專題訓(xùn)練26 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 - 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) (新高考)

專題26正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用一、單選題（本大題共8小題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1．某快遞公司在我市的三個(gè)門店A，B，C分別位于一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，其中門店A，B與門店C都相距akm，而門店A位于門店C的北偏東50°方向上，門店B位于門店C的北偏西70°方向上，則門店A，B間的距離為（）A．a(chǎn)km B． C． D．2akm2．我艦在島處南偏西50°方向的處，且距離為12千米，發(fā)現(xiàn)敵艦正離開(kāi)島沿北偏西10°的方向以每小時(shí)10千米的速度航行，若我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則速度大小為（）A．28千米/時(shí) B．14千米/時(shí) C．千米/時(shí) D．20千米/時(shí)3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（）A．10海里 B．10海里C．20海里 D．20海里4．2009年北京國(guó)慶閱兵式上舉行升旗儀式，如圖，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最后一排的距離為米，則旗桿的高度為（）米．A． B．30 C． D．355．如圖，為了測(cè)量某濕地A，B兩點(diǎn)間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)C，D，E．從D點(diǎn)測(cè)得∠ADC＝67.5°，從C點(diǎn)測(cè)得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，從E點(diǎn)測(cè)得∠BEC＝60°．若測(cè)得DC＝2，CE＝(單位：百米)，則A，B兩點(diǎn)的距離為（）A． B．2C．3 D．26．圣·索菲亞教堂（英語(yǔ)：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑．1996年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t小明估算索菲亞教堂的高度為（）A． B． C． D．7．如圖，在地面上共線的三點(diǎn)處測(cè)得一個(gè)建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且，則建筑物的高度為（）A． B． C． D．8．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對(duì)于地平面的坡度為θ，則cosθ等于A． B． C．－1 D．－1二、多選題（本大題共4小題，每小題有多個(gè)各選項(xiàng)符合題意）9．為了測(cè)量B，C之間的距離，在河的南岸A，C處測(cè)量（測(cè)量工具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學(xué)所測(cè)得的數(shù)據(jù)記錄，你認(rèn)為不合理的有（）A．與 B．與 C．，與 D．，與10．某人在A處向正東方向走后到達(dá)B處,他向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km到達(dá)C處,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好,那么x的值為A． B． C． D．311．某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東75°，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西30°，距離．貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東60°，則下列說(shuō)法正確的是（）A．處與處之間的距離是； B．燈塔與處之間的距離是；C．燈塔在處的西偏南60°； D．在燈塔的北偏西30°．12．重慶是一座網(wǎng)紅城市，外地游客來(lái)重慶必到洪崖洞、千廝門大橋打卡.如圖，我校測(cè)繪興趣小組為測(cè)量河對(duì)岸千廝門大橋橋墩底部到頂端的高度，選取與在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)與（，，不在同一直線上），畫(huà)一條基線，測(cè)得，測(cè)繪興趣小組利用經(jīng)緯儀可測(cè)得的角有：，，，，，，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算出的高度的是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，三、填空題（本大題共4小題）13．汽車最小轉(zhuǎn)彎半徑是指當(dāng)轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)到極限位置，汽車以最低穩(wěn)定車速轉(zhuǎn)向行駛時(shí)，外側(cè)轉(zhuǎn)向輪的中心平面在支承平面上滾過(guò)的軌跡圓半徑．如圖中的BC即是．已知某車在低速前進(jìn)時(shí)，圖中A處的輪胎行進(jìn)方向與AC垂直，B處的輪胎前進(jìn)方向與BC垂直，軸距AB為2.92米，方向盤(pán)轉(zhuǎn)到極限時(shí)，輪子方向偏了30°，則該車的最小轉(zhuǎn)彎半徑BC為_(kāi)______米．14．年月日，以“綠色秦巴，開(kāi)放互贏”為主題的第三屆秦巴山區(qū)綠色農(nóng)林產(chǎn)業(yè)投資貿(mào)易洽談會(huì)在四川省巴中市開(kāi)幕，會(huì)場(chǎng)設(shè)在剛剛竣工的川東北最大的綜合體育場(chǎng)——巴中市體育中心，即民間所說(shuō)的“興文鳥(niǎo)巢”，能被邀請(qǐng)到現(xiàn)場(chǎng)觀禮是無(wú)比的榮耀．如圖，在坡度為的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為和，且第一排和最后一排的距離為米，則旗桿的高度為_(kāi)_______米．15．海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞．若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測(cè)得m，，，，則兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_____m．16．某中學(xué)慶祝國(guó)慶儀式上舉行升旗禮，在坡度為的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排車的旗桿頂端的仰角分別是，已知旗桿的高度為28.3米，則第一排與最后一排之間的距離約為_(kāi)_________（取，小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）四、解答題（本大題共4小題，答題過(guò)程應(yīng)包括必要的公式、過(guò)程和文字說(shuō)明）17．位于燈塔處正西方向相距的處有一艘甲船，需要海上加油.位于燈塔處北偏東有一與燈塔相距的乙船（在處）.求乙船前往支援處的甲船航行的距離和方向（角度精確到）.18．某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)小時(shí)與輪船相遇.（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.19．據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，在S島正東距S島的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)的速度向北偏西30°的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響．問(wèn)：S島是否受其影響？若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)多少小時(shí)S島開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的影響？持續(xù)時(shí)間多久？說(shuō)明理由．20．為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召開(kāi)，積極引進(jìn)外資，現(xiàn)欲在南京紫金東創(chuàng)建一工廠，目前兩條公路，的交匯點(diǎn)處有一居民區(qū)，現(xiàn)擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建造工廠，同時(shí)在兩公路旁，（異于點(diǎn)）處設(shè)兩個(gè)銷售點(diǎn)，且滿足，（千米），（千米），設(shè).（注：）（1）試用表示，并寫(xiě)出的范圍；（2）當(dāng)為多大時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民區(qū)的影響最?。垂S與學(xué)校的距離最遠(yuǎn)）.參考答案1．C【解析】由題意知AC＝BC＝akm，∠ACB＝50°+70°＝120°，由余弦定理得，，所以，即門店A，B間的距離為.故選：C.2．B【解析】如圖，設(shè)我艦在處追上敵艦，速度大小為千米/時(shí)，在中，（千米），千米，，所以，則千米，故千米/時(shí).故選：B3．A【解析】如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．故選：A4．B【解析】如圖所示，依題意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理可知＝，∴＝米，∴在直角三角形中，AB＝AC?sin∠ACB＝×＝30米.所以旗桿的高度為30米.故選：B．5．C【解析】根據(jù)題意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，則∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，則AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，則∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，則有＝，變形可得BC＝＝＝，在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，則AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，則AB＝3．故選：.6．D【解析】由題意知：，所以在中，，在中，由正弦定理得所以，在中，故選：D7．D【解析】設(shè)建筑物的高度為，由題圖知，，，，在和中，分別由余弦定理的推論，得①，②，因?yàn)?，所以③，由①②③，解得或（舍去），即建筑物的高度?故選:D.8．C【解析】在ABC中，由正弦定理得，∴AC＝100．在ADC中，，∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝.故選：C9．ABC【解析】因?yàn)锳，C在河的同一側(cè)，所以可以測(cè)量，與，故選：ABC10．AB【解析】由題意得,由余弦定理得,解得或.故選：AB.11．AC【解析】由題意可知，所以，,在中，由正弦定理得，所以，故A正確；在中，由余弦定理得，即，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以燈塔在處的西偏南，故C正確；由，在燈塔的北偏西處，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．ACD【解析】A：根據(jù)，，，由正弦定理求，再結(jié)合可求的高度，正確；B：在△、△都只有一邊一角，不能求出其它角或邊，無(wú)法求的高度，錯(cuò)誤；C：根據(jù)，，，由正弦定理求，再結(jié)合可求的高度，正確；D：由，可得：，結(jié)合由正弦定理求，再由可求的高度，正確；故選：ACD13．【解析】由題意可知，只需求的長(zhǎng)度即可.由，，即米，故答案為：14．【解析】設(shè)，在中，；在中，，，，，由正弦定理得，即，所以．故旗桿的高度為米．故答案為：.15．【解析】解：易知在中，，為等腰三角形，則，在中，，，所以由正弦定理得，即，得，在中，由余弦定理得，所以，即，兩點(diǎn)的距離為，故答案為：．16．23.6米【解析】設(shè)第一排的觀測(cè)點(diǎn)為，最后一排的觀測(cè)點(diǎn)為，旗桿的頂端為，依題意，得，，則，可得米，在中，由正弦定理得，所以米.故答案為：23.6米.17．乙船航行的距離為，方向約為南偏西【解析】根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖如圖，由余弦定理得.于是.由正弦定理得，所以.因?yàn)?，所?故乙船航行的距離為，方向約為南偏西.18．（1）海里/時(shí)；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為海里，則.當(dāng)時(shí)，（海里），此時(shí)（海里/時(shí)）.∴小艇以海里/時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.（2）設(shè)小艇與輪船在處相遇，則，故，又，∴，即，解得.又時(shí)，海里/時(shí)，即海里/時(shí)時(shí)，取得最小值為.此時(shí)，在△中，有海里，故可設(shè)計(jì)航行方案：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.19．從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)小時(shí)S島開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)影響，且持續(xù)時(shí)間為小時(shí)，理由見(jiàn)解析.【解析】如圖所示，設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)th到