等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)

等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)【主干知識(shí)】1.必記公式(1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式:an=__________.(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:Sn=___________=_____________.(3)等比數(shù)列通項(xiàng)公式:________.a1+(n-1)dan=a1qn-1(4)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:Sn=_______________________(5)等差中項(xiàng)公式:_______________________.(6)等比中項(xiàng)公式:____________________.(7)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)an之間的關(guān)系:an=_____________2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2)2.重要性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:等差數(shù)列中,an=am+_______;等比數(shù)列中,an=_____.(2)增減性:①等差數(shù)列中,若公差大于零,則數(shù)列為_________;若公差小于零,則數(shù)列為_________.②等比數(shù)列中,若a1>0且q>1或a1<0且0<q<1,則數(shù)列為_________;若a1>0且0<q<1或a1<0且q>1,則數(shù)列為_________.(n-m)damqn-m遞增數(shù)列遞減數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列3.易錯(cuò)提醒(1)忽視等比數(shù)列的條件:判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí),忽視各項(xiàng)都不為零的條件.(2)漏掉等比中項(xiàng):正數(shù)a,b的等比中項(xiàng)是±,容易漏掉-.(3)忽略對(duì)等比數(shù)列的公比的討論:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)應(yīng)首先討論公比q是否等于1.【考題回顧】1.(2013·安徽高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=-2,則a9=()A.-6B.-4C.-2D.2【解析】選A.由S8=4a3?8a1+d=4×(a1+2d);由a7=-2?a1+6d=-2,聯(lián)立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.2.（2014·天津高考）設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1=（）A.2B.-2C.D.-【解析】選D.因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以=S1·S4，即(a1+a1－1)2=a1(4a1－×4×3)，解得a1=－.3.(2013·江西高考)等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,…的第四項(xiàng)等于()A.-24 B.0 C.12 D.24【解析】選A.因?yàn)榈缺葦?shù)列的前三項(xiàng)為x,3x+3,6x+6,所以(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3.當(dāng)x=-1時(shí),3x+3=0不合題意,舍去.故x=-3.此時(shí)等比數(shù)列的前三項(xiàng)為-3,-6,-12.所以等比數(shù)列的首項(xiàng)為-3,公比為2,所以等比數(shù)列的第四項(xiàng)為-3×24-1=-24.4.(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=()A.3B.4

C.5

D.6【解析】選C.由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,所以d=am+1-am=1,又因?yàn)镾m==0,所以m(a1+2)=0,因?yàn)閙≠0,所以a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.熱點(diǎn)考向一等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算【考情快報(bào)】難度:基礎(chǔ)題命題指數(shù):★★☆題型:以選擇題、填空題為主考查方式:主要考查等差、等比數(shù)列的基本量的求解,體現(xiàn)方程思想、整體思想的應(yīng)用.【典題1】(1)(2014·重慶高考)在等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3+a5=10,則a7=()A.5B.8C.10D.14(2)(2014·江蘇高考)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是

.【信息聯(lián)想】(1)看到等差數(shù)列的項(xiàng)a3,a5,想到____________________.(2)看到等比數(shù)列的項(xiàng)a2,a4,a6,a8,想到___________________.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【規(guī)范解答】(1)選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍1=2,所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10,解得d=1,所以a7=a1+6d=2+6=8.(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍2=1,由a8=a6+2a4,得q6=q4+2q2,即q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4.答案:4【互動(dòng)探究】在本例(2)的條件下,求a2+a4+a6+…+a2n(n∈N*).【解析】由已知得a2,a4,a6,…,a2n,構(gòu)成以a2=1為首項(xiàng),q2=2為公比的等比數(shù)列,所以其前n項(xiàng)和Sn==2n-1.【規(guī)律方法】等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)基本量:在等差(比)數(shù)列中,首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個(gè)基本的元素.(2)解題思路:①設(shè)基本量a1和公差d(公比q);②列、解方程(組):把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組),然后求解,注意整體計(jì)算,以減少計(jì)算量.【變式訓(xùn)練】1.(2014·江西高考)在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn取得最大值,則d的取值范圍為

.【解題提示】轉(zhuǎn)化為a8>0,a9<0.【解析】由題意得a8>0且a9<0,所以7+7d>0且7+8d<0,解得-1<d<-.答案:2.(2014·湖北高考)已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說明理由.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列,故有(2+d)2=2(2+4d),化簡(jiǎn)得d2-4d=0,解得d=0或d=4.當(dāng)d=0時(shí),an=2;當(dāng)d=4時(shí),an=2+(n-1)·4=4n-2,從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2.(2)當(dāng)an=2時(shí),Sn=2n.顯然2n<60n+800,此時(shí)不存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立.當(dāng)an=4n-2時(shí),Sn==2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此時(shí)存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41.綜上,當(dāng)an=2時(shí),不存在滿足題意的n.當(dāng)an=4n-2時(shí),存在滿足題意的n,其最小值為41.【加固訓(xùn)練】1.(2014·溫州模擬)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),對(duì)k∈N*,akak+5=a,ak+10ak+15=b,則ak+15ak+20=()【解析】選B.設(shè)公比為q,因?yàn)閍kak+5=a,ak+10ak+15=ak·q10·ak+5·q10=a·q20=b,所以q10=,所以ak+15ak+20=ak·q15·ak+5·q15=a·q30=2.(2013·大綱版全國卷)等差數(shù)列{an}中，a7=4,a19=2a9,(1)求{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an=a1+(n－1)d.因?yàn)樗越獾胊1=1,d=.所以{an}的通項(xiàng)公式為(2)因?yàn)樗詿狳c(diǎn)考向二等差(比)數(shù)列的判定與證明【考情快報(bào)】難度:中檔題命題指數(shù):★★☆題型:客觀題或作為解答題的一個(gè)小問題考查方式:主要考查等差、等比數(shù)列的定義,常與遞推關(guān)系相結(jié)合考查.【典題2】(2014·鄭州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=.(1)求證:{}是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(3)若bn=2(1-n)an(n≥2,n∈N*),求證:【現(xiàn)場(chǎng)答案】【糾錯(cuò)析因】找出以上現(xiàn)場(chǎng)答案的錯(cuò)誤之處,分析錯(cuò)因,并給出正確答案.提示:以上解題過程中出錯(cuò)之處是第(2)小題an的通項(xiàng)公式求錯(cuò),原因是求通項(xiàng)公式時(shí)忽略了對(duì)n=1的討論,導(dǎo)致通項(xiàng)公式不完整.【規(guī)范解答】（1）由an+2Sn·Sn-1=0（n≥2，n∈N*），得Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0，所以=2（n≥2，n∈N*），故{}是等差數(shù)列.（2）由（1）知，=2n,故Sn=(n≥2,n∈N*),所以an=【規(guī)律方法】判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的三種方法(1)定義法:對(duì)于n≥1的任意自然數(shù),驗(yàn)證an+1-an為同一常數(shù).(2)通項(xiàng)公式法:①若an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d或an=kn+b(n∈N*),則{an}為等差數(shù)列;②若an=a1qn-1=amqn-m或an=pqkn+b(n∈N*),則{an}為等比數(shù)列.(3)中項(xiàng)公式法:①若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),則{an}為等差數(shù)列;②若=an-1·an+1(n∈N*,n≥2),則{an}為等比數(shù)列.【變式訓(xùn)練】1.(2014·重慶模擬)已知等比數(shù)列（an）的公比為q,記bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m,(m,nN*)則以下結(jié)論一定正確的是()A.數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,公差為qmB.數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,公比為q2mC.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為D.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為【解析】選C.①bn=am(n-1)(q+q2+…+qm),當(dāng)q=1時(shí),bn=mam(n-1),bn+1=mam(n-1)+m=mam(n-1)·qm=bn·qm.當(dāng)q≠1時(shí),bn=am(n-1)×,bn+1=am(n-1)+m·=am(n-1)qm·,此時(shí)=qm,選項(xiàng)B不正確,又bn+1-bn=am(n-1)×(qm-1),不是常數(shù),故選項(xiàng)A不正確.②cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m,cn+1=amn+1·amn+2·…·amn+m,2.(2013·陜西高考)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)若{an}是等差數(shù)列,推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式.(2)若a1=1,q≠0,且對(duì)所有正整數(shù)n,有Sn=.判斷{an}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)設(shè)公差為d,則an=a1+(n－1)d,2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an-1+a2)+(an+a1)?2Sn=n(a1+an)?Sn=(2){an}是等比數(shù)列.證明如下：因?yàn)橛忠驗(yàn)閍1=1,q≠0，所以當(dāng)n≥1時(shí)，有因此,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比q≠0的等比數(shù)列.【加固訓(xùn)練】1.已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn=n2+n(n∈N*).(1)求a1,a2.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(3)如果數(shù)列{bn}滿足an=log2bn,試證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)a1=S1=5,a1+a2=S2=×22+×2=13,解得a2=8.(2)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=[n2-(n-1)2]+[n-(n-1)]=(2n-1)+=3n+2.又a1=5滿足an=3n+2,所以an=3n+2(n∈N*).因?yàn)閍n-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3(n≥2,n∈N*).所以數(shù)列{an}是以5為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列.（3）由已知得bn=(n∈N*),=23=8(n∈N*),又b1==32,所以數(shù)列{bn}是以32為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列.所以Tn=2.(2014·沈陽模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+(-1)n(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1,a2,a3.(2)求證:數(shù)列{an＋(－1)n}為等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)在Sn＝2an＋(-1)n(n∈N*)中分別令n＝1，2，3得(2)由Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)得：Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1(n≥2)，兩式相減得：an＝2an－1－2(－1)n(n≥2)，an＝2an－1－(－1)n－(－1)n＝2an－1＋(－1)n－1－(－1)n(n≥2)，所以an＋(－1)n＝2[an－1＋(－1)n－1](n≥2).故數(shù)列{an＋(－1)n}是以a1－為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.所以an＋(－1)n＝×2n－1，所以an＝×2n－1－×(－1)n＝熱點(diǎn)考向三等差(比)數(shù)列的性質(zhì)【考情快報(bào)】高頻考向多維探究難度:基礎(chǔ)、中檔題命題指數(shù):★★★題型:以選擇題、填空題為主考查方式:主要考查等差、等比數(shù)列項(xiàng)與和的性質(zhì),常與數(shù)列通項(xiàng)、求和等相聯(lián)系.命題角度一與等差(等比)數(shù)列的項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)【典題3】(1)(2014·嘉興模擬)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的乘積為Tn,且2a3=,則T9=

.(2)(2014·北京高考)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=

時(shí),{an}的前n項(xiàng)和最大.【信息聯(lián)想】(1)看到T9,想到________________.(2)看到a7+a8+a9,a7+a10,想到_______________.T9與a5之間的關(guān)系等差數(shù)列的性質(zhì)【規(guī)范解答】(1)設(shè)公比為q,因?yàn)?a3=,所以=a4q=2,所以T9=a1a2…a9==(a4q)9=29=512.答案:512(2)a7+a8+a9=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0,所以a8>0,a9<0.所以{an}的前8項(xiàng)為正數(shù),從第9項(xiàng)開始為負(fù)數(shù),所以n=8時(shí),{an}的前n項(xiàng)和最大.答案:8命題角度二與等差(等比)數(shù)列的和有關(guān)的性質(zhì)【典題4】(1)(2014·杭州模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an,若S10=31,S20=122,則S30=()A.153 B.182 C.242 D.273(2)(2014·東莞模擬)在等比數(shù)列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于()A.135 B.100 C.95 D.80【信息聯(lián)想】(1)看到S10,S20,S30,想到_________________.(2)看到a1+a2,a3+a4,a7+a8,想到_________________.等差數(shù)列和的性質(zhì)等比數(shù)列和的性質(zhì)【規(guī)范解答】(1)選D.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到:S10,S20-S10,S30-S20成等差數(shù)列,則S30=2(S20-S10)-S10+S20=2(122-31)-31+122=273,故選D.(2)選A.利用等比數(shù)列{an}的性質(zhì)有S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比數(shù)列,所以S2=40,S4-S2=a3+a4=60,則S6-S4=90,S8-S6=135,故a7+a8=S8-S6=135.故選A.【規(guī)律方法】等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點(diǎn)類型等差數(shù)列等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)2ak=am+al(m,k,l∈N*且m,k,l成等差數(shù)列)=am·al(m,k,l∈N*且m,k,l成等差數(shù)列)am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q)am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*且m+n=p+q)類型等差數(shù)列等比數(shù)列和的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí):Sn=

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí):=q(公比)

依次每k項(xiàng)的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成等比數(shù)列(k不為偶數(shù)且公比q≠-1)【變式訓(xùn)練】1.(2014·成都模擬)已知等差數(shù)列{an}一共有12項(xiàng),其中奇數(shù)項(xiàng)之和為10,偶數(shù)項(xiàng)之和為22,則公差為()A.12B.5

C.2

D.1【解析】選C.因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}奇數(shù)項(xiàng)之和為10,偶數(shù)項(xiàng)之和為22,且共有12項(xiàng),所以公差d==2.故選C.2.(2014·梅州模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S9=72,則a2+a4+a9=

.【解析】因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以S9=9a5,a5=8,所以a2+a4+a9=(a2+a9)+a4=(a5+a6)+a4=3a5=24.答案:24【加固訓(xùn)練】(2014·衡水模擬)等差數(shù)列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,則該數(shù)列前13項(xiàng)的和是(

)A.13B.26C.52D.156【解析】選B.因?yàn)?(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,所以6a4+6a10=24,所以a4+a10=4,所以

【備選考向】等差(比)數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【典題】(2014·黃岡模擬)某工業(yè)城市按照“十二五”(2011年至2015年)期間本地區(qū)主要污染物排放總量控制要求,進(jìn)行減排治污.現(xiàn)以降低SO2的年排放量為例,原計(jì)劃“十二五”期間每年的排放量都比上一年減少0.3萬噸,已知該城市2011年SO2的年排放量約為9.3萬噸.(1)按原計(jì)劃,“十二五”期間該城市共排放SO2約多少萬噸?(2)該城市為響應(yīng)“十八大”提出的建設(shè)“美麗中國”的號(hào)召,決定加大減排力度.在2012年剛好按原計(jì)劃完成減排任務(wù)的條件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年減少的百分率為p,為使2020年這一年SO2的年排放量控制在6萬噸以內(nèi),求p的取值范圍.(參考數(shù)據(jù):≈0.9505,≈0.9559)【解析】(1)設(shè)“十二五”期間,該城市共排放SO2約y萬噸,依題意,2011年至2015年SO2的年排放量構(gòu)成首項(xiàng)為9.3,公差為-0.3的等差數(shù)列,所以y=5×9.3+×(-0.3)=43.5(萬噸).所以按原計(jì)劃“十二五”期間該城市共排放SO2約43.5萬噸.(2)由已知得,2012年SO2的年排放量為9.3-0.3=9(萬噸),所以2012年至2020年SO2的年排放量構(gòu)成首項(xiàng)為9,公比為1-p的等比數(shù)列.由題意得9×(1-p)8<6,由于0<p<1,所以1-p<,所以1-p<0.9505,解得p>4.95%.所以SO2的年排放量每年減少的百分率p的取值范圍為4.95%<p<1.【規(guī)律方法】等差(比)數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的常見模型(1)等差數(shù)列模型:如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的量時(shí),該模型是等差數(shù)列模型,增加(或減少)的量就是公差.(2)等比數(shù)列模型:如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的常數(shù),該模型是等比數(shù)列模型(如遞增率或遞減率),固定的數(shù)就是公比.(3)遞推數(shù)列模型:如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定,隨項(xiàng)的變化而變化時(shí),應(yīng)考慮是an與an+1的遞推關(guān)系,還是Sn與Sn+1之間的遞推關(guān)系.(4)分期付款模型:設(shè)貸款總額為a,年利率為r,等額還款數(shù)為b,分n期還完,則b=·a.【加固訓(xùn)練】(2014·湖南師大附中模擬)某企業(yè)為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,今年年初新購置了一條高性能的生產(chǎn)線,該生產(chǎn)線在使用過程中的設(shè)備維修、燃料和動(dòng)力等消耗的費(fèi)用(稱為設(shè)備的低劣化值)會(huì)逐年增加,第一年設(shè)備低劣化值是4萬元,從第二年到第七年,每年設(shè)備低劣化值均比上年增加2萬元,從第八年開始,每年設(shè)備低劣化值比上年增加25%.(1)設(shè)第n年該生產(chǎn)線設(shè)備低劣化值為an,求an的表達(dá)式.(2)若該生產(chǎn)線前n年設(shè)備低劣化平均值為An,當(dāng)An達(dá)到或超過12萬元時(shí),則當(dāng)年需要更新生產(chǎn)線,試判斷第幾年需要更新該生產(chǎn)線,并說明理由.【解析】(1)當(dāng)n≤7時(shí),數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,所以an=4+2(n-1)=2n+2.當(dāng)n≥8時(shí),數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a7,公比為的等比數(shù)列,又a7=16,所以an=16×,所以an=（2）設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1≤n≤7時(shí)，Sn=4n+n(n-1)=n2+3n,當(dāng)n≥8時(shí)，由S7=70,得該生產(chǎn)線前n年設(shè)備低劣化平均值