理論力學(xué)動(dòng)靜法

關(guān)于理論力學(xué)動(dòng)靜法第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日2動(dòng)力學(xué)普遍定理，是解決動(dòng)力學(xué)問題的普遍方法，在一定條件下也是簡捷而有效的方法。本章介紹解答動(dòng)力學(xué)問題的另一種方法——達(dá)蘭貝爾原理或譯為達(dá)朗伯原理。應(yīng)用這一原理，就將動(dòng)力學(xué)問題從形式上轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題，從而根據(jù)關(guān)于平衡的理論來求解。這種解答動(dòng)力學(xué)問題的方法，因而也稱動(dòng)靜法。動(dòng)力學(xué)第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日3§9-1慣性力的概念人用手推車動(dòng)力學(xué)力是由于小車具有慣性，力圖保持原來的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對于施力物體(人手)產(chǎn)生的反抗力。稱為小車的慣性力。

定義：質(zhì)點(diǎn)慣性力

加速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，對迫使其產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)的物體的慣性反抗的總和。第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日4動(dòng)力學(xué)③慣性力作用在使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生加速度的其他施力物體上。①

大小：FJ=ma②

方向：與相反按不同坐標(biāo)系，慣性力可分解為：——切向慣性力——法...............第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日5動(dòng)力學(xué)這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)蘭貝爾原理。§9-2達(dá)蘭貝爾原理非自由質(zhì)點(diǎn)M，質(zhì)量m，受主動(dòng)力，約束反力作用，、的合力為由牛頓第二定律：假象地將作用在M上，則即：一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)蘭貝爾原理第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日6動(dòng)力學(xué)該方程對動(dòng)力學(xué)問題來說只是形式上的平衡，并沒有改變動(dòng)力學(xué)問題的實(shí)質(zhì)。采用動(dòng)靜法解決動(dòng)力學(xué)問題的最大優(yōu)點(diǎn)，就是可以利用靜力學(xué)提供的解題方法，給動(dòng)力學(xué)問題一種統(tǒng)一的解題格式。也就是：對于動(dòng)力學(xué)問題，假想地加上慣性力，就可以用平衡方程求解。第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日7動(dòng)力學(xué)[例1]

列車在水平直線軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車廂向右作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺左偏角度，相對于車廂靜止。求車廂的加速度。第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日8動(dòng)力學(xué)研究對象：單擺的擺錘虛加慣性力

角隨著加速度的變化而變化，當(dāng)不變時(shí)，角也不變。只要測出角，就能知道列車的加速度。擺式加速計(jì)的原理。解：得方向與相反第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日9動(dòng)力學(xué)對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，如果在每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上都假象地加上慣性力，則主動(dòng)力系、約束反力系、慣性力系在形式上構(gòu)成平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)蘭貝爾原理。可用方程表示為：設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對任一質(zhì)點(diǎn)，虛加慣性力，則有二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)蘭貝爾原理對于每一個(gè)研究對象，平面問題有三個(gè)平衡方程，空間問題有六個(gè)平衡方程。第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日10動(dòng)力學(xué)

§9-3剛體慣性力系的簡化一般質(zhì)點(diǎn)系，在應(yīng)用動(dòng)靜法是，可在每一質(zhì)點(diǎn)上虛加相應(yīng)的慣性力，但對于剛體這樣由無窮多質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，則不可能逐個(gè)質(zhì)點(diǎn)虛加慣性力。怎么辦？可以采用靜力學(xué)中的力系簡化的理論，求出各質(zhì)點(diǎn)慣性力所組成的慣性力系的主矢和主矩，來代替慣性力系。這樣，在剛體上虛加了慣性力系的主矢和主矩，就相當(dāng)于在剛體上的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上虛加了慣性力。第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日11動(dòng)力學(xué)一、剛體作平動(dòng)慣性力系向質(zhì)心C簡化：故剛體平動(dòng)時(shí)慣性力系合成為一過質(zhì)心的合慣性力。第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日12動(dòng)力學(xué)空間慣性力系—>平面慣性力系（質(zhì)量對稱面）O為轉(zhuǎn)軸z與質(zhì)量對稱平面的交點(diǎn)，向O點(diǎn)簡化：主矢：主矩：二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體設(shè)剛體具有垂直于轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量對稱平面。O直線i：平動(dòng)，過Mi點(diǎn)，第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日13動(dòng)力學(xué)即：向O點(diǎn)簡化：作用在O點(diǎn)作用在C點(diǎn)若向質(zhì)心C簡化，同理可得實(shí)際應(yīng)用時(shí)可將慣性主矢分解：第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日14動(dòng)力學(xué)討論：①若ε=0，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點(diǎn)C，向轉(zhuǎn)軸簡化，則②若轉(zhuǎn)軸過質(zhì)點(diǎn)C，且0，則③若ε=0且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心C，則第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日15動(dòng)力學(xué)假設(shè)剛體具有質(zhì)量對稱平面，并且平行于該平面作平面運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，剛體的慣性力系可先簡化為對稱平面內(nèi)的平面力系。剛體平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨基點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)C）的平動(dòng)：繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)：三、剛體作平面運(yùn)動(dòng)作用于質(zhì)心C

無論剛體作什么運(yùn)動(dòng)，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日16動(dòng)力學(xué)[*例1]

均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成0角位置靜止倒下。求開始倒下時(shí)桿AB的角加速度及A點(diǎn)支座反力。（1）研究對象：桿AB（2）受力圖（3計(jì)算慣性力系的主矢、主矩將慣性力系向A點(diǎn)簡化：解：第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日17動(dòng)力學(xué)（4）選軸及矩心建立平衡方程求解第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日18動(dòng)力學(xué)用動(dòng)量矩定理+質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理再求解此題：解：選AB為研究對象由得：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日19動(dòng)力學(xué)

[*例2]

牽引車的主動(dòng)輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動(dòng)，設(shè)車輪所受的主動(dòng)力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個(gè)力及驅(qū)動(dòng)力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件下，驅(qū)動(dòng)力偶矩M之最大值。取輪為研究對象虛加慣性力系：解：則：第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日20動(dòng)力學(xué)由(1)得由(2)得N=P+S，要保證車輪不滑動(dòng)，必須

F≤fN=f(mg+S)(5)可見，f越大越不易滑動(dòng)。

Mmax的值為上式右端的值。把(5)代入(4)得：第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日21動(dòng)力學(xué)根據(jù)動(dòng)靜法，可以用靜力學(xué)平衡方程的形式來建立動(dòng)力學(xué)方程。應(yīng)用動(dòng)靜法既可求運(yùn)動(dòng)，例如加速度、角加速度；也可以求力。應(yīng)用動(dòng)靜法可以利用靜力學(xué)建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意選取，二矩式，三矩式等等。因此當(dāng)問題中有多個(gè)約束反力時(shí)，應(yīng)用動(dòng)靜法求解它們時(shí)就方便得多。動(dòng)靜法的應(yīng)用第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日22動(dòng)力學(xué)

①選取研究對象。原則與靜力學(xué)相同。

②受力分析。畫出全部主動(dòng)力和外約束反力。

③運(yùn)動(dòng)分析。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標(biāo)出

方向。應(yīng)用動(dòng)靜法求動(dòng)力學(xué)問題的步驟及要點(diǎn)：④虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定要在正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日23動(dòng)力學(xué)

⑤列動(dòng)靜方程。選取適當(dāng)?shù)木匦暮屯队拜S。

⑥建立補(bǔ)充方程。運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程（運(yùn)動(dòng)量之間的關(guān)系）。

⑦求解未知量。

[注意]

的方向及轉(zhuǎn)向已在受力圖中標(biāo)出，建立方程時(shí)，只需按 計(jì)算即可。第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日24動(dòng)力學(xué)

[例1]

質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)，求鼓輪的角加速度及O處反力。取系統(tǒng)為研究對象解：方法1用動(dòng)靜法求解第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日25動(dòng)力學(xué)虛加慣性力和慣性力偶：則：列補(bǔ)充方程： 重物1：重物2：輪：第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日26動(dòng)力學(xué)xy第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日27動(dòng)力學(xué)方法2用動(dòng)量矩定理求解根據(jù)動(dòng)量矩定理：取系統(tǒng)為研究對象第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日28動(dòng)力學(xué)取系統(tǒng)為研究對象，任一瞬時(shí)系統(tǒng)的兩邊除以dt，并求導(dǎo)數(shù)，得方法3用動(dòng)能定理求解方法2、3須用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求O處反力第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日29動(dòng)力學(xué)[例2]

在圖示機(jī)構(gòu)中，均質(zhì)圓柱體A、O重分別為P和Q，半徑均為R，A作純滾動(dòng)。繩子不可伸長，其質(zhì)量不計(jì)，斜面傾角，如在O上作用一常力偶矩M，試求：(1)圓柱體O的角加速度？

(2)繩子的拉力？

(3)軸承O處的反力？

(4)圓柱體A與斜面間的摩擦力（不計(jì)滾動(dòng)摩擦）？第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日30動(dòng)力學(xué)解：（1）取輪O為研究對象，虛加慣性力偶列平衡方程：（2）取輪A為研究對象，虛加慣性力。第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日31動(dòng)力學(xué)列出平衡方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：，將及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日32動(dòng)力學(xué)代入(2)、(3)、(5)式，得：第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日33動(dòng)力學(xué)方法2用動(dòng)力學(xué)普遍定理求解(1)用動(dòng)能定理求鼓輪角加速度。取系統(tǒng)為研究對象兩邊對t求導(dǎo)數(shù)：第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日34動(dòng)力學(xué)(2)用動(dòng)量矩定理求繩子拉力（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程）取輪O為研究對象，由Joe=∑MOe得(3)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解軸承O處支反力取輪O為研究對象，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日35動(dòng)力學(xué)(4)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求摩擦力取圓柱體A為研究對象，根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程方法3：用動(dòng)能定理求鼓輪的角加速度

用達(dá)朗伯原理求約束反力（繩子拉力、軸承O處反力和及摩擦力）。第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日36動(dòng)力學(xué)[例3]

均質(zhì)圓柱體重P，半徑R，自O(shè)點(diǎn)無滑動(dòng)地沿傾斜板由靜止開始滾動(dòng)。板與水平成角，試求OA=S時(shí)板在O點(diǎn)的約束反力。板重略去不計(jì)。解：圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)其質(zhì)心加速度為a，虛加慣性力P（1）取圓柱體為研究對象：第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日37動(dòng)力學(xué)（2）取系統(tǒng)體為研究對象：第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日38動(dòng)力學(xué)解：繞線輪作平面運(yùn)動(dòng)由將FJ

、MOJ代入上式，可得[例4]

繞線輪重P，半徑為R及

r

，對質(zhì)心O的回轉(zhuǎn)半徑為ρ，且ρ2

=Rr，輪在常力

作用下作純滾動(dòng)，已知，不計(jì)滾阻，求：(1)輪心的加速度；(2)分析輪純滾動(dòng)的條件。第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日39動(dòng)力學(xué)純滾動(dòng)的條件：F≤fN

第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日40動(dòng)力學(xué)解：BD作平動(dòng)，A相對于BD不動(dòng)，所以：[例5]

重W2的板BD由兩根等長且平行的細(xì)繩懸掛，板上放置重W1且不計(jì)大小的物塊A。系統(tǒng)從圖示位置無初速開始運(yùn)動(dòng)，求此瞬時(shí)A物不在BD上滑動(dòng)的接觸面的靜摩擦系數(shù)。（1）以物A及BD為研究對象：x將FAJ、FCJ

代如得aC=gsinθ第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日動(dòng)力學(xué)（2）以物A為研究對象：A在BD上不滑動(dòng)，必須F≤fN，第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日42動(dòng)力學(xué)解（1）以AB為研究對象：設(shè)其質(zhì)心加速度為aC、角加速度為eAB，則[例6]

圖示系統(tǒng)，均質(zhì)桿AB：m1=2m，l；均質(zhì)圓輪：m2=2m，r；物體G：m3=m

。系統(tǒng)開始靜止，AB水平。求A端繩突然斷開的瞬時(shí)物體G和桿AB質(zhì)心的加速度及O處反力。第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日43動(dòng)力學(xué)（2）以物體G及輪O為研究對象：設(shè)物體G的加速度為aG、輪O的角加速度為eO，虛加慣性力：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日動(dòng)力學(xué)將各慣性力及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系代入（1）～（5）式聯(lián)立解得：第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日45動(dòng)力學(xué)例7.圖示機(jī)構(gòu)位于水平面。已知：均質(zhì)桿AD：m；均質(zhì)桿AB：L，2m；套筒E至AD桿距離為L/2。系統(tǒng)初始靜止，且AE=5L/8。求當(dāng)AD桿突然受到向右的力F作用時(shí)，AB桿的角加速度e及套筒E對AB桿在水平面內(nèi)的約束反力。不計(jì)套筒質(zhì)量及各處摩擦。解：AD桿作平動(dòng)，AB桿作平面運(yùn)動(dòng)（1）分析加速度（a）以E及AB為研究對象，以套筒E為動(dòng)點(diǎn)，AB為動(dòng)系∵aa=0，ac=0（圖示瞬時(shí)wAB=0）第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日46動(dòng)力學(xué)（b）以AB為研究對象，設(shè)e。以E為基點(diǎn)，則沿AB，也就是