第2章 等式與不等式 學(xué)習(xí)導(dǎo)引與學(xué)法指導(dǎo)（2021年）- 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第一冊(cè)

PAGE第11頁(yè)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬浦東外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（上海市浦東達(dá)爾文路91號(hào)）謝立竿郵編：xlg@163.com【必修一】第2章等式與不等式章節(jié)第2章等式與不等式（4+5+3+2=14）2.1等式與不等式的性質(zhì)2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集2.1.2一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關(guān)系2.1.3不等式的性質(zhì)2.2不等式的求解2.2.1一元一次不等式及一元一次不等式組的求解2.2.2一元二次不等式的求解2.2.3分式不等式的求解2.2.4含絕對(duì)值不等式的求解2.3基本不等式及其應(yīng)用2.3.1平均值不等式及其應(yīng)用2.3.2三角不等式數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)重要的研究對(duì)象，相等關(guān)系與不等關(guān)系是最基本的數(shù)量關(guān)系，而等式和不等式則是表示相應(yīng)數(shù)量關(guān)系的基本工具；等式與不等式的知識(shí)，在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用；我們將通過類比方法，學(xué)習(xí)有關(guān)等式與不等式的性質(zhì)，并借助集合和邏輯的語(yǔ)言，求解和證明一些基本的不等式．在學(xué)習(xí)過程中，要注意等式與不等式之間的共性和差異，掌握等價(jià)變形的方法，并特別注意不等式取到等號(hào)的條件；我自己的小課堂我自己的小課堂用等號(hào)“＝”把兩個(gè)表達(dá)式連接起來，所得的式子稱為等式；2、等式的性質(zhì)用“=”把兩個(gè)表達(dá)式連接起來，所得式子稱為：等式；（1）傳遞性設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，如果a＝b，b＝c，那么a＝c；、（2）加法性質(zhì)設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，如果a＝b，那么a+c＝b+c；（3）乘法性質(zhì)設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，如果a＝b，那么ac＝bc；還可以“驗(yàn)證”與“推廣”得性質(zhì)與推論：（4）如果a＝b，那么b＝a；（5）如果a＝b，那么a±c＝b±c；（6）如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)；【注意】等式性質(zhì)成立的條件，特別是性質(zhì)（6）中的“不為零”；3、恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等；【注意】在解方程與解不等式時(shí)，如何保證“恒等變形”；4、方程的解集（1）含有未知數(shù)的等式稱為：方程；（2）使得方程兩端相等的未知數(shù)的值，稱為方程的解或者方程的根；（3）以方程的所有解為元素組成的集合，稱為方程的解集；【注意】一般地，把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集；方程的解（或根）是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；一般地，把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集；利用等式的性質(zhì)和有關(guān)恒等式進(jìn)行代數(shù)變形，可以得到一些方程的解集。5、一元二次方程的解集一般地，Δ＝b2－4ac稱為一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式；（1）當(dāng)Δ>0時(shí)，方程的解集為{eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)}；（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))；（3）當(dāng)Δ<0時(shí)，方程的解集為；6、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【韋達(dá)定理】若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a)；【注意】應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，常有以下變形：我自己的小課堂①(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2我自己的小課堂②eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)；③|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)。7、比較實(shí)數(shù)a，b的大小不等式：用不等號(hào)將兩個(gè)表達(dá)式連接起來（1）文字?jǐn)⑹觯喝绻鸻－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b，反過來也對(duì)；（2）符號(hào)表示：a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b；【注意】符號(hào)“?”叫做等價(jià)號(hào)，讀作“等價(jià)于”，“p?q”的含義是：p可以推出q，q也可以推出p，即p與q可以互推；8、不等式的性質(zhì)（1）傳遞性設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，如果a>b，b>c，那么a>c；（2）加法性質(zhì)設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，如果a>b，那么a＋c>b＋c；（3）乘法性質(zhì)設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc；還有（可以驗(yàn)證）（4）性質(zhì)設(shè)a、b均為實(shí)數(shù)，a＞bb＜a；（5）性質(zhì)設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，如果a＋b>c，則a>c－b；(不等式的移項(xiàng)法則)（6）性質(zhì)設(shè)a、b、c、d均為實(shí)數(shù)，如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；(同向可加性)（7）性質(zhì)設(shè)a、b、c、d均為實(shí)數(shù)，如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.（8）性質(zhì)設(shè)a、b均為實(shí)數(shù)，如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)．（9）性質(zhì)設(shè)a、b均為實(shí)數(shù)，如果a>b>0，那么(n∈N，n>1)【注意】（1）性質(zhì)（5）表明，不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊；（2）性質(zhì)（6）表明，兩個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向；（3）性質(zhì)（8）表明，n個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向；我自己的小課堂我自己的小課堂9、不等式證明方法【拓展】（1）綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法．綜合法最重要的推理形式為p?q，其中P是已知或者已得出的結(jié)論，所以綜合法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找必然成立的結(jié)論；（2）分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、公理、定理等)為止．分析法最重要的推理形式為p?q，其中P是需要證明的結(jié)論，所以分析法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找結(jié)論成立的充分條件；（3）反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立.10、有關(guān)不等式的“定理”對(duì)任意的實(shí)數(shù)a和b，總有a2＋b2≥2ab，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立；11、有關(guān)不等式的“定理”的拓展（1）算術(shù)平均值與幾何平均值：給定兩個(gè)正數(shù)a，b，數(shù)eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值；（2）均值不等式：如果a，b都是正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立；【注意】1、兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是不同的;前者要求a，b是實(shí)數(shù)即可，而后者要求a，b都是正實(shí)數(shù)(實(shí)際上后者只要a≥0，b≥0即可)；2、兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab和eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)都是帶有等號(hào)的不等式，都是“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”。（3）均值不等式與最值：已知x＞0，y＞0，則我自己的小課堂①若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值eq\f(s2,4).我自己的小課堂②若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值2eq\r(p)；即：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值；【注意】利用均值不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的原則，即：①一正：符合均值不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的前提條件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一邊為定值；③三相等：必須存在取“＝”號(hào)的條件，即“＝”號(hào)成立．以上三點(diǎn)缺一不可．12、不等式的解集與不等式組的解集（1）在含有未知數(shù)的不等式中，能使此不等式成立的未知數(shù)的值，稱為該不等式的解；（2）一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集；（3）求不等式解集的過程稱為不等式求解或解不等式；（4）將含有相同未知數(shù)的多個(gè)不等式聯(lián)立起來，就得到不等式組；（5）求不等式組中所有不等式的解集的交集稱，稱為解不等式組；【說明】若不等式中所含不等式解集的交集為時(shí)，則不等式組的解集為；13、一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c為常數(shù)，而且a≠0；【注意】一元二次不等式中的不等號(hào)也可以是“<”“≥”“≤”等，即ax2＋bx＋c<0(a≠0)，ax2＋bx＋c≥0(a≠0)，ax2＋bx＋c≤0(a≠0)都是一元二次不等式；14、用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1<x2，則不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．15、用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以我自己的小課堂變?yōu)?x－h(huán))2>k或(x－h(huán))2<k的形式，然后根據(jù)k我自己的小課堂就可以得到原不等式的解集。16、一元二次不等式概念的理解（1）可以這樣理解：形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫做一元二次不等式，其中a，b，c為常數(shù)；（2）“只含一個(gè)未知數(shù)”，并不是說在代數(shù)式中不能含有其他字母類的量，只要明確指出這些字母所代表的量，即哪一個(gè)是變量“未知數(shù)”，哪一個(gè)是“參數(shù)”即可．（3）“次數(shù)最高是2”，僅限于“未知數(shù)”，若還含有其他參數(shù)，則次數(shù)不受此條件限制．17、從兩個(gè)角度看三個(gè)“二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）從函數(shù)的角度看(以a>0的二次函數(shù)為例)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值滿足y>0時(shí)的自變量x組成的集合，亦即二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c>0(a>0)的圖象在x軸上方時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（2）從方程的角度看設(shè)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分別為{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1x2＝\f(c,a)，))即不等式的解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)方程的根；當(dāng)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集為R時(shí)，意味著ax2＋bx＋c>0恒成立，由圖象可知，關(guān)于這類問題只需考慮開口方向和判別式即可，而不必利用最值轉(zhuǎn)化的思路求解．18、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1我自己的小課堂或x＞x2我自己的小課堂{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}?我自己的小課堂我自己的小課堂19、分式不等式即相關(guān)（1）解分式不等式時(shí)，要注意先移項(xiàng)，使右邊化為零，要注意含等號(hào)的分式不等式的分母不為零．（2）一般地，分式不等式分為兩類：①eq\f(ax＋b,cx＋d)>0?(ax＋b)(cx＋d)>0；②eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（ax＋b）（cx＋d）≥0，,cx＋d≠0.))20、絕對(duì)值不等式（1）絕對(duì)值不等式的概念：一般地，含有絕對(duì)值的不等式稱為絕對(duì)值不等式；（2）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式：一般地，如果實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，即A(a)，B(b)，則線段AB的長(zhǎng)為|AB|＝|a－b|，線段AB的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)x＝eq\f(a＋b,2)．【說明】1、（1）求線段AB的長(zhǎng)|AB|時(shí)，不要忽視絕對(duì)值；（2）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)與A、B兩點(diǎn)的順序無關(guān)。2、算術(shù)平均值與幾何平均值對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a，b，數(shù)eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值；3、平均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立；我自己的小課堂4、定理對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，有，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，我自己的小課堂等號(hào)成立；【說明】（1）兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是不同的；前者要求a，b是實(shí)數(shù)即可，而后者要求a，b都是正實(shí)數(shù)（實(shí)際上后者只要a≥0，b≥0即可【P46上的注解】）；（2）兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab和eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)都是帶有等號(hào)的不等式，都是“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”；21、平均值不等式與最值已知x＞0，y＞0，則（1）若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值eq\f(s2,4).（2）若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值2eq\r(p).即：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值．【說明】利用均值不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的原則，即：①一正：符合均值不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的前提條件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一邊為定值；③三相等：必須存在取“＝”號(hào)的條件，即“＝”號(hào)成立．以上三點(diǎn)缺一不