高中數(shù)學(xué)(人版)必修二立體幾何綜合提升卷

..高中數(shù)學(xué)〔人教版必修二《立體幾何》綜合提升卷一．選擇題〔共13小題,滿分65分,每小題5分1．〔5分設(shè)三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,∠BCA=90°,BC=CA=2,若該棱柱的所有頂點(diǎn)都在體積為的球面上,則直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為〔A． B． C． D．2．〔5分設(shè)l、m、n表示不同的直線,α、β、γ表示不同的平面,給出下列4個(gè)命題：①若m∥l,且m⊥α,則l⊥α；②若m∥l,且m∥α,則l∥α；③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,則l∥m∥n；④若α∩β=m,β∩γ=l,α∩γ=n,且n∥β,則m∥l．其中正確命題的個(gè)數(shù)是〔A．1 B．2 C．3 D．43．〔5分某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為〔A． B． C． D．π4．〔5分如圖,平面PAB⊥平面α,AB?α,且△PAB為正三角形,點(diǎn)D是平面α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),ABCD是菱形,點(diǎn)O為AB中點(diǎn),AC與OD交于點(diǎn)Q,I?α,且l⊥AB,則PQ與I所成角的正切值的最小值為〔A． B． C． D．35．〔5分如圖,在直四棱柱〔側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,給出以下結(jié)論：〔1異面直線A1B1與CD1所成的角為45°；〔2D1C⊥AC1；〔3在棱DC上存在一點(diǎn)E,使D1E∥平面A1BD,這個(gè)點(diǎn)為DC的中點(diǎn)；〔4在棱AA1上不存在點(diǎn)F,使三棱錐F﹣BCD的體積為直四棱柱體積的．其中正確的個(gè)數(shù)有〔A．1 B．2 C．3 D．46．〔5分如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,,BD⊥CD．將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論：①A′C⊥BD；②CA′與平面A′BD所成的角為30°；③∠BA′C=90°；④四面體A′﹣BCD的體積為．其中正確的有〔A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．〔5分如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是CD上一點(diǎn),AB=AD=3,AA1=2,CE=1,P是AA1上一點(diǎn),且DP∥平面AEB1,F是棱DD1與平面BEP的交點(diǎn),則DF的長(zhǎng)為〔A．1 B． C． D．8．〔5分如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某個(gè)多面體的三視圖,若該多面體的所有頂點(diǎn)都在球O表面上,則球O的表面積是〔A．36π B．48π C．56π D．64π9．〔5分如圖,已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A′B′C′D′,M是正方形BB′C′C的中心,P是△A′C′D內(nèi)〔包括邊界的動(dòng)點(diǎn)．滿足PM=PD,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是〔A． B． C． D．10．〔5分如圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱,其正〔主視圖、俯視圖如圖；②存在四棱柱,其正〔主視圖、俯視圖如圖；③存在圓柱,其正〔主視圖、俯視圖如圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是〔A．3 B．2 C．1 D．011．〔5分已知二面角α﹣l﹣β為60°,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面α、β內(nèi),P到β的距離為,Q到α的距離為,則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為〔A．1 B．2 C． D．412．〔5分一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示,B,C,D為原正方體的頂點(diǎn),A為原正方體一條棱的中點(diǎn)．在原來(lái)的正方體中,CD與AB所成角的余弦值為〔A． B． C． D．13．〔5分異面直線a,b成80°角,點(diǎn)P是a,b外的一個(gè)定點(diǎn),若過(guò)P點(diǎn)有且僅有2條直線與a,b所成的角相等且等于θ,則θ屬于集合〔A．{θ|0°＜θ＜40°} B．{θ|40°＜θ＜50°} C．{θ|40°＜θ＜90°} D．{θ|50°＜θ＜90°}二．解答題〔共7小題,滿分85分14．〔10分如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P到點(diǎn)B1的距離為．〔1要使A1C1⊥平面BB1P,則點(diǎn)P在何位置？〔2設(shè)直線B1P與平面ACD1所成的角為θ,求sinθ的取值范圍．15．〔10分如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=．〔Ⅰ求證：BD⊥平面PAC；〔Ⅱ若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC,求三棱錐P﹣BDF的體積．16．〔10分如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得,已知FA⊥平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2,CE=3,O為AB的中點(diǎn)．〔Ⅰ求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；〔Ⅱ在DE上是否存在一點(diǎn)P,使CP⊥平面DEF？如果存在,求出DP的長(zhǎng)；若不存在,說(shuō)明理由．17．〔10分如圖,長(zhǎng)方形框架ABCD﹣A′B′C′D′,三邊AB、AD、AA′的長(zhǎng)分別為6、8、3.6,AE與底面的對(duì)角線B′D′垂直于E．〔1證明A′E⊥B′D′；〔2求AE的長(zhǎng)．18．〔12分在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,已知E、F、G分別是棱AB、AD、D1A1的中點(diǎn)．〔1求證：BG∥平面A1EF：〔2若P為棱CC1上一點(diǎn),求當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí),平面A1EF⊥平面EFP？19．〔15分ABCD為平行四邊形,P為平面ABCD外一點(diǎn),PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,AB=1,AC=．〔1求證：平面ACD⊥平面PAC；〔2求異面直線PC與BD所成角的余弦值；〔3設(shè)二面角A﹣PC﹣B的大小為θ,試求tanθ的值．20．〔18分如圖,△ABC各邊長(zhǎng)均為4,CD是AB邊上的高,E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．〔1證明：平面ADF⊥平面BCD；〔2求三棱錐C﹣DEF的體積；〔3在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE？如果存在,求出的值；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．高中數(shù)學(xué)〔人教版必修二《立體幾何》綜合提升卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共13小題,滿分65分,每小題5分1．〔5分〔2016秋?小店區(qū)校級(jí)期中設(shè)三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,∠BCA=90°,BC=CA=2,若該棱柱的所有頂點(diǎn)都在體積為的球面上,則直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為〔A． B． C． D．[考點(diǎn)]LM：異面直線及其所成的角．[專題]35：轉(zhuǎn)化思想；41：向量法；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．[分析]根據(jù)題意畫出圖形,結(jié)合圖形得出AB為截面圓的直徑,求出AB的值以及三棱柱外接球的半徑R；再利用三角形以及空間向量的知識(shí)求出向量與夾角的余弦值的絕對(duì)值即可．[解答]解：∵∠BCA=90°,BC=CA=2,∴AB=2,且為截面圓的直徑；又三棱柱外接球的體積為,∴π?R3=,解得外接球的半徑為R=2；△ABC1中,AB⊥BC1,AB=2,AC1=2R=4,∴BC1==2；又=+,=+=﹣﹣,∴?=?〔﹣﹣?﹣﹣?=0﹣0﹣﹣0=﹣8,||=||==；∴異面直線B1C與AC1所成的角θ的余弦值為：cosθ=||=||=．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了異面直線所成角的計(jì)算問(wèn)題,解題時(shí)可以利用兩向量所成的角進(jìn)行計(jì)算,是綜合性題目．2．〔5分〔2014?紅崗區(qū)校級(jí)模擬設(shè)l、m、n表示不同的直線,α、β、γ表示不同的平面,給出下列4個(gè)命題：①若m∥l,且m⊥α,則l⊥α；②若m∥l,且m∥α,則l∥α；③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,則l∥m∥n；④若α∩β=m,β∩γ=l,α∩γ=n,且n∥β,則m∥l．其中正確命題的個(gè)數(shù)是〔A．1 B．2 C．3 D．4[考點(diǎn)]LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．[專題]16：壓軸題．[分析]本題考查的是直線之間,直線與平面之間的位置關(guān)系,可借助圖象解答．[解答]解：易知命題①正確；在命題②的條件下,直線l可能在平面α內(nèi),故命題為假；在命題③的條件下,三條直線可以相交于一點(diǎn),故命題為假；在命題④中,由α∩γ=n知,n?α且n?γ,由n?α及∥βα∩β=m,得n∥m,同理n∥l,故m∥l,命題④正確．故答案選B．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了直線與直線間的位置關(guān)系,以及直線與平面間的位置關(guān)系,注意二者的聯(lián)系與區(qū)別．3．〔5分〔2016?永州模擬某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為〔A． B． C． D．π[考點(diǎn)]L!：由三視圖求面積、體積．[專題]17：選作題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．[分析]由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體：左邊是半個(gè)圓錐,右邊是四分之一個(gè)圓柱,由三視圖求出幾何元素的長(zhǎng)度,由柱體、錐體體積公式求出幾何體的體積,[解答]解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)組合體：左邊是半個(gè)圓錐,右邊是四分之一個(gè)圓柱〔斜切半圓柱,且圓柱的底面半徑是1、母線長(zhǎng)是2；圓錐的底面半徑、高都是1,∴幾何體的體積V===,故選：C．[點(diǎn)評(píng)]本題考查三視圖求幾何體的體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力．4．〔5分〔2017?XX模擬如圖,平面PAB⊥平面α,AB?α,且△PAB為正三角形,點(diǎn)D是平面α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),ABCD是菱形,點(diǎn)O為AB中點(diǎn),AC與OD交于點(diǎn)Q,I?α,且l⊥AB,則PQ與I所成角的正切值的最小值為〔A． B． C． D．3[考點(diǎn)]LM：異面直線及其所成的角．[專題]15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；41：向量法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；5G：空間角．[分析]由題意畫出圖形,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,∠OAD=θ〔0＜θ＜π,把異面直線所成角的余弦值化為含有θ的三角函數(shù)式,換元后利用導(dǎo)數(shù)求最值．[解答]解：如圖,不妨以CD在AB前側(cè)為例．以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B、OP所在直線為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,∠OAD=θ〔0＜θ＜π,則P〔0,0,,D〔2sinθ,﹣1+2cosθ,0,∴Q〔,,0,∴,設(shè)α與AB垂直的向量,則PQ與l所成角為α．則|cosα|=||=||==．令t=cosθ〔﹣1＜t＜1,則s=,s′=,令s′=0,得t=8﹣,∴當(dāng)t=8﹣時(shí),s有最大值為16﹣6．則cosα有最大值為,此時(shí)最小值最小為．∴正切值的最小值為=．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查異面直線所成角,考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量及導(dǎo)數(shù)求最值,屬難題．5．〔5分〔2013?XX模擬如圖,在直四棱柱〔側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,給出以下結(jié)論：〔1異面直線A1B1與CD1所成的角為45°；〔2D1C⊥AC1；〔3在棱DC上存在一點(diǎn)E,使D1E∥平面A1BD,這個(gè)點(diǎn)為DC的中點(diǎn)；〔4在棱AA1上不存在點(diǎn)F,使三棱錐F﹣BCD的體積為直四棱柱體積的．其中正確的個(gè)數(shù)有〔A．1 B．2 C．3 D．4[考點(diǎn)]LS：直線與平面平行的判定；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LM：異面直線及其所成的角；LX：直線與平面垂直的性質(zhì)．[專題]11：計(jì)算題；14：證明題；16：壓軸題．[分析]直接利用已知條件推出異面直線所成的角判斷〔1的正誤；通過(guò)直線與平面的位置關(guān)系判斷〔2的正誤；通過(guò)直線與平面的平行判斷〔3的正誤；幾何體的體積判斷〔4的正誤即可．[解答]解：〔1由題意可知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,所以△DD1C1是等腰直角三角形,A1B1∥C1D1,異面直線A1B1與CD1所成的角為45°,所以〔1正確．〔2由題意可知,AD⊥平面DD1C1C,四邊形DD1C1C是正方形,所以D1C⊥DC1,可得D1C⊥AC1；〔2正確；對(duì)于〔3在棱DC上存在一點(diǎn)E,使D1E∥平面A1BD,這個(gè)點(diǎn)為DC的中點(diǎn),因?yàn)镈C=DD1=2AD=2AB,如圖HG,所以E為中點(diǎn),正確．〔4設(shè)AB=1,則棱柱的體積為：=,當(dāng)F在A1時(shí),A1﹣BCD的體積為：=,顯然體積比為,所以在棱AA1上存在點(diǎn)F,使三棱錐F﹣BCD的體積為直四棱柱體積的,所以〔4不正確．正確結(jié)果有〔1、〔2、〔3．故選C．[點(diǎn)評(píng)]本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征,幾何體的體積的求法,直線與平面的位置關(guān)系的判斷,考查空間想象能力計(jì)算能力．6．〔5分〔2011?XX校級(jí)模擬如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,,BD⊥CD．將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論：①A′C⊥BD；②CA′與平面A′BD所成的角為30°；③∠BA′C=90°；④四面體A′﹣BCD的體積為．其中正確的有〔A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)[考點(diǎn)]LM：異面直線及其所成的角；L3：棱錐的結(jié)構(gòu)特征；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．[專題]11：計(jì)算題；16：壓軸題．[分析]根據(jù)題意,依次分析命題：對(duì)于①可利用反證法說(shuō)明真假,若①成立可得BD⊥A'D,產(chǎn)生矛盾；對(duì)于②由CA'與平面A'BD所成的角為∠CA'D=45°知②的真假；對(duì)于③△BA'D為等腰Rt△,CD⊥平面A'BD,得BA'⊥平面A'CD,根據(jù)線面垂直可知∠BA′C=90°,對(duì)于④利用等體積法求出所求體積進(jìn)行判定即可,綜合可得答案．[解答]解：若①成立可得BD⊥A'D,產(chǎn)生矛盾,故①不正確；由CA'與平面A'BD所成的角為∠CA'D=45°知②不正確；由題設(shè)知：△BA'D為等腰Rt△,CD⊥平面A'BD,得BA'⊥平面A'CD,于是③正確；,④不正確．其中正確的有1個(gè)故選D．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了異面直線及其所成的角,以及三棱錐的體積的計(jì)算,同時(shí)考查了空間想象能力,論證推理能力,解題的關(guān)鍵是須對(duì)每一個(gè)進(jìn)行逐一判定．7．〔5分〔2017春?XX期中如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是CD上一點(diǎn),AB=AD=3,AA1=2,CE=1,P是AA1上一點(diǎn),且DP∥平面AEB1,F是棱DD1與平面BEP的交點(diǎn),則DF的長(zhǎng)為〔A．1 B． C． D．[考點(diǎn)]L2：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．[專題]31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．[分析]在棱AB上取點(diǎn)M,使得BM=1,過(guò)點(diǎn)M作MN∥BB1,交AB1于N,連接EM、EN,證明平面EMN∥平面ADD1A1,求出MN的值,由AP=MN得出DP∥平面AEB；再取DG=AP,連接CG,利用平行關(guān)系求出DF的長(zhǎng)．[解答]解：在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB上取點(diǎn)M,使得BM=1,過(guò)點(diǎn)M作MN∥BB1,交AB1于N,連接EM、EN,如圖所示；則平面EMN∥平面ADD1A1；∵BB1=2AM=2BM,∴MN=,∴當(dāng)AP=MN=時(shí),DP∥EN,即DP∥平面AEB；∵F是棱DD1與平面BEP的交點(diǎn),∴EF∥BP；取DG=AP=,連接CG,則CG∥BP,∴EF∥CG,∴DF=DG=．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了求線段長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合題．8．〔5分〔2016?XX二模如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某個(gè)多面體的三視圖,若該多面體的所有頂點(diǎn)都在球O表面上,則球O的表面積是〔A．36π B．48π C．56π D．64π[考點(diǎn)]L!：由三視圖求面積、體積；LG：球的體積和表面積．[專題]15：綜合題；31：數(shù)形結(jié)合；46：分割補(bǔ)形法；58：解三角形；5F：空間位置關(guān)系與距離．[分析]根據(jù)三視圖知幾何體是三棱錐為棱長(zhǎng)為4的正方體一部分,畫出直觀圖,由正方體的性質(zhì)求出球心O到平面ABC的距離d、邊AB和AC的值,在△ABC中,由余弦定理求出cos∠ACB后,求出∠ACB和sin∠ACB,由正弦定理求出△ABC的外接圓的半徑r,由勾股定理求出球O的半徑,由球的表面積公式求解．[解答]解：根據(jù)三視圖知幾何體是：三棱錐D﹣ABC為棱長(zhǎng)為4的正方體一部分,直觀圖如圖所示：∵該多面體的所有頂點(diǎn)都在球O,且球心O是正方體的中心,∴由正方體的性質(zhì)得,球心O到平面ABC的距離d=2,由正方體的性質(zhì)可得,AB=BD==,AC=,設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r,在△ABC中,由余弦定理得,cos∠ACB===,∴∠ACB=45°,則sin∠ACB=,由正弦定理可得,2r===2,則r=,即球O的半徑R==,∴球O的表面積S=4πR2=56π,故選：C．[點(diǎn)評(píng)]本題考查三視圖求幾何體外接球的表面積,正弦定理、余弦定理,以及正方體的性質(zhì),結(jié)合三視圖和對(duì)應(yīng)的正方體復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力．9．〔5分〔2016?XX模擬如圖,已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A′B′C′D′,M是正方形BB′C′C的中心,P是△A′C′D內(nèi)〔包括邊界的動(dòng)點(diǎn)．滿足PM=PD,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是〔A． B． C． D．[考點(diǎn)]L2：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．[專題]15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．[分析]滿足PM=PD的點(diǎn)P的軌跡是過(guò)MD的中點(diǎn),且與MD垂直的平面,根據(jù)P是△A′C′D內(nèi)〔包括邊界的動(dòng)點(diǎn),可得點(diǎn)P的軌跡是兩平面的交線ST．T在中點(diǎn),S在4等分點(diǎn),利用余弦定理,求出ST即可．[解答]解：滿足PM=PD的點(diǎn)P的軌跡是過(guò)MD的中點(diǎn),且與MD垂直的平面,∵P是△A′C′D內(nèi)〔包括邊界的動(dòng)點(diǎn),∴點(diǎn)P的軌跡是兩平面的交線ST．T在中點(diǎn),S在4等分點(diǎn)時(shí),SD=3,SM==3,滿足SD=SM∴SD=3,TD=2∴ST==．故選：D．[點(diǎn)評(píng)]本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征,考查軌跡的求解,考查余弦定理,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題．10．〔5分〔2011?XX如圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱,其正〔主視圖、俯視圖如圖；②存在四棱柱,其正〔主視圖、俯視圖如圖；③存在圓柱,其正〔主視圖、俯視圖如圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是〔A．3 B．2 C．1 D．0[考點(diǎn)]L7：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．[專題]5Q：立體幾何．[分析]由三棱柱的三視圖中,兩個(gè)矩形,一個(gè)三角形可判斷①的對(duì)錯(cuò),由四棱柱的三視圖中,三個(gè)均矩形,可判斷②的對(duì)錯(cuò),由圓柱的三視圖中,兩個(gè)矩形,一個(gè)圓可以判斷③的真假．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖,其中熟練掌握各種幾何體的幾何特征進(jìn)而判斷出各種幾何體中三視圖對(duì)應(yīng)的平面圖形的形狀是解答本題的關(guān)鍵．[解答]解：存在正三棱柱,其三視圖中有兩個(gè)為矩形,一個(gè)為正三角形滿足條件,故①為真命題；存在正四棱柱,其三視圖均為矩形,滿足條件,故②為真命題；對(duì)于任意的圓柱,其三視圖中有兩個(gè)為矩形,一個(gè)是以底面半徑為半徑的圓,也滿足條件,故③為真命題；故選：A[點(diǎn)評(píng)]本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖,其中熟練掌握各種幾何體的幾何特征進(jìn)而判斷出各種幾何體中三視圖對(duì)應(yīng)的平面圖形的形狀是解答本題的關(guān)鍵．11．〔5分〔2009?全國(guó)卷Ⅰ已知二面角α﹣l﹣β為60°,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面α、β內(nèi),P到β的距離為,Q到α的距離為,則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為〔A．1 B．2 C． D．4[考點(diǎn)]LQ：平面與平面之間的位置關(guān)系．[專題]11：計(jì)算題；16：壓軸題．[分析]分別作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥β于B,PD⊥l于D,連CQ,BD則∠ACQ=∠PBD=60°,在三角形APQ中將PQ表示出來(lái),再研究其最值即可．[解答]解：如圖分別作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥β于B,PD⊥l于D,連CQ,BD則∠ACQ=∠PDB=60°,,∴AC=PD=2又∵當(dāng)且僅當(dāng)AP=0,即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)取最小值．故答案選C．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系,以及空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題．12．〔5分〔2008?XX一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示,B,C,D為原正方體的頂點(diǎn),A為原正方體一條棱的中點(diǎn)．在原來(lái)的正方體中,CD與AB所成角的余弦值為〔A． B． C． D．[考點(diǎn)]LM：異面直線及其所成的角．[專題]11：計(jì)算題；16：壓軸題．[分析]先還原正方體,將對(duì)應(yīng)的字母標(biāo)出,CD與AB所成角等于BE與AB所成角,在三角形ABE中再利用余弦定理求出此角的余弦值即可．[解答]解：還原正方體如右圖所示設(shè)AD=1,則,AF=1,,AE=3,CD與AB所成角等于BE與AB所成角,所以余弦值為,故選D．[點(diǎn)評(píng)]本小題主要考查異面直線所成的角,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題．13．〔5分〔2008?上海模擬異面直線a,b成80°角,點(diǎn)P是a,b外的一個(gè)定點(diǎn),若過(guò)P點(diǎn)有且僅有2條直線與a,b所成的角相等且等于θ,則θ屬于集合〔A．{θ|0°＜θ＜40°} B．{θ|40°＜θ＜50°} C．{θ|40°＜θ＜90°} D．{θ|50°＜θ＜90°}[考點(diǎn)]LM：異面直線及其所成的角．[專題]11：計(jì)算題；16：壓軸題．[分析]先將異面直線a,b平移到點(diǎn)P,求出∠BPE的角平分線和∠EPD的角平分線與a和b的所成角,介于兩者之間有且只有兩條,小于最小的則不存在,大于最大的小于90°則有4條,等于90°有且只有一條．[解答]解：先將異面直線a,b平移到點(diǎn)P,則∠BPE=80°,∠EPD=100°而∠BPE的角平分線與a和b的所成角為40°,而∠EPD的角平分線與a和b的所成角為50°當(dāng)θ∈{θ|40°＜θ＜50°}∴直線與a,b所成的角相等且等于θ有且只有2條,使直線在面BPE的射影為∠BPE的角平分線,故選B．[點(diǎn)評(píng)]本小題主要考查異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法,以及射影等知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,考查轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題．二．解答題〔共7小題,滿分85分14．〔10分〔2015春?XX校級(jí)月考如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P到點(diǎn)B1的距離為．〔1要使A1C1⊥平面BB1P,則點(diǎn)P在何位置？〔2設(shè)直線B1P與平面ACD1所成的角為θ,求sinθ的取值范圍．[考點(diǎn)]LW：直線與平面垂直的判定．[專題]31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角；5H：空間向量及應(yīng)用．[分析]〔1以點(diǎn)B為圓心,以BA為半徑畫圓弧AC,交BD連線于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求,證明B1P=,且A1C1⊥平面BB1P即可；〔2建立空間直角坐標(biāo)系,求出向量與平面ACD1的法向量所成角的余弦值,即可得出直線B1P與平面ACD1所成角θ的正弦值取值范圍．[解答]解：〔1根據(jù)題意,以點(diǎn)B為圓心,以BA為半徑畫圓弧AC,交BD連線于點(diǎn)P,如圖所示,則點(diǎn)P即為所求．∵BP=BA=1,∴B1P=；又BD⊥AC,AC∥A1C1,∴BP⊥A1C1；又BB1⊥A1C1,且BC∩BB1=B,∴A1C1⊥平面BB1P；〔2建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；則B〔0,0,0,A〔﹣1,0,0,C〔0,1,0,B1〔0,0,1,D1〔﹣1,1,1,設(shè)點(diǎn)P〔cosα,sinα,0,則α∈[,π]；∴=〔1,1,0,=〔0,1,1,=〔cosα,sinα,﹣1；設(shè)平面ACD1的法向量為=〔x,y,z,則,即,令x=1,則y=﹣1,z=1,∴=〔1,﹣1,1；∴cos＜,＞===；∵α∈[,π],∴α+∈[,],∴cos〔α+∈[﹣1,﹣],∴cos〔α+﹣1∈[﹣﹣1,﹣2]；∴cos＜,＞∈[,],∵直線B1P與平面ACD1所成的角θ,∴sinθ=|cos＜,＞|∈[,],sinθ的取值范圍是[,]．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了空間直線與平面垂直的判斷問(wèn)題,也考查了空間角的計(jì)算問(wèn)題,是綜合性題目．解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用．15．〔10分〔2013?XX如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=．〔Ⅰ求證：BD⊥平面PAC；〔Ⅱ若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC,求三棱錐P﹣BDF的體積．[考點(diǎn)]LW：直線與平面垂直的判定；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．[專題]16：壓軸題；5F：空間位置關(guān)系與距離．[分析]〔Ⅰ由等腰三角形的性質(zhì)可得BD⊥AC,再由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BD．再利用直線和平面垂直的判定定理證明BD⊥平面PAC．〔Ⅱ由側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC,可得三棱錐F﹣BCD的高是三棱錐P﹣BCD的高的．求出△BCD的面積S△BCD,再根據(jù)三棱錐P﹣BDF的體積V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣,運(yùn)算求得結(jié)果．[解答]解：〔Ⅰ∵BC=CD=2,∴△BCD為等腰三角形,再由,∴BD⊥AC．再由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BD．而PA∩AC=A,故BD⊥平面PAC．〔Ⅱ∵側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC,∴三棱錐F﹣BCD的高是三棱錐P﹣BCD的高的．△BCD的面積S△BCD=BC?CD?sin∠BCD==．∴三棱錐P﹣BDF的體積V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣=×==．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用,用間接解法求棱錐的體積,屬于中檔題．16．〔10分〔2010?宿城區(qū)校級(jí)模擬如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得,已知FA⊥平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2,CE=3,O為AB的中點(diǎn)．〔Ⅰ求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；〔Ⅱ在DE上是否存在一點(diǎn)P,使CP⊥平面DEF？如果存在,求出DP的長(zhǎng)；若不存在,說(shuō)明理由．[考點(diǎn)]LW：直線與平面垂直的判定；MJ：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．[專題]11：計(jì)算題；15：綜合題；16：壓軸題；35：轉(zhuǎn)化思想．[分析]〔Ⅰ根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)法向量求出平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．〔Ⅱ假設(shè)在DE存在一點(diǎn)P,設(shè)出坐標(biāo),根據(jù)CP⊥面DEF,得到所以與平面DEF的法向量n2共線,求出λ,得到DP即可．[解答]解：以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,Oz分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,C〔0,,0,D〔1,0,1,E〔0,,3,F〔﹣1,0,2．〔Ⅰ平面ABC的法向量為n1=〔0,01．設(shè)平面DEF的法向量為n2=〔x,y,z,=〔﹣1,,2．由得所以取x=1,得n2=〔1,﹣,2．所以cos＜m1,m2＞===,所以平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為．〔Ⅱ假設(shè)在DE存在一點(diǎn)P,設(shè)P〔x,y,z,因?yàn)?λ,故〔x﹣1,y,z﹣1=λ〔﹣1,,2,所以P〔﹣λ+1,λ,2λ+1,所以CP=〔﹣λ+1,λ﹣,2λ+1．因?yàn)槠紺P⊥面DEF,所以與平面DEF的法向量n2共線,所以==,解得λ=,所以=,即|DP|=|DE|,所以DP=．[點(diǎn)評(píng)]本題考查直線與平面垂直的判定,以及與二面角相關(guān)的立體幾何問(wèn)題綜合運(yùn)用．通過(guò)數(shù)形結(jié)合,以及對(duì)知識(shí)的綜合考查,達(dá)到考查學(xué)生基本能力的目的,屬于中檔題．17．〔10分〔1980?全國(guó)如圖,長(zhǎng)方形框架ABCD﹣A′B′C′D′,三邊AB、AD、AA′的長(zhǎng)分別為6、8、3.6,AE與底面的對(duì)角線B′D′垂直于E．〔1證明A′E⊥B′D′；〔2求AE的長(zhǎng)．[考點(diǎn)]L3：棱錐的結(jié)構(gòu)特征．[專題]11：計(jì)算題；14：證明題；16：壓軸題．[分析]〔1先由AA'⊥平面A'B'C'D',可轉(zhuǎn)化為AA'⊥B'D',又AE⊥B'D',由線面垂直的判斷定理可得B'D'⊥平面AA'E,得證．〔2先由等面積法A'B'?A'D'=A'E?B'D'求得A'E,再由勾股定理求得AE．[解答]〔1證明：AA'⊥平面A'B'C'D',∴AA'⊥B'D'．又AE⊥B'D',∴B'D'⊥平面AA'E,因此B'D'⊥A'E〔2解：A'B'?A'D'=A'E?B'D'〔都是△A'B'D'面積的2倍∴6×8=A'E×,∴A'E=4.8∴AE=．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征,主要涉及了線線,線面,面面垂直的關(guān)系,以及基本量的關(guān)系．屬中檔題．18．〔12分在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,已知E、F、G分別是棱AB、AD、D1A1的中點(diǎn)．〔1求證：BG∥平面A1EF：〔2若P為棱CC1上一點(diǎn),求當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí),平面A1EF⊥平面EFP？[考點(diǎn)]LZ：平面與平面垂直的性質(zhì)；LS：直線與平面平行的判定．[專題]35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．[分析]〔1連接BD、DG,證明平面BGD∥平面A1EF,再證明BG∥平面A1EF；〔2以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面A1EF的法向量與平面EFP的法向量互相垂直,即可求出的值．[解答]解：〔1正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、G分別是棱AB、AD、D1A1的中點(diǎn),連接BD、DG,則EF∥BD,GD∥A1F,又BD?平面A1EF,EF?平面A1EF,所以BD∥平面A1EF；同理,GD∥平面A1EF,且BD∩GD=D,BD?平面BGD,GD?平面BGD,所以平面BGD∥平面A1EF,又BG?平面BGD,所以BG∥平面A1EF；〔2以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,CP=t〔0≤t≤1,A1〔1,0,1,A〔1,0,0,B〔1,1,0,C〔0,1,0,D〔0,0,0,E〔1,,0,F〔,0,0,P〔0,1,t；=〔﹣,﹣,0,=〔0,﹣,1,設(shè)平面A1EF的法向量為=〔x,y,z,則,即,取x=1,得=〔1,﹣1,﹣；又=〔﹣1,,t,設(shè)平面EFP的法向量為=〔a,b,c,則,即,取a=1,得=〔1,﹣1,,又平面A1EF⊥平面EFP,所以?=1+1﹣=0,解得t=,所以CP=,即=時(shí),平面A1EF⊥平面EFP．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了異面直線垂直的證明,也考查了直線與平面平行的證明以及使二面角為直二面角的線段的比值的求法問(wèn)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用．19．〔15分〔2011?XX學(xué)業(yè)考試ABCD為平行四邊形,P為平面ABCD外一點(diǎn),PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,AB=1,AC=．〔1求證：平面ACD⊥平面PAC；〔2求異面直線PC與BD所成角的余弦值；〔3設(shè)二面角A﹣PC﹣B的大小為θ,試求tanθ的值．[考點(diǎn)]LY：平面與平面垂直的判定；LM：異面直線及其所成的角；MT：二面角的平面角及求法．[專題]11：計(jì)算題；14：證明題；16：壓軸題．[分析]〔1由已知中,PA⊥面ABCD,結(jié)合面面垂直的判定