2023屆高考數(shù)學壓軸小題05 雙重最值問題的解決策略含答案

2023屆高考數(shù)學壓軸小題05雙重最值問題的解決策略雙重最值問題的解決策略一、方法綜述形如求等的問題稱為“雙重最值問題”．按其變元的個數(shù)可分為一元雙重最值問題和多元雙重最值問題．在本文中，提供一個常用的結(jié)論，取不同的值可得到很多命題．一個結(jié)論：設，，，，為正常數(shù)，則（1）；（2）．證明：設，則，，，所以，當且僅當時取等，即．二、解題策略一、一元雙重最值問題1．分段函數(shù)法：分類討論，將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，求函數(shù)值域即可．例1．對于a，bR，記Max｛a，b｝=，函數(shù)f（x）=Max｛，｝（xR）的最小值是（）(A)．(B)．1(C)．(D)．2【答案】C【解析】f（x）=Max｛，｝=故答案為．2．數(shù)形結(jié)合法：分別畫出幾個函數(shù)圖象，結(jié)合圖象直接看出最值點，聯(lián)立方程組求出最值．例2．【2020河北正定一?！吭O函數(shù)f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若f（a+2）＞f（a），則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣1，0） B．[﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0） D．[﹣2，+∞）【答案】C【解析】在同一坐標系內(nèi)畫出三個函數(shù)y＝1﹣x，y＝x+1，y＝x2﹣1的圖象，以此作出函數(shù)f（x）圖象，觀察最小值的位置，通過圖象平移，可得a＜﹣1，且（a+2）2﹣1＞a+1，①或﹣（a+2）+1＞a2﹣1，②，解不等式即可得到所求范圍．f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}＝，作出f（x）的圖象，可得f（a+2）＞f（a）變?yōu)閍＜﹣1，且（a+2）2﹣1＞a+1，①或﹣（a+2）+1＞a2﹣1，②①變?yōu)閍2+3a+2＞0，解得a＜﹣2；②變?yōu)閍2+a＜0，解得﹣1＜a＜0．則實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．二、多元一次函數(shù)的雙重最值問題1．利用不等式的性質(zhì)例3．【2020江蘇模擬】設實數(shù)x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，則max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是__________．【答案】9【解析】由，所以當時等號成立，所以最小值為2．利用絕對值不等式例4．【2020紹興模擬】設，，求的值．【解析】設，則，，，設，令且，則，故，當且僅當，即，時取等．3．利用均值不等式例5．設max{f(x)，g(x)}=，若函數(shù)n(x)=x2+px+q(p，q∈R)的圖象經(jīng)過不同的兩點（，0）、（，0），且存在整數(shù)n使得n<<<n+1成立，則（）A．max{n(n)，n(n+1)}>1B．max{n(n)，n(n+1)}<1C．max{n(n)，n(n+1)}>D．max{n(n)，n(n+1)}>【答案】B4．利用柯西不等式例6．若，，且，求．解：設，則，，，由柯西不等式得，當且僅當取等，即．5．分類討論例7．若，，求的值．解：設，則，，，=1\*GB3①當時，，，當且僅當時取等；=2\*GB3②當時，，，當且僅當時取等．綜上，，當且僅當時取等，即．6．待定系數(shù)法例8．若，，求的值．7．構(gòu)造函數(shù)例9．【2020宜昌一?！恳阎瘮?shù)f（x，θ）＝（x∈R，θ∈R），則f（x，θ）的最大值和最小值分別為？【解析】當x＝0時，f（x，θ）＝＝0，當x≠0時，f（x，θ）＝＝，令u＝，則|u|≥，即u≤﹣，或u≥，則f＝，其意義為平面上單位圓上動點（cosθ，sinθ）與（﹣u，0）點連線斜率k的倒數(shù)，∵k∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞），故f＝∈[﹣，]故f（x，θ）的最大值和最小值分別為，﹣，8．利用韋達定理例10．若，，且，，求．解：注意到，，的對稱性，故可設，又，，所以方程有兩個不大于的實根，故，當，時，．9．數(shù)形結(jié)合例11．【2020?紹興二模】設函數(shù)f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．下列說法錯誤的是（）A．函數(shù)f（x）為偶函數(shù) B．若x∈[1，+∞）時，有f（x﹣2）≤f（x） C．若x∈R時，f（f（x））≤f（x） D．若x∈[﹣4，4]時，|f（x）﹣2|≥f（x）【答案】D【解析】在同一直角坐標系中畫出y＝|x﹣2|，y＝x2，y＝|x+2|，可得f（x）＝，顯然f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)；當x≥1時，f（x）＝|x﹣2|，f（x﹣2）的圖象可看做f（x）的圖象右移2個單位得到，顯然x≥1時，f（x）的圖象在f（x﹣2）圖象之上，則若x∈[1，+∞）時，有f（x﹣2）≤f（x）；若x∈R時，f（x）≥0，可令t＝f（x），由y＝f（t）和y＝t（t≥0），且y＝t在曲線y＝f（t）的上方，顯然f（f（x））≤f（x）成立；若x∈[﹣4，4]，f（﹣4）＝2，f（﹣4）﹣2＝0，顯然f（﹣4）＞|f（﹣4）﹣2|，則D不正確，故選：D．三、強化訓練1．已知實數(shù)，不等式對任意恒成立，則的最大值是（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】令，原不等式整理得，即，∴，即，兩邊除以得：，所以，因為，故，故為增函數(shù).又，因此在上遞減，上遞增，又，，且，故.則.故選：B.2．已知函數(shù)y=f（x），若給定非零實數(shù)a，對于任意實數(shù)x∈M，總存在非零常數(shù)T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）是M上的a級T類周期函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）是[0，+∞）上的2級2類周期函數(shù)，且當x∈[0，2）時，f（x）=，又函數(shù)g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）【答案】B【解析】根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x），當x∈[0，2）時，，

可得：當0≤x≤1時，f（x）=1-x2，有最大值f（0）=1，最小值f（1）=0，

當1＜x＜2時，f（x）=f（2-x），函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，則此時有0＜f（x）＜1，

又由函數(shù)y=f（x）是定義在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)的2級類周期函數(shù)，且T=2；

則在x∈[6，8）上，f（x）=23?f（x-6），則有0≤f（x）≤4，

則f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，

則函數(shù)f（x）在區(qū)間[6，8]上的最大值為8，最小值為0；

對于函數(shù)，

有，

得在（0，1）上，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，

在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，

則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上，由最小值若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立，

必有g(shù)（x）min≤f（x）max，即解可得，即m的取值范圍為故選B．3．已知函數(shù)，當時設的最大值為，則當取到最小值時（）A．0 B．1 C．2 D．【來源】浙江省寧波市華茂外國語學校2020屆高三下學期3月高考模擬數(shù)學試題【答案】A【解析】，當時設的最大值，在端點處或最低點處取得，最小值為2，最小值為，最小值為4.5，最小值綜上可得，取到最小值時0.故選：A4．已知函數(shù)的定義域為，，若存在實數(shù)，，，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的定義域為，由，解得，的定義域為，，令，，，則,當時為增函數(shù),，，存在實數(shù),使得，即，解得故選：D5．定義：表示，兩數(shù)中較小的數(shù)．例如.已知，，若對任意，存在，都有成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【來源】湖南省常德市第二中學2020屆高三下學期臨考沖刺數(shù)學（文）試題【答案】C【解析】由題意可得,函數(shù),即函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象可得,當時，；因為函數(shù)為定義在上的增函數(shù),所以當時，.由題意知，即，解得,所以實數(shù)的取值范圍為，故選:C6．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么的最大值為()A．16 B．18 C．25 D．【答案】B【解析】當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，于是，則無最大值．當時，的圖象開口向下，要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，需，即又則而在上為增函數(shù)，時，，故時，無最大值．當時，的圖象開口向上，要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，而，所以，當且僅當，即時，取“”，此時滿足，故的最大值為18.選B.7．已知函數(shù)，函數(shù)，若，，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】D【解析】，當時，令t=可得,對稱軸為，故最大值為，即f(x)得最大值為，當時，令u=sinx∈[0,],則,當a=0時，y=2,當a<0時，二次函數(shù)對稱軸為，故函數(shù)在對稱軸處取到最大值為2-,當a>0時，開口向上，0距對稱軸遠，故當u=0時取到最大值為2-a,所以，由題意可得f（x）max<g（x）max，即當a<0時，，解得，故a<0,當a=0時，，滿足題意，當a>0時，，解得，綜上可得，故選D．8．已知函數(shù)的定義域為，，若存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【來源】2020屆吉林省東北師范大學附屬中學高三上學期第二次模擬數(shù)學（文）試題【答案】A【解析】由題意得，由，得，∴函數(shù)的定義域為．令，且，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴．由題意得“存在實數(shù)，使得”等價于“”，∴，解得.故選A．與三角函數(shù)相關的最值問題與三角函數(shù)相關的最值問題一．方法綜述三角函數(shù)相關的最值問題歷來是高考的熱點之一，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值或范圍是往往是解決問題的關鍵，這類問題一般涉及到值域、單調(diào)性及周期性等性質(zhì)，熟悉三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)和掌握轉(zhuǎn)化思想是解題關鍵．二．解題策略類型一與三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和對稱性相關的最值問題【例1】（2020·湖北高考模擬（理））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】當時，，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，正弦函數(shù)在上遞增，所以可得，解得，即的最大值為2，故選C．2．（2020·山東高考模擬）若函數(shù)在上的值域為，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】而值域為，發(fā)現(xiàn)，整理得，則最小值為，選A項.3．（2020·河南南陽中學高考模擬）設>0,函數(shù)y=sin(x+)+2的圖象向右平移個單位后與原圖象重合，則的最小值是A． B． C． D．3【答案】C【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位后所以有，故選C【舉一反三】1．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有1個最大值點和1個最小值點，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)2021屆高三下學期第23屆聯(lián)考數(shù)學（文）試題【答案】B【解析】，，，在上恰有1個最大值點和1個最小值點，，解得.故選：B.2.（2020·河南高考模擬）已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則使成立的的最小正值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】結(jié)合圖象可知，A＝2，f（x）＝2sin（ωx+φ），∵f（0）＝2sinφ＝1，∴sinφ，∵|φ|，∴φ，f（x）＝2sin（ωx），結(jié)合圖象及五點作圖法可知，ω2π，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x），其對稱軸x，k∈Z，∵f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立，∴f（a+x）＝f（a﹣x）即f（x）的圖象關于x＝a對稱，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，滿足條件的最小值a3．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由在上單調(diào)遞減，得，即，令，則，當時，，則，所以，即，所以在是單調(diào)遞減函數(shù)，，得，的最小值為.故選：D.類型二轉(zhuǎn)化為型的最值問題【例2】（2020·北京人大附中高考模擬）已知函數(shù)的一條對稱軸為，，且函數(shù)在上具有單調(diào)性，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】由題，=，為輔助角，因為對稱軸為，所以即解得，所以又因為在上具有單調(diào)性，且，所以兩點必須關于正弦函數(shù)的對稱中心對稱，即所以，當時，取最小為，故選A【點睛】本題考查了三角函數(shù)綜合知識，包含圖像與性質(zhì)，輔助角公式化簡等，熟悉性質(zhì)圖像是解題的關鍵.【舉一反三】1、（2020·江西高考模擬）已知的最大值為，若存在實數(shù)、，使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，，，的最小值為，故選C．2．（2020·河北高考模擬）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關于軸對稱，則的最小值是()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，函數(shù)的圖象向右平移個單位可得，所得圖象關于y軸對稱，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性，可得此函數(shù)在y軸處取得函數(shù)的最值，即，解得=，，所以，，且，令時，的最小值為.故選D．3．已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，由正弦定理得，所以，，由于三角形是銳角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故選：C4.（2020·河北高考模擬）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，得到的圖像，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則正數(shù)的最大值為A． B．1 C． D．【答案】A【解析】依題意，，向左平移個單位長度得到.故，下面求函數(shù)的減區(qū)間：由，由于故上式可化為，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，解得，所以當時，為正數(shù)的最大值.故選A.類型三轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型的最值問題【例3】函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．3【來源】安徽省淮北市2020-2021學年高三上學期第一次模擬考試理科數(shù)學試題【答案】B【解析】因為，所以令，則則令，得或當時，；時所以當時，取得最大值，此時，所以故選：B【舉一反三】1．（2020·湖南高考模擬）已知，則的值域為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，由，得，所以.故選：B2．（2020·江西高考模擬（理））函數(shù)的值域為_________．【答案】【解析】由題意，可得，令，，即，則，當時，，當時，，即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，，，故函數(shù)的值域為：．3、函數(shù)，關于的為等式對所有都成立，則實數(shù)的范圍為__________．【答案】令，，設當即時，∴（舍），當即時，∴，當即時，，即，∴∴，綜上所述，，故答案為4、求函數(shù)的值域.【解析】[令sinx+cosx=t,則,其中所以,故值域為.類型四轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)函數(shù)型的最值問題【例4】（2020·黑龍江高考模擬）已知，在這兩個實數(shù)之間插入三個實數(shù)，使這五個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個等差數(shù)列后三項和的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設中間三項為，則，所以，，所以后三項的和為，又因為，所以可令，所以，故選【舉一反三】設點在橢圓上，點在直線上，則的最小值是（）A． B． C． D．2【來源】浙江省寧波市2020-2021學年高三上學期期末數(shù)學試題【答案】D【解析】設，，則有當且僅當時取最小值，即，此時，，的最小值是，故選：D.三．強化訓練1．（2020·四川高考模擬）若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為A． B． C．1 D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，圖象所對應解析式為：，由關于軸對稱，則，可得，，又，所以，即，當時，所以，，故選A．2．（2020·陜西高考模擬）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，在向上平移一個單位，得到g（x）的圖象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，則x1﹣2x2的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移一個單位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1的圖象，故g（x）的最大值為2，最小值為0，若g（）g（）＝4，則g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有g(shù)（）＝g（）＝2，即cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，則應有2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值為+3π＝．故選A．3．（2020·甘肅高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】由題意得，，令，可得函數(shù)的圖象對稱軸方程為，取是軸右側(cè)且距離軸最近的對稱軸，因為將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位后得到的圖象關于軸對稱，的最小值為，故選B．4．（2020·山東高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象,若對任意的均有成立,則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,所以得到函數(shù)，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象,所以，對任意的均有成立，所以在時，取得最大值，所以有而，所以的最小值為.5．（2020·云南高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象對應的函數(shù)在區(qū)間上無極值點，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)，令，解得即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又由函數(shù)在區(qū)間上無極值點，則的最大值為，故選A.6．（2020·四川華鎣一中高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由三角函數(shù)的性質(zhì)可得：，其圖象向左平移個單位所得函數(shù)的解析式為：，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為：，在上為增函數(shù)，則：，據(jù)此可得：，則的最大值為2.本題選擇B選項.7．（2020·天津高考模擬）已知同時滿足下列三個條件：①；②是奇函數(shù)；③.若在上沒有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得因為是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，即又因為，即所以是奇數(shù)，取k=1，此時所以函數(shù)因為在上沒有最小值，此時所以此時，解得.故選D.8．已知函數(shù)，的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】江西省上饒市（天佑中學、余干中學等）六校2021屆高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題【答案】C【解析】且，由題意可知，對任意的，，即，即，，則，，，可得.當時，成立；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.9．（2020·廣東高考模擬）已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(1)，則，則，取，；（2），則，解得：，取，；綜上可知：的取值范圍是，選.10．在中，，邊上的高為1，則面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設BC邊上的高為AD，則AD=1，，如圖所示：所以,所以，所以，設，因為，則，所以==，因為，所以，所以，則，所以，所以面積的最小值為.故選：B11．已知實數(shù)，不等式對任意恒成立，則的最大值是（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】令，原不等式整理得：，即，∴，即，兩邊除以得：，所以，因為，故，故為增函數(shù).又，因此在上遞減，上遞增，又，，且，故.則.故選：B.12．設函數(shù)的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關于點對稱，則下列判斷正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．當時，函數(shù)的最小值為D．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個單位【答案】D【解析】由題意可得，函數(shù)的最小正周期為，，所以，，由于函數(shù)的圖象關于點對稱，則，可得，，，，所以.對于A選項，當時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A選項錯誤；對于B選項，，所以，函數(shù)的圖象不關于直線對稱，B選項錯誤；對于C選項，當時，，，C選項錯誤；對于D選項，，所以，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個單位，D選項正確.故選：D.13．設函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ），，，若存在實數(shù)φ，使得集合A∩B中恰好有7個元素，則ω（ω＞0）的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是f（x）的最大值或最小值，又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直線y＝±1上，∴y＝±1代入得，，解得﹣4≤x≤4，又存在實數(shù)φ，使得集合A∩B中恰好有7個元素，∴，且ω＞0，解得，∴ω的取值范圍是．故選：B．14．在平面直角坐標系中，已知向量，，點在圓上，點的坐標為，若存在正實數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B．2 C． D．4【來源】2021年全國高中名校名師原創(chuàng)預測卷理科數(shù)學全國卷Ⅰ（第三模擬）【答案】A【解析】解法一設，又，所以，且，．由，得，即，得．即由，當且僅當時等號成立，所以，又為正實數(shù)，解得，所以的最小值為．解法二設點，又點的坐標為，由，得，，即．因為，所以，又為正實數(shù)，解得，所以的最小值為．15．水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隨而盛于唐，距今已有1000多年的歷史是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，則下列敘述正確的是（）A．B．當時，函數(shù)單調(diào)遞增C．當，的最大值為D．當時，【答案】D【解析】由題意，，，所以；又點代入可得，解得；又，所以．故不正確；所以，當，時，，，所以函數(shù)先增后減，錯誤；，時，點到軸的距離的最大值為6，錯誤；當時，，的縱坐標為，橫坐標為，所以，正確．故選：．16．已知銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若的面積，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用正弦定理可知，又為銳角三角形，由銳角可知，，，利用正弦函數(shù)性質(zhì)知，即的取值范圍是故選：B17．函數(shù)在上的最小值為（）A．-1 B． C． D．1【來源】天一大聯(lián)考2020-2021學年高三上學期高中畢業(yè)班階段性測試（三）理科數(shù)學【答案】C【解析】,因為，所以，所以當時，取得最小值.故選：C18．在中，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】有正弦定理得，所以，所以.其中，由于，所以，故當時，的最大值為.故選：B19．向量，，則的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由向量的坐標運算得，所以，由三角函數(shù)的性質(zhì)得，當且僅當時，等號成立.所以.故選：B.20．已知函數(shù)的最小正周期為，若在上的最大值為M，則M的最小值為________.【來源】湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（七）數(shù)學試題【答案】【解析】由于函數(shù)的最小正周期為，則，.不妨取，則.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，若函數(shù)在區(qū)間上先增后減，則；若函數(shù)在區(qū)間上先減后增，同理可知的最小值為.，綜上可知，的最小值為.21．已知函數(shù)，若對于任意，均有，則的最大值是___________.【答案】【解析】當時，，當時，，令，則

∴當時，有；有；由有，有，故；當時，有；有；由有，有，故，即；當時，，∴：在上遞減，上遞減，上遞增；：在上遞減，上遞增；：在上遞減，上遞增，上遞增；∴綜上，在上先減后增，則，可得∴恒成立，即的最大值是-1.故答案為：.22．在中，角的對邊分別為，，，若有最大值，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由于，所以，由正弦定理得，所以，，所以.當，即時，，沒有最大值，所以，則，其中，要使有最大值，則要能取，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范圍是.故答案為：23．若函數(shù)的定義域存在，使成立，則稱該函數(shù)為“互補函數(shù)”.若函數(shù)在上為“互補函數(shù)”，則的取值范圍為___________.【來源】重組卷01-沖刺2021年高考數(shù)學（理）之精選真題模擬重組卷（新課標卷）【答案】【解析】，由“互補函數(shù)”的定義得：存在，，所以令，則函數(shù)在區(qū)間上存在至少兩個極大值點，則，得.當時，即，顯然符合題意；當時，分以下兩種情況討論，當，即時，，即，所以；當，即時，，即，所以.綜上，的取值范圍為.24．（2020·陜西高考模擬）若向量,,則的最大值為.【答案】3【解析】根據(jù)題意，由于向量,,則可知=，那么化為單一函數(shù)可知，可知最大值為3，故填寫3.24．（2020·浙江高考模擬）定義式子運算為將函數(shù)的圖像向左平移個單位，所得圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為【答案】【解析】由題意可知f（x）=c