概率與數(shù)理統(tǒng)計試題與參考

一、填空題（本大題共有10個小題，每題3分,共30分）1．設(shè)A、B、C是3個隨機事件，則“三個事件中最罕有兩個事件發(fā)生”用A、B、C表示為ABACBC；．設(shè)PA，PB，若A與B獨立，則P(AB)=；2( )=( )=3．設(shè)X的概率分布為P(Xk)2k1，k1,2,3,4，則C37；2kC164．設(shè)隨機變量~B(n,p)，且E4，D2，則n=8；5．設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為Ccosx,|x|2，則常數(shù)C=1；f(x)20,其余6．設(shè)X1,X2,,Xn是來自N(,2)的樣本，則E(X)；7．設(shè)隨機變量X與Y互相獨立，且X～N(0，9)，Y～N(0，1)，令Z=X-2Y，則D(Z)=13；2)的樣本，則X1nXi~N(,28．X1,X2,,Xn是取自整體N(,)；ni1n9．若整體X~N(,2)，且2未知，用樣本檢驗假設(shè)H0：0時，則采納的統(tǒng)計量是

t

x

0；s/

n10．設(shè)整體X~P(

)，則

的最大似然預(yù)計為

x。二、單項選擇題（本大題共

10小題，每題

2分，共

20分）1.若

A與

B互為對峙事件，則下式成立的是

（D）（A

B）=

（AB）=P（A）P（B）C.P（AB）=

D.P（A）=1-P（B）已知一射手在兩次獨立射擊中最少命中目標(biāo)一次的概率為，則該射手每次射擊的命中率為(C)C.1，（3.設(shè)A，B為兩事件，已知P（A）=A|B）=2，P(B|A)3，則（）（A）P35PB=3A.1B.2C.3D.455554.隨機變量X~E(3),則D(X)(B)A.1B.1C.1D.139x2781X5.設(shè)隨機變量X～N2，(為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則P≤4}=(A)(2,3)){2<A.(2)1B.1(2)C.2(2)1D.(2)32333設(shè)二維隨機變量(X,Y）的分布律為則P{X=Y}=（A）C.設(shè)隨機變量X～N（-1,3),Y～N(1,2)，且x與y互相獨立，則X+2Y～（B）(1,10)(1,11)(1,5)(1,7)DXi，i，，，則由8.設(shè)隨機變量X1，X2，，X100獨立同分布，EXi)=1=1,2()=0,(100100中心極限制理得P10}近似于(B){Xii1B.(l)C.(10)D.(100)設(shè)x1，x2，，x5是來自正態(tài)整體N（,2）的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為x15xi和s215(xix)2，則5(x)遵從（A）5i14i1s(4)(5)C.2(4)D.2(5)10.設(shè)整體X~N（,2），2未知，x1，x2，，xn為樣本，s21nx)2，檢驗(xin1i1假設(shè)H0∶2=20時采納的統(tǒng)計量是A.tx~t(n1)B.s/nC.2(n1)s2~2(n)D.20

（D）x~t(n)ts/n2(n1)s2~2(n1)20三、計算題：（本大題共有7個小題，共50分）1．（6分）設(shè)在某條國道上行駛的高速客車與一般客車的數(shù)目之比為1：4，假設(shè)高速客車因發(fā)生故障需要停駛檢修的概率為，一般客車因發(fā)生故障需要停駛檢修的概率為.（1）求該國道上有客車因發(fā)生故障需要停駛檢修的概率；（2）已知該國道上有一輛客車因發(fā)生故障需要停駛檢修，問這輛客車是高速客車的可能性有多大？解設(shè)A={高速客車}，B={一般客車}C={客車需要維修}(1)則，由全概公式，得10.0024P(C)=P(A)P(C/A)P(B)P(C/B)55(2)貝葉斯公式，得2．（6分）26.由歷史記錄知，某地區(qū)年總降雨量是一個隨機變量，且此隨機變量X~N(500,1002)（單位：mm）.求（1）明年總降雨量在400mm~600mm之間的概率；（2）明年總降雨量小于何值的概率為（φ(1)=,φ≈）解（1）P(400X600)P(1X5001)(1)(1)100=2(1)120.841310.6826(2)由P(Xx)P(X500x500)0.1得(x500)0.1100100100因此，有(x500)1(x500)10.10.9100100由已知，得，x5001.28100故，x=3723．（7分）設(shè)隨機變量X的分布律為.記Y=X2，求：(1)D(X)，D(Y)；(2)Cov(X,Y).解因E(X)00.510.420.10.6因此，D(X)E(X2)E2(X)0.80.620.44又因，E(XY)E(XX2)E(X3)030.5130.4230.11.2因此，()(2)E2(Y)20.820.44DYEY于是，4．（7分）某互聯(lián)網(wǎng)站有10000個互相獨立的用戶，已知每個用戶在平常任一時刻訪問該網(wǎng)站的概率為，求在任一時刻有2100個以上的用戶接見該網(wǎng)站的概率.(取Φ=。解設(shè)X為接見網(wǎng)站的人數(shù)則，由題意知，n=10000,p=,q=因此，X~b(10000,0.2)由大數(shù)定理有，Xnp~N(0,1)，此時np2000,npq40npq因此，P(X2100)1P(X2100)1(21002000)40（8分）設(shè)（X,Y）的概率密度為：求：（1）A；（2）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊沿概率密度；（3）判斷X與Y能否獨立？解（1）由歸一性，得f(x,y0dydx1，得1x[Axydy]dx002）fX(x)3）易知，

1，于是A1，因此A=88f(x,y)dyx3(0x1)8xydy4x0f(x,y)fX(x)fY(y)因此，X與Y不獨立6.（8分）某柜臺做顧客檢查，設(shè)每小時到達柜臺的顧額數(shù)X遵從泊松分布，即X~P（），若已知P（X=1）=P（X=2），且該柜臺銷售狀況Y（千元），滿足Y=12X+2。2試求：（1）參數(shù)的值；（2）一小時內(nèi)最罕有一個顧客光臨的概率；（3）該柜臺每小時的均勻銷售狀況E（Y）。2解（1）由P（X=1）=P（X=2）得，ee1!2!因此，2，因此E(X)D(Y)201e2（2）P(X1)1P(X0)1e0!（3）E(Y)E(1X22)1E(X2)222=1[D(X)(E(X))2]21(222)6=522（8分）生產(chǎn)一種工業(yè)用繩，其質(zhì)量指標(biāo)是繩索所承受的最大拉力，假設(shè)該指標(biāo)遵從正態(tài)分布，本來生產(chǎn)的繩索指標(biāo)均值μ0=15公斤，采納一種新原資料后，廠方稱這類原資料能提升繩索的質(zhì)量，為檢驗廠方的結(jié)論能否真實，從其新產(chǎn)品中隨機抽取45件，測得它們所承受的最大拉力的均勻值為公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=公斤.取顯著性水平α=，試問這些樣本能否接受廠方的結(jié)論.（附表：(45)=，(44)=