高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》單元檢測(cè)

高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》單元檢測(cè)一、選擇題(本大題共8個(gè)小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,k2)＝1與雙曲線eq\f(x2,k)－eq\f(y2,3)＝1有相同的焦點(diǎn)，則k應(yīng)滿足的條件是()A．k>3B．2<k<3C．k＝2D．0<k<23．已知點(diǎn)P是拋物線y2＝－8x上一點(diǎn)，設(shè)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離是d1，到直線x＋y－10＝0的距離是d2，則d1＋d2的最小值是()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．6eq\r(2)D．34．已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A(－3,0)，并且與定圓B：(x－3)2＋y2＝16外切，則動(dòng)圓的圓心P的軌跡是()A．線段B．雙曲線C．圓D．橢圓5．與拋物線x2＝4y關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(1,0)B．(eq\f(1,16)，0)C．(－1,0)D．(0，－eq\f(1,16))6．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1D.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝17．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率e＝eq\f(\r(6),2)，F(xiàn)1、F2分別為它的左、右焦點(diǎn)，若過(guò)F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項(xiàng)，則|AB|等于()A．8eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2eq\r(2)D．88．設(shè)a>1，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a＋12)＝1的離心率e的取值范圍是()A．(eq\r(2)，2) B．(eq\r(2)，eq\r(5))C．(2,5) D．(2，eq\r(5))二、填空題(本大題共6個(gè)小題，把正確答案填在題中橫線上)9.已知F1、F2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|F2A|＝|AB|＝6，則|F2B|＝________.10.動(dòng)直線y＝a與拋物線y2＝eq\f(1,2)x相交于A點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,3a)，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_________．11．已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若△FAB為直角三角形，則該雙曲線的離心率是________．12．已知過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，|AF|＝2，則|BF|＝____.13．直線y＝kx＋1(k∈R)與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍為_(kāi)_______．14．已知長(zhǎng)方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的雙曲線的離心率為_(kāi)_______．三、解答題(本大題共6個(gè)大題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)15．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，并且這條準(zhǔn)線與雙曲線的兩焦點(diǎn)的連線垂直，拋物線與雙曲線交點(diǎn)為P(eq\f(3,2)，eq\r(6))，求拋物線方程和雙曲線方程．16．設(shè)F1、F2為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)．已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，求eq\f(|PF1|,|PF2|)的值．17．已知拋物線y2＝4x，橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m)＝1，它們有共同的焦點(diǎn)F2，并且相交于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，試求：(1)m的值；(2)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)△PF1F218．設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求雙曲線C的離心率的取值范圍．19．如圖是拋物線形拱橋，設(shè)水面寬|AB|＝18m，拱頂離水面的距離為8m，一貨船在水面上的部分的橫斷面為一矩形CDEF.若矩形的長(zhǎng)|CD|＝9m，那么矩形的高|DE|不能超過(guò)多少m才能使船通過(guò)拱橋？20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，eq\r(2))且斜率為k的直線l與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量eq\o(OP,\s\up16(→))＋eq\o(OQ,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》單元檢測(cè)一.選擇題題號(hào)12345678答案CCCBCAAB二.填空題9.810.y2＝4x11.eq\r(6)12.213.m≥1且m≠5.14.2三.解答題15.[解析]依題意，設(shè)拋物線方程為y2＝2px，(p>0)，∵點(diǎn)(eq\f(3,2)，eq\r(6))在拋物線上，∴6＝2p×eq\f(3,2)，∴p＝2，∴所求拋物線方程為y2＝4x.∵雙曲線左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又點(diǎn)(eq\f(3,2)，eq\r(6))在雙曲線上，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,\f(9,4a2)－\f(6,b2)＝1.))解得a2＝eq\f(1,4)，b2＝eq\f(3,4).∴所求雙曲線方程為4x2－eq\f(4,3)y2＝1.16.[解析]解法一：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq\r(5)，根據(jù)直角的不同位置，分兩種情況：若∠PF2F1|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2|PF1|2＝(6－|PF1|2)＋20，解得|PF1|＝eq\f(14,3)，|PF2|＝eq\f(4,3)，故eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(7,2)；若∠F1PF2為直角，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，得|PF1|＝4，|PF2|＝2，故eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2.解法二：由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)P(x，y)(x>0，y>0)，則由已知可得F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)．根據(jù)直角的不同位置，分兩種情況：若∠PF2F1為直角，則P(eq\r(5)，eq\f(4,3))，故eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(7,2)；若∠F1PF2為直角，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，,\f(y,x＋\r(5))·\f(y,x－\r(5))＝－1.))解得x＝eq\f(3\r(5),5)，y＝eq\f(4\r(5),5)，即P(eq\f(3\r(5),5)，eq\f(4\r(5),5))，于是|PF1|＝4，|PF2|＝2，故eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2.17.[解析](1)∵拋物線方程為y2＝4x，∴2p＝4，∴eq\f(p,2)＝1，∴拋物線焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(1,0)，它也是橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓中，c＝1，a2＝9＝b2＋c2，∴9＝m＋1，∴m＝8.(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\r(6)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\r(6).))∴點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\r(6))、(eq\f(3,2)，－eq\r(6))．(3)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)eq\r(6)就是△PF1F2的邊F1F2上的高，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|yp|＝eq\f(1,2)×2×eq\r(6)＝eq\r(6).18.[解析]由C與l相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，故知方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))有兩組不同的實(shí)根，消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a21－a2>0，))解得0<a<eq\r(2)，且a≠1.雙曲線的離心率e＝eq\f(\r(1＋a2),a)＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，因?yàn)?<a<eq\r(2)且a≠1.所以e>eq\f(\r(6),2)，且e≠eq\r(2).即離心率e的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．19.[解析]如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)O且平行于AB的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．則B(9，－8)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)．∵點(diǎn)B在拋物線上，∴81＝－2p·(－8)，∴p＝eq\f(81,16)，∴拋物線的方程為x2＝－eq\f(81,8)y，∴當(dāng)x＝eq\f(9,2)時(shí)，y＝－2，∴|DE|＝6，∴當(dāng)矩形的高|DE|不超過(guò)6m時(shí)，才能使船通過(guò)拱橋．20.[解析](1)由已知條件，直線l的方程為y＝kx＋eq\r(2)，代入橢圓方程整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))x2＋2eq\r(2)kx＋1＝0.∵直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴Δ＝8k2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))＝4k2－2>0，解得k<－eq\f(\r(2),2)或k>eq\f(\r(2),2).即k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).(2)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則eq\o(OP,\s\up16(→))＋eq\o(OQ,\s\up16(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)，又x1＋x2＝－eq\f(4\r(2)k,1＋2k2).又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),1＋2k2).又A(eq\r(2)，0)，B(0,