截面的集合性質(zhì)

附錄平面圖形的幾何性質(zhì)附錄Ⅰ平面圖形的幾何性質(zhì)§1-1

截面的靜矩和形心§1-4

轉(zhuǎn)軸公式§1-2極慣性矩慣性矩慣性積§1-3平行移軸公式§1-1

截面的靜矩和形心一、靜矩OyzdAyz截面對(duì)y,z

軸的靜矩為靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零.yzO

dAyz二、截面的形心C（2）截面對(duì)形心軸的靜矩等于零.（1）若截面對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必過(guò)形心.三、組合截面的靜矩和形心

由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面.

截面各組成部分對(duì)于某一軸的靜矩之代數(shù)和，等于該截面對(duì)于同一軸的靜矩. 其中Ai—第i個(gè)簡(jiǎn)單截面面積1.組合截面靜矩2.組合截面形心—第i個(gè)簡(jiǎn)單截面的形心坐標(biāo)解：組合圖形，用正負(fù)面積法解之.方法1用正面積法求解.將截面分為1，2兩個(gè)矩形.例題1試確定圖示截面形心C的位置.取z

軸和y

軸分別與截面的底邊和左邊緣重合101012012Ozy90圖(a)矩形1矩形2所以101012012Ozy90

方法2用負(fù)面積法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖(b)圖(b)C1（0,0）C2（5,5）C2負(fù)面積C1yz

§1-2

極慣性矩、慣性矩、慣性積

yzOdAyz二、極慣性矩一、慣性矩所以yzOdAyz三、慣性積（1）慣性矩的數(shù)值恒為正，慣性積則可

能為正值，負(fù)值，也可能等于零；（2）若y，z

兩坐標(biāo)軸中有一個(gè)為截面的

對(duì)稱軸，則截面對(duì)y，z軸的慣性積

一定等于零.yzdydyzdAdA四、慣性半徑解：bhyzCzdz例題2求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸y,z軸的慣性矩.

zyd解：因?yàn)榻孛鎸?duì)其圓心O的極慣性矩為

例題3求圓形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩.所以yzOC(a,b)ba一、平行移軸公式(a,b)―形心C在yOz坐標(biāo)系下的坐標(biāo)

§1-3平行移軸公式

y,z

￣

任意一對(duì)坐標(biāo)軸C―截面形心yzOC(a,b)bazCyCyC

,zC￣過(guò)截面的形心C

且與y,z軸平行的坐標(biāo)軸(形心軸）

Iy

,Iz

,Iyz

—截面對(duì)y,z

軸的慣性矩和慣性積.已知截面對(duì)形心軸yC

,zC

的慣性矩和慣性積，求截面對(duì)與形心軸平行的y,z軸慣性矩和慣性積，則平行移軸公式

IyC,IzC

,IyCzC￣

截面對(duì)形心軸yC

,zC的慣性矩和慣性積.二、組合截面的慣性矩、慣性積組合截面的慣性矩，慣性積￣第i個(gè)簡(jiǎn)單截面對(duì)y,z軸的慣性矩，慣性積.例題4求梯形截面對(duì)其形心軸yC

的慣性矩.解：將截面分成兩個(gè)矩形截面.2014010020截面的形心必在對(duì)稱軸zC

上.取過(guò)矩形2的形心且平行于底邊的軸作為參考軸記作y軸.21zCyC所以截面的形心坐標(biāo)為y2014010020y21zcyC一、轉(zhuǎn)軸公式§1-4

轉(zhuǎn)軸公式y(tǒng)Oz為過(guò)截面上的任一點(diǎn)建立的坐標(biāo)系Oyzy1z1y1Oz1為yOz

轉(zhuǎn)過(guò)

角后形成的新坐標(biāo)系順時(shí)針轉(zhuǎn)取為–號(hào)逆時(shí)針轉(zhuǎn)取為+號(hào)已知截面對(duì)坐標(biāo)軸軸y,z

軸的慣性矩和慣性積求截面對(duì)y1，z1

軸慣性矩和慣性積.轉(zhuǎn)軸公式為Oyzy1z1顯然二、截面的主慣性軸和主慣性矩

主慣性軸：總可以找到一個(gè)特定的角0

,使截面對(duì)新坐標(biāo)軸y0,z0的慣性積等于0,則稱y0,z0

為主慣性軸.主慣性矩：截面對(duì)主慣性軸y0,z0的慣性矩.形心主慣性軸：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí),則稱為形心主慣性軸.形心主慣性矩：截面對(duì)形心主慣性軸的慣性矩.

求出后，就確定了主慣性軸的位置.（1）主慣性軸的位置設(shè)為主慣性軸與原坐標(biāo)軸之間的夾角則有由此（2）主慣性矩的計(jì)算公式（3）截面的對(duì)稱軸一定是形心主慣性軸.過(guò)截面上的任一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)對(duì)坐標(biāo)軸，其中必有一對(duì)是主慣性軸.截面的主慣性矩是所有慣性矩中的極值.即求形心主慣性矩的方法（1）確定形心的位置（2）選擇一對(duì)通過(guò)形心且便于計(jì)算慣性矩（積）的坐標(biāo)軸y,z,

計(jì)算Iy

,Iz

,Iyz（3）確定形心主慣性軸的方位（4）計(jì)算形心主慣性矩例題5計(jì)算所示圖形的形心主慣性矩.解：該圖形形心C的位置已確定，如圖所示.過(guò)形心C選一對(duì)座標(biāo)軸y

z

軸，計(jì)算其慣性矩(積).101012025C4020yz20158035在第三象限分別由

y軸和z軸繞C點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)113.8o

得出.

形心主慣性軸

y0,z0101012070形心主慣形矩為C4020yzy00=113.8°z0例題6在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切