四川省2024年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（預(yù)賽）試題（解析版）

2024年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（四川預(yù)賽）試題（考試時(shí)間：2024年5月19日9:00~11:00）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分．1.設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，則的最小值為______．【答案】4【解析】【分析】求出在的導(dǎo)數(shù)，得到的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的奇偶性求出所有零點(diǎn)所在的區(qū)間，進(jìn)而求出，的值，求出答案即可．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，，∴fx在而，，時(shí)，在存在唯一零點(diǎn)，是偶函數(shù)，∴fx在遞減，而，，時(shí)，在存在唯一零點(diǎn)，∴fx零點(diǎn)都在故當(dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為4故答案為：42.已知，若，則的最大值為______．【答案】##【解析】【分析】由可求得，代入中變形后利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，解得或，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故答案為：3.已知函數(shù)，若f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值為___________【答案】1【解析】【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，要使在定義域(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，只需在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，再利用基本不等式求出，所以，從而實(shí)數(shù)的最小值為1，【詳解】解：∵函數(shù)，，.要使f(x)只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立.∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴，即實(shí)數(shù)的最小值為1.故答案為：1.4.用表示點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)距離的最小值．已知及，設(shè)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】3【解析】【分析】由圓心距與半徑的關(guān)系可得到兩圓相離，再由題意與圓的知識(shí)即可求解．【詳解】如圖所示，得到圓心；得到圓心；由于，所以兩圓相離，因?yàn)闉樯系膭?dòng)點(diǎn)，，所以要使取得最大值，只需最大即可，因?yàn)?，則的最大值為.故答案為：3.5.設(shè)中，，，則面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理和三角形面積得，再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最值即可.【詳解】由正弦定理和已知條件得，則，所以，因?yàn)?，即，則，即，結(jié)合，解得，設(shè)，則,有,令，解得，當(dāng)，，此時(shí)在單調(diào)遞增；當(dāng)，，此時(shí)在單調(diào)遞減；所以，所以面積的最大值為.故答案為：.6.將邊長為1正方體的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)十面體（如圖），則該十面體的體積為______．【答案】【解析】【分析】補(bǔ)全正方體，該十面體的體積等于棱長為1的正方體的體積去掉四個(gè)三棱錐體積再加上四個(gè)四棱錐的體積，利用錐體的體積公式即可求解.【詳解】如圖作出原正方體，與，的交點(diǎn)分別為，，與的交點(diǎn)為，上底面非重疊部分是8個(gè)全等的等腰直角三角形，設(shè)每個(gè)等腰直角三角形的邊長為，則，所以，所以，設(shè)該十面體的體積為，.故答案：.7.若，則的末尾數(shù)字0的個(gè)數(shù)為______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得，然后利用二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】由于，故，由于，由于，末尾有3個(gè)0，且大小遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過1000，因此的末尾數(shù)字0的個(gè)數(shù)為3，故答案為：38.記，，集合的子集，滿足，則符合條件的集合的個(gè)數(shù)為______．（用具體數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】分類討論并使用捆綁法求解.【詳解】不妨設(shè)，對，如果，就在這兩個(gè)數(shù)之間畫一條紅線；如果，就在這兩個(gè)數(shù)之間畫一條藍(lán)線.顯然，一個(gè)數(shù)不能同時(shí)引出兩條線①如果總共有兩條線，線在不考慮顏色的情況下的組合方式有3種，每種線都對應(yīng)如下問題：在中取三個(gè)數(shù)，任意兩個(gè)數(shù)之差大于6（如果兩線均為紅，；如果一紅一藍(lán)，；如果都是藍(lán)，）這又等價(jià)于在中任取三個(gè)數(shù)，有種所以此時(shí)有種；②如果總共有一條線，線在不考慮顏色的情況下有4種可能，每種線都對應(yīng)如下問題：在中取四個(gè)數(shù)，任意兩個(gè)數(shù)之差大于6（如果是紅線，；如果是藍(lán)線，）這又等價(jià)于在中任取四個(gè)數(shù)，有種取法所以此時(shí)有種③如果沒有線，那么就是在中取五個(gè)數(shù)，任意兩個(gè)數(shù)之差大于6，這不可能.所以總共有種.故答案：717.二、解答題：本大題共3小題，滿分56分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．9.已知為正實(shí)數(shù)，若曲線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證：直線的斜率．【答案】證明見解析【解析】【分析】設(shè)交點(diǎn)，由對數(shù)不等式得，根據(jù)和相加、相減得、，最后根據(jù)得求解即可.【詳解】設(shè)，其中．由對數(shù)不等式：若，，則．取，，得．．．①將和相減，得，．②再將和相加，得．③注意到：時(shí)，由知，結(jié)合①、②、③，知，，即，解得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查曲線與橢圓相交的斜率問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)對數(shù)不等式、重要不等式以及兩點(diǎn)的斜率公式得不等式關(guān)系.10.設(shè)復(fù)數(shù)滿足：．求的最小值．【答案】【解析】【分析】取為實(shí)數(shù)，利用柯西不等式求出最小值，再就復(fù)數(shù)，利用反證法，結(jié)合空間向量推理論證最小值為.【詳解】一方面，當(dāng)均為實(shí)數(shù)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)或時(shí)，；另一方面，下證：，由于旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角度，已知和結(jié)論不變，因此，不妨設(shè)為實(shí)數(shù)，設(shè)，，，其中，則條件變?yōu)椋?，且，①待證式變?yōu)椋?，即，因此，只需證明：，②（反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即，從而，在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)O0,0,0，，，，則，，由，得，記在面上的投影為，則，因此，這里為向量與的夾角，類似得，，于是，這與，矛盾，則假設(shè)不成立，即有成立，所以的最小值為.11.給定正整數(shù)，數(shù)組稱為“好數(shù)組”是指：均不為，且對任意的，均有．求“好數(shù)組”的組數(shù)．【答案】組數(shù)為【解析】【分析】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明引理1，引理2，即可得，即可化簡求解.【詳解】引理1：對任意正整數(shù)，若時(shí)，則，且和同奇偶；若時(shí)，則，且和不同奇偶．引理1的證明：對進(jìn)行歸納．當(dāng)時(shí)，由知結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，注意到或者，從而結(jié)論也成立．假設(shè)結(jié)論對時(shí)成立，下面考慮：情形1：若．由歸納假設(shè)知，，且和同奇偶，于是和不同奇偶．由或者，知，且和同奇偶；或者，且和不同奇偶．情形2：若．由歸納假設(shè)知，，且和不同奇偶，于是和同奇偶．由或者，知，且和不同奇偶；或者，且和同奇偶．因此，結(jié)論對也成立．由歸納原理知，對任意的正整數(shù)，結(jié)論均成立．引理1得證．記為中的數(shù)組的個(gè)數(shù)，注意．約定，由題可知．（注意由引理1可知是偶數(shù)時(shí)是奇數(shù)時(shí)，所以上式對成立．）引理2：對任意正整數(shù)，有，①這里，且，②這里，注意這里的．補(bǔ)充定義．注意①蘊(yùn)含著，這和題意一致．引理2的證明：對進(jìn)行歸納，當(dāng)時(shí)，對①：或1，注意到：，；對②：，注意到：．從而時(shí)，結(jié)論①、②成立．當(dāng)時(shí)，對①：或1，注意到：，；對②：，注意到：．從而時(shí)，結(jié)論①、②成立．假設(shè)結(jié)論①、②對時(shí)成立，考察的情形：對于①，分情況討論：對任意，（1-1）．易知，此時(shí)結(jié)論①成立．（1-2）對任意，注意此時(shí)，，（1-3），此時(shí)，成立．所以結(jié)論①對任意