及評價(jià)決策要求等，建立能夠全面、準(zhǔn)確地反映評價(jià)問題全貌的綜合評價(jià)要素指標(biāo)體系。農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能，是一種綜合性功能，它主要由經(jīng)濟(jì)效益、生態(tài)效益和社會效益三個(gè)方面來反映。所以，對農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能的考察及評價(jià)，必須立足于這三個(gè)基本方面。而這三個(gè)方面的效益又是由不同的要素來體現(xiàn)的，每一種要素都有表征其屬性特征的指標(biāo)。這些要素指標(biāo)的組合就構(gòu)成了農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能綜合評價(jià)的指標(biāo)體系：U=｛｝U1=｛u11，u12，u13，u14，u15｝U2=｛u21，u22，u23，u24，u25｝U3=｛u31，u32，u33，u34，u35｝(二)評語集合的確定根據(jù)評價(jià)決策的實(shí)際需要，將評價(jià)等級標(biāo)準(zhǔn)劃分為“好”、“較好”、“一般”、“較差”和“差”五個(gè)等級。即評語集合為：V=｛v1，v2，v3，v4，v5｝=｛好，較好，一般，較差，差｝(三)評價(jià)要素權(quán)重子集的確定在上述農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能綜合評價(jià)指標(biāo)體系中，由于下層各指標(biāo)對上層某一指標(biāo)的相對重要程度并非一樣，即