一階線(xiàn)性方程與常數(shù)變易法復(fù)習(xí)題與解答

..§2.2一階線(xiàn)性方程與常數(shù)變易法習(xí)題及解答求下列方程的解1．=解：y=e<e>=e[-e<>+c]=ce-<>是原方程的解。2．+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e<ee>=e<e+c>=ce+e是原方程的解。3．=-s+解：s=e<e>=e<>=e<>=是原方程的解。4．,n為常數(shù).解：原方程可化為：是原方程的解.5．+=解：原方程可化為：=-<>=是原方程的解.6．解：=+令則=u因此：=〔*將帶入〔*中得：是原方程的解.13這是n=-1時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以,令P<x>=Q<x>=-1由一階線(xiàn)性方程的求解公式=14兩邊同乘以令這是n=2時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以令P〔x=Q<x>=由一階線(xiàn)性方程的求解公式==15這是n=3時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以令=P<y>=-2yQ<y>=由一階線(xiàn)性方程的求解公式==16y=+P<x>=1Q<x>=由一階線(xiàn)性方程的求解公式==c=1y=設(shè)函數(shù)<t>于∞<t<∞上連續(xù),<0>存在且滿(mǎn)足關(guān)系式<t+s>=<t><s>試求此函數(shù)。令t=s=0得<0+0>=<0><0>即<0>=故或〔1當(dāng)時(shí)即∞,∞><2>當(dāng)時(shí)====于是變量分離得積分由于,即t=0時(shí)1=c=1故20.試證：〔1一階非齊線(xiàn)性方程〔2.28的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線(xiàn)性方程〔2.3之解；〔2若是〔2.3的非零解,而是〔2.28的解,則方程〔2.28的通解可表為,其中為任意常數(shù).〔3方程〔2.3任一解的常數(shù)倍或任兩解之和〔或差仍是方程〔2.3的解.證明：〔2.28〔2.3設(shè),是〔2.28的任意兩個(gè)解則〔1〔2〔1-〔2得即是滿(mǎn)足方程〔2.3所以,命題成立。由題意得：〔3〔41先證是〔2.28的一個(gè)解。于是得故是〔2.28的一個(gè)解。2現(xiàn)證方程〔4的任一解都可寫(xiě)成的形式設(shè)是<2.28>的一個(gè)解則〔4’于是〔4’-〔4得從而即所以,命題成立。設(shè),是〔2.3的任意兩個(gè)解則〔5〔6于是〔5得即其中為任意常數(shù)也就是滿(mǎn)足方程〔2.3〔5〔6得即也就是滿(mǎn)足方程〔2.3所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線(xiàn)所滿(mǎn)足的微分方程并求解。曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)；解：設(shè)為曲線(xiàn)上的任一點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為從而此切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為即橫截距為,縱截距為。由題意得：〔5方程變形為于是所以,方程的通解為?！?方程變形為于是所以,方程的通解為。22．求解下列