數(shù)學(xué)建模選修課課件1與方程組

數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)

主講教師：宋叔尼教授等2010年10月一、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽首屆國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)獲得者吳文俊院士：任何數(shù)學(xué)都要邏輯推理，但這只是問(wèn)題的一個(gè)方面，更重要的是用數(shù)學(xué)去解決問(wèn)題，解決日常生活及其他學(xué)科中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

學(xué)校給的數(shù)學(xué)題目都是有答案的，已知什么，求證什么，都是清楚的，題目也一定是做得出的。但是將來(lái)到了社會(huì)上，所面對(duì)的問(wèn)題大多是預(yù)先不知道答案的，甚至不知道是否會(huì)有答案。這就要求培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，學(xué)會(huì)處理各種實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。

1.了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。

2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)資料的分析計(jì)算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡(jiǎn)化，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。

3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

4.模型求解。

5.模型的分析與檢驗(yàn)。

數(shù)學(xué)建模的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，是各領(lǐng)域大量需要的。做這樣的事情，所需要的遠(yuǎn)不只是數(shù)學(xué)知識(shí)和解數(shù)學(xué)題的能力，而需要多方面的綜合知識(shí)和創(chuàng)新能力。因此應(yīng)當(dāng)努力培養(yǎng)和提高學(xué)生在這方面的能力。通過(guò)什么方式達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力？開(kāi)展數(shù)學(xué)競(jìng)賽能促進(jìn)數(shù)學(xué)研究專門人才的培養(yǎng)，那么,為什么不可以開(kāi)展一項(xiàng)競(jìng)賽來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用人才的培養(yǎng)呢？從1983年起，美國(guó)一些有識(shí)之士開(kāi)始探討組織一項(xiàng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方面競(jìng)賽的可能性。經(jīng)過(guò)論證、爭(zhēng)論、爭(zhēng)取資助的過(guò)程，1985年開(kāi)始有了美國(guó)第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(簡(jiǎn)稱MCM)(MathematicalContestinModeling)。競(jìng)賽由美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)和美國(guó)運(yùn)籌學(xué)會(huì)聯(lián)合主辦。從1985年起每年舉行一屆，在每年的二月下旬舉行，到2010年已舉行了26屆。

比賽的形式：每個(gè)參賽隊(duì)由三名學(xué)生和一個(gè)指導(dǎo)教師組成，在規(guī)定的三、四天時(shí)間內(nèi)，由學(xué)生自行做題，教師不得參賽，共同完成一份答卷。每次的考題只有兩個(gè)題，都是來(lái)自實(shí)際或有強(qiáng)烈實(shí)際背景的問(wèn)題，沒(méi)有固定的范圍，可能涉及各個(gè)非常不同的領(lǐng)域。每個(gè)參賽隊(duì)從這兩個(gè)考題中任意選做一個(gè)題。參賽隊(duì)的三名隊(duì)員可以相互討論，可以查閱資料，可以使用計(jì)算機(jī)和計(jì)算機(jī)軟件。參賽隊(duì)的答卷是一篇完整的論文。

比賽的結(jié)果：專家們?cè)谠u(píng)卷時(shí)并不對(duì)論文給出分?jǐn)?shù)，而是將論文分成一些等級(jí)

Outstanding（特等獎(jiǎng)）

Meritorious（一等獎(jiǎng)）

HonorableMention（二等獎(jiǎng)）

SuccessfulParticipation（成功參賽獎(jiǎng)）評(píng)卷的標(biāo)準(zhǔn)：并不是看答案對(duì)不對(duì)，而主要看論文的思想方法好不好，以及論述是否清晰。所有成功參賽的隊(duì)員和教練都能得到一張獎(jiǎng)狀。同一個(gè)考題的幾篇優(yōu)秀論文甚至連答數(shù)都不一樣，卻同樣都優(yōu)秀。既然數(shù)學(xué)建模賽是考察解決實(shí)際問(wèn)題的能力，那就一切都以解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程為準(zhǔn)。論文中各種不同意見(jiàn)、不同答案可以并存，只要能夠言之成理。如果你像解答純數(shù)學(xué)題那樣，只有數(shù)學(xué)公式和計(jì)算，而不講清實(shí)際問(wèn)題怎么變成數(shù)學(xué)公式，也不讓計(jì)算結(jié)果再接受實(shí)際檢驗(yàn)，即使答案正確，論文也很難評(píng)上好的等級(jí)。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的三個(gè)步驟：1、建立模型：實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題；2、數(shù)學(xué)解答：數(shù)學(xué)問(wèn)題→通過(guò)計(jì)算機(jī)得數(shù)學(xué)解；3、模型檢驗(yàn)：數(shù)學(xué)解→實(shí)際問(wèn)題的解決。如果你只重視中間一個(gè)步驟（一般初參賽的時(shí)候容易犯這個(gè)錯(cuò)誤），而對(duì)第一和第三這兩個(gè)步驟不予重視，那就違背了數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的宗旨，當(dāng)然就不能得到好的結(jié)果。為什么要叫數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽？就是因?yàn)樗惖氖墙?shù)學(xué)模型，而不只是比賽解答數(shù)學(xué)模型。MCM雖然只是美國(guó)的國(guó)內(nèi)賽，但它歡迎其他國(guó)家的大學(xué)組隊(duì)參加，而且有越來(lái)越多的國(guó)家（包括中國(guó)）大學(xué)參加這一競(jìng)賽。這就是通常所說(shuō)的“國(guó)際(美國(guó))數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”。經(jīng)過(guò)醞釀、籌備，從1992年開(kāi)始,由中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)舉辦我國(guó)自己的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽（CMCM）。教育部對(duì)這項(xiàng)活動(dòng)十分重視，決定從1994年起，由教育部高教司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同舉辦，每年一次。這就是通常所說(shuō)的“全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”。隨著賽事的開(kāi)展，越來(lái)越多的人認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的一個(gè)極好載體:能充分考驗(yàn)學(xué)生的洞察能力、創(chuàng)造能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯能力、文字表達(dá)能力、綜合應(yīng)用分析能力、聯(lián)想能力、使用當(dāng)代科技最新成果的能力等等。培養(yǎng)學(xué)生們同舟共濟(jì)的團(tuán)隊(duì)精神、協(xié)調(diào)組織能力、誠(chéng)信意識(shí)和自律精神。許多參加過(guò)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的學(xué)生感受到“一次參賽，終生受益”。

二、學(xué)校數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)方法與政策1.學(xué)校優(yōu)惠政策1.1獲得全國(guó)一等獎(jiǎng)且符合學(xué)校免試推薦研究生基本條件，經(jīng)三名以上本專業(yè)教授聯(lián)名推薦，所在學(xué)院推免生遴選工作領(lǐng)導(dǎo)小組嚴(yán)格審查，可不受綜合排名限制，獲得免試內(nèi)推研究生資格，并由學(xué)校單列計(jì)劃，直接推薦。但學(xué)生有關(guān)說(shuō)明材料和教授推薦信要進(jìn)行公示。1.2

獲得全國(guó)二等獎(jiǎng)，且符合學(xué)校免試推薦研究生基本條件，獲得外推考試資格。

1.3

根據(jù)比賽成績(jī)對(duì)比賽學(xué)期三門課程的考試成績(jī)按以下公式折算，但最高不能超過(guò)95分，三門課程總學(xué)分不超過(guò)6學(xué)分。免修、免考的課程成績(jī)不得乘系數(shù)。乘系數(shù)課程必須為理論課程或與比賽項(xiàng)目相近的實(shí)踐環(huán)節(jié)，具體由各學(xué)院教學(xué)辦審核。記載成績(jī)=考核成績(jī)×R。

競(jìng)賽名稱特等獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)國(guó)際數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1.51.41.3全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1.41.3省數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1.21.11.4

獎(jiǎng)金一等獎(jiǎng)：3000元，二等獎(jiǎng)：1500元2.東北大學(xué)在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)情況2005年，國(guó)際二等5個(gè)；2006年，國(guó)際一等1個(gè)，國(guó)際二等1個(gè)；2007年，國(guó)際一等2個(gè)，國(guó)際二等3個(gè)；2008年，國(guó)際二等6個(gè)。主要原因（1）學(xué)生的自發(fā)行為；（2）缺乏有效引導(dǎo)；（3）建模教學(xué)未能普及。2008年5月開(kāi)始建立培訓(xùn)機(jī)制，提出開(kāi)設(shè)課程。2009年開(kāi)始進(jìn)入常態(tài)化管理。2009年，國(guó)際一等2個(gè)，國(guó)際二等7個(gè)；2010年，國(guó)際一等12個(gè)，國(guó)際二等9個(gè)。2.東北大學(xué)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)

1)數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)（32學(xué)時(shí)，基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練）

2)建模競(jìng)賽選拔

3)選拔隊(duì)員培訓(xùn)（暑期培訓(xùn)，案例選講）學(xué)校特等獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)?wù)憬髮W(xué)1104華中科技大學(xué)156中國(guó)科技大學(xué)98哈爾濱工業(yè)大學(xué)839電子科技大學(xué)84北京理工大學(xué)77清華大學(xué)74西安交通大學(xué)64大連理工大學(xué)516

國(guó)內(nèi)其他高校情況三、數(shù)學(xué)建模常用的方法類比法差分法變分法圖論法層次分析法數(shù)據(jù)擬合法回歸分析法數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動(dòng)態(tài)規(guī)劃，目標(biāo)規(guī)劃）機(jī)理分析法排隊(duì)方法對(duì)策方法決策方法模糊評(píng)判方法時(shí)間序列方法灰色理論方法現(xiàn)代優(yōu)化算法（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，模擬退火算法，遺傳算法）四、數(shù)學(xué)模型分類與需要的相關(guān)知識(shí)優(yōu)化模型微分方程模型統(tǒng)計(jì)模型概率模型圖論模型

課程安排競(jìng)賽中的發(fā)散性思維方法借助于一系列問(wèn)題來(lái)展開(kāi)思路這個(gè)問(wèn)題與什么問(wèn)題相似？如果將問(wèn)題分解成兩個(gè)或幾個(gè)部分會(huì)怎樣？極限情形（或理想狀態(tài)）如何？綜合問(wèn)題的條件可得到什么結(jié)果？要實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的目標(biāo)需要什么條件？借助于下意識(shí)的聯(lián)想（靈感）來(lái)展開(kāi)思路抓住問(wèn)題的個(gè)別條件或關(guān)鍵詞展開(kāi)聯(lián)想或猜想綜合所得到的聯(lián)想和猜想，得到一些結(jié)論進(jìn)一步思考找出新思路和方法參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽需要知識(shí)

沒(méi)有必要很系統(tǒng)的學(xué)很多數(shù)學(xué)知識(shí)。很多優(yōu)秀的論文，是思維比較全面、貼合實(shí)際、能解決問(wèn)題或是有所創(chuàng)新。

1.數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力

2.計(jì)算機(jī)的運(yùn)用能力

3.論文的寫作能力一定要有一個(gè)人會(huì)編程序，能夠?qū)崿F(xiàn)一些算法。另外需要有一個(gè)論文寫的比較好，不過(guò)寫不好也沒(méi)關(guān)系，多看一看別人的優(yōu)秀論文，多用幾次word，Visio

。

競(jìng)賽中的群體思維方法

地位平等、相互尊重杜絕武斷評(píng)價(jià)不要回避責(zé)任充分交流，不要對(duì)交流失去信心

“數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)”課程要求課程中課后（結(jié)課）數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)

宋叔尼2010年10月

第一講

數(shù)學(xué)建模與方程組相關(guān)的問(wèn)題

許多實(shí)際問(wèn)題可以歸結(jié)為方程組的求解例如：冶金工程、機(jī)械結(jié)構(gòu)、大型的土木結(jié)構(gòu)、最優(yōu)控制大型輸電網(wǎng)絡(luò)、圖像處理、種群繁殖、經(jīng)濟(jì)規(guī)劃等。1.投入產(chǎn)出分析1949年，哈佛大學(xué)教授Leontief把美國(guó)經(jīng)濟(jì)分解成500個(gè)部門(如農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)等)，對(duì)每個(gè)部門，其產(chǎn)出如何分配給其它經(jīng)濟(jì)部門？構(gòu)建了500個(gè)未知數(shù)，500個(gè)方程的方程組，受計(jì)算機(jī)的限制只好把問(wèn)題簡(jiǎn)化為42個(gè)未知數(shù)，42個(gè)方程的方程組。該成果獲1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。下面假設(shè)：經(jīng)濟(jì)體系中僅由農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)構(gòu)成，這些部門生產(chǎn)商品和服務(wù)。

產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060070150初始投入3511075總投入100200150各部門間的投入產(chǎn)出平衡關(guān)系上表中第一行表示農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出為100時(shí)，15農(nóng)產(chǎn)品用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，20用于制造，30用于服務(wù)，35用于外部需求。1.給定外部需求，建立求解各部門總產(chǎn)出模型。2.如果對(duì)農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)的外部需求分別為50，

150，100，問(wèn)三個(gè)部門的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？3.若三部門外部需求分別增加1單位，總產(chǎn)出應(yīng)增加多少？4.若對(duì)任意給定的非負(fù)外部需求，都能得到非負(fù)總產(chǎn)出，稱模型可行。為使模型可行，應(yīng)滿足什么條件？問(wèn)題

產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060070150初始投入3511075總投入100200150設(shè)有n個(gè)部門，第i個(gè)部門的總產(chǎn)出為xi，用于(投入到)第j個(gè)部門xij，外部需求為di，則假設(shè)每個(gè)部門的產(chǎn)出與投入成正比，即xij/xj為常數(shù)，記為aij.1.給定外部需求，建立求解各部門總產(chǎn)出模型轉(zhuǎn)換成記投入系數(shù)矩陣，產(chǎn)出向量需求向量，則方程組記為即這就是線性代數(shù)方程組。

產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)農(nóng)業(yè)0.150.100.20制造業(yè)0.300.050.30服務(wù)業(yè)0.200.300投入產(chǎn)出系數(shù)表

產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060070150初始投入3511075總投入100200150各部門間的投入產(chǎn)出平衡關(guān)系得到數(shù)學(xué)模型（線性方程組）2.如果對(duì)農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)的外部需求分別為50，

150，100，問(wèn)三個(gè)部門的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？用MATLAB求出即可3.若三部門外部需求分別增加1單位，總產(chǎn)出應(yīng)增加多少？得令求解4.若對(duì)任意給定的非負(fù)外部需求，都能得到非負(fù)總產(chǎn)出，稱模型可行。為使模型可行，應(yīng)滿足什么條件？要使模型可行，即對(duì)任意的外部需求得.由知，如果(即每個(gè)元素非負(fù)).即滿足結(jié)論.如果，就有如果，必有.得到這等價(jià)于又因?yàn)橐话銇?lái)說(shuō)數(shù)學(xué)建模過(guò)程如下：

形成論文假設(shè)載荷很小，則發(fā)生的形變也很小，用u=u(x)表示在載荷f(x)作用下弦的平衡位置，則AB非線性2.弦振動(dòng)問(wèn)題（微分方程問(wèn)題）區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)的全體，記為C[a,b];區(qū)間[a,b]上二階連續(xù)可微函數(shù)的全體，記為C2[a,b];按照通常函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的乘法兩種運(yùn)算,構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.

結(jié)合邊界條件問(wèn)題1方程組的求解問(wèn)題微分方程的解是中的函數(shù)（或元素）。方程組的解是N－1維空間中的向量。時(shí)，該向量的極限是否為原方程的解？問(wèn)題2設(shè)A，B是重力場(chǎng)中給定的兩點(diǎn)，且A點(diǎn)高于B點(diǎn)，B點(diǎn)不正好位于A點(diǎn)下方。3最速降線問(wèn)題一個(gè)在A點(diǎn)靜止的質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿著怎樣的路線C無(wú)摩擦地從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)，才能使所花的時(shí)間最短？該曲線C稱為最速降線。如何求出該曲線？3.1問(wèn)題的提出考慮連接A,B的曲線顯然，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度這里表示弧長(zhǎng)。因此故所需時(shí)間為構(gòu)造坐標(biāo)系設(shè)曲線上一點(diǎn)處的切線與軸方向的夾角為；設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，重力加速度為；由牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律兩端同乘以，則兩邊積分，則有但已設(shè)初速為零，故，從而

.于是我們的問(wèn)題便是在條件，之下尋求使取最小的函數(shù)。由上可知，是的函數(shù)，同時(shí)是的函數(shù)；因此是函數(shù)的函數(shù)。工程上常常稱是的泛函。記為3.2求解問(wèn)題的初步設(shè)想先考慮從到的以下曲線：(i)直線段；(ii)圓弧(自己選擇一條)；(iii)拋物線(自己選擇一條)；分別計(jì)算所花的時(shí)間（練習(xí)）。

這樣將分成個(gè)小段，每段長(zhǎng)度。將區(qū)間等份，每段長(zhǎng)度等于，而在區(qū)間內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)，使對(duì)成立。此時(shí)，曲線相應(yīng)地被分成小段：

3.3近似計(jì)算注意和不能改變，是固定點(diǎn)。記，是坐標(biāo)為的點(diǎn)。而其余及縱坐標(biāo)隨著曲線的不同而改變。如果比較大，并且每個(gè)都比較小，則可近似地看成從到的直線段。質(zhì)點(diǎn)在，兩點(diǎn)的速度分別是，；

在直線段內(nèi)的平均速度為質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)這條直線段的時(shí)間是總時(shí)間近似地等于這樣即求出了的值．求合適的使最小.4.多元函數(shù)的極小值問(wèn)題（非線性方程組的計(jì)算問(wèn)題）4.1函數(shù)的極小值問(wèn)題與方程求根一元函數(shù)極值轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程求根多元函數(shù)極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求非線性方程組解的問(wèn)題設(shè)在取極小值，則設(shè)在取極小值，則即求f(x)=0的根.4.2Newton迭代法4.2.1Newton迭代公式

設(shè)(x)在有根區(qū)間[a,b]上二階連續(xù)可微,給定根的某個(gè)近似值x0（初值）,取(x)(x0)+(x0)(x-x0),方程(x)=0近似為(x0)+(x0)(x-x0)=0若(x0)0,其解為因?yàn)榈玫礁男碌慕浦祒1,一般地,在xk附近線性化方程為(xk)+(xk)(x-xk)=0設(shè)(xk)0,其解為迭代格式稱為Newton迭代法.xyox0y=(x)x1x2直線y=(x0)+(x0)(x-x0)就是y-(x0)=(x0)(x-x0)Newton迭代法也叫切線法.k,2,1,0,)()(1L=￠-=+kxfxfxxkkk

設(shè)(x)在根附近具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則對(duì)充分接近的初值x0,Newton迭代法產(chǎn)生的序列xk收斂于,且定理

例用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根.4.2.2Newton迭代法的收斂性

例用Newton迭代法求8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0的根,在1.5附近的根.為了簡(jiǎn)化計(jì)算(xk),采用格式稱為簡(jiǎn)化Newton迭代法.o