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文檔簡介
《用向量方法討論立體幾何中的位置關(guān)系(2)》教案教學目標教學目標1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關(guān)系.2.能用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.3.能用向量方法證明空間中的直線、平面的關(guān)系.4.會用三垂線定理及逆定理解題.5.學會用向量方法證明幾何問題.教學重難點教學重難點重點:用向量方法證明立體幾何中的垂直與平行問題.難點:用空間向量表達幾何的位置關(guān)系.教學過程教學過程一、新課導入回顧舊知:我們知道,平行和垂直是立體幾何中主要的位置關(guān)系,可以利用直線的方向向量與平面的法向量對直線與平面的平行、垂直等位置關(guān)系進行表示.設向量l,m分別是直線l,m的方向向量,n1,nl//m或l與m重合?
l//m?
l=km;l//α或l?a?
l⊥n1?
l本節(jié)課繼續(xù)探討利用空間向量證明幾何問題.教師小結(jié)引出本節(jié)內(nèi)容,出示課題:用向量方法討論立體幾何中的位置關(guān)系(2).設計意圖:通過復習舊知,引導學生回顧學過的知識,對即將學習的內(nèi)容進行思考和交流,教師進行總結(jié)出示課題,順利進入本節(jié)課內(nèi)容.二、應用舉例例1已知:如下圖,直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=π2(1)求證:MN//平面A(2)求證:平面CMN⊥平面A'證明:由直三棱柱ABC-A'B'C',可知AA'⊥平面ABC,又∠BAC=π2設AA'=1,因為AB=AC=因為點M,N分別為A'B和B'C'(1)由圖知AB=(2,0,0)是平面AMN//平面A'ACC'.又因為MN?(2)依題意有CN=(22,-22,1),所以22x-22y+z=0,22y+12因為n1·n2=例2.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),M分析:一種思路是不建系,利用基向量法證明D1M與平面另一種思路是建立空間直角坐標系,通過坐標運算證明D1M與平面EFB11內(nèi)的兩個不共線向量都垂直;還可以在建系的前提下,求得平面EF證明:(1)因為E,F(xiàn),M分別為棱AB,BC,B1B的中點,所以D1M=D1B1+B1M=DA+DC+12B1B,而B1E=B1B+BE另外兩種解法學生去解決.例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為正方形ABCD的中心,P是DD1的中點,設分析:建立空間直角坐標系,設出點Q的坐標,然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線進行證明.解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設正方體的棱長為1,則O12,12,0,P0(方法一)因為OP=-12,-12,12,BD1=(AP=-1,0,12,BQ=(-1,0,m),當m=12時,AP=BQ,即AP∥BQ,有平面PAO∥平面D(方法二)設平面PAO的法向量為n=(x,y,z),則OP?n=0AP?n=0,即因為平面D1BQ∥平面PAO,所以n⊥平面D1BQ所以-1+2m=0,m=12.故當Q為CC1的中點時,平面設計意圖:通過三個例子對用向量方法表示幾何位置關(guān)系、用向量方法證明一些立體幾何中的定理進行實際應用,加深對用向量方法解決問題的理解,學生在實踐中加強練習,懂得運用方法進行問題解決,嘗試自主實踐,進行遷移應用.三、課堂練習1.長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=33.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,E是B1C的中點.參考答案:1.證明過程詳見解析解析:RS=RC+∴RS=PQ,∴RS∥PQ,即RS2.證明過程詳見解析解析:建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N2,32,4,E0,32,4,F(xiàn)(1,3,4).∴MN=1,32,0,EF=1,32,0,3.存在,理由詳見解析解析:假設存在點F,使CF⊥平面B1DF.不妨設AF=b,則F(2a,0,b),CF=(2a,-2a,b),B1F=(2a,0,b-3a),B1D=22a,22a,0.∵CF·B1D=a2-a2+0=0,∴CF⊥B1D恒成立.由B1F·CF=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a四、課堂小結(jié)1.利用空間向量證明平行/垂直關(guān)系:設向量l,m分別是直線l,m的方向向量,n1,n平行關(guān)系:l//m或l與m重合?
l//m?
l=km;l//α或l?a?
l垂直關(guān)系:l⊥m?
l⊥m;l⊥α?
2.利用空間向
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