2021年九年級數(shù)學中考復習專題：三角形綜合（考查全等證明、長度與面積計算等）（四）

九年級數(shù)學中考復習專題：三角形綜合（考查全等證明、長度與面積計算等）（四）1．已知：如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（6，0），AB＝6，點P從點O出發(fā)沿線段OA向終點A運動，點P的運動速度是每秒2個單位長度，點D是線段OA的中點．（1）求點B的坐標；（2）設(shè)點P的運動時間為點t秒，△BDP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）當點P與點D重合時，連接BP，點E在線段AB上，連接PE，當∠BPE＝2∠OBP時，求點E的坐標．2．如圖，在△ABC中，點E在AC邊上運動（不含端點），BE平分∠DBC交DA于點P，且DB＝BC．（1）試說明：∠PEA＝∠DEB；（2）過點B作BF⊥AD交于點F，若∠P＝∠ABC＝60°，試說明：AB＝BC；（3）在（2）的條件下，試探究PA、PD、PB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由．3．在平面直角坐標系中，點A（3，0），點B（0，b）在y軸正半軸上，連接AB，在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，連接OC．（1）求△OAC的面積；（2）過C作CD⊥x軸于點D，在CD上截取CE＝AD，連接OE，求證：OE∥BC；（3）在（2）的條件下，連接AE，∠AED＝∠BOC，求OB+OC的值．4．如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，4），且滿足（a+5）2+＝0，過C作CB⊥x軸于B．（1）a＝，b＝，三角形ABC的面積＝；（2）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求∠AED的度數(shù)；（3）在y軸上是否存在點P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．5．【數(shù)學經(jīng)驗】三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積．【經(jīng)驗發(fā)展】面積比和線段比的聯(lián)系：（1）如圖1，M為△ABC的AB上一點，且BM＝2AM，．若△ABC的面積為a，若△CBM的面積為S，則S＝（用含a的代數(shù)式表示）．【結(jié)論應(yīng)用】如圖2，已知△CDE的面積為1，，，求△ABC的面積．【遷移應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，M是AB的三等分點（AM＝AB），N是BC的中點，若△ABC的面積是1，請直接寫出四邊形BMDN的面積為．6．在一個三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動三角形”．例如，三個內(nèi)角分別為120°、40°、20°的三角形是“靈動三角形”；三個內(nèi)角分別為80°、75°、25°的三角形也是“靈動三角形”等等．如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB于點C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度數(shù)為°，△AOB．（填“是”或“不是”）“靈動三角形”；（2）若∠BAC＝70°，則△AOC（填“是”或“不是”）“靈動三角形”；（3）當△ABC為“靈動三角形”時，求∠OAC的度數(shù)．7．如圖所示，在△ABC中，點D、E、F分別是AB、AC、BC上的點，且∠ADE＝90°，∠DEF＝90°，點P是FC上一點，直線DP交直線EF于點G，試探究∠BDP與∠EGP之間的數(shù)量關(guān)系．（1）請你完成這道思考題；（2）若將題中的條件“∠ADE＝90°，∠DEF＝90°，點P是FC上一點”改為“∠AED＝∠C，∠B＝∠DEF，點P是線段BC上一點（點P不與點F重合）”，其他條件均不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請在備用圖上畫出圖形，并說明理由．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC與∠BAC的角平分線相交于點P，連接CP，過點P作DE⊥CP分別交AC、BC于點D、E，（1）若∠BAC＝40°，求∠APB與∠ADP度數(shù)；（2）探究：通過（1）的計算，小明猜測∠APB＝∠ADP，請你說明小明猜測的正確性（要求寫出過程）．9．如圖所示，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，D為AB中點．點P在線段BC上以2cm/s的速度由B點向C點運動，點Q在線段CA上以cm/s的速度由C點向A點運動，P、Q兩點同時出發(fā)．（1）設(shè)運動時間為t，則BP的距離可表示為；CQ的距離可表示為；（2）在點P、Q的運動過程中，存在某一時刻，使得△BPD≌△CPQ嗎？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．（3）若點P、Q均以原來的速度按逆時針方向沿△ABC的三邊循環(huán)運動，經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次相遇？此時它們在哪條邊上？10．在矩形ABCD中，E是AD延長線上一點，F(xiàn)、G分別為EC、AD的中點，連接BG、CG、BE、FG．（1）如圖1，①求證：BG＝CG；②若GF＝3，求BE的長；（2）如圖2，若ED＝CD，過點C作CH⊥BE于點H，若BC＝4，∠EBC＝30°，求EH的長．參考答案1．解：（1）∵A（6，0），∴OA＝6，在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝6，OA＝6，∴OB＝＝＝6，∴B（0，6）．（2）①當0＜t＜3時，S＝?PD?BO＝?（3﹣2t）×6＝9﹣6t，當3＜t≤6時，S＝?DP?OB＝（2t﹣3）×6＝6t﹣9．（3）如圖，作PJ∥OB交AB于J，過點E作EK⊥OA于K．∵PJ∥OB，∴∠OBP＝∠BPJ，∵∠BPE＝2∠OBP，∴∠JPE＝∠OBP，∵EK∥PJ，∴∠PEK＝∠JPE＝∠OBP，∴tan∠PEK＝tan∠OBE＝，∴＝，設(shè)PK＝m，則EK＝2m，∵OA＝OB＝6，∠AOB＝90°，∴∠EAK＝45°，∵EK⊥OA，∴∠EKA＝90°，∴∠EAK＝∠KEA＝45°，∴EK＝AK＝2m，∴PA＝3m＝3，∴m＝1，∴OK＝4，EK＝2，∴E（4，2）．2．（1）證明：∵BE平分∠DBC，∴∠EBD＝∠EBC，∵EB＝EB，DB＝CB，∴△EBD≌△EBC（SAS），∴∠DEB＝∠CEB，∵∠PEA＝∠CEB，∴∠PEA＝∠DEB．（2）證明：∵∠P＝∠ABC＝60°，BF⊥DP于F，∴∠FBP＝30°，∴∠EBC＝∠EBD，∠ABE+∠EBC＝∠ABE+∠DBE＝60°，∴2∠ABE+∠ABF+∠FBD＝60°，∴∠ABE+∠FBD＝∠ABE+∠ABF＝30°，∴∠DBF＝∠ABF，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，∴∠BDF＝∠BAF，∴BD＝BA，∵BD＝BC，∴BA＝BC．（3）結(jié)論：PA+PD＝PB．理由：由（2）可知，BD＝BA，∵BF⊥AD，∴AF＝DF，∵∠BFP＝90°，∠FBP＝30°，∴PB＝2PF＝2（PA+AF）＝PA+PA+2AF＝PA+PA+AD＝PA+PD．即PA+PD＝PB．3．解：（1）如圖1中，過點C作CH⊥x軸于H．∵A（3，0），∴OA＝3，∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠OAB＝∠ACH，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴OA＝CH＝3，∴S△AOC＝?OA?CH＝．（2）如圖2中，連接OE．∵△AOB≌△CDA，∴OB＝AD，∵CE＝AD，∴OB＝CE，∵OB∥CD，∴四邊形OECB是平行四邊形，∴OE∥BC．（3）如圖3中，作∠BOC的角平分線OJ交DC的延長線于J．連接OC，AJ，OE，AE．∵OJ平分∠BOC，∴∠BOJ＝∠JOC，∵DJ∥OB，∴∠OJC＝∠BOJ，∴∠OCJ＝∠CJO，∴OC＝CJ，∵∠AED＝∠OBC，∴∠AED＝∠OJC，∴AE∥OJ，∴S△ACJ＝S△OAC，∴＝，∴＝，∵EC＝OB＝AD＝b，OA＝CD＝3，∴OC＝CJ＝，DE＝3﹣b，∴＝，∴＝﹣3﹣b，∴9+9+6b+b2＝+9+b2﹣+6b﹣18，整理得，3（）2﹣﹣1＝0，解得＝1或﹣（舍棄），∴b＝1，經(jīng)檢驗b＝1是方程的解，∴OB＝1，OC＝5，∴OB+OC＝6．4．解：（1）∵（a+5）2+＝0，又∵（a+5）2≥0，≥0，∴a＝﹣5，b＝5，∵CB⊥x軸，∴點A坐標（﹣5，0），點B坐標（5，0），點C坐標（5，4），∴S△ABC＝×10×4＝20．故答案為：﹣5，5，20；（2）∵BD∥AC，∴∠CAB＝∠ABD，過E作EF∥AC，如圖2，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，∴∠CAE＝∠CAB＝＝∠AEF，∠DEF＝∠BDE＝∠ODB，∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝（∠CAB+∠ODB）＝＝45°；（3）存在，設(shè)P（0，t），分兩種情況：①當P在y軸正半軸上時，如圖3，過P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，∵S△APC＝S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP＝S△ABC＝20，∴，解得t＝6，②當P在y軸負半軸上時，如圖4，過P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，∵S△APC＝S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP＝20∴，解得t＝﹣2，∴P（0，6）或（0，﹣2）．5．解：（1）∵M為△ABC的AB上一點，且BM＝2AM，∴S＝a，故答案為a；（2）連接BD，∵△CDE的面積為1，，∴S△BDC＝3S△DEC＝3，∵，∴S△ABC＝4S△BDC＝12；（3）連接BD，設(shè)S△ADM＝a，∵M是AB的三等分點（AM＝AB），∴S△ABD＝3a，S△BDM＝2a，∵N是BC的中點，∴S△ABN＝S△ACN，S△BDN＝S△CDN，∴S△ADC＝S△ADB＝3a，∴S△ACM＝4a，∵AM＝AB，∴S△CBM＝2S△ACM＝8a，∴S△CDB＝6a，S△ABC＝12a，∴S△BDN＝3a，∴S四邊形BMDN＝5a，∴S四邊形BMDN＝S△ABC＝×1＝，故答案為．6．解：（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“靈動三角形”．故答案為：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“靈動三角形”．故答案為：是．（3）①當∠CAB＝3∠ABC，時，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°．②當∠ABC＝3∠CAB時，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．③∠ACB＝3∠CAB時，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°，綜上所述，滿足條件的值為30°或52.5°或80°．7．解：（1）結(jié)論：∠BDP+∠EGP＝180°．理由：∵∠ADE＝∠DEF＝90°，∴AB∥EF，∴∠BDG＝∠DGE，∵∠DGE+∠EGP＝180°，∴∠BDP+∠EGP＝180°．（2）結(jié)論不變．∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠DEF，∴∠ADE＝∠DEF，∴AB∥EF，∴∠BDG＝∠DGE，∵∠DGE+∠EGP＝180°，∴∠BDP+∠EGP＝180°．8．解：（1）∵∠ABC與∠BAC的角平分線相交于點P，∴PC平分∠ACB，∴∠PCD＝∠PCE＝∠ACB＝×90°＝45°，∵PC⊥DE，∴∠CPD＝90°，∴∠CDE＝45°，∴∠ADP＝135°，∵∠BAC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵∠PBA＝∠ABC＝25°，∠PAB＝∠BAC＝20°，∴∠APB＝180°﹣25°﹣20°＝135°．（2）結(jié)論：∠APB＝∠ADP．理由：∵PB，PA分別是∠ABC，∠BAC的角平分線，∴∠PBA＝∠ABC，∠PAB＝∠BAC，∴∠APB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，∵∠ADP＝135°，∴∠APB＝∠ADP．9．解：（1）∵點P在線段BC上以2cm/s的速度由B點向C點運動，點Q在線段CA上以cm/s的速度由C點向A點運動，∴BP＝2t，CQ＝t，故答案為：2t，t；（2）存在，此時t＝2，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴當BP＝CP，CQ＝BD時，△BPD≌△CPQ，∴2t＝8﹣2t，×10，∴t＝2，∴t＝2時，△BPD≌△CPQ；（3）設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇，由題意得，x＝2x+2×10，解得x＝40，∴點P共運動了40×2＝80cm，∴80＝56+24＝2×28+24，∴點P，點Q在AB邊上相遇，∴經(jīng)過40秒，點P與點Q第一次相遇，此時它們在邊AB上．10．（1）①證明：∵G為AD的中點，∴AG＝DG，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠CDG＝90°，在△ABG和△DCG中，，∴△ABG≌△DCG（SAS），∴BG＝CG；②證明：延長GF、BC交于點Q，如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AGB＝∠CBG，∠EGF＝∠Q，∵F為EC的中點，∴EF＝CF，在△GFE和△QFC中，，∴△GFE≌△QFC（AAS），∴GE＝CQ，GF＝QF，由（1）得：BG＝CG，∴∠CBG＝∠BCG，∴∠AGB＝∠BCG，∴∠BGE＝∠GCQ，在△BGE和△GCQ中，，∴△B