《控制測(cè)量》第4講平面控制網(wǎng)的精度估算課件

昆明冶金高等?？茖W(xué)校測(cè)繪學(xué)院第一部分精度估算的目的和方法第二部分三角鎖的精度估算第三部分導(dǎo)線網(wǎng)的精度估算第四講平面控制網(wǎng)的精度估算昆明冶金高等?？茖W(xué)校測(cè)繪學(xué)院第一部分精度估算的目的和方法第1第一部分精度估算的目的和方法

控制測(cè)量工作的第一階段就是控制網(wǎng)的設(shè)計(jì)階段。論述控制網(wǎng)的精度是否能滿足需要是技術(shù)設(shè)計(jì)報(bào)告的主要內(nèi)容之一。雖然對(duì)于評(píng)定控制網(wǎng)的優(yōu)劣、費(fèi)用的高低也是一項(xiàng)重要的指標(biāo)，但是，通常首先考慮的是精度，只有在精度指標(biāo)滿足要求的情況下，才考慮選擇費(fèi)用較低廉的布設(shè)方案。本節(jié)著重介紹估算三角鎖邊長(zhǎng)精度和導(dǎo)線網(wǎng)精度的方法。近20年來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，以近代平差理論為基礎(chǔ)的控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論獲得了迅速地發(fā)展。例如，僅在表達(dá)控制網(wǎng)質(zhì)量的指標(biāo)方面，無(wú)論在廣度和深度上，均非過去所能比。第一部分精度估算的目的和方法控制測(cè)量工作的第一階段2

精度估算的目的是推求控制網(wǎng)中邊長(zhǎng)、方位角或點(diǎn)位坐標(biāo)等的中誤差，它們都是觀測(cè)量平差值的函數(shù)，統(tǒng)稱為推算元素。估算的方法有兩種。一、公式估算法

此法是針對(duì)某一類網(wǎng)形導(dǎo)出計(jì)算某種推算元素（例如最弱邊長(zhǎng)中誤差）的普遍公式。由于這種推算過程通常相當(dāng)復(fù)雜，需經(jīng)過許多簡(jiǎn)化才能得出有價(jià)值的實(shí)用公式，所以得出的結(jié)果都是近似的。而對(duì)另外一些推算元素，則難以得出有實(shí)用意義的公式。公式估算法的好處是，不僅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表達(dá)出各主要因素對(duì)最后精度的影響，從而為網(wǎng)的設(shè)計(jì)提供有用的參考。推導(dǎo)估算公式的方法以最小二乘法中條件分組平差的精度計(jì)算公式為依據(jù)，現(xiàn)列出公式如下。精度估算的目的是推求控制網(wǎng)中邊長(zhǎng)、方位角或點(diǎn)位3設(shè)控制網(wǎng)滿足下列兩組條件方程式

（Ⅰ）

（Ⅱ）

設(shè)控制網(wǎng)滿足下列兩組條件方程式4推算元素是觀測(cè)元素平差值的函數(shù)，其一般形式為式中，為觀測(cè)值，為其權(quán)，為其相應(yīng)的改正數(shù)。實(shí)際上的數(shù)值很小，可將上式按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，并舍去二次以上各項(xiàng)，得到其線性式：式中，，…，推算元素是觀測(cè)元素平差值的函數(shù)，其一般形式為5根據(jù)兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進(jìn)行平差，求得第一次改正后的觀測(cè)值，然后改化第二組條件方程式。設(shè)改化后的第二組條件方程式為：則的權(quán)倒數(shù)為如果平差不是按克呂格分組平差法進(jìn)行的，即全部條件都是第一組，沒有第二組條件，則在計(jì)算權(quán)倒數(shù)時(shí)應(yīng)將上式的后兩項(xiàng)去掉。根據(jù)兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進(jìn)行平差，求得第一次改6的中誤差為式中，為觀測(cè)值單位權(quán)中誤差。二、程序估算法

此法根據(jù)控制網(wǎng)略圖，利用已有程序在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算過程中，使程序僅針對(duì)所需的推算元素計(jì)算精度并輸出供使用。的中誤差為式中，為觀測(cè)值單位權(quán)中誤差。二、程序估算法7

通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。設(shè)待求推算元素的中誤差、權(quán)（或權(quán)系數(shù)）分別為，。后者與網(wǎng)形和邊角觀測(cè)值權(quán)的比例有關(guān)（對(duì)邊角網(wǎng)而言），不具有隨機(jī)性。至于單位權(quán)中誤差，對(duì)驗(yàn)后網(wǎng)平差來(lái)說(shuō)，是由觀測(cè)值改正數(shù)求出的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估值，具有隨機(jī)性。但對(duì)于設(shè)計(jì)的控制網(wǎng)來(lái)說(shuō)，用于網(wǎng)的精度估算，可取有關(guān)規(guī)范規(guī)定的觀測(cè)中誤差或經(jīng)驗(yàn)值。這時(shí)需要計(jì)算的主要是或，所用程序最好具有精度估算功能。否則，應(yīng)加適當(dāng)修改，以使其自動(dòng)跳過用觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算的程序段，而直接由用戶將指定值賦給

。如此計(jì)算出的即為所需結(jié)果。在這種情況下，運(yùn)行程序開始時(shí)應(yīng)輸入由網(wǎng)圖量取的方向和邊長(zhǎng)作為觀測(cè)值，各觀測(cè)值的精度也應(yīng)按設(shè)計(jì)值給出。輸入方式按程序規(guī)定進(jìn)行。通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。8第二部分三角鎖的精度估算一、單三角形中推算邊長(zhǎng)的中誤差設(shè)為三角形的起算邊，為推算邊，A、B、C為角度觀測(cè)值，于是由推算的函數(shù)式為：通過公式推算知道，等于角A的正弦對(duì)數(shù)每秒表差（以對(duì)數(shù)第6位為單位）。

若令

則可以推出

第二部分三角鎖的精度估算一、單三角形中推算邊長(zhǎng)的中誤差設(shè)9如果已知的不是測(cè)角中誤差，而是方向中誤差，則利用關(guān)系代入上式可得或

由推導(dǎo)公式可知與三角形的內(nèi)角有關(guān)，亦即與三角形的形狀有關(guān)。通常將稱為三角形的圖形權(quán)倒數(shù)，也就是以方向的權(quán)為單位權(quán)，三角形推算邊（一般是指精度最差的邊，即最弱邊）邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)的權(quán)倒數(shù)稱為三角形的圖形權(quán)倒數(shù)。關(guān)于圖形權(quán)倒數(shù)的這個(gè)定義不僅適用于三角形，也適用于下面講述的大地四邊形等其他圖形。為了便于計(jì)算圖形權(quán)倒數(shù)，已將列成數(shù)表，以角度A、B為引數(shù)查取。如果已知的不是測(cè)角中誤差，而是方向中誤差，則10二、三角形的最有利形狀

以上導(dǎo)出了三角形的圖形權(quán)倒數(shù)公式，并說(shuō)明了它同三角形的形狀有關(guān)。由此，我們自然會(huì)提出什么樣的三角形圖形權(quán)倒數(shù)最小，亦即推算出的邊長(zhǎng)精度最高的問題。實(shí)際布網(wǎng)時(shí)不能只從精度考慮，而必須顧及各方面的條件。若按正三角形布網(wǎng)，則不僅點(diǎn)位密度均勻而且正三角形的值（=4.0）與上述最有利圖形（=4.0）也比較接近。因此從兩個(gè)方面的要求綜合考慮，可以認(rèn)為正三角形是布網(wǎng)的理想圖形。二、三角形的最有利形狀以上導(dǎo)出了三角形的圖形權(quán)倒數(shù)11三、三角形鎖中推算邊長(zhǎng)的中誤差設(shè)三角形單鎖是按角度觀測(cè)和按角度平差的，也就是所有等角都是等精度獨(dú)立觀測(cè)值并按此參加平差?，F(xiàn)在導(dǎo)出計(jì)算的邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)中誤差的公式。

即三、三角形鎖中推算邊長(zhǎng)的中誤差設(shè)三角形單鎖是按角12四、大地四邊形和中點(diǎn)多邊形推算邊長(zhǎng)的中誤差

在兩相鄰三角形內(nèi)加測(cè)一條對(duì)角線所構(gòu)成的圖形，稱為大地四邊形，如圖所示。

這種圖形在工程控制網(wǎng)中應(yīng)用頗廣，例如橋梁三角網(wǎng)，通常就采用一個(gè)或幾個(gè)大地四邊形構(gòu)成。下圖所示的圖形為中點(diǎn)多邊形。大地四邊形和中點(diǎn)多邊形都是構(gòu)成三角網(wǎng)的主要圖形。四、大地四邊形和中點(diǎn)多邊形推算邊長(zhǎng)的中誤差在兩相鄰13對(duì)于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權(quán)倒數(shù)公式。一種是圖（a）所示的矩形大地四邊形和下圖（c）所示的菱形大地四邊形（由兩個(gè)等邊三角形加測(cè)對(duì)角線所構(gòu)成的圖形）。按方向平差時(shí)它們的圖形權(quán)倒數(shù)如下：矩形大地四邊形

菱形大地四邊形

式中

雖然對(duì)于任意角度的大地四邊形計(jì)算圖形權(quán)倒數(shù)的普遍公式不易求得，但是在實(shí)際作業(yè)中所選出的大地四邊形通?？偸墙橛诰匦闻c菱形大地四邊形之間，因此可近似地取上述兩式中系數(shù)的平均值，作為計(jì)算任意角度大地四邊形圖形權(quán)倒數(shù)的系數(shù)，即:對(duì)于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權(quán)倒數(shù)公14對(duì)于中點(diǎn)多邊形計(jì)算權(quán)倒數(shù)時(shí)常采用近似公式：五、混合鎖段圖形權(quán)倒數(shù)的計(jì)算

實(shí)際作業(yè)時(shí)，由于受地形條件限制等原因，所選定的三角鎖段常常是由幾種圖形混合組成的三角鎖（見圖）。

對(duì)于中點(diǎn)多邊形計(jì)算權(quán)倒數(shù)時(shí)常采用近似公式：五、混合鎖段圖形權(quán)15設(shè)單位權(quán)中誤差應(yīng)為方向中誤差

于是最弱邊邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)的中誤差為：六、兩端有起算邊的三角形單鎖最弱傳距邊邊長(zhǎng)的中誤差

建立控制網(wǎng)時(shí)，為了提高精度，常在三角鎖的兩端布設(shè)起算邊。當(dāng)鎖兩端有起算邊和時(shí)，最弱傳距邊大體上在鎖的中央，即。如圖

設(shè)單位權(quán)中誤差應(yīng)為方向中誤差于是最弱邊邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)的中誤差為：16第三部分導(dǎo)線網(wǎng)的精度估算

一、等邊直伸導(dǎo)線的精度分析

在城市及工測(cè)導(dǎo)線網(wǎng)中．單一導(dǎo)線是一種較常見的網(wǎng)形，其中又以等邊直伸導(dǎo)線為最簡(jiǎn)單的典型情況。各種測(cè)量規(guī)范中有關(guān)導(dǎo)線測(cè)量的技術(shù)要求都是以對(duì)這種典型情況的精度分析為基礎(chǔ)而制定的。為此下面將重點(diǎn)介紹附合導(dǎo)線的最弱點(diǎn)點(diǎn)位中誤差和平差后方位角的中誤差。本節(jié)中采用下列符號(hào)：表示點(diǎn)位的橫向中誤差；

表示點(diǎn)位的縱向中誤差；

表示總點(diǎn)位中誤差；

表示導(dǎo)線端點(diǎn)的下標(biāo)；

表示導(dǎo)線中點(diǎn)的下標(biāo)；

表示起始數(shù)據(jù)誤差影響的下標(biāo)；表示測(cè)量誤差影響的下標(biāo)。

第三部分導(dǎo)線網(wǎng)的精度估算一、等邊直伸導(dǎo)線的精度分析171.附合導(dǎo)線經(jīng)角度閉合差分配后的端點(diǎn)中誤差導(dǎo)線的端點(diǎn)中誤差為由上述公式可以看出，對(duì)于等邊直伸附合導(dǎo)線而言，因測(cè)量誤差而產(chǎn)生的端點(diǎn)縱向誤差完全是由量邊的誤差而引起的；端點(diǎn)的橫向誤差完全是由測(cè)角的誤差引起的。這個(gè)結(jié)論從圖形來(lái)看是顯然的，然而，如果導(dǎo)線不是直伸的，則情況就不同了。2.附合導(dǎo)線平差后的各邊方位角中誤差

3.附合導(dǎo)線平差后中點(diǎn)的縱向中誤差4.附合導(dǎo)線平差后中點(diǎn)的橫向中誤差

5.起始數(shù)據(jù)誤差對(duì)附合導(dǎo)線平差后中點(diǎn)點(diǎn)位的影響

6.附合導(dǎo)線端點(diǎn)縱橫向中誤差與中點(diǎn)縱橫向中誤差的比例關(guān)系

1.附合導(dǎo)線經(jīng)角度閉合差分配后的端點(diǎn)中誤差導(dǎo)線的端點(diǎn)中誤差為18

由測(cè)量學(xué)中的有關(guān)知識(shí)和以上的分析可知，直伸導(dǎo)線的主要優(yōu)點(diǎn)是：①導(dǎo)線的縱向誤差完全是由測(cè)距誤差產(chǎn)生的；而橫向誤差完全是由測(cè)角誤差產(chǎn)生的。因此在直伸導(dǎo)線平差時(shí)縱向閉合差只分配在導(dǎo)線的邊長(zhǎng)改正數(shù)中，而橫向閉合差則只分配在角度改正數(shù)中；即使測(cè)角和測(cè)距的權(quán)定得不太正確，也不會(huì)影響導(dǎo)線閉合差的合理分配。但對(duì)于曲折導(dǎo)線，情況就不是這樣，它要求測(cè)角和測(cè)邊的權(quán)定得比較正確才行，然而實(shí)際上這是難以做到的。②直伸導(dǎo)線形狀簡(jiǎn)單，便于理論研究。本節(jié)中導(dǎo)出的有關(guān)點(diǎn)位精度關(guān)系的一些公式，都是針對(duì)等邊直伸導(dǎo)線而言的，如果不是直伸導(dǎo)線，上述公式都只能是近似的。直伸導(dǎo)線也有不足之處。模擬計(jì)算表明：直伸導(dǎo)線的點(diǎn)位精度并不是最高的，有人提出，精度較高的導(dǎo)線是一種轉(zhuǎn)折角為90°和270°交替出現(xiàn)的狀如鋸齒形的導(dǎo)線。有關(guān)規(guī)范上之所以要求布設(shè)直伸導(dǎo)線，主要是考慮它所具有的上述優(yōu)點(diǎn)，然而實(shí)用上很難布成完全直伸的導(dǎo)線。于是有關(guān)規(guī)范只能規(guī)定一個(gè)限度，在此容許范圍內(nèi)的導(dǎo)線可以認(rèn)為是直伸的。由測(cè)量學(xué)中的有關(guān)知識(shí)和以上的分析可知，直伸導(dǎo)線19二、導(dǎo)線網(wǎng)的精度估算

以等級(jí)導(dǎo)線作為測(cè)區(qū)的基本控制時(shí)，經(jīng)常需要布設(shè)成具有多個(gè)結(jié)點(diǎn)和多個(gè)閉合環(huán)的導(dǎo)線網(wǎng)，尤其在城市和工程建設(shè)地區(qū)更是如此，在設(shè)計(jì)這種導(dǎo)線網(wǎng)時(shí)，需要估算網(wǎng)中兩結(jié)點(diǎn)和最弱點(diǎn)位精度，以便對(duì)設(shè)計(jì)的方案進(jìn)行修改。至于估算的方法，在過去采用的“等權(quán)代替法”是一種近似的方法，而且有一定的局限性。但是由此法導(dǎo)出的一些結(jié)論仍可作為導(dǎo)線網(wǎng)設(shè)計(jì)的參考。如今在實(shí)際上采用的主要是電算的方法，如前所述。

下面介紹等權(quán)代替法。二、導(dǎo)線網(wǎng)的精度估算以等級(jí)導(dǎo)線作為測(cè)區(qū)的基本20測(cè)量學(xué)中已經(jīng)導(dǎo)出計(jì)算支導(dǎo)線終點(diǎn)點(diǎn)位誤差的公式：

上式略去了起始數(shù)據(jù)誤差的影響，其中。由此式可見若不考慮起始數(shù)據(jù)誤差，則在一定測(cè)量精度和邊長(zhǎng)的情況下，支導(dǎo)線終點(diǎn)點(diǎn)位誤差與導(dǎo)線全長(zhǎng)有關(guān)。

為了估計(jì)導(dǎo)線網(wǎng)中任意點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差，需設(shè)法將網(wǎng)化成單一導(dǎo)線，然后按加權(quán)平均的原理計(jì)算待估點(diǎn)的權(quán)，再設(shè)法求出單位權(quán)中誤差，最后即可求出待估點(diǎn)的中誤差。此處公式推導(dǎo)省略。

測(cè)量學(xué)中已經(jīng)導(dǎo)出計(jì)算支導(dǎo)線終點(diǎn)點(diǎn)位誤差的公式：上式略去了起21昆明冶金高等?？茖W(xué)校測(cè)繪學(xué)院放映結(jié)束，謝謝！第四講平面控制網(wǎng)的精度估算昆明冶金高等專科學(xué)校測(cè)繪學(xué)院放映結(jié)束，謝謝！第四講平面控22昆明冶金高等專科學(xué)校測(cè)繪學(xué)院第一部分精度估算的目的和方法第二部分三角鎖的精度估算第三部分導(dǎo)線網(wǎng)的精度估算第四講平面控制網(wǎng)的精度估算昆明冶金高等?？茖W(xué)校測(cè)繪學(xué)院第一部分精度估算的目的和方法第23第一部分精度估算的目的和方法

控制測(cè)量工作的第一階段就是控制網(wǎng)的設(shè)計(jì)階段。論述控制網(wǎng)的精度是否能滿足需要是技術(shù)設(shè)計(jì)報(bào)告的主要內(nèi)容之一。雖然對(duì)于評(píng)定控制網(wǎng)的優(yōu)劣、費(fèi)用的高低也是一項(xiàng)重要的指標(biāo)，但是，通常首先考慮的是精度，只有在精度指標(biāo)滿足要求的情況下，才考慮選擇費(fèi)用較低廉的布設(shè)方案。本節(jié)著重介紹估算三角鎖邊長(zhǎng)精度和導(dǎo)線網(wǎng)精度的方法。近20年來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，以近代平差理論為基礎(chǔ)的控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論獲得了迅速地發(fā)展。例如，僅在表達(dá)控制網(wǎng)質(zhì)量的指標(biāo)方面，無(wú)論在廣度和深度上，均非過去所能比。第一部分精度估算的目的和方法控制測(cè)量工作的第一階段24

精度估算的目的是推求控制網(wǎng)中邊長(zhǎng)、方位角或點(diǎn)位坐標(biāo)等的中誤差，它們都是觀測(cè)量平差值的函數(shù)，統(tǒng)稱為推算元素。估算的方法有兩種。一、公式估算法

此法是針對(duì)某一類網(wǎng)形導(dǎo)出計(jì)算某種推算元素（例如最弱邊長(zhǎng)中誤差）的普遍公式。由于這種推算過程通常相當(dāng)復(fù)雜，需經(jīng)過許多簡(jiǎn)化才能得出有價(jià)值的實(shí)用公式，所以得出的結(jié)果都是近似的。而對(duì)另外一些推算元素，則難以得出有實(shí)用意義的公式。公式估算法的好處是，不僅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表達(dá)出各主要因素對(duì)最后精度的影響，從而為網(wǎng)的設(shè)計(jì)提供有用的參考。推導(dǎo)估算公式的方法以最小二乘法中條件分組平差的精度計(jì)算公式為依據(jù)，現(xiàn)列出公式如下。精度估算的目的是推求控制網(wǎng)中邊長(zhǎng)、方位角或點(diǎn)位25設(shè)控制網(wǎng)滿足下列兩組條件方程式

（Ⅰ）

（Ⅱ）

設(shè)控制網(wǎng)滿足下列兩組條件方程式26推算元素是觀測(cè)元素平差值的函數(shù)，其一般形式為式中，為觀測(cè)值，為其權(quán)，為其相應(yīng)的改正數(shù)。實(shí)際上的數(shù)值很小，可將上式按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，并舍去二次以上各項(xiàng)，得到其線性式：式中，，…，推算元素是觀測(cè)元素平差值的函數(shù)，其一般形式為27根據(jù)兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進(jìn)行平差，求得第一次改正后的觀測(cè)值，然后改化第二組條件方程式。設(shè)改化后的第二組條件方程式為：則的權(quán)倒數(shù)為如果平差不是按克呂格分組平差法進(jìn)行的，即全部條件都是第一組，沒有第二組條件，則在計(jì)算權(quán)倒數(shù)時(shí)應(yīng)將上式的后兩項(xiàng)去掉。根據(jù)兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進(jìn)行平差，求得第一次改28的中誤差為式中，為觀測(cè)值單位權(quán)中誤差。二、程序估算法

此法根據(jù)控制網(wǎng)略圖，利用已有程序在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算過程中，使程序僅針對(duì)所需的推算元素計(jì)算精度并輸出供使用。的中誤差為式中，為觀測(cè)值單位權(quán)中誤差。二、程序估算法29

通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。設(shè)待求推算元素的中誤差、權(quán)（或權(quán)系數(shù)）分別為，。后者與網(wǎng)形和邊角觀測(cè)值權(quán)的比例有關(guān)（對(duì)邊角網(wǎng)而言），不具有隨機(jī)性。至于單位權(quán)中誤差，對(duì)驗(yàn)后網(wǎng)平差來(lái)說(shuō)，是由觀測(cè)值改正數(shù)求出的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估值，具有隨機(jī)性。但對(duì)于設(shè)計(jì)的控制網(wǎng)來(lái)說(shuō)，用于網(wǎng)的精度估算，可取有關(guān)規(guī)范規(guī)定的觀測(cè)中誤差或經(jīng)驗(yàn)值。這時(shí)需要計(jì)算的主要是或，所用程序最好具有精度估算功能。否則，應(yīng)加適當(dāng)修改，以使其自動(dòng)跳過用觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算的程序段，而直接由用戶將指定值賦給

。如此計(jì)算出的即為所需結(jié)果。在這種情況下，運(yùn)行程序開始時(shí)應(yīng)輸入由網(wǎng)圖量取的方向和邊長(zhǎng)作為觀測(cè)值，各觀測(cè)值的精度也應(yīng)按設(shè)計(jì)值給出。輸入方式按程序規(guī)定進(jìn)行。通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。30第二部分三角鎖的精度估算一、單三角形中推算邊長(zhǎng)的中誤差設(shè)為三角形的起算邊，為推算邊，A、B、C為角度觀測(cè)值，于是由推算的函數(shù)式為：通過公式推算知道，等于角A的正弦對(duì)數(shù)每秒表差（以對(duì)數(shù)第6位為單位）。

若令

則可以推出

第二部分三角鎖的精度估算一、單三角形中推算邊長(zhǎng)的中誤差設(shè)31如果已知的不是測(cè)角中誤差，而是方向中誤差，則利用關(guān)系代入上式可得或

由推導(dǎo)公式可知與三角形的內(nèi)角有關(guān)，亦即與三角形的形狀有關(guān)。通常將稱為三角形的圖形權(quán)倒數(shù)，也就是以方向的權(quán)為單位權(quán)，三角形推算邊（一般是指精度最差的邊，即最弱邊）邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)的權(quán)倒數(shù)稱為三角形的圖形權(quán)倒數(shù)。關(guān)于圖形權(quán)倒數(shù)的這個(gè)定義不僅適用于三角形，也適用于下面講述的大地四邊形等其他圖形。為了便于計(jì)算圖形權(quán)倒數(shù)，已將列成數(shù)表，以角度A、B為引數(shù)查取。如果已知的不是測(cè)角中誤差，而是方向中誤差，則32二、三角形的最有利形狀

以上導(dǎo)出了三角形的圖形權(quán)倒數(shù)公式，并說(shuō)明了它同三角形的形狀有關(guān)。由此，我們自然會(huì)提出什么樣的三角形圖形權(quán)倒數(shù)最小，亦即推算出的邊長(zhǎng)精度最高的問題。實(shí)際布網(wǎng)時(shí)不能只從精度考慮，而必須顧及各方面的條件。若按正三角形布網(wǎng)，則不僅點(diǎn)位密度均勻而且正三角形的值（=4.0）與上述最有利圖形（=4.0）也比較接近。因此從兩個(gè)方面的要求綜合考慮，可以認(rèn)為正三角形是布網(wǎng)的理想圖形。二、三角形的最有利形狀以上導(dǎo)出了三角形的圖形權(quán)倒數(shù)33三、三角形鎖中推算邊長(zhǎng)的中誤差設(shè)三角形單鎖是按角度觀測(cè)和按角度平差的，也就是所有等角都是等精度獨(dú)立觀測(cè)值并按此參加平差。現(xiàn)在導(dǎo)出計(jì)算的邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)中誤差的公式。

即三、三角形鎖中推算邊長(zhǎng)的中誤差設(shè)三角形單鎖是按角34四、大地四邊形和中點(diǎn)多邊形推算邊長(zhǎng)的中誤差

在兩相鄰三角形內(nèi)加測(cè)一條對(duì)角線所構(gòu)成的圖形，稱為大地四邊形，如圖所示。

這種圖形在工程控制網(wǎng)中應(yīng)用頗廣，例如橋梁三角網(wǎng)，通常就采用一個(gè)或幾個(gè)大地四邊形構(gòu)成。下圖所示的圖形為中點(diǎn)多邊形。大地四邊形和中點(diǎn)多邊形都是構(gòu)成三角網(wǎng)的主要圖形。四、大地四邊形和中點(diǎn)多邊形推算邊長(zhǎng)的中誤差在兩相鄰35對(duì)于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權(quán)倒數(shù)公式。一種是圖（a）所示的矩形大地四邊形和下圖（c）所示的菱形大地四邊形（由兩個(gè)等邊三角形加測(cè)對(duì)角線所構(gòu)成的圖形）。按方向平差時(shí)它們的圖形權(quán)倒數(shù)如下：矩形大地四邊形

菱形大地四邊形

式中

雖然對(duì)于任意角度的大地四邊形計(jì)算圖形權(quán)倒數(shù)的普遍公式不易求得，但是在實(shí)際作業(yè)中所選出的大地四邊形通常總是介于矩形與菱形大地四邊形之間，因此可近似地取上述兩式中系數(shù)的平均值，作為計(jì)算任意角度大地四邊形圖形權(quán)倒數(shù)的系數(shù)，即:對(duì)于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權(quán)倒數(shù)公36對(duì)于中點(diǎn)多邊形計(jì)算權(quán)倒數(shù)時(shí)常采用近似公式：五、混合鎖段圖形權(quán)倒數(shù)的計(jì)算

實(shí)際作業(yè)時(shí)，由于受地形條件限制等原因，所選定的三角鎖段常常是由幾種圖形混合組成的三角鎖（見圖）。

對(duì)于中點(diǎn)多邊形計(jì)算權(quán)倒數(shù)時(shí)常采用近似公式：五、混合鎖段圖形權(quán)37設(shè)單位權(quán)中誤差應(yīng)為方向中誤差

于是最弱邊邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)的中誤差為：六、兩端有起算邊的三角形單鎖最弱傳距邊邊長(zhǎng)的中誤差

建立控制網(wǎng)時(shí)，為了提高精度，常在三角鎖的兩端布設(shè)起算邊。當(dāng)鎖兩端有起算邊和時(shí)，最弱傳距邊大體上在鎖的中央，即。如圖

設(shè)單位權(quán)中誤差應(yīng)為方向中誤差于是最弱邊邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)的中誤差為：38第三部分導(dǎo)線網(wǎng)的精度估算

一、等邊直伸導(dǎo)線的精度分析

在城市及工測(cè)導(dǎo)線網(wǎng)中．單一導(dǎo)線是一種較常見的網(wǎng)形，其中又以等邊直伸導(dǎo)線為最簡(jiǎn)單的典型情況。各種測(cè)量規(guī)范中有關(guān)導(dǎo)線測(cè)量的技術(shù)要求都是以對(duì)這種典型情況的精度分析為基礎(chǔ)而制定的。為此下面將重點(diǎn)介紹附合導(dǎo)線的最弱點(diǎn)點(diǎn)位中誤差和平差后方位角的中誤差。本節(jié)中采用下列符號(hào)：表示點(diǎn)位的橫向中誤差；

表示點(diǎn)位的縱向中誤差；

表示總點(diǎn)位中誤差；

表示導(dǎo)線端點(diǎn)的下標(biāo)；

表示導(dǎo)線中點(diǎn)的下標(biāo)；

表示起始數(shù)據(jù)誤差影響的下標(biāo)；表示測(cè)量誤差影響的下標(biāo)。

第三部分導(dǎo)線網(wǎng)的精度估算一、等邊直伸導(dǎo)線的精度分析391.附合導(dǎo)線經(jīng)角度閉合差分配后的端點(diǎn)中誤差導(dǎo)線的端點(diǎn)中誤差為由上述公式可以看出，對(duì)于等邊直伸附合導(dǎo)線而言，因測(cè)量誤差而產(chǎn)生的端點(diǎn)縱向誤差完全是由量邊的誤差而引起的；端點(diǎn)的橫向誤差完全是由測(cè)角的誤差引起的。這個(gè)結(jié)論從圖形來(lái)看是顯然的，然而，如果導(dǎo)線不是直伸的，則情況就不同了。2.附合導(dǎo)線平差后的各邊方位角中誤差

3.附合導(dǎo)線平差后中點(diǎn)的縱向中誤差4.附合導(dǎo)線平差后中點(diǎn)的橫向中誤差

5.起始數(shù)據(jù)誤差對(duì)附合導(dǎo)線平差后中點(diǎn)點(diǎn)位的影響

6.附合導(dǎo)線端點(diǎn)縱橫向中誤差與中點(diǎn)縱橫向中誤差的比例關(guān)系

1.附合導(dǎo)線經(jīng)角度閉合差分配后的端點(diǎn)中誤差導(dǎo)線的端點(diǎn)中誤差為40

由測(cè)量學(xué)中的有關(guān)知識(shí)和以上的分析可知，直伸導(dǎo)線的主要優(yōu)點(diǎn)是：①導(dǎo)