第八章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

第八章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論第1頁，共39頁。經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù)，奈魁斯特判據(jù)，對數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)非線性系統(tǒng)：相平面法(適用于一，二階非線性系統(tǒng))，描述函數(shù)法第2頁，共39頁。俄國學者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定理采用了狀態(tài)向量來描述，適用于單變量，多變量，線性，非線性，定常，時變等系統(tǒng)。主要內(nèi)容：李氏第一法（間接法）：求解特征方程的特征值李氏第二法（直接法）：利用經(jīng)驗和技巧來構(gòu)造李氏函數(shù)第3頁，共39頁。1.自治系統(tǒng)：輸入為0的系統(tǒng)=Ax+Bu(u=0)一.穩(wěn)定性基本概念A奇異：有無窮多個A非奇異：a.線性系統(tǒng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)3.平衡狀態(tài)：2.初態(tài)=f(x,t)的解為初態(tài)第4頁，共39頁。b.非線性系統(tǒng)可能有多個令例第5頁，共39頁。4.孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分小的鄰域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。對于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過適當?shù)淖鴺俗儞Q，把它變換到狀態(tài)空間的原點。第6頁，共39頁。二.李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定歐幾里德范數(shù)設(shè)是包含使的所有點的一個球域，而是包含使 的所有點的一個球域。

定義一

若系統(tǒng) 對于任意選定的 ，存在一個 ，使得當 時，恒有 ，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。

第7頁，共39頁。定義二

如果平衡狀態(tài)xe在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，

且最后都能收斂到xe附近，即 ，其中 是任選的微量，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是

漸近穩(wěn)定的。

第8頁，共39頁。定義四:如果從球域出發(fā)的軌跡，無論球域選得多么小，只要其中有一條軌跡脫離球域，則稱平衡狀態(tài)xe為不穩(wěn)定。定義三對所有的狀態(tài)(狀態(tài)空間的所有點)，如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都具有漸近穩(wěn)定性，則稱平衡狀態(tài)xe為大范圍漸近穩(wěn)定。

第9頁，共39頁。線性系統(tǒng)：如果它是漸近穩(wěn)定的，必是有大范圍漸近穩(wěn)定性(線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件的大小無關(guān))。非線性系統(tǒng)：穩(wěn)定性與初始條件大小密切相關(guān),系統(tǒng)漸近穩(wěn)定不一定是大范圍漸近穩(wěn)定。第10頁，共39頁。利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

三.李雅普諾夫第一法（間接法）即系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復平面左半部。李氏穩(wěn)定的充要條件：1.線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)：第11頁，共39頁。 假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展開成泰勒級數(shù)，可用線性化系統(tǒng)的特征值判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。--非線性函數(shù)在平衡狀態(tài)附近存在各階偏導數(shù)，于是：設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程：2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析：第12頁，共39頁。其中：--級數(shù)展開式中二階以上各項之和第13頁，共39頁。上式為向量函數(shù)的雅可比矩陣。令

則線性化系統(tǒng)方程為：

第14頁，共39頁。結(jié)論：若，則非線性系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的，與無關(guān)。若則不穩(wěn)定。若，穩(wěn)定性與有關(guān)，

則是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。

第15頁，共39頁。四.李雅普諾夫第二法(直接法)不通過運動微分方程，也不通過特征值，就能直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種方法具有下述的物理背景：如果系統(tǒng)在運動過程中能量不斷減小，則系統(tǒng)最終將到達穩(wěn)定平衡位置，系統(tǒng)應是穩(wěn)定的。如能找到系統(tǒng)的能量函數(shù)，只要能量函數(shù)對時間的導數(shù)是負的，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)就是漸近穩(wěn)定的第16頁，共39頁。1．標量函數(shù)的正定性與負定性設(shè)V(x)是向量x的標量函數(shù),在x=0處有V(0)=0(1)正定:V(x)>0例如，(2)半正定: 例如(3)負定:V(x)<0例如，(4)半負定: 例如(5)不定:如果不論域取多么小，V(x)既可為正，也可為負，則稱這類標量函數(shù)為不定。(一).預備知識第17頁，共39頁。2．二次型標量函數(shù)式中，P為實對稱矩陣，即有 。第18頁，共39頁。P的符號性質(zhì)定義如下

(1)若V(x)正定,則稱P為正定,記作P>0(2)

若V(x)負定,則稱P為負定,記作P<0(3)

若V(x)半正定(非負定),則稱P為半正定(非負定),

記作P≥0(4)若V(x)半負定(非正定),則稱P為半負定(非正定),

記作P≤0

第19頁，共39頁。3.希爾維斯特(Sylvester)判據(jù)Δi(i=1,2,…n)為實對稱矩陣P的各階主子行列式

第20頁，共39頁。矩陣P(或V(x))定號性的充要條件是:(1)若Δi>0(i=1,2,…n),則P為正定;(2)若(3)若(4)若第21頁，共39頁。(二)．李雅普諾夫穩(wěn)定性定理定理一

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個標量函數(shù)V(x，t)，V(x，t)對向量x中各分量具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且滿足條件：1)V(x，t)為正定；2) 為負定則在狀態(tài)空間原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果隨 有 ，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。

說明：負定能量隨時間連續(xù)單調(diào)衰減。第22頁，共39頁。例已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解原點x=0是給定系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

選取正定的標量函數(shù)負定

故給定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。又由于 時

第23頁，共39頁。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個標量函數(shù)V(x，t)，V(x，t)對向量x中各分量具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且滿足條件：1)V(x，t)為正定；2) 為半負定則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理二3) 對任意 及任意 在 時不恒為零

第24頁，共39頁。例解原點x=0是給定系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)選取正定的標量函數(shù)當為半負定進一步研究,當時不恒為零。故給定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。第25頁，共39頁。正定負定如選故給定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。又由于 時

為負定不變，第26頁，共39頁。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個標量函數(shù)V(x，t)，V(x，t)對向量x中各分量具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且滿足條件：1)V(x，t)為正定；2) 為半負定,但在原點外的某一x處恒為零，則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)保持在一個穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)。定理三第27頁，共39頁。例故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定第28頁，共39頁。定理四設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個標量函數(shù)V(x，t)，V(x，t)對向量x中各分量具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且滿足條件：1)V(x,t)在原點的某一鄰域內(nèi)是正定的；2) 在同樣的鄰域內(nèi)也是正定的，則原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。第29頁，共39頁。例：給定系統(tǒng)

（1）求系統(tǒng)的平衡點；

（2）利用函數(shù)判斷穩(wěn)定性；

解

令得（1）（2）在x1,x2平面的一、三象限內(nèi)

而在同一區(qū)域內(nèi)所以系統(tǒng)不穩(wěn)定第30頁，共39頁。推論1：當正定，半正定，且在非零狀態(tài)不恒為零時,則原點不穩(wěn)定。推論2：正定，半正定，若，，則原點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定(同定理3)。第31頁，共39頁。幾點說明：選取不唯一，但沒有通用辦法，選取不當，會導致不定的結(jié)果。這僅僅是充分條件。

第32頁，共39頁。例4：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解:即設(shè)則可見與無關(guān)，故非零狀態(tài)(如)有，而對其余任意狀態(tài)有第33頁，共39頁。故半正定。令即非零狀態(tài)時，不恒為零，則原點不穩(wěn)定即系統(tǒng)不穩(wěn)定。推論1第34頁，共39頁。李雅普諾夫第二法的步驟：構(gòu)造一個二次型；求，并代入狀態(tài)方程；判斷的定號性；判斷非零情況下，是否為零。漸近穩(wěn)定李雅普諾夫穩(wěn)定不穩(wěn)定第35頁，共39頁。令若成立李氏意義下穩(wěn)定

若僅成立漸進穩(wěn)定

半負定令若成立李氏意義下穩(wěn)定

若僅成立不穩(wěn)定

半正定第36頁，共39頁。4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析1．線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析定理一線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對于任意給定的一個正定對稱陣Q，有惟一的正定對稱陣P使下式成立上式稱為李雅普諾夫方程，而 是該系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)第37頁，共39頁。例解:選Q=I，設(shè)P正定，系統(tǒng)穩(wěn)