醫(yī)用物理學(xué)：剛體運(yùn)動(dòng) 2（15）1

UniversityPhysics2015-3-4RenR西安交通大學(xué)P205~224§1.2力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程一.力對(duì)軸的矩

力F

對(duì)z

軸的力矩hA二.剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律三.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義式質(zhì)量離散分布連續(xù)分布§1.3

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能動(dòng)能定理一.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能zO設(shè)系統(tǒng)包括有N

個(gè)質(zhì)量元,其動(dòng)能為各質(zhì)量元速度不同，但角速度相同剛體的總動(dòng)能P?繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角速度平方乘積的一半結(jié)論取二.力矩的功力的累積過(guò)程——力矩的空間累積效應(yīng)A

功的定義?對(duì)一有限過(guò)程若

M=C(積分形式）?(3)力矩的功就是力的功。(1)內(nèi)力矩作功之和為零。討論(2)合力矩的功三.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理——力矩功的效果對(duì)于一有限過(guò)程繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在任一過(guò)程中動(dòng)能的增量，等于在該過(guò)程中作用在剛體上所有外力所作功的總和。這就是繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的——?jiǎng)幽芏ɡ韯傮w重力勢(shì)能質(zhì)心的勢(shì)能四.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理?

剛體的機(jī)械能

MechanicalEnergyofrigidbody?

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理重力矩的功除重力以外的其它外力的合力矩?ConservationofMechanicalenergy?重力場(chǎng)中剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理中美撞機(jī)事件十二周年2001年4月3日，海南陵水機(jī)場(chǎng)，受損迫降的美軍EP-3E偵察機(jī)。1088頂

日期：2013-4-1例2

一剛體系統(tǒng)，如圖所示。已知，兩輪半徑為R、r，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，速度、繩子的張力?求：兩物的加12R

r

O

解：確定討論?充分利用角量與線量的關(guān)系?轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律聯(lián)用例3

一個(gè)系統(tǒng)，如圖示，已知現(xiàn)有一水平力作用于棒，距軸為l’處，求軸對(duì)棒的作用力（也稱(chēng)軸反力）？解設(shè)軸對(duì)棒的作用力為N,?質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系打擊中心?質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與轉(zhuǎn)動(dòng)定律聯(lián)用。分析例4一根長(zhǎng)為

l

，質(zhì)量為

m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。

初始時(shí)它在水平位置，求它由此下擺

角時(shí)的

，

以及棒受軸的力。

OlmCx解：下擺過(guò)程中，？取質(zhì)元——重力對(duì)整棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩。dm?由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：UniversityPhysics2015-3-9RenR西安交通大學(xué)P205~224?法向加速度（naturalacceleration)：?切向加速度(tangentialacceleration)：OlmCxdm例一根長(zhǎng)為

l

，質(zhì)量為

m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置解由動(dòng)能定理求它由此下擺

角時(shí)的

此題也可用機(jī)械能守恒定律方便求解OlmCx（系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律）

對(duì)含有剛體的力學(xué)系統(tǒng)，若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有保守內(nèi)力作功，而外力和非保守內(nèi)力都不作功，或作功的總和始終為零，則該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。當(dāng)A外+A非保內(nèi)

=

0

時(shí)，有力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械能應(yīng)包括

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、重力勢(shì)能，彈性勢(shì)能；平動(dòng)剛體的平動(dòng)動(dòng)能、重力勢(shì)能；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、重力勢(shì)能，即剛體的機(jī)械能守恒?AO例關(guān)于O點(diǎn)？關(guān)于A點(diǎn)？關(guān)于Z軸？§1.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律一.

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理任意質(zhì)元對(duì)定點(diǎn)動(dòng)量矩對(duì)定軸動(dòng)量矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體動(dòng)量矩＝質(zhì)元?jiǎng)恿烤刂?.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩O2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理由轉(zhuǎn)動(dòng)定律微分形式積分形式定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動(dòng)量矩的增量(1)變形體繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若其上各點(diǎn)(質(zhì)元)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則變形體對(duì)該軸的動(dòng)量矩說(shuō)明3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩守恒定律對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體當(dāng)變形體所受合外力矩為零時(shí)，變形體的動(dòng)量矩也守恒如：花樣滑冰跳水芭蕾舞等（2）貓習(xí)慣于在陽(yáng)臺(tái)上睡覺(jué)，因而從陽(yáng)臺(tái)上掉下來(lái)的事情時(shí)有發(fā)生。長(zhǎng)期的觀察表明貓從高層樓房的陽(yáng)臺(tái)掉到樓外的人行道上時(shí)，受傷的程度將隨高度的增加而減少，據(jù)報(bào)導(dǎo)有只貓從32層樓掉下來(lái)也僅僅只有胸腔和一顆牙齒有輕微的損傷。為什么會(huì)這樣呢？例

用沖擊擺測(cè)定子彈的速度。

已知擺的質(zhì)量為

M

，擺對(duì)固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J，子彈的質(zhì)量為

m，

子彈射入后，擺的最大角度為

，

求子彈的速度？解：

dLCvm

?

系統(tǒng)的機(jī)械能守恒：

?

系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒：重力勢(shì)能零點(diǎn)系統(tǒng)總動(dòng)量不守恒Caution:

O例

質(zhì)量為

M，半徑為

R

的水平均勻圓盤(pán)可繞通過(guò)中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。在盤(pán)邊緣上站有一質(zhì)量為m

的人，都相對(duì)地面靜止。當(dāng)人沿盤(pán)邊走了一周時(shí)，盤(pán)對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)角度？MROmx解盤(pán)與人構(gòu)成系統(tǒng)，人走動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)豎直軸的外力矩為零系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒人行走一周二者最初二.進(jìn)動(dòng)高速自轉(zhuǎn)的陀螺在陀螺重力對(duì)支點(diǎn)O

的力矩作用下發(fā)生進(jìn)動(dòng)陀螺的動(dòng)量矩近似為動(dòng)量矩定理當(dāng)時(shí)則只改變方向，不改變大小(進(jìn)動(dòng))進(jìn)動(dòng)角速度Ω以上只是近似討論，只適用高速自轉(zhuǎn)，即(1)

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩(角動(dòng)量)可分為兩項(xiàng)第一項(xiàng)：只包含系統(tǒng)的總質(zhì)量、質(zhì)心的位矢和質(zhì)心的速度

——軌道角動(dòng)量第二項(xiàng)：是質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的角動(dòng)量的矢量和——自旋角動(dòng)量說(shuō)明OmiC?剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)——?jiǎng)恿烤厥睾愣?質(zhì)點(diǎn)繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)——?jiǎng)恿烤厥睾愣衫?/p>

一質(zhì)量為

m

的小球，以速度

u

豎直落到直棒的端點(diǎn)，與棒作完全彈性碰撞，求小球回跳速度和棒繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度？muM2lO解：碰前、碰后角動(dòng)量守恒：碰前碰后的動(dòng)能守恒系統(tǒng)動(dòng)量不守恒明確回跳速度細(xì)棒的旋轉(zhuǎn)角速度：（剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理）復(fù)習(xí).剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理將剛體的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間求導(dǎo)剛體對(duì)確定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，則（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量矩定理的積分形式）（動(dòng)量矩守恒定律）3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩守恒定律對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體當(dāng)變形體所受合外力矩為零時(shí)，變形體的動(dòng)量矩也守恒如：花樣滑冰跳水芭蕾舞等繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體系當(dāng)如：人站在轉(zhuǎn)臺(tái)上，用手撥動(dòng)輪子，則轉(zhuǎn)臺(tái)會(huì)向相反的方向轉(zhuǎn)動(dòng)因?yàn)椋簝?nèi)力矩只能改變物體系內(nèi)各物體的動(dòng)量矩，但不能改變物體的總動(dòng)量矩分析人和轉(zhuǎn)盤(pán)組成的系統(tǒng)當(dāng)雙臂由r1變?yōu)閞2后，系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和機(jī)械能的變化情況。由角動(dòng)量守恒，有非保守內(nèi)力作正功，機(jī)械能增加。得系統(tǒng)機(jī)械能的變化zRv0R/2v=?GMz角動(dòng)量守恒mv0Rmv

R/2v=2v0例有一轉(zhuǎn)臺(tái)，MRω初始的角速度為ω0有一個(gè)人站在轉(zhuǎn)臺(tái)的中心，mu以相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的恒定速度u沿半徑向邊緣走去，人走了t時(shí)間后，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度例解求人和轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)對(duì)豎直軸不受外力矩選(人和轉(zhuǎn)臺(tái))為系統(tǒng)因此，系統(tǒng)對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒在時(shí)間t內(nèi)，人走到距轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離為如圖，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小孩，各抓住跨過(guò)滑輪繩子的兩端。一個(gè)用力向上爬，另一個(gè)則抓住繩子不動(dòng)。若滑輪的質(zhì)量和軸上的摩擦力都可忽略，開(kāi)始時(shí)兩小孩都不動(dòng)

哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪例解求RO

以小孩、滑輪作為系統(tǒng)則系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的總角動(dòng)量為+而系統(tǒng)所受的外力矩只有兩個(gè)小孩的重力矩，且合力矩為零所以系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的總角動(dòng)量守恒開(kāi)始時(shí)兩小孩都不動(dòng)所以隨后但思考：若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等時(shí)情況如何？？例

一均質(zhì)棒，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為M，現(xiàn)有一子彈在距軸為

y

處水平射入細(xì)棒，子彈的質(zhì)量為m,速度為v0

。求子彈細(xì)棒共同的角速度。解其中m討論水平方向動(dòng)量守恒子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒？？0

質(zhì)點(diǎn)與剛體的碰撞過(guò)程滿(mǎn)足角動(dòng)量守恒定律，而不是動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律在工程技術(shù)上的應(yīng)用

陀螺儀與導(dǎo)航支架S外環(huán)陀螺G內(nèi)環(huán)陀螺儀：能夠繞其對(duì)稱(chēng)軸高速旋轉(zhuǎn)的厚重的對(duì)稱(chēng)剛體。陀螺儀的特點(diǎn)：具有軸對(duì)稱(chēng)性和繞對(duì)稱(chēng)軸有較大的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。陀螺儀的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角動(dòng)量的大小和方向都保持不變；無(wú)論怎樣改變框架的方向，都不能使陀螺儀轉(zhuǎn)軸在空間的取向發(fā)生變化。

直升機(jī)螺旋槳的設(shè)置尾槳的設(shè)置：直升機(jī)發(fā)動(dòng)后機(jī)身要在旋翼旋轉(zhuǎn)相反方向旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生一個(gè)向下的角動(dòng)量。為了不讓機(jī)身作這樣的反向旋轉(zhuǎn)，在機(jī)身尾部安裝一個(gè)尾槳，尾槳的旋轉(zhuǎn)在水平面內(nèi)產(chǎn)生了一個(gè)推力，以平衡單旋翼所產(chǎn)生的機(jī)身扭轉(zhuǎn)作用。對(duì)轉(zhuǎn)螺旋槳的設(shè)置：雙旋翼直升機(jī)則無(wú)需尾槳，它在直立軸上安裝了一對(duì)對(duì)轉(zhuǎn)螺旋槳，即在同軸心的內(nèi)外兩軸上安裝了一對(duì)轉(zhuǎn)向相反的螺旋槳。工作時(shí)它們轉(zhuǎn)向相反，保持系統(tǒng)的總角動(dòng)量仍然為零。

?動(dòng)力學(xué)規(guī)律：?質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：

?剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律：

?剛體的動(dòng)能：

平面運(yùn)動(dòng)的基本方程組

?思考題：

如圖示，將一質(zhì)量為m的長(zhǎng)桿用細(xì)繩從兩端水平地掛起，其中一根繩子突然斷了，另一根繩子內(nèi)的張力是多少？ml質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律mg五.進(jìn)動(dòng)高速自轉(zhuǎn)的陀螺在陀螺重力對(duì)支點(diǎn)O的力矩作用下發(fā)生進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象：陀螺儀在外力矩的作用下，在繞其對(duì)稱(chēng)軸高速轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，橫桿也會(huì)在水平面內(nèi)繞豎直軸緩慢地轉(zhuǎn)動(dòng)。進(jìn)動(dòng)：高速轉(zhuǎn)動(dòng)物體的自轉(zhuǎn)軸繞另一軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形式。

?

自轉(zhuǎn)角速度越大，進(jìn)動(dòng)角速度越小，反之依然；?

進(jìn)動(dòng)角速度與傾角無(wú)關(guān)。?

章動(dòng)（Nutation）——

當(dāng)剛體自轉(zhuǎn)角速度較小時(shí)，它的自轉(zhuǎn)軸與豎直軸的夾角大小還會(huì)有周期性變化。?

自轉(zhuǎn)剛體的進(jìn)動(dòng)軸過(guò)定點(diǎn)且與外力平行；

炮彈飛行姿態(tài)的控制：炮彈在飛行時(shí)，空氣阻力對(duì)炮彈質(zhì)心的力矩會(huì)使炮彈在空中翻轉(zhuǎn)；若在炮筒內(nèi)壁上刻出了螺旋線（稱(chēng)之為來(lái)復(fù)線），當(dāng)炮彈由于發(fā)射藥的爆炸所產(chǎn)生的強(qiáng)大推力推出炮筒時(shí)，炮彈還同時(shí)繞自己的對(duì)稱(chēng)軸高速旋轉(zhuǎn)。由于這種自轉(zhuǎn)作用，它在飛行過(guò)程中受到