常微分方程的差分方法課件

數(shù)值分析簡明教程第三章常微分方程的差分方法1歐拉方法2改進(jìn)的歐拉方法3龍格-庫塔方法4亞當(dāng)姆斯方法5收斂性與穩(wěn)定性6方程組與高階方程的情形7邊值問題數(shù)值分析簡明教程第三章常微分方程的差分方法1歐拉方數(shù)值分析簡明教程引言

科學(xué)技術(shù)當(dāng)中常常需要求解常微分方程的定解問題。這類問題的最簡單的形式，是本章著重要考察的一階方程的初值問題：本章中我們假定右函數(shù)適當(dāng)光滑以保證初值問題解的存在唯一。雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但求解從實際問題中歸結(jié)出來的微分方程要靠數(shù)值解法。差分法是一類重要的數(shù)值方法，這類方法是要尋求離散節(jié)點上的近似解，相鄰節(jié)點間距稱為步長。初值問題的各種差分方法都采用“步進(jìn)式”，即求解過程順著節(jié)點排列的次序一步一步地向前推進(jìn)。描述這類算法，只要給出從已知信息計算的遞推公式，這類計算格式統(tǒng)稱為差分格式。數(shù)值分析簡明教程引言科學(xué)技數(shù)值分析簡明教程歐拉格式微分方程的本質(zhì)特征是方程中含有導(dǎo)數(shù)項，這也是它難于求解的癥結(jié)所在。數(shù)值解法的第一步就是設(shè)法消除其導(dǎo)數(shù)值，這項手續(xù)稱為離散化。實現(xiàn)離散化的基本途徑就用差商代替導(dǎo)數(shù)。譬如，若在點列出方程，并用差商代替，結(jié)果有設(shè)用的近似值代入上式右端，記所得結(jié)果為，這樣導(dǎo)出的計算公式就是眾所周知的歐拉（Euler）格式，若初值是已知的，則依據(jù)上式即可逐步算出數(shù)值解。數(shù)值分析簡明教程歐拉格式微分方程的本質(zhì)特征是數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler，1707-1783）18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，也是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被稱為“分析的化身”。萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler，1707-1783），1707年出生在瑞士的巴塞爾城，小時候他就特別喜歡數(shù)學(xué)，不滿10歲就開始自學(xué)《代數(shù)學(xué)》。這本書連他的幾位老師都沒讀過，可小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，就用筆作個記號，事后再向別人請教。13歲就進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，這在當(dāng)時是個奇跡，曾轟動了數(shù)學(xué)界。小歐拉是這所大學(xué)，也是整個瑞士大學(xué)校園里年齡最小的學(xué)生。在大學(xué)里得到當(dāng)時最有名的數(shù)學(xué)家微積分權(quán)威約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指導(dǎo)，并逐漸與其建立了深厚的友誼。約翰·伯努利后來曾這樣稱贊青出于藍(lán)而勝于藍(lán)的學(xué)生：“我介紹高等分析時，他還是個孩子，而你將他帶大成人。”兩年后的夏天，歐拉獲得巴塞爾大學(xué)的學(xué)士學(xué)位，次年，歐拉又獲得巴塞爾大學(xué)的哲學(xué)碩士學(xué)位。1725年，歐拉開始了他的數(shù)學(xué)生涯。1783年9月18日，在不久前才剛計算完氣球上升定律的歐拉，在興奮中突然停止了呼吸，煙斗從手中落下，口里喃喃地說：“我要死了”，歐拉終于“停止了生命和計算”，享年76歲。歐拉生活、工作過的三個國家：瑞士、俄國、德國，都把歐拉作為自己的數(shù)學(xué)家，為有他而感到驕傲.

數(shù)值分析簡明教程萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler數(shù)值分析簡明教程他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個多世紀(jì)寫下了浩如煙海的書籍和論文．可以說歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，據(jù)統(tǒng)計他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文（七十余卷，牛頓全集八卷，高斯全集十二卷），其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。到今幾乎每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程的歐拉方程，級數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學(xué)的歐拉方程，復(fù)變函數(shù)的歐拉公式等等，數(shù)也數(shù)不清．他對數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)更獨具匠心，《無窮小分析引論》一書便是他劃時代的代表作，當(dāng)時數(shù)學(xué)家們稱他為"分析學(xué)的化身"．

數(shù)值分析簡明教程他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個多世數(shù)值分析簡明教程19世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家高斯（Gauss，1777-1855年）曾說："研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法．"

歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的．歐拉在數(shù)學(xué)、物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面都取得了輝煌的成就。在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，常常見到以歐來命名的公式、定理、和重要常數(shù)。課本上常見的如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等，都是他創(chuàng)立并推廣的。歌德巴赫猜想也是在他與歌德巴赫的通信中提出來的。歐拉還首先完成了月球繞地球運動的精確理論，創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)等力學(xué)學(xué)科，深化了望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡的設(shè)計計算理論。

數(shù)值分析簡明教程19世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家高斯（Gauss，1777數(shù)值分析簡明教程歐拉不但重視教育，而且重視人才。當(dāng)時法國的拉格朗日只有19歲，而歐拉已48歲。拉格朗日與歐拉通信討論“等周問題”，歐拉也在研究這個問題。后來拉格朗日獲得成果，歐拉就壓下自己的論文，讓拉格朗日首先發(fā)表，使他一舉成名。數(shù)值分析簡明教程歐拉不但重視教育，而且重視人才。當(dāng)時法國的拉數(shù)值分析簡明教程七橋問題

七橋問題SevenBridgesProblem18世紀(jì)著名古典數(shù)學(xué)問題之一。在哥尼斯堡的一個公園里，有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€島及島與河岸連接起來(如圖)。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點？歐拉于1736年研究并解決了此問題，他把問題歸結(jié)為如下右圖的“一筆畫”問題，證明上述走法是不可能的。

給出了連通網(wǎng)絡(luò)可一筆畫的充要條件是它們是連通的，且奇頂點(通過此點弧的條數(shù)是奇數(shù))的個數(shù)為0或2。

數(shù)值分析簡明教程七橋問題

七橋問題SevenBridg數(shù)值分析簡明教程1733年，年僅26歲的歐拉擔(dān)任了彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)教授．1735年，歐拉解決了一個天文學(xué)的難題（計算彗星軌道），這個問題經(jīng)幾個著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了．然而過度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，這時他才28歲．1741年歐拉應(yīng)普魯士彼德烈大帝的邀請，到柏林擔(dān)任科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長，直到1766年，后來在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡，不料沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而來，1771年彼得堡的大火災(zāi)殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了．

沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發(fā)誓要把損失奪回來．歐拉完全失明以后，雖然生活在黑暗中，但仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世，竟達(dá)17年之久數(shù)值分析簡明教程1733年，年僅26歲的歐拉擔(dān)任了彼得堡科學(xué)數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程歐拉格式的精度為簡化分析，人們常在為準(zhǔn)確即的前提下估計誤差，這種誤差稱為局部截斷誤差。如果一種數(shù)值方法的局部截斷誤差為，則稱它的的精度是階的，或稱之為階方法。歐拉格式僅為一階方法。數(shù)值分析簡明教程歐拉格式的精度為簡化分析，數(shù)值分析簡明教程隱式歐拉格式設(shè)改用后差商替代方程

中的導(dǎo)數(shù)項，再離散化，即可導(dǎo)出下列格式該格式右端含有未知的，它實際上是個關(guān)于的函數(shù)方程。故稱該格式隱式歐拉格式。隱式歐拉格式也是一階方法,與歐拉格式相當(dāng)。數(shù)值分析簡明教程隱式歐拉格式設(shè)改用后差商數(shù)值分析簡明教程兩步歐拉格式1設(shè)改用中心差商替代方程

中的導(dǎo)數(shù)項，再離散化，即可導(dǎo)出下列格式無論是顯式歐拉格式還是隱式歐拉格式，它們都是單步法，其特點是計算時只用到前一步的信息，而該格式卻調(diào)用了前面兩步的信息，兩步歐拉格式因此而得名。兩步歐拉格式具有更高的精度，它是二階方法。數(shù)值分析簡明教程兩步歐拉格式1設(shè)改用中心差商數(shù)值分析簡明教程兩步歐拉格式2數(shù)值分析簡明教程兩步歐拉格式2數(shù)值分析簡明教程微分方程的數(shù)值解數(shù)值分析簡明教程微分方程的數(shù)值解數(shù)值分析簡明教程梯形公式1設(shè)將方程的兩端從到求積分，即得，顯然，只要能近似的算出其中的積分項，我們就可以得到計算的差分格式。若我們用梯形法計算積分項：再離散化，即可得如下計算公式與梯形求積公式相呼應(yīng)的這一差分格式稱為梯形格式。數(shù)值分析簡明教程梯形公式1設(shè)將方程數(shù)值分析簡明教程梯形公式2數(shù)值分析簡明教程梯形公式2數(shù)值分析簡明教程改進(jìn)的歐拉格式先用歐拉法求得一個初步的近似值，記為，稱之為預(yù)報值，然后用它替代梯形法右端的再直接計算，得到校正值，這樣建立的預(yù)報－校正系統(tǒng)稱為改進(jìn)的歐拉格式：預(yù)報校正它有下列平均化形式：實踐表明，改進(jìn)的歐拉格式明顯改善了精度。數(shù)值分析簡明教程改進(jìn)的歐拉格式先用歐拉法求得一數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程龍格-庫塔法的設(shè)計思想考察差商，根據(jù)微分中值定理，存在點,利用所給方程得我們稱為區(qū)間上的平均斜率，這樣只要對平均斜率提供一種算法，相應(yīng)地我們便導(dǎo)出一種計算格式。龍格－庫塔（Runge－Kutta）方法設(shè)計思想就是設(shè)法在內(nèi)多預(yù)報幾個點的斜率值，然后把它們加權(quán)平均作為平均斜率，以期望構(gòu)造出更高精度的計算格式。數(shù)值分析簡明教程龍格-庫塔法的設(shè)計思想考察差數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法1隨意考察區(qū)間內(nèi)一點，用兩個點的斜率的加權(quán)平均代替平均斜率,于是我們就得到如下計算格式:(類似于改進(jìn)的歐拉格式)其中有兩個待定參數(shù)，適當(dāng)選取它們的值，就可使上述格式有較高的精度。若，該格式是二階的，故統(tǒng)稱滿足這一條件的一族格式為二階龍格－庫塔格式。特別地，當(dāng)時，上述格式即為改進(jìn)的歐拉格式，如果取，則上述格式稱為變形的歐拉格式，亦稱為中點格式。數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法1隨意考察數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法2數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法2數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法3數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法3數(shù)值分析簡明教程作業(yè)P.124第9題數(shù)值分析簡明教程作業(yè)P.124數(shù)值分析簡明教程三階龍格-庫塔方法為了進(jìn)一步提高精度，我們可以考慮用三個點的斜率值加權(quán)平均得出平均斜率的近似值，其中，于是就可以構(gòu)造所謂的三階龍格－庫塔格式，下列庫塔格式是其中的一種：

數(shù)值分析簡明教程三階龍格-庫塔方法為了進(jìn)一數(shù)值分析簡明教程四階龍格-庫塔方法繼續(xù)上述過程，我們可以導(dǎo)出四階龍格－庫塔格式，下列經(jīng)典格式是其中的一種：值得注意的是，龍格－庫塔法的推導(dǎo)基于泰勒展開法，因而它要求解具有較好的光滑性。如果解的光滑性差，則該方法得到的解反而不好。數(shù)值分析簡明教程四階龍格-庫塔方法繼續(xù)上述過程數(shù)值分析簡明教程變步長的龍格-庫塔方法同積分的數(shù)值計算一樣，微分方程的數(shù)值解法也需要選擇步長。同樣，我們可以采取步長加倍或折半的辦法選擇步長，即通過檢查步長折半前后的兩種計算結(jié)果的偏差：來判斷選取的步長是否合適，具體可以分為兩種情況來處理：對于給定精度，若，則反復(fù)將步長折半進(jìn)行計算直到為止，取步長折半后的“新值”作為結(jié)果；相反的，反復(fù)將步長加倍直到，取步長加倍前的“老值”作為結(jié)果。

這種通過步長加倍或折半的手續(xù)處理步長的方法稱為變步長方法。數(shù)值分析簡明教程變步長的龍格-庫塔方法同積分的數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式1

亞當(dāng)姆斯（Adams)方法的設(shè)計思想是充分利用計算之前已得到一系列節(jié)點上的斜率值來減少計算量。譬如，我們可以用兩點的斜率的加權(quán)平均作為區(qū)間上的平均斜率，于是可設(shè)計出如下二階亞當(dāng)姆斯格式:Adams方法亦成為線性多步法類似的，可導(dǎo)出如下三階和四階亞當(dāng)姆斯格式：數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式1亞當(dāng)姆斯（Ad數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式2數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式2數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式3數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式3數(shù)值分析簡明教程隱式亞當(dāng)姆斯格式1同樣，我們也可導(dǎo)出如下隱式的二階、三階和四階亞當(dāng)姆斯格式：數(shù)值分析簡明教程隱式亞當(dāng)姆斯格式1同樣數(shù)值分析簡明教程隱式亞當(dāng)姆斯格式2數(shù)值分析簡明教程隱式亞當(dāng)姆斯格式2數(shù)值分析簡明教程作業(yè)數(shù)值分析簡明教程作業(yè)數(shù)值分析簡明教程證明3階Adams格式數(shù)值分析簡明教程證明3階Adams格式數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯預(yù)報-校正系統(tǒng)仿照改進(jìn)的歐拉格式的構(gòu)造方法，將顯式和隱式兩種亞當(dāng)姆斯格式相匹配，可構(gòu)成下列亞當(dāng)姆斯預(yù)報－校正系統(tǒng)：預(yù)報校正數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯預(yù)報-校正系統(tǒng)仿照改進(jìn)數(shù)值分析簡明教程改進(jìn)的亞當(dāng)姆斯預(yù)報-校正系統(tǒng)我們可以方便地估計出亞當(dāng)姆斯預(yù)報校正系統(tǒng)的截斷誤差，從而依據(jù)這種估計將該系統(tǒng)就可改進(jìn)為如下精度更高的計算方案：預(yù)報改進(jìn)

校正改進(jìn)數(shù)值分析簡明教程改進(jìn)的亞當(dāng)姆斯預(yù)報-校正系統(tǒng)我數(shù)值分析簡明教程記住的公式數(shù)值分析簡明教程記住的公式數(shù)值分析簡明教程收斂性問題1在用差分格式求解微分方程時我們要考慮差分格式的收斂性。我們稱差分格式是收斂的，如果對任意固定的，數(shù)值解當(dāng)（同時）時趨于準(zhǔn)確解。以下我們研究歐拉方法的收斂性。我們記，記為關(guān)于的李普希茲常數(shù)，經(jīng)反復(fù)遞推，可得其中為常數(shù)。若初始是準(zhǔn)確的，即，則當(dāng)時，有。這說明歐拉方法是收斂的。數(shù)值分析簡明教程收斂性問題1在用差分格式求解微數(shù)值分析簡明教程收斂性問題2數(shù)值分析簡明教程收斂性問題2數(shù)值分析簡明教程收斂性問題3數(shù)值分析簡明教程收斂性問題3數(shù)值分析簡明教程收斂性問題4數(shù)值分析簡明教程收斂性問題4數(shù)值分析簡明教程穩(wěn)定性問題1關(guān)于收斂性的討論有個前提，即必須假定差分方法的每一步計算都是準(zhǔn)確的。然而實際計算中往往由于有舍入誤差等原因而產(chǎn)生擾動，而這些擾動有可能“淹沒”真解，所以我們還要考慮穩(wěn)定性問題。收斂性主要考慮算法的內(nèi)在誤差,而穩(wěn)定性考慮外在誤差。我們稱差分方法是穩(wěn)定的，如果在節(jié)點值上大小為的擾動于以后各節(jié)點值上產(chǎn)生的偏差值均不超過。穩(wěn)定性比較復(fù)雜。為簡化討論，我們僅考察下列模型方程可以驗證，對于該模型方程，歐拉格式是條件穩(wěn)定的，而隱式歐拉格式是恒穩(wěn)定的。數(shù)值分析簡明教程穩(wěn)定性問題1關(guān)于收斂性的討論數(shù)值分析簡明教程穩(wěn)定性問題2數(shù)值分析簡明教程穩(wěn)定性問題2數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程一階方程組前面我們研究了單個方程的差分方法，只要把和理解為向量，所提供的各種算法即可推廣應(yīng)用到一階方程組的情形。譬如，對于方程組令，以表示節(jié)點上的近似解，則其歐拉格式具有形式：數(shù)值分析簡明教程一階方程組前面我們研究了單個數(shù)值分析簡明教程一階方程組則其改進(jìn)的歐拉格式具有形式：預(yù)報校正數(shù)值分析簡明教程一階方程組則其改進(jìn)的歐拉格式具有形式：數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程化高階方程為一階方程組關(guān)于高階微分方程（或方程組）的初值問題，原則上總可以歸結(jié)為一階方程組來求解。譬如，對于下列二階方程的初值問題若引進(jìn)新的變量，即可化為一階方程組的初值問題從而可以運用前面介紹的各種算法求解。數(shù)值分析簡明教程化高階方程為一階方程組關(guān)于高階數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程第三章常微分方程的差分方法1歐拉方法2改進(jìn)的歐拉方法3龍格-庫塔方法4亞當(dāng)姆斯方法5收斂性與穩(wěn)定性6方程組與高階方程的情形7邊值問題數(shù)值分析簡明教程第三章常微分方程的差分方法1歐拉方數(shù)值分析簡明教程引言

科學(xué)技術(shù)當(dāng)中常常需要求解常微分方程的定解問題。這類問題的最簡單的形式，是本章著重要考察的一階方程的初值問題：本章中我們假定右函數(shù)適當(dāng)光滑以保證初值問題解的存在唯一。雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但求解從實際問題中歸結(jié)出來的微分方程要靠數(shù)值解法。差分法是一類重要的數(shù)值方法，這類方法是要尋求離散節(jié)點上的近似解，相鄰節(jié)點間距稱為步長。初值問題的各種差分方法都采用“步進(jìn)式”，即求解過程順著節(jié)點排列的次序一步一步地向前推進(jìn)。描述這類算法，只要給出從已知信息計算的遞推公式，這類計算格式統(tǒng)稱為差分格式。數(shù)值分析簡明教程引言科學(xué)技數(shù)值分析簡明教程歐拉格式微分方程的本質(zhì)特征是方程中含有導(dǎo)數(shù)項，這也是它難于求解的癥結(jié)所在。數(shù)值解法的第一步就是設(shè)法消除其導(dǎo)數(shù)值，這項手續(xù)稱為離散化。實現(xiàn)離散化的基本途徑就用差商代替導(dǎo)數(shù)。譬如，若在點列出方程，并用差商代替，結(jié)果有設(shè)用的近似值代入上式右端，記所得結(jié)果為，這樣導(dǎo)出的計算公式就是眾所周知的歐拉（Euler）格式，若初值是已知的，則依據(jù)上式即可逐步算出數(shù)值解。數(shù)值分析簡明教程歐拉格式微分方程的本質(zhì)特征是數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler，1707-1783）18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，也是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被稱為“分析的化身”。萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler，1707-1783），1707年出生在瑞士的巴塞爾城，小時候他就特別喜歡數(shù)學(xué)，不滿10歲就開始自學(xué)《代數(shù)學(xué)》。這本書連他的幾位老師都沒讀過，可小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，就用筆作個記號，事后再向別人請教。13歲就進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，這在當(dāng)時是個奇跡，曾轟動了數(shù)學(xué)界。小歐拉是這所大學(xué)，也是整個瑞士大學(xué)校園里年齡最小的學(xué)生。在大學(xué)里得到當(dāng)時最有名的數(shù)學(xué)家微積分權(quán)威約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指導(dǎo)，并逐漸與其建立了深厚的友誼。約翰·伯努利后來曾這樣稱贊青出于藍(lán)而勝于藍(lán)的學(xué)生：“我介紹高等分析時，他還是個孩子，而你將他帶大成人。”兩年后的夏天，歐拉獲得巴塞爾大學(xué)的學(xué)士學(xué)位，次年，歐拉又獲得巴塞爾大學(xué)的哲學(xué)碩士學(xué)位。1725年，歐拉開始了他的數(shù)學(xué)生涯。1783年9月18日，在不久前才剛計算完氣球上升定律的歐拉，在興奮中突然停止了呼吸，煙斗從手中落下，口里喃喃地說：“我要死了”，歐拉終于“停止了生命和計算”，享年76歲。歐拉生活、工作過的三個國家：瑞士、俄國、德國，都把歐拉作為自己的數(shù)學(xué)家，為有他而感到驕傲.

數(shù)值分析簡明教程萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler數(shù)值分析簡明教程他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個多世紀(jì)寫下了浩如煙海的書籍和論文．可以說歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，據(jù)統(tǒng)計他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文（七十余卷，牛頓全集八卷，高斯全集十二卷），其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。到今幾乎每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程的歐拉方程，級數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學(xué)的歐拉方程，復(fù)變函數(shù)的歐拉公式等等，數(shù)也數(shù)不清．他對數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)更獨具匠心，《無窮小分析引論》一書便是他劃時代的代表作，當(dāng)時數(shù)學(xué)家們稱他為"分析學(xué)的化身"．

數(shù)值分析簡明教程他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個多世數(shù)值分析簡明教程19世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家高斯（Gauss，1777-1855年）曾說："研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法．"

歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的．歐拉在數(shù)學(xué)、物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面都取得了輝煌的成就。在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，常常見到以歐來命名的公式、定理、和重要常數(shù)。課本上常見的如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等，都是他創(chuàng)立并推廣的。歌德巴赫猜想也是在他與歌德巴赫的通信中提出來的。歐拉還首先完成了月球繞地球運動的精確理論，創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)等力學(xué)學(xué)科，深化了望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡的設(shè)計計算理論。

數(shù)值分析簡明教程19世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家高斯（Gauss，1777數(shù)值分析簡明教程歐拉不但重視教育，而且重視人才。當(dāng)時法國的拉格朗日只有19歲，而歐拉已48歲。拉格朗日與歐拉通信討論“等周問題”，歐拉也在研究這個問題。后來拉格朗日獲得成果，歐拉就壓下自己的論文，讓拉格朗日首先發(fā)表，使他一舉成名。數(shù)值分析簡明教程歐拉不但重視教育，而且重視人才。當(dāng)時法國的拉數(shù)值分析簡明教程七橋問題

七橋問題SevenBridgesProblem18世紀(jì)著名古典數(shù)學(xué)問題之一。在哥尼斯堡的一個公園里，有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€島及島與河岸連接起來(如圖)。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點？歐拉于1736年研究并解決了此問題，他把問題歸結(jié)為如下右圖的“一筆畫”問題，證明上述走法是不可能的。

給出了連通網(wǎng)絡(luò)可一筆畫的充要條件是它們是連通的，且奇頂點(通過此點弧的條數(shù)是奇數(shù))的個數(shù)為0或2。

數(shù)值分析簡明教程七橋問題

七橋問題SevenBridg數(shù)值分析簡明教程1733年，年僅26歲的歐拉擔(dān)任了彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)教授．1735年，歐拉解決了一個天文學(xué)的難題（計算彗星軌道），這個問題經(jīng)幾個著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了．然而過度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，這時他才28歲．1741年歐拉應(yīng)普魯士彼德烈大帝的邀請，到柏林擔(dān)任科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長，直到1766年，后來在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡，不料沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而來，1771年彼得堡的大火災(zāi)殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了．

沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發(fā)誓要把損失奪回來．歐拉完全失明以后，雖然生活在黑暗中，但仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世，竟達(dá)17年之久數(shù)值分析簡明教程1733年，年僅26歲的歐拉擔(dān)任了彼得堡科學(xué)數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程歐拉格式的精度為簡化分析，人們常在為準(zhǔn)確即的前提下估計誤差，這種誤差稱為局部截斷誤差。如果一種數(shù)值方法的局部截斷誤差為，則稱它的的精度是階的，或稱之為階方法。歐拉格式僅為一階方法。數(shù)值分析簡明教程歐拉格式的精度為簡化分析，數(shù)值分析簡明教程隱式歐拉格式設(shè)改用后差商替代方程

中的導(dǎo)數(shù)項，再離散化，即可導(dǎo)出下列格式該格式右端含有未知的，它實際上是個關(guān)于的函數(shù)方程。故稱該格式隱式歐拉格式。隱式歐拉格式也是一階方法,與歐拉格式相當(dāng)。數(shù)值分析簡明教程隱式歐拉格式設(shè)改用后差商數(shù)值分析簡明教程兩步歐拉格式1設(shè)改用中心差商替代方程

中的導(dǎo)數(shù)項，再離散化，即可導(dǎo)出下列格式無論是顯式歐拉格式還是隱式歐拉格式，它們都是單步法，其特點是計算時只用到前一步的信息，而該格式卻調(diào)用了前面兩步的信息，兩步歐拉格式因此而得名。兩步歐拉格式具有更高的精度，它是二階方法。數(shù)值分析簡明教程兩步歐拉格式1設(shè)改用中心差商數(shù)值分析簡明教程兩步歐拉格式2數(shù)值分析簡明教程兩步歐拉格式2數(shù)值分析簡明教程微分方程的數(shù)值解數(shù)值分析簡明教程微分方程的數(shù)值解數(shù)值分析簡明教程梯形公式1設(shè)將方程的兩端從到求積分，即得，顯然，只要能近似的算出其中的積分項，我們就可以得到計算的差分格式。若我們用梯形法計算積分項：再離散化，即可得如下計算公式與梯形求積公式相呼應(yīng)的這一差分格式稱為梯形格式。數(shù)值分析簡明教程梯形公式1設(shè)將方程數(shù)值分析簡明教程梯形公式2數(shù)值分析簡明教程梯形公式2數(shù)值分析簡明教程改進(jìn)的歐拉格式先用歐拉法求得一個初步的近似值，記為，稱之為預(yù)報值，然后用它替代梯形法右端的再直接計算，得到校正值，這樣建立的預(yù)報－校正系統(tǒng)稱為改進(jìn)的歐拉格式：預(yù)報校正它有下列平均化形式：實踐表明，改進(jìn)的歐拉格式明顯改善了精度。數(shù)值分析簡明教程改進(jìn)的歐拉格式先用歐拉法求得一數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程數(shù)值分析簡明教程龍格-庫塔法的設(shè)計思想考察差商，根據(jù)微分中值定理，存在點,利用所給方程得我們稱為區(qū)間上的平均斜率，這樣只要對平均斜率提供一種算法，相應(yīng)地我們便導(dǎo)出一種計算格式。龍格－庫塔（Runge－Kutta）方法設(shè)計思想就是設(shè)法在內(nèi)多預(yù)報幾個點的斜率值，然后把它們加權(quán)平均作為平均斜率，以期望構(gòu)造出更高精度的計算格式。數(shù)值分析簡明教程龍格-庫塔法的設(shè)計思想考察差數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法1隨意考察區(qū)間內(nèi)一點，用兩個點的斜率的加權(quán)平均代替平均斜率,于是我們就得到如下計算格式:(類似于改進(jìn)的歐拉格式)其中有兩個待定參數(shù)，適當(dāng)選取它們的值，就可使上述格式有較高的精度。若，該格式是二階的，故統(tǒng)稱滿足這一條件的一族格式為二階龍格－庫塔格式。特別地，當(dāng)時，上述格式即為改進(jìn)的歐拉格式，如果取，則上述格式稱為變形的歐拉格式，亦稱為中點格式。數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法1隨意考察數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法2數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法2數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法3數(shù)值分析簡明教程二階龍格-庫塔方法3數(shù)值分析簡明教程作業(yè)P.124第9題數(shù)值分析簡明教程作業(yè)P.124數(shù)值分析簡明教程三階龍格-庫塔方法為了進(jìn)一步提高精度，我們可以考慮用三個點的斜率值加權(quán)平均得出平均斜率的近似值，其中，于是就可以構(gòu)造所謂的三階龍格－庫塔格式，下列庫塔格式是其中的一種：

數(shù)值分析簡明教程三階龍格-庫塔方法為了進(jìn)一數(shù)值分析簡明教程四階龍格-庫塔方法繼續(xù)上述過程，我們可以導(dǎo)出四階龍格－庫塔格式，下列經(jīng)典格式是其中的一種：值得注意的是，龍格－庫塔法的推導(dǎo)基于泰勒展開法，因而它要求解具有較好的光滑性。如果解的光滑性差，則該方法得到的解反而不好。數(shù)值分析簡明教程四階龍格-庫塔方法繼續(xù)上述過程數(shù)值分析簡明教程變步長的龍格-庫塔方法同積分的數(shù)值計算一樣，微分方程的數(shù)值解法也需要選擇步長。同樣，我們可以采取步長加倍或折半的辦法選擇步長，即通過檢查步長折半前后的兩種計算結(jié)果的偏差：來判斷選取的步長是否合適，具體可以分為兩種情況來處理：對于給定精度，若，則反復(fù)將步長折半進(jìn)行計算直到為止，取步長折半后的“新值”作為結(jié)果；相反的，反復(fù)將步長加倍直到，取步長加倍前的“老值”作為結(jié)果。

這種通過步長加倍或折半的手續(xù)處理步長的方法稱為變步長方法。數(shù)值分析簡明教程變步長的龍格-庫塔方法同積分的數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式1

亞當(dāng)姆斯（Adams)方法的設(shè)計思想是充分利用計算之前已得到一系列節(jié)點上的斜率值來減少計算量。譬如，我們可以用兩點的斜率的加權(quán)平均作為區(qū)間上的平均斜率，于是可設(shè)計出如下二階亞當(dāng)姆斯格式:Adams方法亦成為線性多步法類似的，可導(dǎo)出如下三階和四階亞當(dāng)姆斯格式：數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式1亞當(dāng)姆斯（Ad數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式2數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式2數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式3數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯格式3數(shù)值分析簡明教程隱式亞當(dāng)姆斯格式1同樣，我們也可導(dǎo)出如下隱式的二階、三階和四階亞當(dāng)姆斯格式：數(shù)值分析簡明教程隱式亞當(dāng)姆斯格式1同樣數(shù)值分析簡明教程隱式亞當(dāng)姆斯格式2數(shù)值分析簡明教程隱式亞當(dāng)姆斯格式2數(shù)值分析簡明教程作業(yè)數(shù)值分析簡明教程作業(yè)數(shù)值分析簡明教程證明3階Adams格式數(shù)值分析簡明教程證明3階Adams格式數(shù)值分析簡明教程亞當(dāng)姆斯預(yù)報-校正系統(tǒng)