《離散型隨機變量的方差》示范公開課教案【高中數(shù)學北師大】

《離散型隨機變量的方差》教案教學目標教學目標1.通過實例，理解離散型隨機變量方差的含義，通過比較了解隨機變量的方差與樣本方差的區(qū)別與聯(lián)系；2.能計算簡單離散型隨機變量的方差；3.體會均值與方差是從不同角度刻畫隨機變量的重要指標，并能利用他們解決一些實際問題．教學重難點教學重難點教學重點：對離散型隨機變量的方差的概念和求法的理解．教學難點：利用離散型隨機變量的方差解釋隨機現(xiàn)象，解決實際問題．教學過程 教學過程一、情境導入有A、B兩種不同類型的燈泡，通過抽樣，獲得了他們的“壽命”分別為X、Y（單位：h），已知X、Y的分布列如下表：X95010001050Y70010001300P121P121問題1：該情境中，兩類燈泡的“壽命”X、Y均是離散型隨機變量，你能結合上節(jié)課所學的隨機變量均值的知識來簡單比較兩類燈泡之類的好壞嗎？答案：離散型隨機變量的均值，反映了隨機變量取值的平均水平，在該問題中，均值越大，則燈泡的平均“壽命”越長，均值越小，則燈泡的平均“壽命”越短．根據(jù)離散型隨機變量均值的計算公式為EX=EX=950×16EY=700×1因為EX=EY，兩個均值相等，也就是說這兩種燈泡的平均壽命都是1000h，那么我們僅通過均值就無法來比較兩種燈泡的質量好壞．問題2：那能否由EX=EY判定兩類燈泡壽命數(shù)據(jù)無差別呢？也就是說，是不是可以由均值相等，說明兩類燈泡質量相同？答案：進一步觀察數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)，A類燈泡的壽命介于950h~1050h，B類燈泡的壽命介于700h~1300h，直觀上看，A類燈泡的壽命時長要分布更為集中一些，即X與其均值的偏離程度要小一些．即，雖然均值相同，但是兩個變量X、Y的取值卻存在較大的差異．也就是說，并不能直接由均值相等就判定兩個變量取值無差異．二、新知探究問題3：基于以上問題，我們?yōu)榱伺袛酂襞葙|量的好壞，還需要進一步考查燈泡壽命X與其均值EX的偏離程度．若偏離程度小，則燈泡的壽命比較穩(wěn)定；若偏離程度大，則燈泡壽命的穩(wěn)定性比較差．那么，怎樣定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度呢？答案：我們知道，在統(tǒng)計中，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的．比如，一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，設其均值為x，則其方差即為(x1-x)s2=1一個自然的想法是，隨機變量的離散程度能否用可能取值與均值“偏差平方的平均值”來度量呢？設離散型隨機變量X的分布列如下表所示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考慮X所有可能取值xi與EX的偏差的平方x1-EX2，x2-EX2，…，xn-EX2就描述了x我們稱DX=E=∑ni=1xi-EX2pi為隨機變量這樣，隨機變量的方差和標準差都可以反映隨機變量取值與其均值的偏離程度．方差（標準差）越小，隨機變量偏離于均值的平均程度越小，取值越集中；方差（標準差）越大，隨機變量偏離于均值的平均程度越大，取值越分散．．問題4：根據(jù)以上方差的知識，來評價一下情境中兩類燈泡的質量吧．答案：根據(jù)數(shù)據(jù)，EX=EY=1000hDX=E(X-EX)B類型燈泡的方差和標準差分別為DY=E(Y-EY)因為DX<DY（等價地，σX<σY），所以問題5：觀察隨機變量方差的表達式，嘗試一下能否進行簡化？答案：DX==在以上的式子中，∑ni=1xi2pi即為X2的均值，(EX)2問題6：離散型隨機變量的學習中，我們經(jīng)常會見到aX+b這樣的變量，它與變量X存在線性關系，那么它的方差又與X的方差有何關系？這種關系與兩者期望的關系有什么不同？答案：這個問題我們分三個層次來探究．①離散型隨機變量X加上一個常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，故方差保持不變，即D(X+b)=DX；②離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)a，則D=即，DaX=a2DX，aX③類似于上面的，可以證明DaX+b=a2DX，即與離散型隨機變量X存在線性依賴關系的變量aX+b三、應用舉例例1拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差和標準差．解：擲出點數(shù)X的分布列如下：X123456P111111EXDX=σX例2甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，設ξ，η分別表示甲、乙兩人所加工出的次品件數(shù)，且ξξ012η012P313P131試比較這兩名工人誰的技術水平更高．解：因為Eξ=0×3Eη=0×1即Eξ=Eη，說明甲、乙兩名工人所加工出的平均次品件數(shù)相同，可以認為他們的技術水平相當．又因為Dξ=Dη=所以Dξ>Dη，說明工人乙的技術比較穩(wěn)定．例3醫(yī)學上發(fā)現(xiàn)，某種病毒侵入人體后，人的體溫會升高．記病毒侵入人體的平均體溫為X℃（攝氏度），醫(yī)學統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，X的分布列如下：X37383940P0.10.50.30.1（1）求出EX，（2）已知人體體溫為X℃時，相當于Y=1.8X+32℉（華氏度），求EY解：（1）EX=37×0.1+38×0.5+39×0.3+40×0.1=38.4，根據(jù)DX=∑DX=37（2）EYDY思考：隨機變量的均值、方差與分布列有何關系？答案：隨機變量的分布列全面刻畫了隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律，隨機變量的均值和方差從不同的角度刻畫了隨機變量的特征，反映了隨機變量的重要信息．分布列確定了，均值和方差也就確定了；但是反過來，僅僅知道均值或方差等數(shù)字特征，并不能完全確定隨機變量的分布列．因此，均值、方差與分布列是部分和整體的關系．四、課堂練習1.設隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，求DX．解：依題意，隨機變量X的分布列如下表：X10Pp1-pEX=1?p+0?1-pDX=1-p2.已知隨機變量X的分布列如下表，求DX和σX01234P0.10.20.40.20.1解：因為EX=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2所以DX=0-22所以σX3.投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示．股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元-102收益Y/元012概率0.10.30.6概率0.30.40.3（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風險較高？分析：股票投資收益是隨機變量，期望收益就是隨機變量的均值，投資風險是指收益的不確定性，在兩種股票期望收益相差不大的情況下，可以用收益的方差來度量它們的投資風險高低，方差越大風險越高，方差越小風險越低．解：（1）股票A的投資收益期望為EX=-1股票B的投資收益期望為EY=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1．因為EX>EY，所以投資股票A的期望收益較大．（2）股票A的投資收益方差為DX=-1股票B的投資收益方差為DY=0因為EX和EY相差不大，且DX>DY，所以投資股票A比投資股票說明：在實際中，可以選擇適當?shù)谋壤顿Y兩種股票，使期望收益最大或風險最?。?、梳理小結問題1：我們是如何定量的刻畫一個離散型隨機變量取值的穩(wěn)定性的？答案：我們通過離散型隨機變量的方差和標準差來刻畫其取值的穩(wěn)定性．離散型隨機變量X的方差的定義是：其每個取值與均值的差的平方的均值，即DX=離散型隨機變量的標準差指的方差的算術平方根，即σX離散型隨機變量的方差（或標準差）