直線、平面平行的判定及性質(zhì)

直線、平面平行的判定及性質(zhì)1．[2015·福州質(zhì)檢]已知m、n、l為三條不同的直線，α、β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．α∥β，m?α，n?β?m∥nB．l∥β，α∥β?l∥αC．m∥α，m∥n?n∥αD．α∥β，l∥α且l?β?l∥β答案D解析對(duì)于選項(xiàng)A，m、n可能平行或異面；對(duì)于選項(xiàng)B，還可能出現(xiàn)l?α這種情形；對(duì)于選項(xiàng)C，還可能出現(xiàn)n?α這種情形．由α∥β，l∥α可得l∥β或l?β，又知l?β，所以只有l(wèi)∥β.故選項(xiàng)D正確．故選D.2．[2016·武漢調(diào)研]已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若α⊥γ，α⊥β，則γ∥βB．若m∥n，m?α，n?β，則α∥βC．若m∥n，m∥α，則n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β答案D解析選項(xiàng)A中α和β也可能相交，選項(xiàng)B中α和β也可能相交，選項(xiàng)C中也可能n?α，只有選項(xiàng)D是正確的．3．[2016·濰坊模擬]已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面．若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個(gè)充分條件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2答案D解析由定理“如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行”可得，由選項(xiàng)D可推知α∥β，因此選D.4．[2016·江西盟校聯(lián)考]設(shè)l表示直線，α，β表示平面．給出四個(gè)結(jié)論：①如果l∥α，則α內(nèi)有無數(shù)條直線與l平行；②如果l∥α，則α內(nèi)任意的直線與l平行；③如果α∥β，則α內(nèi)任意的直線與β平行；④如果α∥β，對(duì)于α內(nèi)的一條確定的直線a，在β內(nèi)僅有唯一的直線與a平行．以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析②中α內(nèi)的直線與l可異面，④中可有無數(shù)條．5．[2015·南開模擬]下列命題正確的是()A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行答案C解析若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯(cuò)；一個(gè)平面內(nèi)不共線且在平面同側(cè)的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面，兩平面可以平行，也可以相交，故D錯(cuò)；故選項(xiàng)C正確．6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，若A1M＝AN＝eq\f(2a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定答案B解析連接CD1，在CD1上取點(diǎn)P，使D1P＝eq\f(2a,3)，∴MP∥BC，PN∥AD1.∴MP∥面BB1C1C，PN∥面AA1D1D.∴面MNP∥面BB1C1C，∴MN∥面BB1C1C.7．[2015·鄭州模擬]設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有()A．①或② B．②或③C．①或③ D．①或②或③答案C解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．選C.8．[2016·濟(jì)寧模擬]過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條．答案6解析過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，記AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1，則直線EF，E1F1，EE1，F(xiàn)F1，E1F，EF1均與平面ABB1A1平行，故符合題意的直線共6條．9．[2016·南京模擬]已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題：①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；②若l?α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；③若α∥β，l∥α，則l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，則m⊥β.其中是真命題的是________(寫出所有真命題的序號(hào))．答案②④解析當(dāng)l∥m時(shí)，平面α與平面β不一定平行，①錯(cuò)誤；由直線與平面平行的性質(zhì)定理，知②正確；若α∥β，l∥α，則l?β或l∥β，③錯(cuò)誤；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又α∥β，∴m⊥β，④正確，故填②④.10．如圖，已知矩形ABCD，ED⊥平面ABCD，EF∥DC，EF＝DE＝AD＝eq\f(1,2)AB＝2，O為BD的中點(diǎn)．求證：EO∥平面BCF.證明證法一：如圖，在矩形ABCD中，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，OG.由O為BD的中點(diǎn)，知OG∥DC，OG＝eq\f(1,2)DC，又EF∥DC，EF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)DC，所以O(shè)G∥EF且OG＝EF，所以四邊形OGFE是平行四邊形．所以EO∥FG.又FG?平面BCF，所以EO∥平面BCF.證法二：如圖，過點(diǎn)O作BC的平行線分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，連接EM，EN.因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，則M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)．又EF＝eq\f(1,2)AB，所以EF綊BM綊CN.故四邊形EFBM與四邊形EFCN均為平行四邊形．所以EM∥FB，EN∥FC，所以平面EMN∥平面BCF.又EO?平面EMN，所以EO∥平面BCF.11．如圖所示，點(diǎn)P為?ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：BC∥l；(2)MN與平面PAD是否平行？證明你的結(jié)論．解(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以BC∥AD.又因?yàn)锳D?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l.(2)MN∥平面PAD.證明如下：如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連接NE，AE，則NE∥CD，NE＝eq\f(1,2)CD.而CD綊AB，M為AB的中點(diǎn)，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MN∥AE.又AE?平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.12．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn)．(1)求證：直線AF∥平面PEC；(2)求三棱錐P－BEF的表面積．解(1)證明：作FM∥CD交PC于M，連接ME.∵點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，∴FM綊eq\f(1,2)CD，又AE綊eq\f(1,2)CD，∴AE綊FM，∴四邊形AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM，∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，∴直線AF∥平面PEC.(2)連接ED，BD，可知ED⊥AB，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PD⊥平面ABCD,AB?平面ABCD))?PD⊥AB,DE⊥AB))?AB⊥平面PEF,PE，F(xiàn)E?平面PEF))?AB⊥PE，AB⊥FE，故S△PEF＝eq\f(1,2)PF·ED＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),8)；S△PBF＝eq\f(1,2)PF·BD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,4)；S△PBE＝eq\f(1,2)PE·BE＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(7),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(7),8)；S△BEF＝eq\f(1,2)EF·EB＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).因此三棱錐P－BEF的表面積SP－BEF＝S△PEF＋S△PBF＋S△PBE＋S△BEF＝eq\f(4＋\r(3)＋\r(7),8).[B級(jí)知能提升](時(shí)間：20分鐘)1．有互不相同的直線m，n，l和平面α，β，給出下列四個(gè)命題：①若m?α，l∩α＝A，A?m，則l與m不共面；②若m，l是異面直線，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，則n⊥α；③若m，n是相交直線，m?α，m∥β，n?α，n∥β，則α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m.其中真命題有()A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)答案B解析由異面直線的判定定理，易知①是真命題；由線面平行的性質(zhì)知，存在直線l′?α，m′?α，使得l∥l′，m∥m′，∵m，l是異面直線，∴l(xiāng)′與m′是相交直線，又n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′，故n⊥α，②是真命題；由線面平行的性質(zhì)和判定知③是真命題；滿足條件l∥α，m∥β，α∥β的直線m，l或相交或平行或異面，故④是假命題，于是選B.2．[2016·溫州一測(cè)]如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，正確的命題是________．①|(zhì)BM|是定值；②點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)；③一定存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C；④一定存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE.答案①②④解析取DC中點(diǎn)N，連接MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，∵M(jìn)B?平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正確；∠A1DE＝∠MNB，MN＝eq\f(1,2)A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根據(jù)余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值．①正確；B是定點(diǎn)，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，②正確；當(dāng)矩形ABCD滿足AC⊥DE時(shí)存在，其他情況不存在，③不正確．所以①②④正確．3．如圖，在底面是正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，D是BC的中點(diǎn)．(1)求證：A1C∥平面AB1D；(2)求點(diǎn)A1到平面AB1D的距離．解(1)證明：連接A1B，交AB1于點(diǎn)O，連接OD.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴四邊形ABB1A1是平行四邊形，∴O是A1B的中點(diǎn)．又D是BC的中點(diǎn)，∴OD∥A1C，∵OD?平面AB1D，A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)由(1)知，O是A1B的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A1到平面AB1D的距離等于點(diǎn)B到平面AB1D的距離．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴平面BCC1B1⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，設(shè)點(diǎn)B到平面AB1D的距離為d，∵VB1－ABD＝VB－AB1D，∴S△ABD·BB1＝S△AB1D·d，∴d＝eq\f(S△ABD·BB1,S△AB1D)＝eq\f(AD·BD·BB1,AD·B1D)＝eq\f(BD·BB1,B1D)＝eq\f(2\r(5),5)，∴點(diǎn)A1到平面AB1D的距離為eq\f(2\r(5),5).4．[2015·成都調(diào)研]一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M是AB的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn)．(1)求該多面體的體積與表面積；(2)當(dāng)FG＝GD時(shí)，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．解(1)由題中圖可知該多面體為直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a