大學物理課件：第3章 剛體力學CX-01

第三章剛體力學本章教學要求第三章剛體力學能用學過的物理原理定性地解釋有關現(xiàn)象（如強烈地震發(fā)生時地球的轉速變快了還是變慢了？再如，2011年3月19日人類看到了19年來最大的月亮，號稱“超級月亮”，此時月亮的轉速與遠地點轉速有何不同？）理解剛體轉動慣量的概念。掌握剛體定軸轉動定理的應用。掌握質點角動量守恒的條件，會判斷質點運動角動量守恒。會舉出角動量守恒的例子并能解釋其原因。會判斷剛體角動量守恒，并會舉出角動量守恒的例子。本章主要內容第一部分二、定軸轉動的特點：

剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動。一、剛體的定義:

外力作用下形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。3.角速度1.角坐標（角位置）（運動方程）2.角位移4.角加速度三、剛體轉動的描述四、剛體定軸轉動的三大特點1、每一質點均作圓周運動；2、任一質點運動的角速度、角加速度都相同。3、運動描述僅需一個坐標。五、力矩1、剛體受合力為零，合力矩一定等于零嗎？2、合外力矩：等于各外力矩的代數(shù)和。3、內力的力矩無需考慮。4、力的作用線穿過轉軸或力的作用線和轉軸平行，兩種情況下，都不改變剛體的轉動狀態(tài)。六、剛體的轉動定律七、轉動慣量轉動慣性大小的量度影響轉動慣量的三個因素

1.剛體自身的性質如質量、大小和形狀；2.質量的分布(質量分布越靠近邊緣轉動慣量越大)；3.轉軸的位置（對不同的軸轉動慣量不同）。八、力矩的功九、剛體轉動動能十、剛體定軸轉動的動能定理十一、剛體定軸轉動的動能定理十二、質點的角動量十三、質點的角動量定理十四、質點的角動量守恒定律恒矢量若如果對于某一參考點質點所受的合外力矩為零，則此質點對參考點的角動量保持不變。十六、剛體定軸轉動的角動量定理十五.剛體定軸轉動的角動量質點的直線運動剛體的定軸轉動123456789直線運動與定軸轉動規(guī)律對照歸納第二部分實例分析和討論一飛輪作勻減速轉動，在5s內角速度由40prad·s-1減到10prad·s-1，則飛輪在這5s內總共轉過了圈，飛輪再經(jīng)圈的時間才能停止轉動。62.51.67已知剛體轉動的運動學方程A、B為常量。求：(1)角速度；(2)角加速度；(3)剛體上距軸為r的一質點的加速度。解：

(1)(2)(3)距軸為r的一質點加速度（為加速度與速度的夾角）例題PQRSOO′如圖所示，P、Q、R和S是附于剛性輕質細桿上的質量分別為4m、3m、2m和m的四個質點，PQ＝QR＝RS＝l，則系統(tǒng)對OO′軸的轉動慣量為50ml2討論一長為l、質量可以忽略的直桿，兩端分別固定有質量為2m和m的小球，桿可繞通過其中心O且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內轉動。開始桿與水平方向成某一角度，處于靜止狀態(tài)。釋放后，桿繞O軸轉動。則當桿轉到水平位置時，該系統(tǒng)所受到的合外力矩的大小M＝________，此時該系統(tǒng)角加速度的大小

＝________。例題)一質量為m、長為l

的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量。解：軸過中心垂直于棒轉軸與棒平行軸過

點垂直于棒軸過端點垂直于棒討論有一質量為m、半徑R的均勻細圓環(huán)，轉軸通過圓心并與環(huán)面垂直，求通過此軸的轉動慣量。一質量為m、半徑為R的均勻圓盤，求通過盤中心O并與盤面垂直的軸的轉動慣量。解：設盤質量面密度為,在盤上取半徑為r,寬為dr的圓環(huán)解：ROmdmRO繼續(xù)比較比較一質量為m、半徑為R、厚度為h的均勻圓盤，求通過盤中心O并與盤面垂直的軸的轉動慣量。解：在盤上取半徑為r、寬為dr、厚度為h的圓環(huán)RO對于圓柱體也有類似的結果一質量為m、厚度為h、內外半徑分別R1和R2為均勻圓筒，求通過中心軸的轉動慣量。體密度比較h關于剛體對軸的轉動慣量，下列說法中正確的是：(A)

只取決于剛體的質量，與質量的空間分布和軸的位置無關。

(B)

取決于剛體的質量和質量的空間分布，與軸的位置無關。(C)

取決于剛體的質量、質量的空間分布和軸的位置。(D)

只取決于轉軸的位置，與剛體的質量和質量的空間分布無關。討論問：1）這兩物體的線加速度為多少?水平和鉛直兩段繩索的張力為多少？

2）B下落距離y

時速率為多少？質量為mA的物體A靜止在光滑的水平面上，它和一輕繩索相連接，此繩索跨過一半徑為R、質量為mC的圓柱形滑輪C，并系在另一質量為mB的物體B上，繩子不可伸長，繩子與滑輪間無相對滑動?；喌霓D動慣量為例題BCA解：受力分析列方程求解B2）物體B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動CAA：B：C：滑輪可看成質量均勻分布的等厚圓盤，其質量為M，半徑為r，滑輪的轉動慣量為。設繩與滑輪間無相對滑動。求：一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪,繩兩邊分別懸有質量為

m1

和m2的物體A和B，已知。（1）物體的加速度、滑輪的角加速度和繩的張力；（2）若B物體從靜止開始下落，求t時刻B物體的速度；（3）若B物體從靜止開始下落，求下落高度為H時B物體的速度；例題m1m2rMAB解：受力分析M：m2:m1:m1m2MABm1gm2gFT1FT2NMg規(guī)定正方向（滑輪順時針為正）FT1FT2(2)若B物體從靜止開始下落，求t時刻B物體的速度(3)B物體從靜止開始，下落高度為H時的速度：思考上題中所給其它條件不變，若滑輪受到的阻力矩為，上題中所列方程有何變化？MFT1FT2NMgm1m2ABm1gm2gFT1FT2m2:m1:M：(滑輪逆時針為正)(滑輪順時針為正)討論結論：規(guī)定一個統(tǒng)一的正方向即可。m2解：以輪子順時針為正m2gTm1gNTm1R輪子質量m1，半徑R，輪子與軸摩擦不計，繩子不可伸長，繩子與滑輪間無相對滑動，求m2的加速度a；輪子的角加速度β。例題？一長為l質量為m勻質細桿豎直放置，其下端與一固定點O相接,并可繞其轉動。當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞O轉動。求細桿轉動到與豎直線成角時的角加速度。解：細桿受兩個力(如圖)m,lmgol/2例題質量為m1和m2的兩物體分別懸掛在如圖所示的組合輪兩端，兩輪半徑分別為R和r，兩輪的質量分別為M和m，繩索與輪間的無相對滑動。試求兩物體的加速度和繩的張力。

m1m2ArRB解：（1）確立研究對象，分別進行受力分析Bm2gT2Am1gT1T2T1例題（2）根據(jù)受力特征，結合運動規(guī)律，列方程對滑輪組：對物體A：對物體B：聯(lián)立求解，得：(D)無法判斷(A)變大(B)不變；(C)變?。籉=mg一輕繩繞在具有水平轉軸的定滑輪上，繩下端掛一物體，物體的質量為m，此時滑輪的角加速度為，若將物體卸掉，而用大小等于mg

、方向向下的力拉繩子，則滑輪的角加速度將例題RmgR重力作功：一細桿質量為m，長度為l，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求細桿擺到鉛直位置時的角速度。由動能定理：或機械能守恒：解：例題)勢能零點勢能勢能動能X軸沿水平方向，Y軸豎直向下，Z軸垂直板面向里。在t=0時將質量為m的質點由A處靜止釋放，讓它自由下落，則在任意時刻t，質點所受的對原點O的力矩

=在任意時刻t，質點所受的對原點O的角動量

=。大小：大?。憾x：定義：例題yxoAbt

時刻角動量守恒定律和動量守恒定律一樣，是自然界的一條最基本、最普遍的定律。質點的角動量守恒定律恒矢量若（L2=L1）有心力如質點作勻速圓周運動,合力指向圓心,故其合力矩為零。在有心力作用下質點的對力心的角動量均守恒，例如：太陽系中的行星討論一質點作勻速率圓周運動時A．它的動量不變，對圓心的角動量也不變B．它的動量不變，對圓心的角動量不斷改變C．它的動量不斷改變，對圓心的角動量不變D．它的動量不斷改變，對圓心的角動量也不斷改變v大小不變，但方向在變故：動量變化例題角動量守恒例子I：跳水運動員在空中如何提高轉速？II：花樣滑冰運動員如何提高轉速？討論剛體繞定軸作勻變速轉動時，問：剛體上距轉軸為r的任一點的(A)切向、法向加速度的大小均隨時間變化(B)切向、法向加速度的大小均保持恒定(C)切向加速度的大小恒定，法向加速度的大小變化(D)切向加速度的大小變化，法向加速度的大小恒定勻變速恒量質點作勻速和變速圓周運動的角動量守恒嗎？變化變化勻速變速不變不變變化變化例題思考題解：以兩圓盤為系統(tǒng)，盡管在銜接過程中有重力、軸對圓盤支持力及軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)生力矩；圓盤間切向摩擦力屬于內力。因此系統(tǒng)角動量守恒。A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉動，角速度分別為。已知兩圓盤半徑和質量分別為RA,RB,mA,mB。

試求兩圓盤對心銜接后的角速度。

例題如圖，一勻質細桿可繞通過上端與桿垂直的水平光滑軸O旋轉，初始狀態(tài)為靜止懸掛?，F(xiàn)有一個小球自左方水平打擊細桿。設小球與細桿之間為非彈性碰撞，則在碰撞過程中對細桿與小球這一系統(tǒng)：(A)只有機械能守恒(B)只有動量守恒(C)只有對轉軸O的角動量守恒(D)機械能、動量和角動量均守恒例題O守恒條件：小球與細桿之間為非彈性碰撞在碰撞過程中，O點拉力及重力的力矩為零在碰撞過程中有外力作用：O點拉力長為l、質量為M的勻質桿可繞通過桿一端O的水平光滑固定軸轉動，轉動慣量為Ml2/3，開始時桿豎直下垂，如圖所示。有一質量為m的子彈以水平速度v0射入桿上A點，并嵌在桿中，OA＝2l/3，則子彈在射入后瞬間桿的角速度OA角動量守恒射入前角動量：射入后角動量：＝子彈＝子彈+桿例題質量為m、長為l的棒，可繞通過棒中心且與棒垂直的豎直光滑固定軸O在水平面內自由轉動(轉動慣量J＝ml2/12)。開始時棒靜止，現(xiàn)有一子彈，質量也是m，在水平面內以速度v0垂直射入棒端并嵌在其中。則子彈嵌入后棒的角速度w＝Omml俯視圖3v/2l角動量守恒射入前角動量＝射入后角動量＝＝子彈＝子彈+桿例題如圖所示，一個小物體，位于光滑的水平桌面上，與一繩的一端相連結，繩的另一端穿過桌面中心的小孔O，該物體原以角速度

在半徑為R的圓周上繞O旋轉。今將繩從小孔緩慢往下拉，則物體(A)動能不變，動量改變(B)動量不變，動能改變(C)角動量不變，動量不變(D)角動量改變，動量改變(E)角動量不變，動能、動量都改變

O緩慢不變變短物體受到向心力力矩為零角動量守恒不守恒例題花樣滑冰運動員繞通過自身的豎直軸轉動，開始時兩臂伸開，轉動慣量為，角速度為，然后她將兩臂收回，使轉動慣量減少為，這時她轉動的角速度變?yōu)?D)(A)(B)(C)∵角動量守恒∴伸臂前角動量＝收臂后角動量伸臂前角動量＝收臂后角動量=例題光滑的水平桌面上，有一長為2L、質量為m的勻質細桿，可繞過其中點且垂直于桿的豎直光滑固定軸O自由轉動，其轉動慣量為

，起初桿靜止。桌面上有兩個質量均為m的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對著桿的一端，以相同速率v相向運動，如圖所示。當兩小球同時與桿的兩個端點發(fā)生完全非彈性碰撞后，就與桿粘在一起轉動，則這一系統(tǒng)碰撞后的轉動角速度應為(A)(B)(C)(D)(E)∵角動量守恒∴碰撞前角動量＝碰撞后角動量