真題深層答案1998年全國(guó)入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試一、填空題（5315分，把答案填在題中橫線上f(x)xn在點(diǎn)(1,1)處的切線與x(ξn0)limf(ξ)

1xn

n

n

y1n(x y0y1n(x1x

limf(ξ

limξlimξ

lim(11lim(11xlnx

n n

dx ln【答案】 lnx1 x1 lnx1 x1

lnx1d

分部 xd(lnxlnx1 lnx1 x1 差分方程2yt110yt5t0的通解

lnx11ClnxC .ytC(5)t

5(t1 r50,r ytAtyA(t1)BtA(t1)B5(AtB)52A

6A5,A6B25,B5 于是通解為yYyC(5)t (t

ABA*BA2BA8EA020EA* 0 的伴隨矩陣，則B

4 0 A*BA2BA兩邊左A，右A1AA*AEAA1E（移項(xiàng)AA*BAA12ABAA1AA*AEAA1E（移項(xiàng)AB2ABAE2AB按1行展開按1行展開 01 A

4

4404000 102 XaX2X2b3X4X ,20EcXcEXEXY)EXEY;DcXc2DXX與Y獨(dú)立，DXYDXDYEX12X20DX12X21222222所以X12X2N(0,20)，同理(3X34X4N(0,100)(

2X

與(3X

4X

XN(μ,σ2XμN(yùn)(0,1)σ11(X2X)N(0,1)；1(3X4X)N1234 niZ2~χ2i所以當(dāng)a1b1X1X2X)21(3X4X)2χ2a

1b1，自由度為

1嚴(yán)格的說(shuō)當(dāng)a0,b1

Xχ2(1a1b0Xχ2(1)二、選擇題（5315分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一設(shè)周期函數(shù)fx在,4.又x

f1f1x1yfx在點(diǎn)5,f5處的切線的斜率為（1 (B)02(C) (D)2fxlimf(1)f(1x)1

f(xx)f(f(1x)f(1)1f(1)

2 所 f(1)limf(1x)f(1)

f(x4f(xf(x4)f(1所以f ff(1yf(x在點(diǎn)5,f(5)f(5)f(12.選1設(shè)函fxx1

2nfx的間斷點(diǎn)，其結(jié)論為（ (B)存在間斷點(diǎn)x1(C)存在間斷點(diǎn)x0 (D)存在間斷點(diǎn)x1f(x的(分段)表達(dá)式,然后再討論f(x)的性質(zhì).不能隔著極限號(hào)去討論.x2nx2nx2nlimx2nx12nlim01 f(x)lim1 2x1

n1limn limn n1x2

1 0n 0n12x1

f(x)lim1n1x2

0f(x)lim1xn1x2 f(x)1

lim1 lim1x1,當(dāng)x1,當(dāng)x

x2n01x1x1 當(dāng)x1或xf(x1xx 當(dāng)xf(xlimfxlim1x11limfxlimfxf10f(xx1處連續(xù)，不是間斷點(diǎn)x1limfxlim00；limflimfxlim00；limfxlim1x2 λxxλ2x齊次線性方程組

x1λx2x30,AB0xxλx 得AB0，則 (A)λ2且|B| (B)λ2且|B|(C)λ1且|B| (D)λ1且|B|【答案】【解析】1B0AB0Ax0A λ2λ1 0，故rAλr(B23，從而有|B|0 1 (a 1 (a) λ11 λ1101A

(1λ)2得λ1應(yīng)選(C2:將λ2A λ2

4A A

0303行的(-1),2倍分別加到2,1031110303行的(-1),2倍分別加到2,10311按1行展開(1)12 9由線性方程組有非零解解的充要條件Ax0只有零解,B0,AB0，.因此可排除(A)、(B)AB0A0,B0(設(shè)nn3階矩

0,可推得A0 )故，排除(D)而選(C) 1a a a a 若矩陣A的秩為n1a

Aa 1 a 1(A) 1(C)【答案】

naaaa10 a01 0 10 1 【解析】A 1 a 1(na a a a 1 001001 由階梯形矩陣知，當(dāng)1n1)a0，即a

1

時(shí)，有rA)n1，故應(yīng)選(B設(shè)F1x與F2x分別為 量X1與X2的分布函數(shù).為使FxaF1bF2x是某一變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取 a3,b (C)a1,b

a2,b (D)a1,b 【解析】函數(shù)Fx成為某 量的分布函數(shù)的充要條件Fx單調(diào)不減limF(x)F()0,limF(x)F() Fx根據(jù)條件（根據(jù)條件（2）limF(xF(11limF(xF(aF(bF(ab只有Aab1，所以選 （5分arctan 2設(shè)z(x2y2 x，求dz xxarctany(x2y2 x

arctanx((2xy)dx(2y(x2y2)arctanx(x2y2 xarctanyxarctan x(x2y2arctanxyxxarctan x(x2y2arctanx y 1xy2xx arctan arctany y x(x2y2 x y2 x212 x

x x(x2y2)earctanarctanxyx2y2(2x x,arctany xyy2y 2(arctanx (xy)arctan2 x(x2y2arctanyxyyxarctan x(x2y2arctanx 1y1xy2yx arctan arctany 1 2 x(x2y2 x y2x12 x

2 2 x(x2y2)earctanarctanx1x2y2(2y x,dzzdxz(2x(2x x(2y xarctanarctan(2yxarctanyx

arctan x((2xy)dx(2y2

z (2yx)xyx(2y arctanyxx x(2yarctanarctanyxxyx x(2yarctanarctanx11y2xx xarctan arctan x(2y x2y2arctan x(2yarctanx x2yy2xyx2x2y2

arctan x（5分Dxyx2y2x，求D

xdxdy【解析】Dxyx2y2xyOx yOx 為 其中：0x1,其中：0x1, xx2y xDD

xdxdy0

x1xyxx21xyxx2xx10

120111

1tx1t2dx2tdtt:1所以上式1所以上式1t 1tt 01 2dt4 t5 214tdt4t 40t(1txrcosθyrsinθxrcosθyrsinθrcosθθπ22

xdxdy2

rcosθrdr

cosθ

cosθr20 5π2 5π25π2 5π2cosθ2 2

4 5 2cosθ3dθ2

2cosθ3dθ 1 n 504 1，其中n1的正奇數(shù)n1n2cosθndθ π（6分2RR0e5大.并求r0.06時(shí)的t值.,2設(shè),t年末的總收入R 0A(t)Rert0

2t 0dt R0dt Rd 2trtR0 r=得惟一駐點(diǎn)t

25r

5 ddAd 2trtdtdt dt R015rd2dt R0d 2trt1dttrR02trtd dt5r 2trt

r2

2trt R0

R0

5

103t22trt 2R r d2d2dt0t

Re25r(12.5r3)根據(jù)判定極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)根據(jù)判定極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x00點(diǎn),又因駐點(diǎn)惟一,所以也是最大值點(diǎn).故窖藏t 25r

當(dāng)r0.06時(shí),t 25

10011(年9（6分設(shè)函f(x)在ab上連續(xù)，在(ab內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)0試證存在ξ,η(ab),f(ξ)ebeaf b e【解析】方法1：題中沒(méi)有限制ξη,因此取ξη,即成為要去證存在η(a,b)ebeaeηb對(duì)函數(shù)ex滿足拉格朗日中值定理：在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，a,b上用拉格朗日中值定理，存在η(a,b)再取ξη

ebeaeη,即ebeaba baf

eηebeaeηf(ξ)

函數(shù)f(x函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日中值定

f 證畢對(duì)函數(shù)f(x)在ab上用拉格朗日中值定理,f(b)f(a)f(ξ)(ba),aξb.又函數(shù)f(x)ex滿足柯西中值定理的條件：在ab(ab)內(nèi)可導(dǎo)，exex0，再將函f(x與ex在ab上用柯西中值公式,f(b)f(a)f(η),aη

eb eb

ebeaf(ξ)(ba)f b

f(ηaξbaηb.證畢（6分ynx21yn1)x2n

1n

，記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為an求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn求級(jí)數(shù)Sn的和n1n

1n

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

與

n(n1n(n1SSnan11nnx2 (n1)x2nn x2an 0n(nann(n23413n413n(n1)n(nSn 3n(nk1113nk1k1 knn1 nk1 3nk1k(kn n SnS n 4 1 lim n n （7分f(x在[1,上連續(xù).yf(xx1,xt(t1)x33 2的解 【答案】yxx3y,或y 1

,xyf(xx1,xt(t1)xxV(t)V(t) ft21, πtf2(x)dxπt2f(t)f(1)1β(t

3 F(tα(t)f(x)dx，α(t)β(t)均一階可F'(t)β'(tfβ(t)α'(tfα(t)3x2y3y2 y 3()2( 這是一階齊次微分方程.按標(biāo)準(zhǔn)解法,yux,dyuxdu ux(du)3u2 x 3u(u 若u0,yux0,

x29,2若u1,yuxxyx29,舍棄；u0，且u1.等式兩邊同時(shí)除以3u(u1)，

lnlnu1lnu3lnx去掉對(duì)數(shù)及絕對(duì)值號(hào),改寫任意常數(shù),并以u(píng)

y代入, Cx3yyx,,,xx1yxx3y或y2yx29,得C1,（9分設(shè)向量αaa,a)Tβbb,b)T都是非零向量，且滿足條件αTβ0.n AαβT（2）矩陣A的特征值和特征向量【解析】（1）對(duì)等式αTβ0兩邊取轉(zhuǎn)置，有αTβTβTα0，即βTα0則則利用βTα0及矩陣乘法的運(yùn)算法則A2αβT2αβTαβ αβTαβαβTαβTα0βT0αβ（2）設(shè)A的特征值為λ，對(duì)應(yīng)的特征向量為ξ(ξ0)，則AξAλξλ(Aξ)λ(λξ對(duì)上Aλξλ(Aξ)λ(λξ由（1）A20，得λ2ξA2ξ0，因ξ0，故λ求A的特征向量：aa

1 2 n a a a 先將A寫成矩陣形 AαβT2 b2 2 2na

a a an n n nn不妨設(shè)a10b10

a1bn

bna

a

a

a a

ab(0EA)

2 2 2 2

2n

1 a a a n n nn

a a

abnn 于是得方程組(0EA)x0nr(0EA)n選x2,,xnr(0EA)n選x2,,xn為自由未知量，將，組值組值(b1,0,,0),(0,b1,0),(0,0,,b1代入可解得基礎(chǔ)解系為ξ1(b2,b1,0,,0),ξ2(b3,0,b1,,0),ξn1(bn,0,0,,A的屬于λ0的全部特征向量為k1ξ1,k2ξ2,