223向量共線定理解析課件

2.2.3向量的數(shù)乘運算2.2.3向量的數(shù)乘運算11.向量加法的三角形法則作法:在平面中任取一點O,o回顧舊知:過O作OA=

a過A作AB=

b則OB=a+b.a+bbaA如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.bBa首尾相接首尾連1.向量加法的三角形法則作法:在平面中任取o回顧舊知:過O作22.向量加法的平行四邊形法則作法:在平面中任取一點O,o以OA,OB為邊作平行四邊形C如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.baaAbB過O作OA=

a過O作OB=

ba+b則對角線OC=a+b共起點2.向量加法的平行四邊形法則作法:在平面中任取一點O,o以O33.向量的減法(三角形法則）如圖,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一點o,過O作OA=

a過O作OB=

boaAbB則BA=a-ba-b共起點3.向量的減法(三角形法則）如圖,已知向量a和向量b,作向量4實際背景實際背景5探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a

（如圖）a試作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)根據(jù)向量加法的法則可得

思考:相同向量相加以后，和的長度與方向有什么變化？探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a6OABC

由圖可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我們把a+a+a記作3a，即OC=3a.

顯然，3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即|3a|=3|a|.OABC由圖可知，向量OC=OA+AB7PQMN由圖可知，

PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)記作-3a，即PN=-3a顯然，-3a的方向與a的方向相反，-3a的長度是a的長度的3倍，即|-3a|=3|a|。PQMN由圖可知，PN=PQ+QM+MN顯然，-3a的方向8（1）

一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：（2）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反。特別的，當時，思考:向量數(shù)乘和實數(shù)乘法有那些相同點?那些不同點?①a是一個向量；②a的長度等于的絕對值與向量a的長度的乘積。1、實數(shù)與向量積的定義（1）一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量的積是9=2、實數(shù)與向量積的運算律根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a)(a為非零向量)，并進行比較。=2、實數(shù)與向量積的運算律根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6102、實數(shù)與向量積的運算律2、實數(shù)與向量積的運算律112、實數(shù)與向量積的運算律ABCDEADE2、實數(shù)與向量積的運算律ABCDEADE122、實數(shù)與向量積的運算律結(jié)合律分配律分配律逆運算2、實數(shù)與向量積的運算律結(jié)合律分配律分配律13設為實數(shù)，那么特別的，我們有

向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量，以及任意實數(shù)，恒有設為實數(shù)，那么特別的，我們有向量的加14例1.計算：注：向量與實數(shù)之間可以像多項式一樣進行運算.例1.計算：注：向量與實數(shù)之間可以像多項式一樣進行運算.15223向量共線定理解析課件16練習Ｄ練習Ｄ17解：DC=AB=aBC=BD+DC=(AD-AB)+DC=b-a+a=b-aMN=DN-DM=a-b-a=a-bDANMCB例1:梯形ABCD，且|AB|=2|DC|M、N分別為DC、AB中點。AB=aAD=b用a，b表示DC、BC、MN。解：DC=AB=aDANMCB例1:梯形AB18鞏固練習:設D、E、F分別是ABC的邊BC、CA、AB上的點,且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE=(1/4)CA.若記AB=m,CA=n.試用m,n表示DE、EF、FDABC·DE·F·鞏固練習:設D、E、F分別是ABC的邊BC、CA、AB上19思考:問題2：如果向量a與b共線那么，b=λa？問題1：如果b=λa,

那么，向量a與b是否共線？對于向量a(a≠0),b，以及實數(shù)λ,思考:問題2：如果向量a與b共線問題1：如果b=λa,203.向量共線定理

反過來，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的λ倍，即|b|︰|a|=λ，那么當向量a與b同向時，有b=λa，當向量a與b反向時，有b=-λa.

也就是說：如果a與b共線，那么有且只有一個實數(shù)，使b=a.

對于向量a（a≠0）、b，如果有一個實數(shù)，使b=a，那么由實數(shù)與向量的積的定義知，a與b共線.3.向量共線定理反過來，已知向量a與b共線，21思考：若則結(jié)論如何？思考：若則結(jié)論如何？22練習、已知向量試判斷，，是否共線。ABDEC練習、已知向量試判斷，，是否共線。ABDEC23ABDEC∴與

共線．

解：ABDEC∴與共線．解：24ABCOABCO25例7:如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，點N是BD上的一點，，求證M、N、C三點共線.AMBCDN提示：設AB=aBC=b則MN=…=a+

bMC=…=a+

b

所以M.N.C三點共線例7:如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的AMBCDN提26一、①λa的定義及運算律②向量共線定理

(a≠0)

b=λa向量a與b共線

二、定理的應用：

1.證明向量共線

2.證明三點共線:AB=λBCA,B,C三點共線

3.證明兩直線平行:AB=λCDAB∥CDAB與CD不在同一直線上直線AB∥直線CD一、①λa的定義及運算律二、定理的應用：直線A27練習1

設a，b是兩個不共線向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴練習1設a，b是兩個不共線向量。解：BD=BC+CD=a28練習2:e1、e2不共線,a=e1+e2,b=3e1-3e2.a與b是否共線。解：假設,a與b共線則

e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ

這樣λ不存在。

∴a與b不共線。練習2:e1、e2不共線,a=e1+e2,b=3e29練習3:設兩非零向量a和b不共線，如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），BC=2a+8b求證：A、B、D三點共線。練習3:設兩非零向量a和b不共線，30例2:（2003遼寧）已知四邊形ABCD是菱形，P點在對角線AC上（不包括端點A、C），則AP等于()A、B、C、D、A例2:（2003遼寧）已知四邊形ABCD是菱形，A31

變形1:（2003全國）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P的軌跡一定通過△ABC的() A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心B變形1:（2003全國）O是平面上一定點，A32變形2:OA、OB不共線，AP=tAB，用OA、OB表示OP所以：OABP因為OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB思考:若上式成立,則A、B、P有什么關系?反之?變形2:OA、OB不共線，AP=tAB，用OA、OB表示OP33結(jié)論：已知OA、OB不共線，若P、A、B三點共線則則P、A、B三點共線.若O是平面上任意一點,且若O是平面上任意一點,且其中,則P、A、B三點共線等價命題：OA、OB不共線，若P、A、B三點共線,則其中結(jié)論：已知OA、OB不共線，若P、A、B三點共線則則P、A、34鞏固練習:如圖OAB中,C為直線AB上一點,AC=λCB(λ≠-1),ABOC鞏固練習:如圖OAB中,C為直線AB上一點,AC=λ35練習1

設a，b是兩個不共線向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴練習1設a，b是兩個不共線向量。解：BD=BC+CD=a36練習2:e1、e2不共線,a=e1+e2,b=3e1-3e2.a與b是否共線。解：假設,a與b共線則

e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ

這樣λ不存在。

∴a與b不共線。練習2:e1、e2不共線,a=e1+e2,b=3e37練習3:設兩非零向量a和b不共線，如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），BC=2a+8b求證：A、B、D三點共線。練習3:設兩非零向量a和b不共線，382.2.3向量的數(shù)乘運算2.2.3向量的數(shù)乘運算391.向量加法的三角形法則作法:在平面中任取一點O,o回顧舊知:過O作OA=

a過A作AB=

b則OB=a+b.a+bbaA如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.bBa首尾相接首尾連1.向量加法的三角形法則作法:在平面中任取o回顧舊知:過O作402.向量加法的平行四邊形法則作法:在平面中任取一點O,o以OA,OB為邊作平行四邊形C如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.baaAbB過O作OA=

a過O作OB=

ba+b則對角線OC=a+b共起點2.向量加法的平行四邊形法則作法:在平面中任取一點O,o以O413.向量的減法(三角形法則）如圖,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一點o,過O作OA=

a過O作OB=

boaAbB則BA=a-ba-b共起點3.向量的減法(三角形法則）如圖,已知向量a和向量b,作向量42實際背景實際背景43探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a

（如圖）a試作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)根據(jù)向量加法的法則可得

思考:相同向量相加以后，和的長度與方向有什么變化？探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a44OABC

由圖可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我們把a+a+a記作3a，即OC=3a.

顯然，3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即|3a|=3|a|.OABC由圖可知，向量OC=OA+AB45PQMN由圖可知，

PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)記作-3a，即PN=-3a顯然，-3a的方向與a的方向相反，-3a的長度是a的長度的3倍，即|-3a|=3|a|。PQMN由圖可知，PN=PQ+QM+MN顯然，-3a的方向46（1）

一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：（2）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反。特別的，當時，思考:向量數(shù)乘和實數(shù)乘法有那些相同點?那些不同點?①a是一個向量；②a的長度等于的絕對值與向量a的長度的乘積。1、實數(shù)與向量積的定義（1）一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量的積是47=2、實數(shù)與向量積的運算律根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a)(a為非零向量)，并進行比較。=2、實數(shù)與向量積的運算律根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6482、實數(shù)與向量積的運算律2、實數(shù)與向量積的運算律492、實數(shù)與向量積的運算律ABCDEADE2、實數(shù)與向量積的運算律ABCDEADE502、實數(shù)與向量積的運算律結(jié)合律分配律分配律逆運算2、實數(shù)與向量積的運算律結(jié)合律分配律分配律51設為實數(shù)，那么特別的，我們有

向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量，以及任意實數(shù)，恒有設為實數(shù)，那么特別的，我們有向量的加52例1.計算：注：向量與實數(shù)之間可以像多項式一樣進行運算.例1.計算：注：向量與實數(shù)之間可以像多項式一樣進行運算.53223向量共線定理解析課件54練習Ｄ練習Ｄ55解：DC=AB=aBC=BD+DC=(AD-AB)+DC=b-a+a=b-aMN=DN-DM=a-b-a=a-bDANMCB例1:梯形ABCD，且|AB|=2|DC|M、N分別為DC、AB中點。AB=aAD=b用a，b表示DC、BC、MN。解：DC=AB=aDANMCB例1:梯形AB56鞏固練習:設D、E、F分別是ABC的邊BC、CA、AB上的點,且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE=(1/4)CA.若記AB=m,CA=n.試用m,n表示DE、EF、FDABC·DE·F·鞏固練習:設D、E、F分別是ABC的邊BC、CA、AB上57思考:問題2：如果向量a與b共線那么，b=λa？問題1：如果b=λa,

那么，向量a與b是否共線？對于向量a(a≠0),b，以及實數(shù)λ,思考:問題2：如果向量a與b共線問題1：如果b=λa,583.向量共線定理

反過來，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的λ倍，即|b|︰|a|=λ，那么當向量a與b同向時，有b=λa，當向量a與b反向時，有b=-λa.

也就是說：如果a與b共線，那么有且只有一個實數(shù)，使b=a.

對于向量a（a≠0）、b，如果有一個實數(shù)，使b=a，那么由實數(shù)與向量的積的定義知，a與b共線.3.向量共線定理反過來，已知向量a與b共線，59思考：若則結(jié)論如何？思考：若則結(jié)論如何？60練習、已知向量試判斷，，是否共線。ABDEC練習、已知向量試判斷，，是否共線。ABDEC61ABDEC∴與

共線．

解：ABDEC∴與共線．解：62ABCOABCO63例7:如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，點N是BD上的一點，，求證M、N、C三點共線.AMBCDN提示：設AB=aBC=b則MN=…=a+

bMC=…=a+

b

所以M.N.C三點共線例7:如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的AMBCDN提64一、①λa的定義及運算律②向量共線定理

(a≠0)

b=λa向量a與b共線

二、定理的應用：

1.證明向量共線

2.證明三點共線:AB=λBCA,B,C三點共線

3.證明兩直線平行:AB=λCDAB∥CDAB與CD不在同一直線上直線AB∥直線CD一、①λa的定義及運算律二、定理的應用：直線A65練習1

設a，b是兩個不共線向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴練習1設a，b是兩個不共線向量。解：BD=BC+CD=a66練習2:e1、e2不共線,a=e1+e2,b=3e1-3e2.a與b是否共線。解：假設,a與b共線則

e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ

這樣λ不存在。

∴a與b不共線。練習2:e1、e2不共線,a=e1+e2,b=3e67練習3:設兩非零向量a和b不共線，如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），BC=2a+8b求證：A、B、D三點共線。練習3:設兩非零向量a和b不共線，68例2:（2003遼寧）已知四邊形ABCD是菱形，P點在對角線AC上（不包括端點A、C），則AP等于()A、B、C、D、A例2:（2003遼寧）已知四邊形ABCD是菱形，A69

變形1:（2003全國）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P的軌跡一定通過△ABC的() A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心B變形1:（2003全國）O是