2005年第4屆中國女子數學奧林匹克(CGMO)試題(含答案)

2005年女子數學奧林匹克第一天2005年8月12日上午800～1200長春我們進行數學競賽的目的，不僅僅是為了數學而數學，其著眼點還是因為它是一切科學的得力助手，因而提高數學，也為學好其他科學打好基礎.——華羅庚1.如圖，設點P在△ABC的外接圓上，直線CP和AC相交于點E，直線BP和AC相交于點F,邊AC的垂直平分線交邊AB于點J，邊AB的垂直平分線交邊AC于點K,求證：=.2.求方程組的所有實數解.3.是否存在這樣的凸多面體，它共有8個頂點，12條棱和6個面，并且其中有4個面，每兩個面都有公共棱？4.求出所有的正實數，使得存在正整數及個互不相交的無限集合，，…，滿足∪∪…∪=Z，而且對于每個中的任意兩數>，都有-≥.2005年女子數學奧林匹克第二天2005年8月13日上午800～1200長春數學競賽，它對牢固基礎知識、發(fā)展智力，培養(yǎng)拔尖人才，是一件具有戰(zhàn)略意義的活動。——華羅庚5.設正實數x，y滿足+=x-y,求證：6.設正整數n≥3，如果在平面上有n個格點滿足：當和為有理數時，存在，使得和均為無理數;當(1)求最小的好數；為無理數時，存在,使得均為有理數，那么稱n是“好數”.(2)問：2005是否為好數？7.設m，n是整數，m>n≥2,S={1,2,…,m},T={整除S中的任何一個數，求證：,…,}是S的一個子集.已知T中的任兩個數都不能同時8.給定實數a,b,a>b>0,將長為a寬為b的矩形放入一個正方形內(包含邊界)，問正方形的邊至少為多長？【題1】證：如圖，連接BK，CJ.∠E=∠ABP—∠BPE，而由A，B，P，C四點共圓，知∠BPE=∠A，故∠E=ABP—∠A，又由KA=KB，知∠A=∠ABK,故∠E=∠ABP—∠ABK=∠KBF.①同理∠F=∠JCE.②由①，②得△JEC∽△KBF.由此，③④將③，④兩式的左端和右端分別相乘即得結論.【題2】解法一：①式可化為.③顯然x，y，z同號.首先求正數解.存在α，β，γ∈(0，π)，使得x=tan，y=tan，z=tan，則sinα=,sinβ=,sinγ=,③即.④②式可化為,即.注意z≠0,xy≠1，因為α，β，γ∈(0，π)，所以,即α+β+γ=π.從而α，β，γ是某個三角形ABC的三個內角.由④和正弦定理知，α,β,γ所對的邊a，b，c的比是5∶12∶13，所以，.從而x=tan=或5，y=tan，z=tan.將z=1代入②式，易知x和y均小于1.所以是唯一正數解.故原方程組有兩組解：.解法二：顯然x，y，z同號.由②得x=，代入①得，即5(z2+1)y=12(y+z)(1-yz),5(y2+1)z=13(y+z)(1-yz).同理整理得12y2z+17yz2=7y+12z,18y2z+13yz2=13y+8z,兩式相加，得30yz(y+z)=20(y+z),∴yz=,代入①解得z=±1.故原方程組有兩組解：【題3】解：存在，如下圖所示?！绢}4】解：若0<a<2,n充分大時，>,令1,2，…,n-1,的倍數}，則該分拆滿足要求。若a≥2,設,,…滿足要求，令M={1，2，…，}，下證≤.設={.∴m-1<,即m<+1,故m≤.1,2,…,n為M的一個分拆，故矛盾.∴所求的a為所有小于2的正實數.【題5】證：由平均不等式,所以從而,.【題6】解：我們斷言最小的好數為5，且2005是好數.在三點組()中，若為有理數(或無理數)，和為無理數(或有理數)，我們稱()為一個好組.(1)n=3顯然不是好數.n=4也不是好數.若不然，假設)為一好組.顯然(滿足條件，不妨設為有理數及()為一好組，則(不能滿足條件.矛盾!)和()均不是好組.所以n=5是好數.以下五個格點滿足條件：={(0，0)，(1，0)，(5，3)，(8，7)，(0，7)}.(2)設A={(1，0)，(2，0)，…，(669，0)}.B={(1，1)，(2，1)，…，(668，1)}.C={(1，2)，(2，2)，…，(668，2)}..對任意正整數n，易證和不是完全平方數.不難證明，對于集合中任兩點為有理數當且僅當與某一坐標軸平行.所以，2005是好數.注：當n=6時，；當n=7時，.則可驗證n=6和7均為好數.當n≥8時，可像n=2005那樣排成三行，表明n≥8時，所有的n都是好數.【題7】證：構造則,由于T中任意兩個數都不能同時整除S中的一個數，所以當i≠j時，.則≤m.,又因為所以即,,所以.【題8】解：設長方形為ABCD，AB=a,BC=b，中心為O.以O為原點，建立直角坐標系，x軸、y軸分別與正方形的邊平形.情形1：線段BC與坐標軸不相交.不妨設BC在第一象限內，∠BOX≤(90°-∠BOC)(圖1).此時正方形的邊長≥BDcos∠BOX≥BDcos=BDcos45°cos∠BOC+BDsin45°sin∠BOC=(a+b).所以此時所在正方形邊長至少為(a+b).情形2：線段BC與坐標軸相交.不妨設BC與x軸相交，不妨設∠