第六章IIR數字濾波器設計

第六章IIR數字濾波器設計數字濾波：

對輸入信號進行數值運算，讓輸入信號中的有用頻率成分以較高的保真度通過，濾除（阻止）某些無用的頻率成分，實現對輸入信號的選頻處理。優(yōu)點：處理精度高，穩(wěn)定性好，體積小，實現方法靈活，不存在阻抗匹配問題，可以實現模擬濾波器無法實現的特殊濾波功能。

濾波器分類

經典濾波器（一般濾波器）（本書介紹）

線性系統(tǒng)構成的濾波器，信號和干擾的頻帶互不重疊時采用。分類（功能）：高通、低通、帶通、帶阻；分類（結構）：遞歸系統(tǒng)、非遞歸系統(tǒng)；分類（實現方法）：無限長單位脈沖響應數字濾波器IIR（本章介紹）有限長單位脈沖響應數字濾波器FIR

現代濾波器

隨機信號統(tǒng)計理論為基礎構成的濾波器，信號和干擾的頻帶相互重疊時采用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等）IIR數字濾波器的設計方法間接設計法根據設計指標設計相應的過渡模擬濾波器將過渡模擬濾波器轉換成數字濾波器。直接設計法

在時域或頻域直接設計數字濾波器。本章主要講述：（間接法）

6.1模擬濾波器設計6.2IIR數字濾波器設計6.1模擬濾波器設計模擬濾波器（AF）的一般設計過程：（1）根據信號處理要求確定設計指標（選頻）（2）選擇濾波器類型（3）計算濾波器階數（4）通過查表或計算確定濾波器系統(tǒng)函數（5）綜合實現并調試幅頻特性體現了各頻率成分幅度的衰減,而相頻特性體現的是不同成分在時間的的延時。選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。對輸出波形有要求時，則需考慮線性相位問題。返回本節(jié)主要講述：

6.1.1模擬濾波器設計指標

6.1.2巴特沃思模擬低通濾波器設計

6.1.3切比雪夫（Chebyshev）濾波器設計

6.1.4橢圓濾波器

6.1.5貝塞爾（Bessel）濾波器設計

6.1.7五種類型模擬濾波器的比較返回6.1.8頻率變換與高通、帶通及帶阻濾波器設計6.1.1模擬濾波器設計指標

圖6.1.1典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標描述返回回到本節(jié)

通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，3db截止頻率

系統(tǒng)通帶的誤差要求

阻帶[s,∞]幅度以最大誤差1/A逼近于零，即要求

ε：通帶波紋幅度參數

A：阻帶波紋幅度參數

設計指標返回回到本節(jié)用

表示通帶最大衰減（或稱為通帶峰值波紋）用

表示阻帶最小衰減（以分貝(dB)表示波紋）求解返回回到本節(jié)

損耗函數（或稱為衰減函數）()來描述濾波器的幅頻響應特性。即

當時的邊界頻率稱為3dB截止頻率，通常用c表示，返回回到本節(jié)幅頻響應與損耗函數曲線的比較兩個附加參數：

a.過渡比或選擇性參數,通常用k表示反應過渡帶的性能，過渡帶越窄，k值趨近于1低通濾波器

b.偏離參數，用k1表示

越小，通帶、阻帶的紋波越小返回回到本節(jié)模擬濾波器的設計模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供選擇。這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。典型濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器具有單調下降的幅頻特性；切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動，可提高選擇性；貝塞爾（Bessel）濾波器：通帶內較好的線性相位；橢圓（Ellipse）濾波器：較好的線性相位。返回回到本節(jié)6.1.2巴特沃思模擬低通濾波器設計

1、幅度特性函數2、由性能指標計算階次N，3、巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數

4、低通巴特沃斯濾波器設計步驟返回回到本節(jié)

1、

N階巴特沃思模擬低通濾波器的幅度平方函數為N為濾波器的階次，為3dB截頻。21|)(|WjHacWWN=80N=4N=21特點：在點，的n(n<2N)階導數等于零，因此濾波器在點具有最大平坦幅度濾波器幅頻響應隨的增大而單調下降，因為幅度平方函數的導數小于零損耗函數返回回到本節(jié)2、濾波器的特性由3dB截止頻率和階數N確定濾波器的給定指標為通帶邊界頻率阻帶邊界頻率通帶最小幅度阻帶最大波紋21|)(|WjHacWWN=80N=4N=21返回回到本節(jié)截止頻率與階數如何確定？濾波器幅頻響應隨頻率的增大而單調下降于是滿足通帶指標，阻帶指標有富裕滿足阻帶指標，通帶指標有富裕階數截止頻率返回回到本節(jié)小結根據濾波器的給定指標通帶最大衰減阻帶最小衰減先求確定截止頻率與階數返回回到本節(jié)3、巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數：

（由3dB截止頻率和階數N確定）式中，分母稱為N階巴特沃思多項式。返回回到本節(jié)三種形式:因式分解共軛對相乘返回回到本節(jié)歸一化討論：對于令得：由于N較大時，計算量太大，為了方便，歸一化的N階巴特沃思多項式系數已制成表格供查閱：返回回到本節(jié)極點位置階數N

1-1.00002-0.7071±j0.70713-0.5000±j0.8660-1.00004-0.3827±j0.9239-0.9239±j0.38275-0.3090±j0.9511-0.8090±j0.5878-1.000060.2588±j0.9659-0.7071±j0.7071-0.9659±j0.25887-0.2225±j0.9749-0.6235±j0.7818-0.9010±j0.4339-1.000080.1951±j0.98080.5556±j0.8315-0.9010±j0.4339-0.9808±j0.19519-0.1736±j0.9848-0.5000±j0.8660-0.8315±j0.5556-0.9397±j0.3420-1.0000N：濾波器階數---：極點位置表示返回回到本節(jié)分母多項式階數N

b0b1b2b3b4b5b6b7b81-1.00002-1.00001.41423-1.00002.00002.0000

4-1.00002.61313.4142

5-1.00003.23615.2361

5.2361

3.2361

6-1.00003.86377.4641

9.1416

7.46413.8637

7-1.00004.494010.0978

14.5918

14.5918

10.09784.49408-1.0000-5.125813.1371

21.8462

25.6884

21.8642

13.1371

5.1258

9-1.00005.7588

16.5817

31.1634

41.986441.986431.1634

16.5817

5.7588

N：濾波器階數---：多項式表示返回回到本節(jié)分母因式階數N

1(p+1)2(p2+1.4142p+1)3(p2+p+1)(p+1)4(p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)5(p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)6(p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)7(p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)8(p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9616p+1)9(p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8794p+1)(p+1)N：濾波器階數---：共軛極點因式返回回到本節(jié)去歸一化歸一化查表得得到返回回到本節(jié)

4、低通巴特沃斯濾波器設計步驟：由，求濾波器階次N由N查表，求出歸一化極點和歸一化系統(tǒng)函數G(p)令代入G(p)，得實際濾波器傳輸函數Ha(s)。（去歸一）返回回到本節(jié)

例：

設計模擬低通濾波器。要求幅頻特性單調下降，通帶邊界頻率fp=1kHz，通帶最大衰減p=1dB，阻帶邊界頻率fs=5kHz，阻帶最小衰減s=40dB。解:（1）根據幅頻特性單調下降要求，應選擇巴特沃思濾波器。（2）計算階數N和3dB截止頻率c。首先用求出波紋幅度參數為

再求出過渡比和偏離參數從而得到

取整數N=4

返回回到本節(jié)（3）求系統(tǒng)函數。查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項式為將和c代入，得到系統(tǒng)函數返回回到本節(jié)6.1.3切比雪夫濾波器設計兩種類型：

切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅頻特性在通帶為等波紋，在阻帶為單調下降。

切比雪夫Ⅱ型的幅頻特性在阻帶為等波紋，在通帶為單調下降。返回回到本節(jié)1.切比雪夫Ⅰ型濾波器N階切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器Ha(s)的幅度平方函數為為小于1的正數，表示通帶波紋幅度參數。令，是N階切比雪夫多項式返回回到本節(jié)圖6.1.4典型切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅頻響應特性曲線

返回回到本節(jié)2．切比雪夫Ⅱ型逼近切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的幅頻響應在通帶呈現單調下降特性，而且在

=0點具有最大平坦響應，在阻帶呈現等波紋特性。其幅度平方函數為返回回到本節(jié)圖6.1.5典型切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅頻響應特性曲線返回回到本節(jié)巴特沃茲濾波器與切比雪夫濾波器特點比較：巴特沃茲濾波器在通帶內幅度特性是單調下降的，在靠近截止頻率處，幅度下降很多。所以為了使通帶內的衰減足夠小，需要的階次（N）很高。切比雪夫Ⅰ型濾波器的紋波在通帶范圍內是等幅起伏的，在靠近截止頻率處，幅度下降很少。同樣的通帶衰減，其所需階數N較巴特沃茲濾波器要小。特點比較回到本節(jié)返回6.1.4橢圓濾波器(a)p=1dB,s=20dB,N=3,4,6(b)N=4,p=1,0.1,0.05dB,s=10,20,40dB圖6.1.6橢圓濾波器幅頻響應特性曲線返回回到本節(jié)橢圓濾波器振幅平方函數為：RN（Ω，L）：雅可比橢圓函數L：表示波紋性質的參量橢圓濾波器特點：幅值響應在通帶和阻帶內都是等波紋的。對于給定的階數和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。通帶和阻帶內波紋固定時，階數越高，過渡帶越窄；階數固定，通帶和阻帶紋波越小，過渡帶越寬；特點回到本節(jié)返回6.1.5貝塞爾（Bessel）濾波器設計

(a)幅頻響應特性(b)相頻響應特性圖6.1.7典型貝塞爾低通濾波器的頻響特性曲線返回回到本節(jié)貝塞爾低通濾波器特點

貝塞爾濾波器在通帶內逼近線性相位特性，是巴特沃茲濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器濾波器所沒有的。

貝塞爾濾波器的過渡帶較寬，在階數N相同時選擇性比巴特沃茲濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器差?；氐奖竟?jié)返回6.1.7模擬濾波器的比較巴特沃思濾波器幅頻特性單調下降。切比雪夫Ⅰ濾波器通帶內等波紋幅頻特性，過渡帶、阻帶單調下降。切比雪夫Ⅱ濾波器阻帶內等波紋幅頻特性，通帶、過渡帶單調下降。橢圓濾波器通帶、阻帶內均等波紋幅頻特性，過渡帶單調下降。貝塞爾濾波器在通帶內逼近線性相位特性?！镌谙嗤A數N，相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減要求下，巴特沃思濾波器的過渡帶最寬；橢圓濾波器過渡帶最窄；兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，介于巴特沃思濾波器和橢圓濾波器?！镌谙嗤笜艘笙拢瑱E圓濾波器所需的階次N最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，參數的靈敏度則恰恰相反?；氐奖竟?jié)返回★巴特沃思和切比雪夫濾波器在大約四分之三的通帶上非常接近線性相位特性；橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性；貝塞爾濾波器在整個通帶逼近線性相位特性。

上面討論了5種常用的模擬低通濾波器的特性和設計方法，設計時按照所給指標及對濾波器階數（階數影響處理速度和實現的復雜性）和相位特性的具體要求，合理選用。巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器主要是考慮逼近幅度響應指標的濾波器，其中橢圓濾波器的性能價格比最高，應用廣泛。貝塞爾濾波器主要是考慮逼近線性相位特性的濾波器使用。返回回到本節(jié)6.1.8頻率變換與高通、帶通及

帶阻濾波器設計

高通、帶通及帶阻濾波器的幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖

(a)高通濾波器(b)帶通濾波器(c)帶阻濾波器返回回到本節(jié)設計高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是:①通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉換為相應的歸一化低通原型濾波器指標；②設計相應的歸一化低通原型系統(tǒng)函數G(p)；③對G(p)進行頻率變換得到希望設計的濾波器系統(tǒng)函數Hd(s)。

返回回到本節(jié)符號規(guī)定歸一化低通濾波器原型邊界頻率希望模擬濾波器的系統(tǒng)函數頻率變換公式于是返回回到本節(jié)1.模擬高通濾波器的設計低通原型到高通濾波器的頻率變換在虛軸上高通濾波器通帶邊界頻率映射關系低通高通11返回回到本節(jié)返回回到本節(jié)將頻率轉換公式代入低通原型濾波器，得到高通濾波器系統(tǒng)函數例設計巴特沃思模擬高通濾波器,通帶邊界頻率為fp=4kHz，阻帶邊界頻率為fs=1kHz，通帶最大衰減為0.1dB（fp處），阻帶最小衰減αs=40dB。解：高通濾波器指標1）確定相應低通原型濾波器的指標返回回到本節(jié)2)設計巴特沃斯低通濾波器。確定階次N：可得N按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。

返回回到本節(jié)歸一化的5階濾波器的系統(tǒng)函數3）高通濾波器的系統(tǒng)函數返回回到本節(jié)MATLABwp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;%設置濾波器指標參數[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,‘s’);%濾波器G(p)階數N和3dB 截止頻率[B,A]=butter(N,wc,‘s’);%計算低通濾波器G(p) 系統(tǒng)函數分子分母多項式系數wph=2*pi*4000;%高通模擬濾波器通帶邊界頻率[BH,AH]=lp2hp(B,A,wph)%低通到高通轉換返回回到本節(jié)2.低通到帶通的頻率變換:低通原型到帶通濾波器的頻率變換在虛軸上通帶邊界頻率：上邊界頻率下邊界頻率高通濾波器的帶寬帶通濾波器的中心頻率返回回到本節(jié)映射關系返回回到本節(jié)減少，或增加減少，或增加帶通濾波器的系統(tǒng)函數可以證明：如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數，提高指標

返回回到本節(jié)例：設計巴特沃思模擬帶通濾波器，通帶上下邊界頻率分別為4kHz和7kHz，阻帶上、下邊界頻率分別為2kHz和9kHz，

通帶內最大衰減αp=3dB，阻帶最小衰減αs=20dB。解：1）帶通濾波器指標 增大2）低通原型濾波器指標返回回到本節(jié)3）設計低通原型濾波器4）求模擬帶通H(s)：返回回到本節(jié)3.低通到帶阻的頻率變換:低通原型到帶阻濾波器的頻率變換在虛軸上阻帶邊界頻率：上邊界頻率下邊界頻率帶阻濾波器的帶寬帶阻濾波器的中心頻率返回回到本節(jié)減少，或增加減少，或增加帶阻濾波器的系統(tǒng)函數可以證明：如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數，提高指標返回回到本節(jié)6.2IIR數字濾波器設計目標：滿足給定頻率響應指標、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數間接法設計過程確定數字濾波器的指標轉換成過渡模擬濾波器的指標設計過渡模擬濾波器將過渡模擬濾波器轉換為數字濾波器指標轉換返回過渡模擬濾波器轉換為數字濾波器的要求保證因果穩(wěn)定性，Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成H（z）后保持不變，即S平面的左半平面Re{S}＜0應映射到Z平面的單位圓以內|Z|<1。H（z）的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應映射到Z平面的單位圓上。設計模擬Ha(s)轉換成數字H(z)返回本節(jié)主要講述：6.2.1用脈沖響應不變法設計IIR數字濾波器6.2.2用雙線性變換法設計IIR數字濾波器6.2.3高通、帶通和帶阻IIR數字濾波器設計返回6.2.4IIR數字濾波器的頻率變換6.2.1脈沖響應不變法設計IIR數字濾波器

1、基本思想使數字濾波器能模仿模擬濾波的特性；從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應ha(t)的采樣值，即

2、方法回到本節(jié)返回（1）濾波器系統(tǒng)函數（單極點、分母階次高于分子階次部分分式）（2）模擬濾波器的單位沖激響應（3）采樣（4）Z變換回到本節(jié)返回3、下面分析脈沖響應不變法的轉換性能：s平面到z平面的極點映射關系:，用脈沖響應不變法將模擬濾波器Ha(s)轉換成數字濾波器H(z)時，整個s平面到z平面的映射關系為

設則

所以

ω=T

回到本節(jié)返回其中，式ω=T

表明：

數字頻率與模擬頻率之間是線性關系，這是脈沖響應不變法的優(yōu)點之一。由式可知：

=0時，r=1，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓；

<0時，r<1，s平面的左半平面映射為z平面的單位圓內；

>0時，r>1，s平面的右半平面映射為z平面的單位圓外。優(yōu)點返回回到本節(jié)

模擬系統(tǒng)因果穩(wěn)定，其系統(tǒng)函數Ha(s)的所有極點位于s平面的左半平面，按照上述結論，這些極點全部映射到z平面單位圓內，因此，數字濾波器H(z)也因果穩(wěn)定。因為h(n)=ha(nT)，根據時域采樣理論得到代入ω=T得到

上面兩式說明，數字濾波器頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓函數。

返回回到本節(jié)所以，如果模擬濾波器具有帶限特性，而且T滿足采樣定理，則數字濾波器頻率響應完全模仿了模擬濾波器頻率響應。這是脈沖響應不變法的最大優(yōu)點。但是，一般模擬濾波器不是帶限的，所以實際上總是存在頻譜混疊失真

返回回到本節(jié)由上圖可見，頻譜混疊失真會使數字濾波器在ω=附近的頻率響應偏離模擬濾波器頻響特性曲線，混疊嚴重時可使數字濾波器不滿足阻帶衰減指標。所以，脈沖響應不變法不適合設計高通和帶阻濾波器，這是脈沖響應不變法的最大缺點。為了減小頻譜混疊失真，通常采取以下措施:①選用具有銳截止特性的模擬濾波器；②提高采樣頻率Fs（Fs=1/T）。

缺點返回回到本節(jié)與模擬濾波器頻率響應增益相比，數字濾波器的頻率響應增益增加了常數因子1/T。所以，數字濾波器的頻率響應增益會隨采樣周期T變化，特別是T很小時增益很大，容易造成數字濾波器溢出。所以，工程實際中采用以下實用公式這時

使數字濾波器的頻率響應增益與模擬濾波器頻響增益相同，符合實際應用要求。返回回到本節(jié)增益補償例：

二階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數為

試用脈沖響應不變法將其轉換成數字濾波器H(z)，并對不同的采樣周期T，觀察頻譜混疊失真現象。解:

采用待定系數法將Ha(s)部分分式展開。Ha(s)的極點為因此

解得返回回到本節(jié)按實用公式，即式（6.2.12）得到數字濾波器的系統(tǒng)函數為式中返回回到本節(jié)當T分別取0.2s,0.1s和0.05s時，模擬濾波器和數字濾波器的幅頻特性曲線如下圖所示模擬頻率（Hz）數字頻率（rad）

(a)模擬濾波器頻響曲線(b)數字濾波器頻響曲線顯然，采樣周期T越大，頻譜混疊失真越嚴重，與差別越大。所以，脈沖響應不變法不能用于將模擬高通和帶阻濾波器轉換成數字高通和帶阻濾波器。返回回到本節(jié)例

用脈沖響應不變法設計數字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調下降特性，指標參數如下:解:

根據間接設計法的基本步驟求解。（1）將數字濾波器設計指標轉換為相應模擬濾波器指標。設采樣周期為T，得到（2）設計相應的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數Ha(s)。根據單調下降要求，選擇巴特沃思濾波器。求出波紋幅度參數為返回回到本節(jié)從而得到再將k和k1代入，計算得到 取整數N=4取T=1s時查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項式為得到歸一化系統(tǒng)函數為返回回到本節(jié)將c帶入去歸一化，得到希望設計的低通濾波器的系統(tǒng)函數為其中（3）將T=1s代入，將模擬濾波器系統(tǒng)函數Ha(s)轉換成數字濾波器系統(tǒng)函數H(z)，即返回回到本節(jié)如果取T=0.1s，可得到近似相同的H(z)。這說明當給定數字濾波器指標時，采樣周期的取值對頻譜混疊程度影響很小。所以，一般取T=1s使設計運算最簡單。T=1s時，T=0.1s時，如下圖6.2.3圖中數字濾波器滿足指標要求，但是，由于頻譜混疊失真，使數字濾波器在ω=（對應模擬頻率Fs/2Hz）附近的衰減明顯小于模擬濾波器在f=Fs/2附近的衰減。返回回到本節(jié)例6.2.2設計的模擬和數字濾波器的損耗函數

返回回到本節(jié)小結:

1)脈沖響應不變法的一個重要特點是頻率坐標的變換是線性的，ω＝ΩΤ，ω與Ω是線性關系。因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內的話，通過變換后數字濾波器的頻響可不失真地反映原響應與頻率的關系。例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應不變法得到的仍是線性相位的低通數字濾波器。

2)在某些場合，要求數字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器的功能時，如要實現時域沖激響應的模仿，一般使用脈沖響應不變法。返回回到本節(jié)

3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是穩(wěn)定的。

4)脈沖響應不變法的最大缺點：有頻譜周期延拓效應，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應越小，至于高通和帶阻濾波器,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中，此時可增加一保護濾波器，濾掉高于的頻帶，再用脈沖響應不變法轉換為數字濾波器，這會增加設計的復雜性和濾波器階數，只有在一定要滿足頻率線性關系或保持網絡瞬態(tài)響應時才采用。

返回回到本節(jié)6.2.2用雙線性變換法設計IIR數字濾波器

上節(jié)介紹的脈沖響應不變法的最大缺點是存在頻譜混疊失真。如果時，，則數字濾波器產生頻譜混疊失真。雙線性變換法從原理上徹底消除了頻譜混疊，所以雙線性變換法在IIR數字濾波器的設計中得到更廣泛的應用。返回回到本節(jié)1.雙線性變換法的設計思想與雙線性變換公式

克服脈沖響應不變法的頻譜混疊現象，采用非線性頻率壓縮方法。雙線性變換法的基本設計思想脈沖響應不變法：波形逼近雙線性變換法：算法逼近。用線性常系數差分方程逼近線性常系數微分方程返回回到本節(jié)設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點sk（k=1,2,…,N），且分母多項式階次高于分子多項式階次。則Ha(s)可以用如下部分分式表示

式中只要推導出將Hak(s)轉換成一階數字濾波器Hk(z)的變換公式，則該變換公式就是將模擬濾波器Ha(s)轉換成數字濾波器H(z)的變換公式。

返回回到本節(jié)Hak(s)所對應的微分方程為對微分方程中各項做如下近似:

則微分方程可用下面的差分方程近似返回回到本節(jié)

兩邊取Z變換得到逼近微分方程的數字濾波器的系統(tǒng)函數為

所以

上式就是用雙線性變換法直接將模擬濾波器系統(tǒng)函數Ha(s)轉換成數字濾波器系統(tǒng)函數H(z)的變換公式。

變換公式返回回到本節(jié)從s域到z域的映射變換為雙線性變換:上式是s域到z域的單值可逆映射變換，所以不會產生頻譜混疊失真。返回回到本節(jié)2．雙線性變換法轉換性能分析先求出式（6.2.19）相應的逆變換如下將s=+j，代入上式可得返回回到本節(jié)由上式容易看出，從s平面到z平面的映射關系:|z|<1，

<0（左半s平面映射成z平面單位圓內）|z|=1，

=0（s平面的虛軸映射成z平面單位圓）|z|>1，

>0（右半s平面映射成z平面單位圓外）所以，雙線性變換法將因果穩(wěn)定的模擬濾波器Ha(s)轉換成數字濾波器H(z)仍因果穩(wěn)定。頻率特性雙線性變換法的映射關系返回回到本節(jié)下面推導數字頻率與模擬頻率之間的映射關系由即下圖即是數字頻率ω與模擬頻率之間的映射關系映射關系式返回回到本節(jié)由圖看出，s平面的正（負）虛軸映射成z平面單位圓的上（下）半圓。由于s平面的整個正虛軸（

=0～∞）映射成有限寬的數字頻段（ω=0～），所以雙線性變換引起數字頻率與模擬頻率之間的嚴重非線性畸變。正是這種頻率非線性畸變，使整個模擬頻率軸映射成數字頻率的主值區(qū)[-，]，從而消除了頻譜混疊失真。這種頻率非線性畸變使數字濾波器頻率響應曲線不能模仿相應的過渡模擬濾波器頻率響應曲線的波形。頻率非線性畸變影響舉例

返回回到本節(jié)頻率響應的畸變幅頻特性相頻特性回到本節(jié)返回由圖中可明顯看出，由于數字頻率與模擬頻率之間的非線性映射關系，典型模擬濾波器幅頻響應曲線經過雙線性變換后，所得數字濾波器幅頻響應曲線有較大的失真。但是，將數字濾波器指標轉換成相應的過渡模擬濾波器指標時，只要按照非線性關系式計算模擬濾波器邊界頻率