正弦穩(wěn)態(tài)電路

第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路－－相量法分析電路的基礎(chǔ)

作業(yè)（1）

5-6，5-10，5-12，5-14，5-16；5-20，5-22，5-24，5-27，5-29；目錄5.1正弦量的基本概念5.2正弦量的相量表示法5.3基爾霍夫定律及元件方程相量形式5.4阻抗與導(dǎo)納5.5正弦穩(wěn)態(tài)電路分析5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率5.7應(yīng)用

相位差

正弦量的相量表示

復(fù)阻抗復(fù)導(dǎo)納

相量圖

用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路

正弦交流電路中的功率分析教學(xué)要點5.1正弦量的基本概念5.1.1正弦量的三要素

：i(t)=Imcos(w

t+φi)i+_u(1)幅值

(amplitude)(振幅、最大值)Im(2)角頻率(angularfrequency)w(3)初相位(initialphaseangle)φiφiImti(t)=Imcos(w

t+φi)i波形圖正弦量的三要素是正弦量之間區(qū)分和比較的依據(jù)φiImti(t)=Imcos(w

t+φi)i波形圖一般

|φi|φi

=00φi

=0iφi0φi

=-9000初相位φi

φi是正弦量在t=0時刻的相位，稱為正弦量的初相位（初相角），簡稱初相，即φiiφi0t相位差(phasedifference)。設(shè)u(t)=Umcos(w

t+ju)

i(t)=Imcos(w

t+ji)相位差j=(wt+ju)-(wt+ji)=ju-jij>0，u領(lǐng)先(超前)i，或i落后(滯后)

u;u

ijujijtu,i0j<0，i領(lǐng)先(超前)u，或u落后(滯后)

i;即它們的初相之差，在任何瞬時都是定值。同頻率正弦量的j=0，同相：j=(180o)

，反相：重申：規(guī)定：||(180°)tu,iu

i0tu,iu

i0tu,iu

i0=90°,正交

u領(lǐng)先i90°

或

i落后u90°

當時，稱這兩個正弦量為同相；當時，稱之為正交；時稱為反相。5.1.2正弦量的有效值有效值(effectivevalue)1.數(shù)學(xué)定義有效值也稱方均根值(root-meen-square，簡記為rms。)實質(zhì)：它是基于周期電流（電壓）的熱效應(yīng)與直流電流的熱效應(yīng)相比較而定義的。電流函數(shù)i(t)的有效值給定函數(shù)y=y(t)2.正弦電流、電壓的有效值設(shè)電流i(t)=Imcos(t+ji

)注意:只適用正弦量同理而電壓u(t)=Umcos(t+ju

)時5.2正弦量的相量表示法本節(jié)是相量法的基礎(chǔ)理論，介紹復(fù)數(shù)的基本知識和正弦量的相量形式；涉及到復(fù)數(shù)的表示形式和運算、以及相量形式正弦量理論等。5.2.1復(fù)數(shù)的表示形式及運算1.復(fù)數(shù)F表示形式：FbReIma0FbReIma0j|F|代數(shù)形式指數(shù)數(shù)形式極坐標形式2.復(fù)數(shù)運算A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加減運算——直角坐標(2)乘除運算——首選極坐標運算復(fù)數(shù)的加、減可以在復(fù)平面上用作圖法完成。+1+j圖(a)0+1+j圖(b)0F1+F2=FF1+F2=F即如圖(a)所示作一個平行四邊形；或圖(b)將兩個矢量首尾相連，都可以得到兩個矢量的相加之和。

（a)兩個復(fù)數(shù)的乘、除運算，其代數(shù)形式比較冗長，分別如下(a1+jb1)(a2+jb2)＝(a1a2-b1b2)+j(a1b2+a2b1)(b)采用復(fù)數(shù)的指數(shù)形式進行乘、除運算，比較方便。例如(c)極坐標形式的乘除運算更方便，也是運算中的首選方法：補充：旋轉(zhuǎn)因子3.復(fù)數(shù)運算中的旋轉(zhuǎn)因子ej

j,+j,–j,-1都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。+1＋j0復(fù)數(shù)ej

j

=cos

j

+jsin

j

=1∠j

A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度j

，模不變Aej

j

例5-1設(shè)兩個復(fù)數(shù)A=4+3j和B=3-4j，計算A+B

，AB和A/B。加、減計算用代數(shù)形式，即

乘、除運算時，可以先將A和B化為極坐標形式，即

解5.2.2正弦量的相量表示法1．正弦量的相量表示

一個正弦電流量可以用：規(guī)定：因為：有歐拉公式的關(guān)系：即：所以：(5-4)正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位結(jié)論：式（5-4）表示一個實數(shù)范圍內(nèi)的正弦量與一個復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的復(fù)指數(shù)量具有一一對應(yīng)關(guān)系。用有效值上加點的方式表示正弦量的方法稱為正弦量的相量形式，既可以與有效值I區(qū)分，又可以與一般復(fù)數(shù)區(qū)分。

注意兩者是不同定義域中的量，不用“＝”表示！(5-4)補例1：已知試用相量表示i,u。解：補例2：試寫出電流的瞬時值表達式。解：相量的幾何意義、相量圖、旋轉(zhuǎn)相量、參考相量旋轉(zhuǎn)因子相量A(t)是旋轉(zhuǎn)相量旋轉(zhuǎn)相量在橫軸上的投影就是余弦函數(shù)幾何意義ω+j+10相量圖jiju習(xí)慣上，一般取初相為零的正弦量為參考正弦量。將參考正弦量轉(zhuǎn)換成相量形式后，稱為參考相量。

參考相量＋j＋10很多時候坐標軸可以省略的2．同頻率正弦量的運算正弦量乘以實常數(shù)、同頻率正弦量的代數(shù)和，以及正弦量的微分、積分運算，其結(jié)果仍然為同頻率的正弦量。把它們轉(zhuǎn)換成相量形式，采用復(fù)數(shù)計算比較方便。(1)同頻率正弦量的線性運算例這實際上是一種變換思想，由時域變換到頻域i1i2=i3時域頻域時域：在變量是時間函數(shù)條件下研究網(wǎng)絡(luò)，以時間為自變量分析電路。頻域：在變量經(jīng)過適當變換的條件下研究網(wǎng)絡(luò)，以頻率為自變量分析電路。相量法：將正弦時間函數(shù)“變換”為相量后再進行分析,屬于頻域分析。頻域中求解時域頻域返回（2）正弦量的微分n重微分運算

（3）正弦量的積分n重積分運算

例5-2設(shè)兩同頻率正弦電流分別為:

一般首先將不是用cos函數(shù)表達的式子轉(zhuǎn)換為cos的形式，然后再采用相量計算。即

解:同頻正弦量的加、減運算可借助相量圖進行。相量圖在正弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用，尤其適用于定性分析。+1+j0+1+j0-170.540-170.540如上面求解例5-2解(續(xù))例5-3求圖5-6中的RL電路在正弦電壓作用下的全響應(yīng)。設(shè)電感的初始電流為I0。

解

采用三要素法分析：要求時間常數(shù)、初值I0和穩(wěn)態(tài)解（或特解），前兩個量比較容易。穩(wěn)態(tài)解采用相量方法來計算，因為時域中電路的方程為（設(shè)i為待求量）化成相量形式：令：圖5-6正弦激勵下的過渡過程＋us－RL(t=0)iLS

正弦激勵下的過渡過程＋us－RL(t=0)iLS后續(xù)的解要方便，即：最后：三要素方法解畢！5.3基爾霍夫定律及元件方程的相量形式5.3.1基爾霍夫定律的相量形式時域形式相量形式例5-4如圖電路的某結(jié)點，三個電流分別為

i1i2i3分別寫出其時域和相量形式的KCL方程并計算結(jié)果。

解

時域形式相量形式：

=10－5－j8.66－5+j8.66=0i1i2i3例5-5試計算端口的電壓

A

B

C

u

uC

uB

uA

解直接用相量形式，取寫成時域形式的電壓為

顯然在相量形式計算中

5.3.2元件方程的相量形式RLC其他元件：后面有例題和介紹本書重點介紹的元件時域頻域1電阻uR(t)i(t)R+-相量形式：有效值關(guān)系：UR=RI相位關(guān)系：u,i同相相量模型R+-相量關(guān)系相量圖2.電感頻域有效值關(guān)系

U=wLI相位關(guān)系u超前

i90°jL相量模型+-相量圖i(t)u

(t)L+-時域模型時域tu,iu

i0波形圖3.電容頻域有效值關(guān)系

I=wCU相位關(guān)系i超前u90°時域tu,iu

i0波形圖時域模型i

(t)u(t)C+-相量圖相量模型+-4、其他——如線性受控源由于線性受控源的控制量與被控量為線性關(guān)系，所以，將其轉(zhuǎn)換成相量形式時也比較簡單，兩者將也是同頻率的正弦量。+–+–+–+–ikrikuj時域形式相量形式例5-62Ω

ic1uF+uL-

1mH

iS

＋

us

－

解

方法一：采用相量法。

由已知條件得

而：用相量表示為同理：用相量表示為對應(yīng)寫出時域形式為

求圖中電感的電壓uL和電容中的電流ic其中方法二：也可以直接采用時域形式求解。即例5-7圖(a)和(b)所示的儀表均為交流電壓表，各讀數(shù)為電壓的有效值。圖(a)中讀數(shù)，V1：30V；V2：60V。圖(b)中讀數(shù)，V1：15V；V2：80V；V3：100V。分別求出圖中的電源端電壓有效值Us1，Us2。解

作出相量形式電路，如圖(c)

，令+us1-RLV1V2（a）RjωLci由圖（c）

所以根據(jù)KVL得

于是有效值RjωL(d)+us2-RLCV1V2V3(b)i由圖（d）

同理得

最后有效值：

(b)作出相量形式電路，如圖(d)所示，小結(jié)1.求正弦穩(wěn)態(tài)解是求微分方程的特解，應(yīng)用相量法將該問題轉(zhuǎn)化為求解復(fù)數(shù)代數(shù)方程問題。2.引入電路的相量模型，不必列寫時域微分方程，而直接列寫相量形式的代數(shù)方程。3.采用相量法后，電阻電路中所有網(wǎng)絡(luò)定理和一般分析方法都可應(yīng)用于交流電路。如：電路的相量模型(phasormodel)時域列寫微分方程相量形式代數(shù)方程LCRuSiLiCiR+-jw

L1/jw

CR+-時域電路相量模型相量模型：電壓、電流用相量；元件用復(fù)數(shù)阻抗或?qū)Ъ{。5.4阻抗和導(dǎo)納5.4.1.復(fù)阻抗定義正弦激勵下Z+-無源線性+-|Z|RXj阻抗三角形單位：阻抗模阻抗角阻抗Z是一個復(fù)量，故又稱為復(fù)阻抗。

關(guān)系：或R=|Z|cosX=|Z|sin復(fù)阻抗是電阻和電抗的組合一般情況下，阻抗的定義是一端口的等效阻抗，也稱輸入阻抗（或策動阻抗），其實部和虛部都是外加激勵角頻率ω的函數(shù)，所以有時也把阻抗Z

寫成

Z—復(fù)阻抗；R—電阻(阻抗的實部)；X—電抗(阻抗的虛部)。下面討論一下電抗：回顧兩個公式：L、C元件的感抗和容抗1.電感感抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力；(2)感抗和頻率成正比。——頻率的函數(shù)wXLXL=U/I=L=2fL，單位:歐的感抗U=wLI(3)由于感抗的存在使電流滯后電壓。錯誤的寫法2電容容抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力；(2)容抗的絕對值和頻率成反比?！l率的函數(shù)的容抗I=wCU(3)由于容抗的存在使電流超前電壓。錯誤的寫法w具體分析一下R、L、C串聯(lián)電路：Z（w）=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jwL>1/wC，X>0，j>0，電路為感性，電壓超前電流；wL<1/wC，X<0，j<0，電路為容性，電壓滯后電流；wL=1/wC，X=0，j=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。畫相量圖：選電流為參考向量(wL>1/wC)三角形UR、UX、U

稱為電壓三角形，它和阻抗三角形相似。即UXjLR+-+-+-+例.iLCRuuLuC+-+-+-已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型為jLR+-+-+-則UL=8.42>U=5，分電壓大于總電壓。-3.4°相量圖例5-8已知圖示電路中，R1=20W

L=5mH，R2=5，C=25mF。求（1）當角頻率為2000rad/s時，電路的等效阻抗。（2）當角頻率為8000rad/s時，電路的等效阻抗。（3）當電路的角頻率為多少時，電路的阻抗為純電阻性？此時電阻為多少？jLR1+-R2解端口的等效阻抗為（1）當角頻率為2000rad/s時，有（2）當角頻率為8000rad/s時，有（3）要求阻抗為純電阻性，即阻抗Z的虛部為零，即：所以可見：阻抗是頻率的函數(shù)，電路的頻率改變，阻抗也就改變了！jLR1+-R25.4.2導(dǎo)納的定義對圖示的無源一端口網(wǎng)絡(luò)，導(dǎo)納Y定義為無源線性網(wǎng)絡(luò)＋

－導(dǎo)納Y也可以表示為

導(dǎo)納Y是一個復(fù)量，又稱復(fù)導(dǎo)納。G＝Re[Y]，為導(dǎo)納的電導(dǎo)分量；B＝Im[Y]，為導(dǎo)納的電納分量。

復(fù)導(dǎo)納Y單位：SY—復(fù)導(dǎo)納；G—電導(dǎo)(導(dǎo)納的實部)；B—電納(導(dǎo)納的虛部)；|Y|—復(fù)導(dǎo)納的模；'—導(dǎo)納角。關(guān)系：或G=|Y|cos'B=|Y|sin'|Y|GBj導(dǎo)納三角形復(fù)導(dǎo)納是電導(dǎo)和電納的組合容納BC單位均是西門子（S)。

導(dǎo)納也是一個無源一端口元件的等效導(dǎo)納（或策動導(dǎo)納），其實部G和虛部B均為外加激勵角頻率的函數(shù)。仿照阻抗的形式，導(dǎo)納的一般形式為:R、L、C元件的導(dǎo)納（1）R：（2）L：（3）C：感納BLRLC并聯(lián)電路的導(dǎo)納由KCL：iLCRuiLiC+-iLjLR+-Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jwC>1/wL，B>0，j'>0，電路為容性，i超前u；wC<1/wL，B<0，j'<0，電路為感性，i滯后u；wC=1/wL，B=0，j=0，電路為電阻性，i與u同相。畫相量圖：選電壓為參考