2022年河南省商丘市虞城縣中考數(shù)學(xué)二模試卷-含答案

2022年河南省商丘市虞城縣中考數(shù)學(xué)二模試卷題號一二三總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上評卷人得分一、單選題1．下列四個數(shù)中，絕對值最大的是（

）A．1 B． C．0 D．2．據(jù)報道，中國2021年國內(nèi)生產(chǎn)總值（CDP）增長，經(jīng)濟(jì)總量114.4萬億元，按年平均匯率折算達(dá)17.7萬億美元，穩(wěn)居世界第二，占全球經(jīng)濟(jì)比重預(yù)計超過，其中數(shù)據(jù)“114.4萬億”用科學(xué)記數(shù)法可表示為，則原數(shù)中“0”的個數(shù)是（

）A．11 B．12 C．13 D．143．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．5．下列性質(zhì)中，平行四邊形，矩形，菱形，正方形共有的性質(zhì)是（

）A．對角線相等 B．對角線互相垂直C．對角線互相平分 D．對角線平分內(nèi)角6．一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，它的俯視圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個數(shù)，則該幾何體的左視圖為（

）A． B． C． D．7．若方程x2?cx+4=0有兩個不相等的實數(shù)根，則c的值不可能是（

）A．10 B．6 C．3 D．8．如圖是一次數(shù)學(xué)活動課上制作的兩個轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被平均分為三部分，上面分別寫著9，8，5三個數(shù)字，乙轉(zhuǎn)盤被平均分為四部分，上面分別寫著1，6，9，8四個數(shù)字，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，停止轉(zhuǎn)動后兩個轉(zhuǎn)盤上指針?biāo)傅臄?shù)字恰好都能被3整除的概率是（）．A． B． C． D．9．如圖，中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，勻速沿向點(diǎn)運(yùn)動，連接，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動距離為，的長為，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖所示，則當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，的長為（

）A． B． C． D．10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)，，將菱形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，得到菱形，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．評卷人得分二、填空題11．從調(diào)查方式上看，某地發(fā)現(xiàn)新冠疫情后，當(dāng)?shù)匦枰魅窈怂釞z測屬于_______________調(diào)查．12．已知，若是最簡二次根式，請寫出一個符合條件的n的正整數(shù)值_______________．13．如圖，中，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，作射線，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D．交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為_______________．14．如圖1，將半徑為2的圓形紙片沿圓的兩條互相垂直的直徑、兩次折疊后得到如圖2所示的扇形，然后再沿的中垂線將扇形剪成左右兩部分，右邊部分經(jīng)過兩次展開并壓平后所得的圖形的周長為_______________．15．如圖，矩形中．，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)勻速沿運(yùn)動，連接，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接，，當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對角線上時不包括對角線端點(diǎn)，點(diǎn)走過的路徑長為______．評卷人得分三、解答題16．計算或化簡：（1）；

（2）．17．為推進(jìn)“五育并舉”，某校八年級開展了一次書法比賽，每班選出25人的作品交校團(tuán)委，由校團(tuán)委組織評委進(jìn)行評定，成績分為A，B，C，D四個等級，其中A等級得分為5分，B等級得分為4分，C等級得分為3分，D等級得分為2分．比賽結(jié)束后，小明將一班和二班的成績整理并繪制成如下兩個尚不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)上述信息解答問題：(1)將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整：(2)填表：平均數(shù)/分中位數(shù)/分眾數(shù)/分一班成績ab4二班成績3．763c則_______________，_______________，_______________；(3)請從兩個方面對這次比賽成績的結(jié)果進(jìn)行分析．18．2022年，中國舉辦了一個史無前例的冬奧會，民眾對冰上運(yùn)動的熱情高漲．某滑雪場設(shè)計了一條滑雪道，該滑雪道由直道和停止區(qū)兩部分組成．如圖所示，為平臺部分，為該滑道的直道部分，其與水平滑道之間均可視為平滑相連，滑道的坡角，長為120米，滑雪道的停止區(qū)長為80米．為增加安全性，滑雪場修改方案，將滑道坡度減緩，新設(shè)計另一滑道，其坡角．問：新設(shè)計的滑道停止區(qū)的長度為多少米？（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，）19．如圖，一次函數(shù)交反比例函數(shù)于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，的面積為3．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)D為y軸上一個動點(diǎn)，當(dāng)有最小值時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．20．如圖，以為直徑的中，為弦，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A的切線交延長線于點(diǎn)D，交于點(diǎn)Q，連接，(1)求證：；(2)若，，求的長．21．鐵棍山藥上有像鐵銹一樣的痕跡．故得名鐵棍山藥．某網(wǎng)店購進(jìn)鐵根山藥若干箱．物價部門規(guī)定其銷售單價不高于元箱，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷件單價定為元箱時，每日銷售箱；如調(diào)整價格，每降價元箱，每日可多銷售箱．(1)已知某天售出鐵棍山藥箱，則當(dāng)天的銷售單價為______元箱．(2)該網(wǎng)店現(xiàn)有員工名．每天支付員工的工資為每人每天元，每天平均支付運(yùn)費(fèi)及其他費(fèi)用元，當(dāng)某天的銷售價為元箱時，收支恰好平衡．①鐵棍山藥的進(jìn)價；②若網(wǎng)店每天的純利潤收入支出全部用來償還一筆元的貸款，則至少需多少天才能還清貸款？22．思考題：如圖，正方形中，點(diǎn)P為上一個動點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M，的延長線交的延長線于點(diǎn)Q，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)F，連接，求證：≌．在分析過程中，小明找不到解題思路，便和同學(xué)們一起討論，以下是討論過程：小紅：可以得出；理由：連接，點(diǎn)M和點(diǎn)B關(guān)于對稱，∴，又∵，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①①小亮：是等腰直角三角形；理由：由小紅的結(jié)論得，∴，，∴；∵，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②②∴是等腰直角三角形；小明：我好像知道該怎么解決問題了．請仔細(xì)閱讀討論過程，完成下述任務(wù)．任務(wù)：(1)小紅的討論中①的依據(jù)是_______________，小亮的討論中②的依據(jù)是_______________；(2)請幫小明證明≌；拓展研究：(3)若，連接，直接寫出的最小值．23．如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)(1)求拋物線解析式及A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)將拋物線向上平移3個單位長度，再向左平移個單位長度，若新拋物線的頂點(diǎn)在內(nèi)，求m的取值范圍；(3)點(diǎn)P為拋物線上一個動點(diǎn)，若，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案：1．D【解析】【分析】先比較每個數(shù)的絕對值，即可得出選項．【詳解】因為|1|=1，||=，|0|=0，|-2|=2，所以|-2|>|1|>||>|0|．故選：D．【點(diǎn)睛】考查了絕對值和有理數(shù)的大小比較，能正確求出絕對值是解此題的關(guān)鍵．2．A【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．【詳解】解：∵這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為1.144×1014，∴這個數(shù)是15位數(shù)，∴原數(shù)中“0”的個數(shù)為11，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，掌握10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1是解題的關(guān)鍵．3．B【解析】【分析】結(jié)合選項分別進(jìn)行合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方以及完全平方公式的運(yùn)算，選出正確答案．【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，該選項錯誤，不符合題意；B、，該選項正確，符合題意；C、，該選項錯誤，不符合題意；D、，該選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方以及完全平方公式，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．D【解析】【分析】先求出不等式組的解集,再表示出數(shù)軸即可解題.【詳解】解：解得：x＞1,x≥2,∴用數(shù)軸表示是故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的求解,屬于簡單題,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集是解題關(guān)鍵.5．C【解析】【分析】根據(jù)矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，平行四邊形具有的性質(zhì)，特殊平行四邊形都肯定具有，可判斷出正確選項．【詳解】∵平行四邊形的對角線互相平分，∴矩形，菱形，正方形的對角線也必然互相平分．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，熟練掌握并區(qū)分這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．D【解析】【分析】由已知條件可知，左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為2，3，3．據(jù)此可作出判斷．【詳解】解：從左面看所得到的圖形，．故選：D．【點(diǎn)睛】考查幾何體的三視圖的畫法，從正面看的圖形是主視圖，從左面看到的圖形是左視圖，從上面看到的圖形是俯視圖．7．C【解析】【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根得出Δ＞0，求出不等式的解集即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2-cx+4=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ=c2-4×1×4＞0，解得：c＞4或c＜-4，觀察四個選項，c的值不可能是3，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的根的判別式，一元二次方程

ax2+bx+c=0（a≠0）的根與根的判別式Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．上述結(jié)論反過來也成立．8．D【解析】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)樹狀圖的方法分析，即可得到答案．【詳解】畫樹狀圖如下：根據(jù)題意，共有12種等可能的結(jié)果，停止轉(zhuǎn)動后兩個轉(zhuǎn)盤上指針?biāo)傅臄?shù)字恰好都能被3整除的結(jié)果有2種∴同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，停止轉(zhuǎn)動后兩個轉(zhuǎn)盤上指針?biāo)傅臄?shù)字恰好都能被3整除的概率為：=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握樹狀圖的性質(zhì)，從而完成求解．9．D【解析】【分析】通過觀察圖可以得出，，，由勾股定理可以求出的值，從而得出，，當(dāng)為的中點(diǎn)時，由勾股定理求出長度．【詳解】解：因為點(diǎn)是從點(diǎn)出發(fā)的，為初始點(diǎn)，觀察圖象時，則，從向移動的過程中，是不斷增加的，而從向移動的過程中，是不斷減少的，因此轉(zhuǎn)折點(diǎn)為點(diǎn)，運(yùn)動到點(diǎn)時，即時，，此時，即，，，，，由勾股定理得：，解得：，，，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．10．B【解析】【分析】過點(diǎn)作軸，根據(jù)題意求得的長，進(jìn)而可得，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】解：過點(diǎn)作軸，如圖，四邊形是菱形，，是對角線，且在軸上，，將菱形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，，是等腰直角三角形在第四象限，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解直角三角形，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．11．全面【解析】【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的定義進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：從調(diào)查方式上看，某地發(fā)現(xiàn)新冠疫情后，當(dāng)?shù)匦枰魅窈怂釞z測屬于全面調(diào)查．故答案為：全面．【點(diǎn)睛】本題考查了全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的定義：全面調(diào)查就是對樣本整體全部調(diào)查；抽樣調(diào)查是對樣本的部分個體進(jìn)行調(diào)查．12．1【解析】【分析】根據(jù)根號下不含能開的盡的因式，根號下不含分母，是最簡二次根式，可得答案．【詳解】解：∵n＞0且是最簡二次根式，∴n=1，故答案為：1(答案不唯一)．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的定義是解題關(guān)鍵．13．65°##65度【解析】【分析】根據(jù)作圖先得出OC平分∠AOB，根據(jù)，得出，根據(jù)為的外角，得出，即可求出，根據(jù)，得出，即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖可知，OC平分∠AOB，∴，∵，，，為的外角，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的基本作圖，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意求出是解題的關(guān)鍵．14．【解析】【分析】根據(jù)沿OB的垂直平分線EF將扇形OAB剪成左右兩部分，可知∠OEF=90°，所以E是OB的中點(diǎn)，則OE=OB=OF，則∠EFO=30°，得出所對的圓周角∠FOG=60°，根據(jù)勾股定理求出直角邊FE=，所以FF′=2，從而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖3，∵EF是OB的垂直平分線，∴∠OEF=90°，OE=OB=OF，∴∠EFO=30°，∠EOF=60°，由勾股定理得：EF=，由折疊得：∠F′OF=120°，∴∠FOA=30°，∴∠FOG=60°，則右邊部分經(jīng)過兩次展開并壓平后所得的圖形的周長為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是折疊和扇形問題，考查了折疊的性質(zhì)和扇形的弧長公式，掌握扇形的弧長公式，熟知折疊前后的圖形是全等形，折痕就是圖形的對稱軸，對稱軸是對稱點(diǎn)連線的中垂線．15．或【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對角線上時存在兩種情況：如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，證明可得結(jié)論；如圖，點(diǎn)在上，連接，根據(jù)角的三角函數(shù)列式可得的長，從而計算結(jié)論．【詳解】解：如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，為的中點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，，，，，，，即點(diǎn)走過的路徑長為；如圖，點(diǎn)在上，連接，為的中點(diǎn)，且，AD=1，，，，由，，，，，，，此時點(diǎn)走過的路徑長為；綜上，點(diǎn)走過的路徑長為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵，并注意運(yùn)用分類討論的思想．16．（1）1；（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值、二次根式和零指數(shù)冪計算；（2）先將除法變?yōu)槌朔?，再將括號里面的分式分別乘以，再進(jìn)行化簡計算即可．【詳解】解：（1）=

=1（2）===【點(diǎn)睛】本題考查了實數(shù)的基本運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值和分式的化簡，難度不大，解題的關(guān)鍵是要牢記運(yùn)算規(guī)則，細(xì)心計算．17．(1)見解析(2)3.76；4；5(3)①從平均數(shù)看它們的成績相同，但從眾數(shù)方面來比較二班成績更好；②從B級以上（包括B級）的人數(shù)方面來比較，一班成績更好【解析】【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以求得一班C等級的學(xué)生數(shù)，從而可以解答本題；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以求得一班的平均數(shù)和中位數(shù)，以及二班的眾數(shù)；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以從兩方面比較一班和二班成績的情況．(1)解：一班C等級的學(xué)生有：25?6?12?5＝2，補(bǔ)全的條形統(tǒng)計圖如圖所示：(2)一班的平均數(shù)是：，將一班的學(xué)生成績從小到大進(jìn)行排序，排在第13的學(xué)習(xí)在B等級內(nèi)，故中位數(shù)是b=4，二班的學(xué)生成績在A等級學(xué)生人數(shù)最多，因此眾數(shù)c=5；故答案為：3.76；4；5．(3)①從平均數(shù)看它們的成績相同，但從眾數(shù)方面來比較二班成績更好；②從B級以上（包括B級）的人數(shù)方面來比較，一班成績更好．【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、眾數(shù)、中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．18．新設(shè)計的滑道停止區(qū)的長度約為42.4米．【解析】【分析】過點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為G，然后利用解直角三角形，求出，，再求出滑道停止區(qū)的長度即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為G，如圖：在直角△ACG中，，，∴，，∴；在直角△ADG中，，∵，∴，∴（米）答：新設(shè)計的滑道停止區(qū)的長度約為42.4米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，利用解直角三角形進(jìn)行計算．19．(1)反比例函數(shù)的解析式為(2)D點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義可以求出k的值；（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E，連接交y軸于點(diǎn)D，連接，則此時最小，求出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出直線EB的函數(shù)關(guān)系式，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．(1)∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C．的面積為3，∴，∵，∴，故反比例函數(shù)的解析式為；(2)如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E，連接交y軸于點(diǎn)D，連接，則此時最小由，解得，或∴∴設(shè)直線的解析式為，則，解得∴直線的解析式為∴時，，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，線段最短問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．20．(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，，結(jié)合可得結(jié)論；（2）連接，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，從而可求出結(jié)論．(1)∵為的切線，為的直徑∴，∴，∵，∴，∴．(2)連接∵為的直徑，∴，∴,∵，∴∵，，∴，∴．∵，，∴，∴∵，，∴，∴，即．∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解答本題的關(guān)鍵．21．(1)55(2)①40元/箱

②19天【解析】【分析】（1）根據(jù)每降價元箱，每日可多銷售箱可得出答案；（2）設(shè)鐵棍山藥的進(jìn)價是元，可得，及可解得答案；設(shè)鐵棍山藥的售價是元箱，每天的純利潤是元，可得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．(1)解：根據(jù)題意得：某天售出鐵棍山藥箱，則當(dāng)天的銷售單價為元，故答案為：；(2)解：設(shè)鐵棍山藥的進(jìn)價是元，根據(jù)題意得：，解得，答：鐵棍山藥的進(jìn)價是元箱；設(shè)鐵棍山藥的售價是元箱，每天的純利潤是元，根據(jù)題意得：，，當(dāng)時，取最大值，即網(wǎng)店每天的純利潤最多元，，償還一筆元的貸款，至少需天才能還清貸款．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)關(guān)系式．22．(1)等腰三角形的三線合一；兩直線平行，同位角相等；(2)證明見解析；(3)．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)求解即可；（2）由小紅的證明方法可證得，小亮的證明方法可證得是等腰直角三角形，再由正方形的邊相等，可得AD=CD，同角的余角相等，即可證明；（3）由圓周角所對的弦是直徑可知：點(diǎn)E在以為直徑的⊙上運(yùn)動，求的最小值為求點(diǎn)A到⊙的最小距離，則可知當(dāng)點(diǎn)A，E，O在同一直線上時，最小，再用勾股定理即可求解．(1)證明：連接，點(diǎn)M和點(diǎn)B關(guān)于對稱，∴，又∵，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴（等腰三角形的三線合一）；由小紅的結(jié)論得，∴，，∴，∵，∴，（兩直線平行，同位角相等）故小紅的討論中①的依據(jù)是等腰三角形的三線合一，小亮的討論中②的依據(jù)是兩直線平行，同位角相等；(2)證明：在正方形中，，，連接，由點(diǎn)B與點(diǎn)M關(guān)于對稱知，又∵，∴．∵點(diǎn)E為