2023屆黑龍江省哈爾濱市賓縣第二中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆黑龍江省哈爾濱市賓縣第二中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式化簡集合A，再進(jìn)行交集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：B.2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，可得與.【詳解】，，，所以，故選：A.3．一個棱錐的各棱長都相等，那么這個棱錐一定不是（

）A．三棱錐 B．四棱錐 C．五棱錐 D．六棱錐【答案】D【分析】設(shè)每個等邊三角形的邊長為

，正六棱錐的高為，正六棱錐的側(cè)棱長為

，由正六棱錐的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合勾股定理可得，進(jìn)而可以得出結(jié)論.【詳解】正六棱錐的底面是個正六邊形，正六邊形共由6個等邊三角形構(gòu)成，設(shè)每個等邊三角形的邊長為

，正六棱錐的高為，正六棱錐的側(cè)棱長為

，由正六棱錐的高、底面的半徑、側(cè)棱長構(gòu)成直角三角形得，

，故側(cè)棱長

和底面正六邊形的邊長不可能相等.故選：D.4．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)化簡計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，所以，，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，，所以，，所以.故選：D.5．在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在邊CB的延長線上，若，（

）.A．4 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】用基底表示目標(biāo)向量，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合四邊形的幾何特點(diǎn)，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，連接，作圖如下：因?yàn)?，四邊形為平行四邊形，故可得，又，故三角形為等邊三角形，則；又，，故.故選：A.6．已知角α滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，然后利用二倍角公式結(jié)合齊次式即得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所?故選：B.7．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件算出母線長和底面半徑即可求出側(cè)面積.【詳解】如圖：其中O是底面圓心，設(shè)半徑為r，則AO=r，，，由于SA，SB都是母線，所以SA=SB，的面積，在等腰直角三角形SAO中，，所以側(cè)面積=；故選：C.8．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造，利用已知可得函數(shù)的單調(diào)性，利用周期性求出，化簡已知不等式，利用單調(diào)性即得．【詳解】是定義在R上的偶函數(shù)，，則，即是奇函數(shù)，由，可得，構(gòu)造，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，，即的周期為，則，即；不等式可化簡為，即，所以，解得.故選：C二、多選題9．已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足，，記等比數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，則當(dāng)取得最大值時，（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】CD【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，判斷數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，由等比?shù)列的性質(zhì)可得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，即，所以，∴，因?yàn)椋缘缺葦?shù)列為遞減數(shù)列，所以當(dāng)時，，∴當(dāng)或時，取得最大值.故選：CD10．已知平面，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．與的夾角為【答案】AD【解析】由條件根據(jù)向量代數(shù)形式的加法運(yùn)算、模、共線定理和夾角公式分別進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算易知選項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)B錯誤因?yàn)椋?，所以C錯誤因?yàn)?，所以與的夾角為，D選項(xiàng)正確．故選：AD.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量代數(shù)形式的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的平行、向量的模、向量的夾角和數(shù)量積運(yùn)算.11．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成，其中小正方形的邊長為1，E為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】A.根據(jù)小正方形的邊長為1，E為的中點(diǎn)，得到，大正方形的邊長為求解判斷；B.利用向量的求模公式求解判斷；C.延長交于點(diǎn)G，得到為的中點(diǎn)，G為的中點(diǎn)求解判斷；D.利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解判斷.【詳解】因?yàn)樾≌叫蔚倪呴L為1，E為的中點(diǎn)，所以，大正方形的邊長為，所以，A正確；，B正確；如圖：，延長交于點(diǎn)G，則為的中點(diǎn)，可得G為的中點(diǎn)，，所以，，C正確；，D錯誤．故選：ABC12．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，則的取值可以為（

）A． B． C．1 D．2【答案】BD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合的取值范圍，即可容易求得結(jié)果.【詳解】令，則，解得，又因?yàn)?，故，故，又函?shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，故當(dāng)時，，或當(dāng)時，；結(jié)合選項(xiàng)可知：可以為或.故選：BD.三、填空題13．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則______.【答案】9【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，結(jié)合已知條件，求得其首項(xiàng)和公比，再求結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比時，，又，故可得，解得，故，則.故答案為：.14．已知正方體的棱長為，點(diǎn)E為棱上一動點(diǎn)，點(diǎn)F為棱上一動點(diǎn)，且滿足，則三棱錐體積取最大值時，則三棱錐外接球的體積為______.【答案】##【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得到外接球的球心為EF的中點(diǎn)O，從而得到球的半徑，利用球的體積公式即得.【詳解】取EF的中點(diǎn)O，連接，由正方體的性質(zhì)可得平面，又∵，∴，即，同理，∴由直角三角形的性質(zhì)可得，∴O為的外接球的球心，為外接球的直徑，∵，∴的外接球的半徑恒為1，∴三棱錐外接球的體積恒為，故答案為：.15．圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的必到景點(diǎn)，其集圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為米，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B、M、D三點(diǎn)共線）處測得樓頂A和教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為______米.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合幾何圖形的特點(diǎn)，利用正余弦定理解三角形即可.【詳解】根據(jù)題意可得：，在三角形中，，故可得，在三角形中，由正弦定理可得：，即，解得，在三角形中，，故可得.即索菲亞教堂的高度為.故答案為：.16．在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BD上的一動點(diǎn)，若，則的最大值為______.【答案】【分析】用基底表示向量，結(jié)合三點(diǎn)共線求得的等量關(guān)系，利用消元法，結(jié)合均值不等式，即可求得結(jié)果.【詳解】，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故可得，即，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取得等號.即的最大值為.故答案為：.四、解答題17．在銳角中內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由2倍角公式統(tǒng)一角度與函數(shù)名稱后解方程即可；（2）先由余弦定理求得，再用正弦定理求解.【詳解】（1）所以或者（舍去），又，所以；（2）由余弦定理，所以（時不是銳角三角形，舍去）.所以，可得.18．在等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）等比數(shù)列可求出首項(xiàng)、公比和通項(xiàng)，可得到數(shù)列的通項(xiàng).（2），采用分組求和法求.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則所以，故.（2）由(1)得，，.19．特崗教師是中央實(shí)施的一項(xiàng)對中西部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教育的特殊政策，通過公開招聘高校畢業(yè)生到中西部地區(qū)"兩基"攻堅(jiān)縣、縣以下農(nóng)村學(xué)校任教，進(jìn)而提高農(nóng)村教師隊(duì)伍的整體素質(zhì)，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某市招聘特崗教師需要進(jìn)行筆試和面試，一共有600名應(yīng)聘者參加筆試考試，從中隨機(jī)抽取了100名應(yīng)聘者，記錄他們的筆試分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，得到如圖所示頻率分布直方圖.(1)若該市計(jì)劃168人進(jìn)入面試，請估計(jì)參加面試的最低分?jǐn)?shù)線；(2)已知樣本中筆試分?jǐn)?shù)低于40分的有5人，試估計(jì)總體中筆試分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù).【答案】(1)78(2)30【分析】（1）根據(jù)題意求得進(jìn)入面試的頻率，再判斷最低分?jǐn)?shù)線所在分?jǐn)?shù)區(qū)間，結(jié)合頻率的計(jì)算公式得到方程，解之即可；（2）由頻率分布直方圖求得不低于50分的頻率，由題意求得分?jǐn)?shù)低于40分的頻率，從而求得筆試分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，再由頻數(shù)等于總數(shù)乘以頻率即可求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，得進(jìn)入面試的頻率，由頻率分布直方圖可知，筆試分?jǐn)?shù)位于、的頻率分別為0.4、0.2，所以設(shè)參加面試的最低分?jǐn)?shù)線，得，解得，故參加面試的最低分?jǐn)?shù)線約為78.（2）樣本中筆試分?jǐn)?shù)不低于50分的頻率為：，樣本中筆試分?jǐn)?shù)低于40分的頻率為：，所以樣本中筆試分?jǐn)?shù)在內(nèi)頻率為：，故總體中筆試分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)約為（人）20．已知向量=（2sinx，-1），,函數(shù)f（x）=．（1）求函數(shù)f（x）的對稱中心；（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，且a2=bc，求f（A）的取值范圍．【答案】（1）（+，-1）（k∈Z）（2）（-2，1]【分析】（1）由已知得f（x）?sin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x）﹣1，又2xkπ，得x，得f（x）的對稱中心為（，﹣1）（k∈Z）；（2）由a2＝bc和余弦定理得0＜A，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果．【詳解】（1）f（x）?2sinxcosx﹣2cos2xsin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x）﹣1，∵2xkπ，∴x，∴f（x）的對稱中心為（，﹣1）（k∈Z）；（2）cosA，∵y＝cosx在[0，π]上是減函數(shù)，∴0＜A，f（A）＝2sin（2A）﹣1，∵0＜A，∴2A，∴sin（2A）≤1，∴﹣2＜2sin（2A）﹣1≤1∴f（A）的取值范圍為（﹣2，1]．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21．幾何體是四棱錐，為正三角形，，，為線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面？若存在，請找出點(diǎn)，并證明；若不存在，并說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，證明見解析.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用面面平行的判定、性質(zhì)推理作答.（2）延長相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)及平行推比例式推理作答.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，有，而平面平面，則平面，又為正三角形，為等腰三角形，，有，即有，而，于是得，平面平面，因此平面，因，平面，則平面平面，又平面，所以平面.（2）延長相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，則，即四點(diǎn)共面，由（1）及已知，，得，即，又，則，則有，即，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以線段上存在點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的，都存在，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，再用分離參數(shù)法分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值．【詳解】（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，則.當(dāng)時，.所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增