第一組研討“數(shù)認(rèn)識的一致性”記錄

第一組第二次在線研討發(fā)言記錄時間：2022年9月12日記錄人：周艷王麗燕老師:各位老師，我們工作坊的研修主題是“小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的理解與實(shí)踐”。前一段時間大家圍繞這個主題開展了自修，老師們閱讀了《整體把握與單元教學(xué)研究——以小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?yàn)槔罚ü④姡┮粫?，初步了解了“什么是整體把握”、“什么是單元整體教學(xué)”，并開始結(jié)合具體的案例思考“如何進(jìn)行單元整體教學(xué)”。隨著老師們的思考逐步走向深入，我們也發(fā)現(xiàn)老師們對“什么叫知識結(jié)構(gòu)的一致性？怎么設(shè)計(jì)才算整體把握？”等問題還存在疑慮，為了幫助大家更深入地理解“單元整體教學(xué)”，我們選取“分?jǐn)?shù)的意義”這個具體內(nèi)容，圍繞下面這個觀點(diǎn)展開研討：分?jǐn)?shù)的意義“應(yīng)該是任何一個分?jǐn)?shù)都是其分?jǐn)?shù)單位累加的結(jié)果（如同自然數(shù)、小數(shù)的組成與分解）”，即先有“分?jǐn)?shù)單位”，再數(shù)出單位的個數(shù)，個數(shù)與分?jǐn)?shù)單位相乘的結(jié)果就是“分?jǐn)?shù)”，這樣看待“分?jǐn)?shù)”，全部“數(shù)的構(gòu)成與結(jié)構(gòu)就都一致了，學(xué)生也就更認(rèn)可分?jǐn)?shù)是個“數(shù)”。希望通過這次研討弄清楚下面幾個問題：1.在數(shù)系不斷擴(kuò)充的過程中，分?jǐn)?shù)作為一個“數(shù)”，它的意義的理解，與自然數(shù)、小數(shù)的意義理解有什么一致性？2.這種一致性的認(rèn)識，對以“分?jǐn)?shù)”為單元的整體教學(xué)有何價值？還可以推廣到哪些內(nèi)容的教學(xué)上？

3.要把這種一致性的認(rèn)識落實(shí)到課堂上，我們可以怎么設(shè)計(jì)？（老師們的分享可以是一個點(diǎn)子，也可以是一個片斷，還可以是PPT圖片等等）王麗燕老師:為了討論問題更深入，我們還是一個問題一個問題來。首先討論第一個問題：分?jǐn)?shù)作為一個“數(shù)”，它的意義的理解，與自然數(shù)、小數(shù)的意義理解有什么一致性？一組周艷分?jǐn)?shù)，其實(shí)也是一個先分后數(shù)的數(shù)，按平均分的概念先創(chuàng)造了一個計(jì)數(shù)單位，再數(shù)出有多少個這樣的計(jì)數(shù)單位，這其實(shí)和自然數(shù)、小數(shù)的意義也是一致的，只不過他們的計(jì)數(shù)單位，比較固定，都是十進(jìn)制。王麗燕老師:@周艷芙蓉?優(yōu)秀，“先分后數(shù)”！一組周艷美:分?jǐn)?shù)的意義是分?jǐn)?shù)單位累加的結(jié)果，自然數(shù)的意義也可以是單位累加的結(jié)果，小數(shù)的意義也可以是小數(shù)單位累加的結(jié)果，只是在小學(xué)階段所學(xué)的小數(shù)單位為、、、……因此，他們可以說它們具有一致性。第一組廖葉蘭我認(rèn)為分?jǐn)?shù)，小數(shù)，整數(shù)的一致性，表現(xiàn)為他們都是由一份份地累加起來的，也就是計(jì)數(shù)單位的累加，所以整數(shù)，分?jǐn)?shù)，小數(shù)在計(jì)算時的運(yùn)算性質(zhì)都適用，如加法加法律，結(jié)合律，乘法交換律，結(jié)合律，分配律，所以這三類數(shù)我覺得也可以整合一起來學(xué)。一組顏偉小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另外一種表現(xiàn)方式，它們有相互的聯(lián)系，但又有存在差異，分?jǐn)?shù)一定可以化成小數(shù)，但小數(shù)不一定能化成分?jǐn)?shù)，比如：無限不循環(huán)小數(shù)。一組邵勇文老師我在教學(xué)分?jǐn)?shù)的過程中，我感覺學(xué)生以前所學(xué)自然數(shù)知識，學(xué)生第一次接觸分?jǐn)?shù)時還沒想到會有比1更小時數(shù)，自然在短時間內(nèi)不能很好的理解分?jǐn)?shù)，教學(xué)中讓學(xué)生實(shí)際去畫一畫圖，去生活中切割一個具體的事物，會讓學(xué)生能更好的接受分?jǐn)?shù)的存在，以及分?jǐn)?shù)的意義。王麗燕老師:一組邵勇文@王麗燕?認(rèn)真閱讀老師分享的內(nèi)容后，對分?jǐn)?shù)理解更深了，教學(xué)過程中一定會用上。一組李慧自然數(shù)是0和正整數(shù)，分?jǐn)?shù)一定是有理數(shù),可以是循環(huán)小數(shù),也可以是有限小數(shù)，小數(shù)可以是有理數(shù),也可以是無理數(shù)。王麗燕老師:以百為單位去度量一個物體，數(shù)一數(shù)，一共有3個這樣的單位，我們記作300。我們用三分之一作單位，去度量一個物體，發(fā)現(xiàn)有2份，我們記成三分之二。這是基于度量角度的一致性。好的，現(xiàn)在我們進(jìn)入第二個問題的討論：這種一致性的認(rèn)識，對以“分?jǐn)?shù)”為單元的整體教學(xué)有何價值？還可以推廣到哪些內(nèi)容的教學(xué)上？一組肖燁小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式。小數(shù)不一定是分?jǐn)?shù)，但分?jǐn)?shù)一定是小數(shù)。因?yàn)樗械挠邢扌?shù)都能化成分?jǐn)?shù)，無限循環(huán)小數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)，但是無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)。而分?jǐn)?shù)一定能化成小數(shù)。一組肖燁分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)(零除外),分?jǐn)?shù)的大小不變。小數(shù)的末尾添上或去掉幾個零,小數(shù)的大小不變。一組，廖葉蘭分?jǐn)?shù)的教學(xué)，可以以整數(shù)，小數(shù)為基礎(chǔ)，學(xué)生能從已知知識進(jìn)行擴(kuò)展，很容易明白分?jǐn)?shù)的有關(guān)內(nèi)容。一組顏偉這種一致性就是整體教學(xué)的體現(xiàn)，讓學(xué)生既理解了分?jǐn)?shù)，小數(shù)，自然數(shù)的意義，又能區(qū)分它們之間的差異之處。一組邵勇文分?jǐn)?shù)的理解是一個跨越三到六年級的內(nèi)容，教材的編排從易到難，從學(xué)生學(xué)習(xí)知識的深度來安排的確是要我們每位老師去鉆研，教學(xué)中在低年級沒弄明白的學(xué)生完全可放低要求，分?jǐn)?shù)與除法，分?jǐn)?shù)與比的聯(lián)系能更好的表達(dá)分?jǐn)?shù)的意義，但在分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)的范籌還是三年級內(nèi)容更直接，個人覺得分?jǐn)?shù)的理解，一定要讓學(xué)生明白分?jǐn)?shù)單位，特別是分母越大是表示分的份數(shù)越多，每一份就越少，分?jǐn)?shù)單位就越少，只有讓學(xué)生充份理解分?jǐn)?shù)單位的意義，才能讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的真諦。一組吳漪分?jǐn)?shù)的意義學(xué)習(xí)是學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識的重大飛躍，在小學(xué)階段要經(jīng)歷五個階段：二年級“平均分”的學(xué)習(xí)；三年級分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，把一個物體或者把若干個物體組成的整體平均分成幾份，用分?jǐn)?shù)表示其中的一份或幾份；五年級分?jǐn)?shù)的意義，包含部分和整體的關(guān)系、分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)識及分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位的累計(jì)、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、集合與集合中元素之間的倍比關(guān)系等四個具體方面；五、六年級分?jǐn)?shù)的運(yùn)算和解決實(shí)際問題，在問題解決過程中理解分?jǐn)?shù)的意義；六年級比的認(rèn)識，溝通小學(xué)階段“分?jǐn)?shù)、除法和比”三者之間的聯(lián)系。一組，廖葉蘭利用分?jǐn)?shù)的意義，推廣學(xué)習(xí)比的意義，利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)，進(jìn)而學(xué)習(xí)求比值，化簡比。謝加文老師:百花齊放，優(yōu)秀發(fā)言真多，寶貴財富。[玫瑰]一組邵勇文分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是可以起到橋梁的作用，把與分?jǐn)?shù)有關(guān)的內(nèi)容串聯(lián)到一起。王麗燕老師:這種一致性的認(rèn)識的最大價值在于我們可以類比整數(shù)的認(rèn)識與整數(shù)的運(yùn)算來教學(xué)分?jǐn)?shù)，畢竟，分?jǐn)?shù)作為一個數(shù)，它應(yīng)該和整數(shù)一樣，具有數(shù)的屬性。對了，您認(rèn)為數(shù)有哪些屬性呢？一組，周艷美這種一致性有利于分?jǐn)?shù)的加減法的教學(xué)，不管是同分母分?jǐn)?shù)還是異分母分?jǐn)?shù)的加減法，我們第一步找到它們的共同分?jǐn)?shù)單位，同分母分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位是它們的分母分之一，異分母分?jǐn)?shù)通過通分找它們共同的分?jǐn)?shù)單位；第二步分子相加減；第三步，將第二步的結(jié)果乘以各自的分?jǐn)?shù)單位，就可以得出分?jǐn)?shù)相加減的結(jié)果。這種一致性可以推廣到小數(shù)的運(yùn)算中去。一組周艷分?jǐn)?shù)的意義運(yùn)用到同分母的加減法，能夠幫助學(xué)生更深刻地了解算理?？梢越柚鷪D形，通過數(shù)計(jì)數(shù)單位的方法來加減，比如七分之五減去七分之一，即5個七分之一減去1個七分之一，學(xué)生就輕而易舉得出是4個七分之一，即七分之四，這樣學(xué)生也就明白為什么同分母相減時，不能用分母減分母。一組，聶宗源分?jǐn)?shù)和自然數(shù)理上有一致性，都由多個的計(jì)數(shù)單位的積構(gòu)成，只是整數(shù)最小計(jì)數(shù)單位是1，而分?jǐn)?shù)則能表示比1更小的數(shù)，從而彌補(bǔ)了整數(shù)的不足，另外，分?jǐn)?shù)除了表示一個數(shù)的數(shù)量大小，還可以表示一個數(shù)率，這也是整數(shù)不能替代的。王麗燕老師:@宗源?[強(qiáng)][強(qiáng)]我愿意重復(fù)剛才的觀點(diǎn)：這種一致性的認(rèn)識的最大價值在于我們可以類比整數(shù)的認(rèn)識與整數(shù)的運(yùn)算來教學(xué)分?jǐn)?shù)，畢竟，分?jǐn)?shù)作為一個數(shù)，它應(yīng)該和整數(shù)一樣，具有數(shù)的屬性。好的，我們進(jìn)入第三個問題的討論：.要把這種一致性的認(rèn)識落實(shí)到課堂上，我們可以怎么設(shè)計(jì)？（老師們的分享可以是一個點(diǎn)子，也可以是一個片斷，還可以是PPT圖片等等）一組邵勇文申老師的內(nèi)容太棒了，分?jǐn)?shù)單位相同意味著分母相同，而分母表示分的總份數(shù)，這時分?jǐn)?shù)的大小就取決于所取的份數(shù)越多分子就大這個分?jǐn)?shù)就大。如果是一個長方形正方形來表示的話，我們可直觀的讓學(xué)生看看哪幅圖的涂色部分更大。王麗燕老師:@斗笠山鎮(zhèn)邵勇文?[強(qiáng)][強(qiáng)]我也給大家分享一個設(shè)計(jì)片段，大家可能要在電腦上才能看出效果來，動畫演示了先分后數(shù)的過程。一組廖葉蘭分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)，在課前通過與學(xué)生的談話引出分?jǐn)?shù)后，短短的一句“關(guān)于分?jǐn)?shù)，你已經(jīng)知道了什么”喚起學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，找到了新知與舊知的鏈接點(diǎn)，特別是把整數(shù)與小數(shù)連接起來。接著借助媒體教學(xué)手段向?qū)W生介紹分?jǐn)?shù)的由來。接著出示4張圖，組織學(xué)生分別找出他們的1/4。學(xué)生通過獨(dú)立思考、操作，在領(lǐng)會其實(shí)際意義的過程中，逐步理解了一個物體、一些物體都可以看作一個整體，從而切入到本課的重點(diǎn)。最后，通過同學(xué)們自己動手分一分、涂一涂、擺一擺加深理解，明確把一個物體平均分成幾份，取其中的一份或幾份的數(shù)就是分?jǐn)?shù)。而其中的一份就是分?jǐn)?shù)單位，其他分?jǐn)?shù)就是在分?jǐn)?shù)單位上的累加。并且可以設(shè)計(jì)出不同的練習(xí)加深理解。

一組周艷我覺得可以讓學(xué)生在度量中經(jīng)歷分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生，感受分?jǐn)?shù)的重要性，結(jié)合分?jǐn)?shù)墻來理解分?jǐn)?shù)單位。通過各種活動讓學(xué)生會選擇合適的分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行度量產(chǎn)生分?jǐn)?shù)，并理解分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位的累加，理解分?jǐn)?shù)度量的意義；還能體會到分?jǐn)?shù)起源于數(shù)，能在數(shù)軸上表示分?jǐn)?shù)。

一組吳漪在三年級的學(xué)習(xí)中學(xué)生對分?jǐn)?shù)有了初步認(rèn)識，在系統(tǒng)認(rèn)識了小數(shù)和初步認(rèn)識認(rèn)識了分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，本單元為了進(jìn)一步加深對分?jǐn)?shù)的理解，從分?jǐn)?shù)的最初產(chǎn)生的過程引入，使研究分?jǐn)?shù)更加全面。分?jǐn)?shù)的意義及基本性質(zhì)是本單元的重點(diǎn)，也是學(xué)生理解起來難度較大的地方。在單位“1”的認(rèn)識中，“一些物體組成的整體”，對于學(xué)生來說理解起來有些困難，是一個難點(diǎn)。對于本難點(diǎn)的突破，一是舉些實(shí)例，二是用實(shí)物來表示。讓學(xué)生從形象思維向抽象思維過渡，深層次地理解“單位1”。（王老師分享課件圖片）王麗燕老師:之前，我嘗試過在四年級補(bǔ)進(jìn)一節(jié)“商定義”的課，這樣就形成了一個大單元的結(jié)構(gòu)。三年級：份數(shù)定義四年級：商定義五年級：份數(shù)定義和商定義六年級：比定義之前我寫完了三四五年級的，感興趣的老師可以寫六年級的。我把這本書稿發(fā)上來，供大家參考。一組邵勇文分?jǐn)?shù)的認(rèn)識還有一個學(xué)生難以突破的點(diǎn)：單位1學(xué)生遇到一個月餅一條線段一個正方形還好，當(dāng)是12個三角形，6個蘋果等這種情況時要表示三分之一這個數(shù)理解就有難度了王麗燕老師:（分享專著《我是這樣做小課題研究》）@斗笠山鎮(zhèn)邵勇文?對的，我的設(shè)計(jì)ppt有所體現(xiàn)。一組李慧在比較分子相同分母不同的分?jǐn)?shù)時，我們可以變成比較1份的大小，這樣，學(xué)生同時還會發(fā)現(xiàn)，分的份數(shù)越多，1份就越小。王麗燕老師:好的，老師們今天的研討準(zhǔn)備充分，圍繞任務(wù)單上的問題開展討論，發(fā)言質(zhì)量很高，為老師們的學(xué)習(xí)力點(diǎn)贊??。一組邵勇文這與高年級一道經(jīng)