§2.4 n階矩陣乘積的行列式_第1頁
§2.4 n階矩陣乘積的行列式_第2頁
§2.4 n階矩陣乘積的行列式_第3頁
§2.4 n階矩陣乘積的行列式_第4頁
§2.4 n階矩陣乘積的行列式_第5頁
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文檔簡介

§2.4

n階矩陣乘積的行列式

1則

引理設(shè)2證明：對A的階數(shù)n作歸納法證明.

當(dāng)n=1時,A中只有一個元素,d按第一行展開,公式成立.假設(shè)n－1時結(jié)論也成立.

，

現(xiàn)證明n時的結(jié)論.設(shè)a1j關(guān)于A的余子式和代數(shù)余子式分別為M1j,A1j，關(guān)于d的余子式為d1j.3，

故在d中a1j

的代數(shù)余子式為A1j|B|,所以把d按第一行展開可得由歸納法知4類似的可以證明：一共作nm次相鄰對換化成引理中的形式5例6

定理5

(矩陣乘積的行列式定理)設(shè)A,B都是n階矩陣，則證明：設(shè)A=(aij)n,B=(bij)n,將B作行分塊：7根據(jù)引理，構(gòu)造行列式對(2.11)式右端的行列式進(jìn)行如下的等值的行變換：將第n+1行的ai1倍加到第i行(i=1,...,n)將第n+2行的ai2

倍加到第i行(i=1,...,n)…………………將第n+n行的ain倍加到第i行(i=1,...,n)8第n+1行的ai1

倍加到第i行,i=1,2,…n91011則(2.11)式右端行列式變成12利用分塊矩陣的乘法13例1

設(shè)A是n階矩陣，且證明：|E+A|=0.證明由假設(shè)可知|A|=－1,故所以結(jié)論成立.14例計算行列式的值15例解由于AA*=A*A=|A|E,故16練習(xí)1.

證明奇數(shù)階反對稱行列式的值為0.2.利用范德蒙得行列式計算4階行列式答案173.計算下列行列式答案184.計算19解……205.計算21解：從第n行開始，后行減去前一行第n列分別加到第1,2,...,

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