天津市河?xùn)|區(qū)2022屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期二模試卷-附答案

2022年河?xùn)|區(qū)高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本題共9個小題，每小題5分，共5分，每小題給出的四個選項只有一個符合題目要求．）1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.D【分析】利用交集和補(bǔ)集的定義可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，.故選：D.2.已知命題，命題，則命題p是命題q成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件A【分析】解不等式，再根據(jù)充分、必要條件的判定方法，即可得到結(jié)果.【詳解】解不等式，可得，又，所以命題是命題成立的充分不必要條件.故選：A．3.函數(shù)在的圖象大致為A. B.C. D.C【詳解】，為偶函數(shù)，則B、D錯誤；又當(dāng)時，，當(dāng)時，得，則則極值點(diǎn)，故選C．點(diǎn)睛：復(fù)雜函數(shù)的圖象選擇問題，首先利用對稱性排除錯誤選項，如本題中得到為偶函數(shù)，排除B、D選項，在A、C選項中，由圖可知，雖然兩個圖象在第一象限都是先增后減，但兩個圖象的極值點(diǎn)位置不同，則我們采取求導(dǎo)來判斷極值點(diǎn)的位置，進(jìn)一步找出正確圖象．4.為了解一片經(jīng)濟(jì)樹林的生長情況，隨機(jī)測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm），根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示．那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數(shù)n是A.30 B.60C.70 D.80C【詳解】解：由圖可知：則底部周長小于110cm段的頻率為（0.01+0.02+0.04）×10=0.7，則頻數(shù)為100×0.7=70人．故選C．5.設(shè)，，，則a，b，c大小關(guān)系為（）A. B. C. D.D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較的大小即可.【詳解】由，即，又，可得，即，∴.故選：D.6.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以圓形攢尖為例．如圖所示的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A. B. C. D.B【分析】根據(jù)給定條件求出圓錐的高，再利用圓錐體積公式計算即可得解.【詳解】依題意，該圓形攢尖的底面圓半徑，高，則()，所以該屋頂?shù)捏w積約為.故選：B7.已知離心率為的雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，若點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與的漸近線的一個交點(diǎn)，且滿足，則雙曲線的方程是A. B. C. D.C【分析】分別求出四個選項中雙曲線的離心率，判斷是否為，利用排除法可得結(jié)果.【詳解】對于，的離心率為，不合題意；對于，的離心率為，不合題意；對于，的離心率為，不合題意；對于，的離心率為，符合題意.故選C.本題主要考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查了拋物線的方程與性質(zhì)，考查了選擇題的特殊解法，屬于中檔題.用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對各個選項進(jìn)行檢驗，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法.若結(jié)果為定值，則可采用此法.特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性.8.已知函數(shù)的最小正周期為，且它的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的個數(shù)為（）①將的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象；②的圖象經(jīng)過點(diǎn)；③的圖象的一個對稱中心是；④在上是減函數(shù)；A. B. C. D.B【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由最小正周期為，得；由為對稱軸，得，，故取1，，所以；①的圖象向右平移個單位長度后，得，錯誤；②,正確；③，正確；④，不單調(diào)，錯誤故選：B9.已知函數(shù)，若方程有4個實(shí)根，則的取值范圍是A. B. C. D.D【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以設(shè)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，如圖，畫出函數(shù)的圖象，此時，若有四個不同的交點(diǎn)，需滿足，故選D.本題考查了函數(shù)的性質(zhì)以及根據(jù)函數(shù)圖象求零點(diǎn)個數(shù)的問題，也是高考?？嫉降念}型，本題的難點(diǎn)是含絕對值的問題怎么處理，一般來說，需要去絕對值時，根據(jù)零點(diǎn)分段法先去絕對值，得到分段函數(shù)，若是畫的圖象，需先畫，再將函數(shù)在軸的下部分翻上去，根據(jù)圖象求與其交點(diǎn)個數(shù)，求參數(shù)取值范圍.二、填空題：（本大題共6個小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．）10.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)___________.【分析】對復(fù)數(shù)進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化即可化簡.【詳解】11.在的二項展開式中，含的項的系數(shù)是_______．（用數(shù)字作答）240【分析】先得到通項，再根據(jù)系數(shù)得到項數(shù)，然后計算即可.【詳解】根據(jù)二項式定理,的通項為，當(dāng)時,即時,可得.即項的系數(shù)為.故答案為.12.圓與圓的公共弦長為________．【分析】兩圓方程相減得公共弦據(jù)直線方程，然后求出一個圓心到該直線距離，由勾股定理得弦長．【詳解】兩圓方程相減得，即，原點(diǎn)到此直線距離為，圓半徑為，所以所求公共弦長為．故答案為：．本題考查兩圓公共弦長，解題關(guān)鍵是求出公共弦所在直線方程．13.甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為，，，現(xiàn)要求三人各投籃一次.假設(shè)每人投籃相互獨(dú)立，則至少有一人命中的概率為______；記三人命中總次數(shù)為，則______.①.；②.【分析】根據(jù)相互對立事件概率及相互獨(dú)立事件的概率公式可求至少有一人命中的概率；先求出隨機(jī)變量的取值情況及相應(yīng)的概率，然后結(jié)合期望公式可求．【詳解】解：由題意得，至少有一人命中的概率，由題意得的可能取值為0，1，2，3，，，，，．故答案為：，．14.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_______．【分析】將中的值進(jìn)行代換，再結(jié)合均值不等式性質(zhì)，即可求解【詳解】由，則故最小值為要熟悉均值不等式的一般形式和變形式，涉及拼湊法時，一定要注意等價性，不可多項或少項15.在中，點(diǎn)M，N是線段上的兩點(diǎn)，，，則_______________，的取值范圍是______________.①.；②..【分析】由題意，先算出的值，再根據(jù)，即可得的值；然后由向量數(shù)量積的定義及，可得，對點(diǎn)利用極端分析，算出，的值，即可得到的取值范圍．【詳解】解：由題意，，，，又，，，，由題意，，則為外接圓的圓心，則.因為點(diǎn)在線段上，所以①假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，與矛盾，所以②假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，，，，，即，，假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，，此時，，綜上，，，，，，即，故答案為：；．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)點(diǎn)在線段上，所以分點(diǎn)與三個特殊點(diǎn)、、重合進(jìn)行極端分析，從而求解.三、解答題：（本大題5個題，共75分）16.在中，角的對邊分別為，，，的面積為．（1）求及的值；（2）求的值．（1）,；（2）.【詳解】試題分析：（1）由，，的面積為可求得的值，利用余弦定理可求得，再利用正弦定理可求得的值；（2）利用（1）的結(jié)論，由同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可求得,再利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角差的正弦公式可得的值.試題解析：（1）由已知，，，且，，在中，，.（2），又，，，.17.如圖所示，直角梯形ABCD中，，AD垂直AB，，四邊形EDCF為矩形，，平面平面ABCD．（1）求證：∥平面ABE；（2）求平面ABE與平面EFB所成二面角的正弦值；（3）在線段DF上是否存在點(diǎn)P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為，若存在，求出線段BP的長，若不存在，請說明理由．（1）證明見解析（2）（3）存在，且，理由見解析【分析】（1）取為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于直線的直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個法向量，求得，由，即可求證平面；（2）求得平面的一個法向量，根據(jù)，可求得答案；（3）設(shè)，求向量與平面的法向量所成角的余弦值，列出方程求解，即可得出的值，從而可求出結(jié)果.【小問1詳解】取為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于直線的直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由得，不妨設(shè)，則，，又，，，又平面，平面.【小問2詳解】，，設(shè)平面的一個法向量為，由得，不妨設(shè)，則，，，則，，平面與平面所成二面角的正弦值為.【小問3詳解】存在，理由如下，設(shè)，則，所以，又平面的一個法向量為，即直線與平面所成角為，則，整理得，解得或，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；綜上，即在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時線段的長為.18.已知等比數(shù)列前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列及數(shù)列的前n項和．（3）設(shè)，求的前2n項和．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由及可得q的值，由可得的值，可得數(shù)列的通項公式；（2）由可得，可得=，利用錯位相減法即得；（3）可得，利用裂項相消法即得.【小問1詳解】由題意得：，可得，∴，由，可得，由，可得，∴，可得；【小問2詳解】由，可得，由，可得，∴，可得的通項公式：=，可得：，，∴，∴；【小問3詳解】由，可得，可得：.19.橢圓C：的離心率，．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．（1）（2）證明見解析【分析】（1）由橢圓的離心率求得，由，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后解出P點(diǎn)坐標(biāo)，兩直線方程聯(lián)立解出M點(diǎn)坐標(biāo)，由D，P，N三點(diǎn)共線解出N點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得到MN的斜率m，代入化簡整理即可得到為定值．【小問1詳解】由橢圓離心率，則，又，解得：，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】證明：因為，P不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)直線BP的方程為聯(lián)立整理得．則，故，則．所以又直線AD的方程為．聯(lián)立，解得由三點(diǎn)，共線，得，所以．的斜率為．則．為定值．20.已知函數(shù)（且）．（1），求函數(shù)在處的切線方程．（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，且，證明：．（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論：a<0和a>0分別討論單調(diào)性；（3）本題屬于極值點(diǎn)偏移，利用分析法轉(zhuǎn)化為只要證明f(2e-x2)>0，由構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出g(t)在(e，2e)上是遞增的，得到g(t)>g(e)=0即為f(2e-x2)>0.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以.，所以.所以函數(shù)在處的切線方程為，即.【小問2詳解】的定義域為(0，+∞)，.當(dāng)a<0時，恒成立，所以在(0，+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，.在上，，所以單調(diào)遞減；在上，，所以單調(diào)遞增.【小問3詳解】當(dāng)，.由(2)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意可得.由及得.欲證x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減