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文檔簡介

第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

問題的提出二常數(shù)項級數(shù)的概念四收斂級數(shù)的基本性質(zhì)三級數(shù)收斂的必要條件1.計算半徑為r圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積即一、問題的提出1.級數(shù)的定義(常數(shù)項)無窮級數(shù)級數(shù)的部分和部分和數(shù)列一般項二、常數(shù)項級數(shù)的概念2級數(shù)的收斂與發(fā)散

當無限增大時，如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即則稱無窮級數(shù)

收斂，這時極限叫做級數(shù)的和.并寫成余項如果沒有極限,則稱無窮級數(shù)

發(fā)散.即常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散)

存在(不存在)誤差為即解如果時例1

討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))

當時

收斂

發(fā)散

當時

如果時

發(fā)散

當時,

當時,

級數(shù)變?yōu)?/p>

發(fā)散

不存在,

綜上解例2判別級數(shù)的斂散性.,級數(shù)收斂,和為定理若級數(shù)收斂,則

證明

則三、級數(shù)收斂的必要條件注意1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;2.必要條件但不充分.有但級數(shù)是否收斂?例如:調(diào)和級數(shù)

發(fā)散

例如討論假設調(diào)和級數(shù)收斂,其和為于是這是不可能的便有故該級數(shù)發(fā)散,即調(diào)和級數(shù)發(fā)散.8項4項2項2項項同時還可以做以下證明：每項均大于,即前項大于.由性質(zhì)4推論,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.故該級數(shù)發(fā)散.結(jié)論級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.性質(zhì)1如果級數(shù)收斂,則亦收斂.性質(zhì)2設兩收斂級數(shù),，則級數(shù)收斂,其和為.四、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)證明

類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)3如果級數(shù)收斂,則亦收斂.,且其逆亦真.則

證明則

性質(zhì)4收斂級數(shù)加括號所成的級數(shù)仍然收斂,且其和不變.注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散例如推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散

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